第十八章分式测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学第十八章分式单元复习卷，100分钟120分，覆盖分式意义、性质、方程及应用，通过基础题与创新题结合，考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式有意义条件、性质、方程解范围|如第5题结合图形比较种植单价，体现几何直观| |填空题|5/15|规律探究、代数式变形|第11题程序运算规律，培养抽象能力| |解答题|8/75|换元法解方程、实际应用、新定义|18题行程问题（模型意识）、23题“关联数对”新定义（创新意识），梯度分明|

第十八章分式测试卷 （时间：100分钟　分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 2．对于分式，若将x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值为（　　）． A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．不变 D．无法确定 3．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）． A．，且 B． C． D．，且 4．下列说法正确的是（　　） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中的x，y都扩大倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 5．有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a m的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a m的小正方形空地种植树木，现准备用5 000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 6．如果，那么的值为（　　） A． B．1 C． D．2 7．已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3 8．如果a，b，c为非零有理数，且a +b +c=0，那么的所有可能的值为（　　） A．0 B．1或－1 C．2或－2 D．0或－2 9．某班学生到距学校12 km的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先行，经h后，其余同学乘汽车出发，由于设自行车的速度为x km/h，则可得方程为－＝．根据此情境和所列方程，题目中表示的内容应该是（　　）． A．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达 B．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到h C．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到h D．汽车速度比自行车速度每小时多3 km，结果同时到达 10．一条笔直的公路依次经过A，B，C三地，甲、乙分别同时从A，B地出发到C地，已知AB＝100 m，BC＝200 m．设甲速度为a m/min，乙速度为b m/min（3b＞2a），那么（　　）． A．甲先到 B．乙先到 C．两人同时到 D．无法确定谁先到 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．有一个计算程序，每次运行这种运算的过程如下： 则第n次运算的结果yn＝___________．（用含有x和n的式子表示．） 12．已知a，b是有理数，x是无理数，如果是有理数，那么等于___________． 13．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1:8:3，飞行时间之比为2:1:2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7:15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为__________． 14．若，则__________． 15．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（6分）阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0． 解：设y＝，则原方程化为y－＝0， 方程两边乘y，得y2－4＝0， 解得y＝±2． 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解， ∴当y＝2时，＝2， 解得x＝－1； 当y＝－2时，＝－2， 解得x＝． 经检验，x＝－1，x＝都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为_______； （2）模仿上述换元法解方程：－－1＝0． 17．（6分）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再从中选取合适的整数代入求值． 18．（8分）小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍． （1）小明步行的速度是多少？ （2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 19．（10分）对于一个关于x的代数式A，若存在一个系数为正数关于x的单项式F，使的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F为代数式A的“系单项式”．例如： 当A=，F=2x3时，由于=1，故2x3是的整系单项式； 当A=，F=6x5时，由于，故6x5是的整系单项式； 当A=3－，F=时，由于，故是3－的整系单项式； 当A=3－，F=8x4时，由于，故8x4是3－的整系单项式． 显然，当代数式A存在整系单项式F时，F有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式F记为F（A）．例如：，． 阅读以上材料并解决下列问题： （1）判断：当A=时，F=2x3______A的整系单项式（填“是”或“不是”）． （2）解方程：． 20．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ＝＝＋＝1＋，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是_____________；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出变形过程； （3）应用：先化简－÷，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 21．（10分）某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题： （1）求A，B两种蔬菜每吨的进价； （2）该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（单位：万元）与购买A种蔬菜的资金a（单位：万元）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2 100元，乙种电脑每台2 700元，请直接写出有几种购买电脑的方案． 22．（12分）按要求完成下列题目． （1）求：的值． 对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成的形式，而，这样就把一项（分）裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出的值． （2）若 求A，B的值； 求的值． 23．（13分）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是不是关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”． ①（　　）；②（　　）； ③（　　）；④（　　）． （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 参考答案 1．【答案】B 【解析】因为分式有意义， 所以，所以． 2．【答案】A 【解析】若将分式中x，y的值都扩大为原来的3倍， 则变为， 即扩大为原来的3倍． 3．【答案】D 【解析】方程两边乘，得，解得． 因为关于x的分式方程的解是正数， 所以，所以． 因为即，所以， 所以，所以，且． 4．【答案】D 【解析】A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式=（x≠0），故此选项错误； C、分式中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； D、分式是最简分式，正确； 故选D． 5．【答案】A 【解析】方式一种植草皮每平方米的单价是5 000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）； 方式二种植草皮每平方米的单价是5 000÷（x2﹣4a2）＝＝（元）． ∵x+2a＞x﹣2a， ∴＞， ∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高， 两种草皮单价之比为： ＝• ＝． 故选A． 6．【答案】C 【解析】方法一（条件变形）： ， ∴， ∴． 方法二（所求变形）： 由题意得，分式的分子、分母同时除以，得． 故答案为C． 7．【答案】C 【解析】分式方程去分母，得m－3=x－1， 解得x=m－2． 由方程的解为非负数，得到m－2≥0，且m－2≠1， 解得m≥2且m≠3． 故选C． 8．【答案】A 【解析】∵a，b，c为非零有理数，且a+b+c=0， ∴a，b，c只能为两正一负或一正两负． ①当a，b，c为两正一负时，设a，b为正，c为负， 原式=1+1+（－1）+（－1）=0； ②当a，b，c为一正两负时，设a为正，b，c为负， 原式=1+（－1）+（－1）+1=0， 综上，的值为0． 故答案为0． 9．【答案】A 【解析】根据题意可知方程－＝的等量关系为“骑自行车的时间－乘汽车的时间＝h”． 10．【答案】B 【解析】甲从A到C所用时间为min， 乙从B到C所用时间为min． －＝－＝． ∵3b＞2a， ∴＞0， ∴＞， ∴乙先到． 11．【答案】 【解析】把y1＝代入，得y2＝＝； 把y2＝代入，得y3＝＝； 依此类推，得yn＝． 12．【答案】 【解析】 ． ∵x是无理数， ∴， ∴原式． ∵是有理数， ∴设，则． ∵m，a，b是有理数，x是无理数， ∴，解得，． 故答案为． 13．【答案】17:57 【解析】∵去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为1:8:3，飞行时间之比为2:1:2， ∴设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t， ∴去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt． ∵今年无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的， ∴今年无人机B的平均速度为×8x＝6x，无人机C的平均速度为×3x＝4x． 设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m， ∴今年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m， ∴今年无人机A，B，C飞行的时间分别为，，． ∵无人机C增加的路程占今年三架无人机总路程的20%， ∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m）， 整理得16xt﹣7m﹣n＝0①． ∵无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7:15， ∴m:n＝7:15， ∴m＝②． 把②代入①，得16xt﹣7×﹣n＝0， ∴xt＝， ∴今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为： ． 故答案为17:57． 14．【答案】 【解析】设，则，，． ． 故答案为． 15．【答案】 【解析】∵，，， ∴，，， ∴ ， ，． ①+②+③，得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为． 16．【答案】解：（1）y－＝0． （2）原方程可化为－＝0． 设y＝，则原方程可化为y－＝0． 方程两边乘y，得y2－1＝0，解得y＝±1． 经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解． 当y＝1时，＝1，该方程无解； 当y＝－1时，＝－1，解得x＝－． 经检验，x＝－是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－． 17．【答案】解：（1） ． 当，时，原式． （2）原式 ． 由题意得，2，4， 当时，原式； 当时，原式． 18．【答案】解：（1）设步行的速度为x m/min，则骑自行车的速度为3x m/min． 由题意得， 解得x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意， 则小明步行的速度是80 m/min． （2）来回取票总时间为＋2＝42(min)<45(min)， 故小明能在球赛开始前赶到体育馆． 19．【答案】解：（1）当A=，F=2x3时，， ∴2x3是的整系单项式． （2）F（x+1）=2x，F（1－）=2x2， ∴可以化为－1=， ∴2x2－3x+1=0， ∴x=1或x=． 经检验，x=1是方程的增根， ∴原方程的解为x=． 20．【答案】解：（1）①＝1＋，是和谐分式；②＝＝1＋，是和谐分式；③＝1＋，是和谐分式． 故答案为：①②③． （2）＝＝＋＝a－1＋． （3）－÷ ＝－· ＝－ ＝ ＝ ＝． ∴当x＋1＝±1或x＋1＝±2时，分式的值为整数， 此时x＝0或－2或1或－3． ∵分式有意义时，x≠0，1，－1，－2， ∴x＝－3． 21．【答案】解：（1）设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为万元． 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元． （2）根据题意得，， ∴所获利润W（单位：万元）与购买A种蔬菜的资金a（单位：万元）之间的函数关系式为：． （3）当时，． ∵在一次函数中，W随着a的增大而减小， ∴当时，W有最大值，W的最大值为（万元）． 设购买甲种电脑a台，购买乙种电脑b台，则． ∵a和b均为整数， ∴或或 ∴有三种购买方案． 22．【答案】解：（1） ． +++…+=． （2）①∵+= =， ∴ 解得 ∴A和B的值分别是和－； ②由①知，=•－• =•（－）－（－）， ∴原式=•－•+•－•+…+•－• =•－• =－ =． 23．【答案】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④不是关于的分式方程的“关联数对”． 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得． ∵可化为， ∴， 解得． 方程有整数解， 整数，即． 又，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $