【第三章 二次根式 03讲 二次根式的加法和减法】【四大知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 二次根式 03讲 二次根式的加法和减法 题型归纳 【题型1. 同类二次根式】……………………………………………………………… 3 【题型2. 二次根式的加减运算】……………………………………………………… 5 【题型3. 二次根式的分母有理化】…………………………………………………… 7 【题型4. 二次根式的混合运算】……………………………………………………… 13 【题型5. 二次根式的化简求值】……………………………………………………… 15 【题型6. 二次根式的应用】…………………………………………………………… 18 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 22 知识清单 知识点1 同类二次根式 1.概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 知识点2 二次根式的加减运算 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 【提示】二次根式加减运算的步骤： （1）化：将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找：找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3 二次根式的分母有理化 1.概念：将分母中的根号化去，叫作分母有理化. 2.方法：将分子分母都乘上分母的有理化因式. 【提示】常见的分母有理化： （1）分母为二次根式：形如，分子分母同时乘以，则 . （2）分子、分母均为二次根式：形如，分子分母同时乘以， . （3）分母为含二次根式的代数式：形如，分子分母同时乘以分母的共轭二次根式，则 . 知识点4 二次根式的四则混合运算 1.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）. 例： 题型专练 题型1. 同类二次根式 【例1】（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查同类二次根式的概念，理解概念，注意是先要化成最简二次根式后再判断是解答的关键． 同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A、与均是最简二次根式，且被开方数不一样，故不是同类二次根式，故不符合题意； B、与均是最简二次根式，且被开方数不一样，故不是同类二次根式，故不符合题意； C、，与被开方数不一样，故不是同类二次根式，故不符合题意； D、，与被开方数一样，故是同类二次根式，故符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·广东惠州·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式（即被开方数相同）．先将各选项化简，再判断是否与的被开方数一致． 【详解】解：，被开方数为． A．，被开方数为，不符合． B．，被开方数为，不符合． C．，被开方数为，符合条件． D．无法进一步化简，被开方数为，不符合． 综上，只有选项C能与合并． 故选C． 【例3】（24-25八年级下·云南玉溪·期末）请写出一个能与合并的最简二次根式 ． 【分析】本题考查最简二次根式，二次根式的加减．将化简，写出与它被开方数相同的最简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴能与合并的最简二次根式为． 故答案为： 【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期末）若最简二次根式能与合并，则可以是（    ） A．4 B．5 C．7 D．14 【分析】本题考查最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质等知识，先由，再由是最简二次根式，可得即可确定答案，熟记最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且最简二次根式能与合并， ， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查同类二次根式．判断是否为同类二次根式，需将各选项化简为最简二次根式后，比较被开方数是否相同．据此即可求解． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·期末）最简二次根式与可以合并，则a= ． 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式，根据同类二次根式及最简二次根式的定义可得，解得的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：， 故答案为：3． 题型2. 二次根式的加减运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式． 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 二次根式的分母有理化 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）阅读下列解题过程： 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果： ① ；② ． (2)求（为正整数）化简的结果（需要写出推理步骤）． 【分析】本题主要考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题的关键． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：． 【例2】（24-25八年级下·贵州安顺·期末）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：_____． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将的值代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是的有理化因式， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可； （2）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵，∴，∴， 即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：的值 (2)若，求的值； 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，熟练进行变形是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）阅读材料： 在二次根式中，如，（，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的二次根式化去的过程），例如，，． 解决问题： (1)化简的结果为___________． (2)已知，． ①化简___________，___________； ②求的值． (3)计算：． 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的有理化因式，分母有理化的知识．通过利用平方差公式将分母中的根式化为有理数是解题的关键． （1）分母是，其有理化因式为，分子分母同乘该因式后，利用平方差公式化简计算，分母化为有理数，分子即为化简结果； （2）①，有理化因式为，分子分母同乘后，分母用平方差公式计算的，分子即为；同理可得化简得到； ②先将式子因式分解为，再代入①中化简后的、计算即可； （3）每个分式的分母都是“”形式，有理化后可转化为“”，所有项相加时，最后剩下首尾两项． 【详解】（1）解：                                       ， 故答案为：． （2）解：①， ， 故答案为： ， ； ②，， ， ， ． 的值为． （3）解： ， ， 如此类推，可得： ． 题型4. 二次根式的混合运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型5. 二次根式的化简求值 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）化简，求值：，． 【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，求的值． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴ ． 【变式1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知，求代数式的值． 【分析】本题考查二次根式的化简与计算，完全平方公式，掌握这些是解题的关键． 观察代数式结构，根据已知条件，对代数式进行配方简化计算． 【详解】解：， 原式 ． 【变式2】（24-25八年级下·北京大兴·期末）已知，求代数式的值． 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用因式分解进行简便运算成为解题的关键． 先因式分解，然后将代入并运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）已知，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）先得出，，再利用平方差公式计算即可； （2）根据（1）得出，进而根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴． 题型6. 二次根式的应用 【例1】（24-25八年级下·云南昭通·期中）高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 将，代入求解即可． 【详解】将，代入得， 解得 因此，玩具抛出前离地面的高度为45米． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：大正方形边长为，小正方形边长为， ． 【例3】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）王师傅有一根长为的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成两个面积分别为，的正方形铁框（无损耗），问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由． 【分析】此题考查了二次根式的应用，关键是根据正方形的面积公式求出各边的长，每个正方形有4条边，求出每个正方形耗费的钢材． 根据正方形的面积公式求出各边的长，再根据每个正方形有4条边，从而求出每个正方形所耗费的钢材，再把两个耗费的钢材加起来，和进行比较即可． 【详解】解：王师傅的钢材不够用．理由如下： ∵正方形的面积是， ∴它的边长是， ∴所耗费的钢材是， ∵正方形的面积是， ∴它的边长是， ∴所耗费的钢材是：， ∴所耗费的钢材的总长度是：， ∵，，， ∴ ∴王师傅的钢材不够用． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）按国际标准，A系列纸均为长宽比为的长方形．若纸的宽为，则纸的长为 ．（用含根号的式子表示） 【分析】本题主要考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式运算法则，是解题的关键．根据A系列纸均为长宽比为的长方形，纸的宽为，求出长即可． 【详解】解：∵A系列纸均为长宽比为的长方形，纸的宽为， ∴纸的长为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和(精确到，参考数据：， ， )． 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，二次根式混合运算的应用以及长方形、正方形的面积和周长计算，熟练掌握算术平方根的意义及长方形、正方形的周长和面积公式是解题的关键． （1）先由正方形面积求出两个正方形的边长，再确定长方形的长和宽，最后根据长方形周长公式计算． （2）用长方形面积减去两个正方形面积得到阴影部分面积和，需要先求出长方形长和宽，再计算长方形面积，进而求解． 【详解】（1）解：正方形面积为的正方形，其边长为；面积为的正方形，其边长为， 长方形的长为，宽为， 长方形周长； ∴长方形周长约为． （2）解：长方形面积 ， 两个正方形面积和， 阴影部分面积和 ； ∴两块阴影部分面积和约为． 【变式3】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）可证明，据此可得结论； （2）设第三边为x，分边长为4的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的运算， 根据计算法则需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A. ，，故错误， B. ，故错误， C. ，故错误， D. ，计算正确． 故选：D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）若取2.236，计算的结果是（   ） A． B．223.6 C． D． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，需先合并同类项，再代入近似值计算，根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：， 已知， 则 因此结果为， 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了同类二次根式的定义以及最简二次根式，解题的关键是将二次根式进行化简． 判断二次根式是否为同类，需将各选项化简为最简二次根式后比较被开方数． 【详解】A：：，无平方因子，已是最简形式，该选项不符合题意； B：：，可化简为，该选项符合题意； C：：，无平方因子，已是最简形式，该选项不符合题意； D：：，可化简为，被开方数为，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）若，则代数式的值是（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】本题考查了代数式求值，以及二次根式的运算，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将代数式配方后代入，简化计算，即可解题． 【详解】解：将代数式配方： ， 当时，，代入上式得： ， 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判定、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同成为解题的关键．先运用二次根式的性质化简，然后根据同类二次根式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① ，为整数，不是二次根式； ② 与的被开方数相同，与是同类二次根式； ③与的被开方数不同，与不是同类二次根式； ④与的被开方数相同，与是同类二次根式． 综上，与是同类二次根式的是②和④． 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江温州·期末）若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的混合运算，将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：，结果含无理数项，非有理数，排除A； B：，结果含无理数项，非有理数，排除B； C：，结果含无理数项，非有理数，排除C； D：分母有理化：，结果为有理数，故选D； 故选：D． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A．8分 B．12分 C．16分 D．20分 【分析】本题考查了实数的性质，立方根，零指数幂以及二次根式的乘除运算，根据分母有理化，相反数、倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了，不得分； ②的绝对值是，该题做对了，得4分； ③，该题没做，不得分； ④，则，该题做对了，得4分； ⑤，该题做对了，得4分； 综上，正确题数为3题，每题4分，总得分为（分）， 故选：B． 9．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 10．（24-25八年级下·北京·期中）若a，b为正有理数，则有，，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论，其中正确的有（   ） ①；②若 (其中b，c为有理数)，则； ③若，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】解：① ，故该结论正确； ②根据题意，可得 ， 则有，解得， 所以，可有，故该结论正确； ③若， 因为 ， 所以，故该结论正确； ④因为 ，故该结论正确． 综上所述，结论正确的有4个． 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【分析】本题考查考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较，求出，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·天津河西·期末）当时，代数式的值是 ． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，由完全平方公式可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知，，则 ． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，因式分解，先求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：2， 16．（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 17．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 【分析】本题考查了完全平方公式，算术平方根，仿照阅读材料利用完全平方公式将写成，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 19．（24-25九年级下·广东河源·期中）对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 【分析】本题主要考查实数的运算，解题的关键在于理解新定义的运算法则，并进行计算． 理解新定义运算法则，按照新定义运算法则计算即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 20．（24-25七年级下·重庆铜梁·期末）如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，．则图中两块阴影部分的面积和为 ． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，依据题意，先由三个正方形的面积分别是，，，求出三个正方形的边长分别是，从而可得长方形的长为，宽为，进而可得长方形的面积为：，最后可得两块阴影部分的面积和，进而可以得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积分别是，，， ∴三个正方形的边长分别是， ∴长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为：． ∴两块阴影部分的面积和． 故答案为：． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式  = 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25八年级下·四川广元·期末）先化简，再求值：其中． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据运算法则先化简二次根式再代入计算即可． 【详解】解：原式． ， 将代入得：． 23．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）先化简， 再求值：其中 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先把括号里通分，并把除法转化为乘法，再把分子分母分解因式约分化简，最后把代入计算． 【详解】解： ， 当时， 原式． 24．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值． 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先估算得到，，得出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：由（1）得：，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵a的整数部分是x， ∴， ∵b的小数部分是y， ∴， ∴． 25．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 26．（24-25八年级下·全国·期中）已知长方形的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)求与长方形面积相等的正方形的周长，并比较正方形周长与长方形周长的大小． (3)通过计算，你从中得到了什么启示？ 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积的计算方法是解题的关键． （1）先化简，，根据长方形周长公式计算即可； （2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得正方形的周长比较即可； （3）根据（2）的计算结果即可找出规律． 【详解】（1）解：长方形的周长为； （2）解：， 正方形的边长为， 正方形的周长为， 而， 长方形的周长大于正方形的周长， （3）解：通过（2）的计算可得当长方形的面积与正方形的面积相同时，长方形的周长大于正方形的周长． 27．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）阅读下列材料 材料一：，，像与、与这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们称这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 材料二：解决利用，（，，、均为常数且）求、的值时，可以利用材料一中的方法解决，也可以建立关于，的二元一次方程组进行，但应注意二次根式成立的条件． (1)式子的有理化因式为________； (2)若关于的两个方程，都成立，求的值． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键． （1）根据有理化因式的定义解答即可； （2）两等式相乘可得出，然后解方程求出x值，再检验解答即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是； 故答案为：； （2）解：将，两式左右分别相乘得， ， 整理得， 解得或， 经检验，不是原方程的解， ． 28．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【详解】（1）； （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 30．（24-25八年级上·福建漳州·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ， ， ， (1)化简：______； (2)比较大小： ______（填“”或“”）； (3)求 的值． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，二次根式比较大小，熟练掌握分母有理化是解本题的关键．分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． （1）归纳总结得到一般性规律，原式分母有理化后利用规律计算，即可求出式子的值； （2）利用分母有理化及规律比较与的大小，即可得出结果； （3）原式利用规律计算，即可求出式子的值． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ……， ∴第个等式为：， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 31．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）综合与应用 【材料阅读】 小红和小青在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料． 小红找到的资料如下： 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，则（秦九韶公式）． 小青找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则（海伦公式）． 【推理论证】 （1）小红和小青运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同．这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也称海伦公式为“海伦－秦九韶公式”．下面是他们不完整的推理过程，请将这个推理过程补充完整． 证明：， （   ）（   ） （   ） （   ）（   ）（   ）（   ） 【学以致用】 （2）已知三角形的三边分别为，，．请运用“海伦－秦九韶公式”计算三角形的面积． ①，，； ②，，. 【分析】本题考查二次根式的实际应用，熟练掌握“海伦－秦九韶公式”是解题的关键： （1）根据计算过程，结合因式分解进行作答即可； （2）直接套用公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）①由题意得，， 根据海伦公式得，； ② ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 二次根式 03讲 二次根式的加法和减法 题型归纳 【题型1. 同类二次根式】……………………………………………………………… 3 【题型2. 二次根式的加减运算】……………………………………………………… 3 【题型3. 二次根式的分母有理化】…………………………………………………… 5 【题型4. 二次根式的混合运算】……………………………………………………… 7 【题型5. 二次根式的化简求值】……………………………………………………… 9 【题型6. 二次根式的应用】…………………………………………………………… 10 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 13 知识清单 知识点1 同类二次根式 1.概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 知识点2 二次根式的加减运算 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 【提示】二次根式加减运算的步骤： （1）化：将各个二次根式化成最简二次根式； （2）找：找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3 二次根式的分母有理化 1.概念：将分母中的根号化去，叫作分母有理化. 2.方法：将分子分母都乘上分母的有理化因式. 【提示】常见的分母有理化： （1）分母为二次根式：形如，分子分母同时乘以，则 . （2）分子、分母均为二次根式：形如，分子分母同时乘以， . （3）分母为含二次根式的代数式：形如，分子分母同时乘以分母的共轭二次根式，则 . 知识点4 二次根式的四则混合运算 1.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）. 例： 题型专练 题型1. 同类二次根式 【例1】（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东惠州·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·云南玉溪·期末）请写出一个能与合并的最简二次根式 ． 【变式1】（24-25八年级下·湖北随州·期末）若最简二次根式能与合并，则可以是（    ） A．4 B．5 C．7 D．14 【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·期末）最简二次根式与可以合并，则a= ． 题型2. 二次根式的加减运算 计算： 题型3. 二次根式的分母有理化 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）阅读下列解题过程： 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果： ① ；② ． (2)求（为正整数）化简的结果（需要写出推理步骤）． 【例2】（24-25八年级下·贵州安顺·期末）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：_____． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵，∴，∴， 即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：的值 (2)若，求的值； 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）阅读材料： 在二次根式中，如，（，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的二次根式化去的过程），例如，，． 解决问题： (1)化简的结果为___________． (2)已知，． ①化简___________，___________； ②求的值． (3)计算：． 题型4. 二次根式的混合运算 计算： 题型5. 二次根式的化简求值 【例1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）化简，求值：，． 【例2】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知，求代数式的值． 【变式2】（24-25八年级下·北京大兴·期末）已知，求代数式的值． 【变式3】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）已知，分别求下列代数式的值： (1) (2) 题型6. 二次根式的应用 【例1】（24-25八年级下·云南昭通·期中）高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 【例2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，两个面积分别为40和64的正方形无重叠摆放，求图中空白部分的面积． 【例3】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）王师傅有一根长为的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成两个面积分别为，的正方形铁框（无损耗），问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）按国际标准，A系列纸均为长宽比为的长方形．若纸的宽为，则纸的长为 ．（用含根号的式子表示） 【变式2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和(精确到，参考数据：， ， )． 【变式3】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）若取2.236，计算的结果是（   ） A． B．223.6 C． D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）若，则代数式的值是（　　） A． B． C．1 D．2 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 7．（24-25八年级下·浙江温州·期末）若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A．8分 B．12分 C．16分 D．20分 9．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·北京·期中）若a，b为正有理数，则有，，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论，其中正确的有（   ） ①；②若 (其中b，c为有理数)，则； ③若，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 12．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）比较大小： （填“”或“”）． 13．（24-25八年级下·天津河西·期末）当时，代数式的值是 ． 14．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知，，则 ． 15．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 16．（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 17．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的，的算术平方根是 ． 18．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算： ． 19．（24-25九年级下·广东河源·期中）对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 20．（24-25七年级下·重庆铜梁·期末）如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，．则图中两块阴影部分的面积和为 ． 三、解答题 21.计算 22．（24-25八年级下·四川广元·期末）先化简，再求值：其中． 23．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）先化简， 再求值：其中 24．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值． 25．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 26．（24-25八年级下·全国·期中）已知长方形的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)求与长方形面积相等的正方形的周长，并比较正方形周长与长方形周长的大小． (3)通过计算，你从中得到了什么启示？ 27．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）阅读下列材料 材料一：，，像与、与这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们称这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 材料二：解决利用，（，，、均为常数且）求、的值时，可以利用材料一中的方法解决，也可以建立关于，的二元一次方程组进行，但应注意二次根式成立的条件． (1)式子的有理化因式为________； (2)若关于的两个方程，都成立，求的值． 28．（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 29．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值为 ． (2)求的值． (3)若，求的值． 30．（24-25八年级上·福建漳州·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ， ， ， (1)化简：______； (2)比较大小： ______（填“”或“”）； (3)求 的值． 31．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）综合与应用 【材料阅读】 小红和小青在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料． 小红找到的资料如下： 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，则（秦九韶公式）． 小青找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则（海伦公式）． 【推理论证】 （1）小红和小青运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同．这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也称海伦公式为“海伦－秦九韶公式”．下面是他们不完整的推理过程，请将这个推理过程补充完整． 证明：， （   ）（   ） （   ） （   ）（   ）（   ）（   ） 【学以致用】 （2）已知三角形的三边分别为，，．请运用“海伦－秦九韶公式”计算三角形的面积． ①，，； ②，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$