第10讲 二次根式的运算（暑假预习讲义）新八年级数学新教材湘教版

第09讲 二次根式的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次根式的乘法运算 题型2 二次根式的除法运算 题型3 同类二次根式的合并 题型4 二次根式的加减运算 题型5 二次根式的混合运算 题型6 题型7 分母有理化 题型8 化简求值 题型9 二次根式的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 先化简、再合并、同类二次根式 系数相乘除、被开方数相乘除、分母有理化 化简、符号、结果化为最简 熟练进行二次根式的化简、加减乘除运算及分母有理化。 会利用性质求解参数、代数式的值，解决相关综合题型。 学习重点：二次根式的化简、四则运算以及分母有理化。 学习难点：复杂根式化简、混合运算，以及利用根式定义求参数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数，那么这几个二次根式就叫做。 2.性质：至少个二次根式才可以讨论是否为同类二次根式。同类二次根式可以，合并的方法和整式中合并同类项类似：只把系数相加减，根号部分（被开方数和根指数）保持不变。 即时即练 下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 同类二次根式的核心就是先化简，再看被开方数是否相同，合并方法和合并同类项完全一致，只要牢记“先化简再判定”的原则，就能避免大部分错误，这部分知识是二次根式加减运算的基础，一定要掌握扎实。 知识点02 二次根式的乘法运算 1.运算法则：，即两个二次根式相乘，将被开方数相乘，所得的积仍然作为积的被开方数，根指数保持2不变。 2.多个二次根式相乘：多个二次根式相乘时，可以将所有被开方数相乘，根指数，即。 3.系数不为1的二次根式相乘：当二次根式带有系数时，可将系数作为新的系数，被开方数相乘作为新的被开方数，即。 即时即练 计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 运算前需要注意被开方数的取值范围，只有两个非负数才能进行乘法运算，如果被开方数中有负数，首先需要判断原式是否有意义；如果结果中被开方数是多项式，需要先因式分解，再找出能开得尽方的因式，移出根号；二次根式相乘的结果必须化为最简二次根式，这是运算的硬性要求。 知识点03 二次根式的除法运算 1.运算法则：，即两个二次根式相除，将被开方数相除，所得的商仍然作为商的被开方数，根指数。 2.系数不为1的二次根式相除：当二次根式带有系数时，将系数相除作为新的，被开方数相除作为新的被开方数，即。 3.分母有理化：二次根式除法运算中，如果最终结果分母含有二次根式，需要通过分子分母同乘分母的有理化因式，去掉分母中的根号，这个过程叫做分母有理化。常见的有理化因式有：与、与、与。 即时即练 计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 分母必须不能含有根号，因此分母有理化是二次根式除法运算必不可少的步骤；运算过程中要注意分母不能为零，因此被除式的被开方数必须为正数；可以根据题目特点灵活选择计算方法，既可以先除法再化简，也可以先将各个二次根式化简后再相除。 知识点04 二次根式的加减运算 1.一化：将运算中的每一个二次根式都化为，化简过程中需要严格按照最简二次根式的要求处理，去掉被开方数中的分母，移出能开得尽方的因数因式。 2二找：找出化简后的二次根式中的同类二次根式，判断的核心依据是化简后被开方数是否完全。 3合并：将找到的同类二次根式合并，合并的方法与整式中的合并同类项类似，只需要将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变。 即时即练 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 不是同类二次根式的二次根式不能合并，结果中只能保留原式；运算结果必须化为最简形式，不能包含未合并的同类二次根式，也不能保留非最简的二次根式；当二次根式的系数为带分数时，需要化为假分数，避免出现歧义 知识点05 二次根式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算里面的，同级运算 从到依次进行。 2.运算律：整式乘法的运算律（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）和乘法公式（平方差公式、完全 平方公式）仍然适用于二次根式的混合运算，合理运用运算律和乘法公式可以简化计算过程。 即时即练 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 运算过程中不要随意改变运算顺序，只有符合运算律的情况下才能调整顺序；计算结果一定要化为最简二次根式，各项系数如果有公因数需要约分，分母不能含有根号；运算时注意符号问题，尤其是去括号和平方运算中，避免符号错误。 题型1二次根式的乘法运算 【例1】__________． 【例2】计算：______． 【技巧归纳】 运算时可以先将被开方数相乘，再化简结果，也可以先分解因数找完全平方数，提前约分再相乘，减少计算量； 多个二次根式相乘时，系数相乘作为结果的系数，被开方数相乘作为结果的被开方数，不要把系数和被开方数混在一起相乘. 【变式1-1】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算的结果为__________． 题型2二次根式的除法运算 【例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【例2】计算：______． 【技巧归纳】 运算时系数相除作为结果的系数，被开方数相除作为结果的被开方数； 最简二次根式要求分母中不含根号，根号中不含分母，因此当根号内有分母时，利用分数的基本性质，给分子分母同乘分母，将分母化为完全平方数后开出。 【变式1-1】若，则______ 【变式1-2】计算：______． 题型3同类二次根式的合并 【例1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 判定同类二次根式的第一步，必须先将所有二次根式化为最简二次根式，只有满足被开方数相同的最简二次根式才是同类二次根式，未化简直接看被开方数容易出现判断错误； 若题目给出两个最简二次根式为同类二次根式，则直接令二者的被开方数相等，解方程即可求得参数，无需额外变形； 合并同类二次根式时，仅仅是将系数相加减，被开方数保持不变，不要错误地将被开方数也进行加减运算。 【变式1-1】若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 题型4 二次根式的加减运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】计算=_____． 【技巧归纳】 遵循“一化二找三合并”的运算步骤：先把每个二次根式都化为最简二次根式，再找出其中的同类二次根式分组，最后将每组同类二次根式的系数分别合并即可； 去括号时，若括号前是负号，括号内每一项都要改变符号，不要漏改某一项的符号； 遇到绝对值形式，先根据二次根式的性质判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，再进行加减运算。 【变式1-1】_______． 【变式1-2】计算：，结果是___． 题型5二次根式的混合运算 【例1】计算：． 【例2】计算：_______． 【技巧归纳】 运算顺序和整式的混合运算顺序一致：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的运算； 整式中的运算律（乘法交换律、结合律、分配律）和乘法公式（平方差、完全平方）在二次根式运算中仍然适用，合理使用运算律和公式可以简化运算； 已知整体求代数式值的题目，先将所求代数式因式分解或变形，转化为含有已知式子的形式，再整体代入计算，不要直接求出字母的值代入，避免复杂计算增加出错概率。 【变式1-1】计算的结果等于______． 【变式1-2】若，，则________． 题型6 二次根式运算中的大小比较 【例1】比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【例2】比较大小：______5．（填“”“”“”） 【技巧归纳】 平方法：当两个都是正数时，分别对两个数平方，比较平方后的结果，平方大的原数更大 作差法：将两个式子作差，判断差的正负，若差大于0，则被减数大于减数，若差小于0则被减数小于减数； 分母有理化法：比较两个分子带有二次根式的分数大小时，先分母有理化，转化为同分子后比较分母，分母大的反而小； 倒数法：当两个都是正数时，分别求出两个数的倒数，比较倒数的大小，倒数大的原数更小. 【变式1-1】比较大小：________． 【变式1-2】比较大小：_______，_______2，_______． 题型7 分母有理化 【例1】化简：______． 【例2】化简__________． 【技巧归纳】 分母是单项根式：分子分母同乘分母根式，消去分母根号。 分母是两项根式和 / 差：利用平方差公式，同乘共轭根式。 最后约分，保证结果最简。 【变式1-1】计算： 【变式1-2】． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 题型6 二次根式运算中的大小比较 【例1】比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【例2】比较大小：______5．（填“”“”“”） 【技巧归纳】 平方法：当两个都是正数时，分别对两个数平方，比较平方后的结果，平方大的原数更大 作差法：将两个式子作差，判断差的正负，若差大于0，则被减数大于减数，若差小于0则被减数小于减数； 分母有理化法：比较两个分子带有二次根式的分数大小时，先分母有理化，转化为同分子后比较分母，分母大的反而小； 倒数法：当两个都是正数时，分别求出两个数的倒数，比较倒数的大小，倒数大的原数更小. 【变式1-1】比较大小：________． 【变式1-2】比较大小：_______，_______2，_______． 题型8 化简求值 【例1】已知，，求的值． 【例2】已知，求代数式的值． 【技巧归纳】 先将所有二次根式化为最简形式，合并同类二次根式；有括号先去括号，能因式分解优先分解。求值时优先整体代入、巧用公式简化计算，最后再代入数值运算，降低计算出错率。 【变式1-1】已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式1-2】已知，，求： (1)； (2)代数式的值．． 题型9 二次根式的应用 【例1】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【例2】如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【技巧归纳】 先结合实际问题梳理数量关系，列出含二次根式的算式；按运算法则化简、计算，过程中灵活运用公式简化运算。最后结合实际意义检验结果，舍去负数、不符合场景的答案，规范写出结论。 【变式1-1】如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【变式1-2】观察下列各式：；；……，请你猜想： (1)________，________； (2)计算（请写出推导过程）：； (3)请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来：_____________． 1．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 2．的结果为（     ） A． B． C． D． 3．若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．10 4．一个矩形的长和宽分别是，，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．计算得（     ） A． B． C． D．1 7．和相乘后得正有理数的是（     ） A． B． C． D． 8．在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 10．计算的结果是______． 11．化简的结果是________． 12．计算：__________． 13．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 14．计算 (1)； (2) 15．计算题： (1)； (2)． 16．化简求值，其中． 17．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 18．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 19．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 二次根式的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次根式的乘法运算 题型2 二次根式的除法运算 题型3 同类二次根式的合并 题型4 二次根式的加减运算 题型5 二次根式的混合运算 题型6 二次根式运算中的大小比较 题型7 分母有理化 题型8 化简求值 题型9 二次根式的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 先化简、再合并、同类二次根式 系数相乘除、被开方数相乘除、分母有理化 化简、符号、结果化为最简 熟练进行二次根式的化简、加减乘除运算及分母有理化。 会利用性质求解参数、代数式的值，解决相关综合题型。 学习重点：二次根式的化简、四则运算以及分母有理化。 学习难点：复杂根式化简、混合运算，以及利用根式定义求参数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数，那么这几个二次根式就叫做。 2.性质：至少个二次根式才可以讨论是否为同类二次根式。同类二次根式可以，合并的方法和整式中合并同类项类似：只把系数相加减，根号部分（被开方数和根指数）保持不变。 即时即练 下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项化简，判断被开方数是否为3即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 对于选项C：是整数，与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 对于选项D：，与是同类二次根式，能合并，故D正确． 【方法总结】 同类二次根式的核心就是先化简，再看被开方数是否相同，合并方法和合并同类项完全一致，只要牢记“先化简再判定”的原则，就能避免大部分错误，这部分知识是二次根式加减运算的基础，一定要掌握扎实。 知识点02 二次根式的乘法运算 1.运算法则：，即两个二次根式相乘，将被开方数相乘，所得的积仍然作为积的被开方数，根指数保持2不变。 2.多个二次根式相乘：多个二次根式相乘时，可以将所有被开方数相乘，根指数，即。 3.系数不为1的二次根式相乘：当二次根式带有系数时，可将系数作为新的系数，被开方数相乘作为新的被开方数，即。 即时即练 计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【方法总结】 运算前需要注意被开方数的取值范围，只有两个非负数才能进行乘法运算，如果被开方数中有负数，首先需要判断原式是否有意义；如果结果中被开方数是多项式，需要先因式分解，再找出能开得尽方的因式，移出根号；二次根式相乘的结果必须化为最简二次根式，这是运算的硬性要求。 知识点03 二次根式的除法运算 1.运算法则：，即两个二次根式相除，将被开方数相除，所得的商仍然作为商的被开方数，根指数。 2.系数不为1的二次根式相除：当二次根式带有系数时，将系数相除作为新的，被开方数相除作为新的被开方数，即。 3.分母有理化：二次根式除法运算中，如果最终结果分母含有二次根式，需要通过分子分母同乘分母的有理化因式，去掉分母中的根号，这个过程叫做分母有理化。常见的有理化因式有：与、与、与。 即时即练 计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【方法总结】 分母必须不能含有根号，因此分母有理化是二次根式除法运算必不可少的步骤；运算过程中要注意分母不能为零，因此被除式的被开方数必须为正数；可以根据题目特点灵活选择计算方法，既可以先除法再化简，也可以先将各个二次根式化简后再相除。 知识点04 二次根式的加减运算 1.一化：将运算中的每一个二次根式都化为，化简过程中需要严格按照最简二次根式的要求处理，去掉被开方数中的分母，移出能开得尽方的因数因式。 2二找：找出化简后的二次根式中的同类二次根式，判断的核心依据是化简后被开方数是否完全。 3合并：将找到的同类二次根式合并，合并的方法与整式中的合并同类项类似，只需要将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变。 即时即练 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解：∵， 故． 【方法总结】 不是同类二次根式的二次根式不能合并，结果中只能保留原式；运算结果必须化为最简形式，不能包含未合并的同类二次根式，也不能保留非最简的二次根式；当二次根式的系数为带分数时，需要化为假分数，避免出现歧义 知识点05 二次根式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算里面的，同级运算 从到依次进行。 2.运算律：整式乘法的运算律（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）和乘法公式（平方差公式、完全 平方公式）仍然适用于二次根式的混合运算，合理运用运算律和乘法公式可以简化计算过程。 即时即练 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解：∵， 故． 【方法总结】 运算过程中不要随意改变运算顺序，只有符合运算律的情况下才能调整顺序；计算结果一定要化为最简二次根式，各项系数如果有公因数需要约分，分母不能含有根号；运算时注意符号问题，尤其是去括号和平方运算中，避免符号错误。 题型1二次根式的乘法运算 【例1】__________． 【答案】 【详解】解：． 【例2】计算：______． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘法法则进行计算，先将两个二次根式合并为一个二次根式，再化简得到结果． 【详解】解：． 【技巧归纳】 运算时可以先将被开方数相乘，再化简结果，也可以先分解因数找完全平方数，提前约分再相乘，减少计算量； 多个二次根式相乘时，系数相乘作为结果的系数，被开方数相乘作为结果的被开方数，不要把系数和被开方数混在一起相乘. 【变式1-1】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式1-2】计算的结果为__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：． 题型2二次根式的除法运算 【例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【例2】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【技巧归纳】 运算时系数相除作为结果的系数，被开方数相除作为结果的被开方数； 最简二次根式要求分母中不含根号，根号中不含分母，因此当根号内有分母时，利用分数的基本性质，给分子分母同乘分母，将分母化为完全平方数后开出。 【变式1-1】若，则______． 【答案】 【分析】由已知可得，按照二次根式的除法计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1-2】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 题型3同类二次根式的合并 【例1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，只有同类二次根式可以合并，将各选项化简后判断被开方数即可确定． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并； B、，与不是同类二次根式，不能合并； C、，与不是同类二次根式，不能合并； D、，与是同类二次根式，可以合并． 【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，比较化简后的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】选项A：，被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，被开方数为，与不是同类二次根式． 【技巧归纳】 判定同类二次根式的第一步，必须先将所有二次根式化为最简二次根式，只有满足被开方数相同的最简二次根式才是同类二次根式，未化简直接看被开方数容易出现判断错误； 若题目给出两个最简二次根式为同类二次根式，则直接令二者的被开方数相等，解方程即可求得参数，无需额外变形； 合并同类二次根式时，仅仅是将系数相加减，被开方数保持不变，不要错误地将被开方数也进行加减运算。 【变式1-1】若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 【变式1-2】若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 【答案】3 【详解】先化简得：， 最简二次根式与能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同， ． 题型4 二次根式的加减运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解：∵， 故． 【例2】计算=_____． 【答案】 【分析】先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果． 【详解】解： ． 【技巧归纳】 遵循“一化二找三合并”的运算步骤：先把每个二次根式都化为最简二次根式，再找出其中的同类二次根式分组，最后将每组同类二次根式的系数分别合并即可； 去括号时，若括号前是负号，括号内每一项都要改变符号，不要漏改某一项的符号； 遇到绝对值形式，先根据二次根式的性质判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，再进行加减运算。 【变式1-1】_______． 【答案】 【分析】先化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式， . 【变式1-2】计算：，结果是___． 【答案】 【详解】解： 题型5二次根式的混合运算 【例1】计算：． 【答案】 【详解】解： 【例2】计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 【技巧归纳】 运算顺序和整式的混合运算顺序一致：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的运算； 整式中的运算律（乘法交换律、结合律、分配律）和乘法公式（平方差、完全平方）在二次根式运算中仍然适用，合理使用运算律和公式可以简化运算； 已知整体求代数式值的题目，先将所求代数式因式分解或变形，转化为含有已知式子的形式，再整体代入计算，不要直接求出字母的值代入，避免复杂计算增加出错概率。 【变式1-1】计算的结果等于______． 【答案】16 【分析】利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 【变式1-2】若，，则________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ 题型6 二次根式运算中的大小比较 【例1】比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】> 【分析】可先计算两个数的平方，通过比较平方的大小判断原数的大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 【例2】比较大小：______5．（填“”“”“”） 【答案】 【分析】二次根式比较大小，可通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系. 【详解】解：，，由于，且和均为正数， ． 【技巧归纳】 平方法：当两个都是正数时，分别对两个数平方，比较平方后的结果，平方大的原数更大 作差法：将两个式子作差，判断差的正负，若差大于0，则被减数大于减数，若差小于0则被减数小于减数； 分母有理化法：比较两个分子带有二次根式的分数大小时，先分母有理化，转化为同分子后比较分母，分母大的反而小； 倒数法：当两个都是正数时，分别求出两个数的倒数，比较倒数的大小，倒数大的原数更小. 【变式1-1】比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【变式1-2】比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 题型7 分母有理化 【例1】化简：______． 【答案】 【详解】解：原式. 【例2】化简__________． 【答案】 【详解】解：． 【技巧归纳】 分母是单项根式：分子分母同乘分母根式，消去分母根号。 分母是两项根式和 / 差：利用平方差公式，同乘共轭根式。 最后约分，保证结果最简。 【变式1-1】计算：． 【答案】 【分析】原式先分母有理化、根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【变式1-2】． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参照例题分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简分母后求值． （2）先对每一项分别分母有理化，再通过裂项相消合并同类二次根式，化简算式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6 二次根式运算中的大小比较 【例1】比较大小：______（填“”“ ”或“”）． 【答案】> 【分析】可先计算两个数的平方，通过比较平方的大小判断原数的大小，平方更大的原数更大，据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 【例2】比较大小：______5．（填“”“”“”） 【答案】 【分析】二次根式比较大小，可通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系. 【详解】解：，，由于，且和均为正数， ． 【技巧归纳】 平方法：当两个都是正数时，分别对两个数平方，比较平方后的结果，平方大的原数更大 作差法：将两个式子作差，判断差的正负，若差大于0，则被减数大于减数，若差小于0则被减数小于减数； 分母有理化法：比较两个分子带有二次根式的分数大小时，先分母有理化，转化为同分子后比较分母，分母大的反而小； 倒数法：当两个都是正数时，分别求出两个数的倒数，比较倒数的大小，倒数大的原数更小. 【变式1-1】比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【变式1-2】比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 题型8 化简求值 【例1】已知，，求的值． 【答案】 【分析】观察所求代数式，因为其符合平方差公式的形式，所以优先考虑用平方差公式因式分解，将其转化为的形式，简化计算．根据已知的和的表达式，分别计算与的值．把计算得到的和的结果相乘，即可得到最终的代数式的值． 【详解】解：． ∵， ， ∴． 【例2】已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：将代入代数式，得 ． 【技巧归纳】 先将所有二次根式化为最简形式，合并同类二次根式；有括号先去括号，能因式分解优先分解。求值时优先整体代入、巧用公式简化计算，最后再代入数值运算，降低计算出错率。 【变式1-1】已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，，再结合因式分解可得答案； （2）先求解，结合完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ． （2）解：， ， ． 【变式1-2】已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可； （2）将变形为，然后求出，和的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 题型9 二次根式的应用 【例1】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 【例2】如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 【技巧归纳】 先结合实际问题梳理数量关系，列出含二次根式的算式；按运算法则化简、计算，过程中灵活运用公式简化运算。最后结合实际意义检验结果，舍去负数、不符合场景的答案，规范写出结论。 【变式1-1】如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 【变式1-2】观察下列各式：；；……，请你猜想： (1)________，________； (2)计算（请写出推导过程）：； (3)请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来：_____________． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）仿照题干式子求解； （2）利用二次根式的性质化简； （3）根据以上式子总结规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解：根据题意得，． 1．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质和运算法则，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：A、，A选项错误，不符合题意； B、，B选项错误，不符合题意； C、，C选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 2．的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 4．一个矩形的长和宽分别是，，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式乘法法则化简计算，即可得到答案． 【详解】解：． 5．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，错误； D．，正确． 6．计算得（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 7．和相乘后得正有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用平方差公式可简化计算，只需将各选项与相乘，判断结果是否为正有理数即可得到答案． 【详解】解：选项A∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项B∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项C∶ ，结果是负有理数，不符合要求． 选项D∶ ，是正有理数，符合要求． 8．在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 9．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 【答案】 【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：由条件可知两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 10．计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 11．化简的结果是________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知，，且， ， ． 12．计算：__________． 【答案】0 【详解】解：原式． 13．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 14．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式     ． （2）解：原式 ． 15．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解： ， ， ． 16．化简求值，其中． 【答案】， 【分析】先将要求的式子的括号内进行通分，把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入，得：原式． 17．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 18．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算、长方体的面积与体积计算，熟练掌握正方形、长方体的相关公式及二次根式运算法则是解答本题的关键． （1）利用正方形面积公式求出原纸板面积，结合剪掉的小正方形面积，计算剩余纸板的面积； （2）先确定长方体的长、宽、高，再代入长方体体积公式，结合二次根式乘法法则计算体积； （3）分析长方体侧面的形状与尺寸，利用长方形面积公式计算单个侧面面积，进而求出总侧面积． 【详解】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为： ． （2）解：长方体盒子的体积为：． （3）解：长方体盒子的侧面积为：． 19．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $