第十八章  分式-2026-2027学年八年级数学上册基本功（人教版）

第18章分式 18.1分式及其基本性质 知识点1分式的定义 1.【2026西安质检】如图，有甲、乙、丙、丁四张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是() 2 丙： 5 甲： 乙： x+1 π+1 丁： 5m-n m+n 4y A.甲B.乙 C.丙 D.丁 2代数武①②，升 x+y ③x+y,④2+2 8⑥1」 ⑦3 中，是分式的有() m A.1个 B.2个C.3个 D.4个 知识点2分式有意义的条件 3【2026成都期中】分式2有意义，则满足的条件是() A.x≠-2 B.x≠2 C.x≠-2或x≠2 D.x≠-2且x≠2 4.开放性试题【2025江苏无锡质检】请写出一个关于x的分式，使得无论x取何值，该分式都 有意义，且当x=1时，分式的值为2，则这个分式可以是 (答案不唯一) 5【2026邵阳质检】求证：不论x取什么值，分式22-3x+5 x2-6x+12 一定有意义。 知识点3.分式的值为零的条件 6.根据下表信息，y表示的代数式可能是() -2 -1 0 无意义 米 B2 C*+2 D.*2 x+1 x+1 x-1 67/88 第18章分式 7.【2025青浦期中】已知x=-1时，分式2无 二无意义，x=1时，此分式的值为0，则 a+b= 8.【2026张掖质检】若式子 2十a-2的值为零，则式子(a+2)(a-1)-24的值是 lal-1 20 知识点4分式的值为正（或负或整）数的条件 2x-1 9.【2026南通质检】若分式x的值为负数，则x的取值范围为 式n平7的值 10.【2025郑州期末】若关于x的不等式(0m+2)x>2m+4的解集为x<2,且分式2 为整数，则满足上述条件的整数m的值是 知识点5用分式表示数量关系 11.【2025邢台质检】公路全长为skm,骑自行车th可走完全程，为了提前半小时走完全程， 骑自行车每小时应多走 km 68/88 第18章分式 18.2分式的基本性质 知识点分式的基本性质 1.【2025昆明期中】下列各式从左到右变形正确的是() a am am a a a-1 -a a A.bbm B. C.B=b-1 D. a-b=- b-a 2.【2025葫芦岛期中】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是() x2+x+2 x2-x+2 x2+x-2 x2-x-2 A. B. C. 2x3+x-3 2x3+X-3 2x3-x+3 2x3-X+3 3.如图，对于分式中的四个符号， 任意改变其中两个符号，分式的值不变的是() A.①③ B.①② C.②③ D.②④ ① ② -a ta-b 个个 3(4 4【2025镇江期未】若分式x中的x和)都扩大为原来的3倍后.分式的值不变，则A可 能是() A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 5【2026唐山质检】若a+b≠0，且62两 两个“口”中是运算符号“+”“-"“×"“÷”中 的同一种，则“口”里可以填 。(写出一种情况即可) 6.若3x-3 2(x-1)2 成立，则x的取值范围是 7.【2026滨州期未】不改变分式1 Q4一把的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数、 5a+0.3b 其结果为 69/88 第18章分式 8.【2026晋城期中】阅读下列材料，并完成相应任务。 关于“设参法求分式的值”的研究报告 研究对象：设参法求分式的值。 研究思路：设参数为k,把含参数k的式子代入原式进行化简求值。 【问题提出】已知吃者-系求分式牛》 x+2y-3z 的值。 x y Z 【思路分析】根据题意可设已知条件中的连等式234=k(k≠0)，因而有x=2k,y=3k, z=4k,于是将它们分别代入分式中，即可通过化简求得分式的值。 【问题解决】设号者着kk≠0，则：=2业，y=3北，2=4秋 所以原式= 2k+3k-4k k 2k+6k-12k-4k=▲。 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： 0 742 (②)已知x,y,z满足等式x+y-y+2-x+z」 的值。 4 5 5x-y 70/88 第18章分式 18.3分式的约分和通分 知识点1约分与最简分式 1.分式4y+3x2-12-xy+ya2+2ab 4ax4-1 ,x+y一，b-26中，最简分式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.【2026漯河期末】下列约分正确的有() a2+2a+ia+7(2a0m-0 、a2-2a-3a-3 (1 0时-1：8 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.【2025延安期末】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式， 那么我们称这个分式为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的是() A+-1 ,a-2b a2-b2 B. x2+1 a2-b2 0 (a+b)2 4. 若m为实数，分式“+习不是最简分式，则m= x2+m 5. 【2026成都期未】已知a-b-1=0,则代数式 3a-3b a2-2ab+b2的值是 2a(a-1) 6.约分：(18ab2(1-a 、a2-4ab+4b2 (2)户a2-4b2 71/88 第18章分式 7.先化简，再求值：24y+42 x-29之，其中x=-2,y=3 知识点2通分与最简公分母 8【2025许昌期中】将分式，1 式1a与分式。a+1 a2-2a+1 通分后， "17的分母室为1+)-1-以，则，的分子变为) a2-2a+11 A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a 9【06周口期末打分成子6子 ，一的最简公分母是 a2+2a+1与1一a通分的结果是 10. a-1 5 11.填写下面的表格： 通分前的分式 最简公分母 通分后的分式 5 3 2x'4x2y 1 2x-1’2x+1 x+1 2x-1' 2x+1 72/88 第18章分式 18.4分式的乘除 知识点1分式的乘法 1.【2025北京期中】下列计算正确的是() a2 b3 b3 a d ac 7b 8a3 4a b1 b A丽雨 B.B'cbd 2a3·7b2=b2 D.a aaa 225高区质检】苏为整数。奥则计算+特的结果是() A.正整数 B.负整数 C.非负整数 D.非正整数 16-m2m+3 3.【2026晋中期末】化简 m2+6m+94-m 的结果是 x2-2x+1x2-5x+6 4.计算： x2-4x+3x2-3x+2 5【05随议期末1已知-s兰4中6=子 X-2先在A,B,C中任选2个 分式用乘号连接并进行化简，再从0,1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值。 知识点2分式的除法 -4(）的一部分（括号处）被墨水污染了，若只知道该式的化简结果为整式，则被 6 -3-x2-9 墨水污染的部分不可能是() A.x-3 B.x-2 C.x+3 D.x+2 7.【2026宁波期末】若A= 9B2x X =x3则A÷B的值可能为() 1 1 A.12 B.6 D.0 73/88 第18章分式 a+3a2+3a 8.【2026青岛质检】化简：1-。÷a2-2a+7从0,1,2中选取-个数作为的值代入求 值。 9.如图(1)为“惠民1号”玉米试验田，是半径为米的圆去掉宽为1米的出水沟（空白 部分)剩下的部分；如图(2)为“惠民2号”玉米试验田，是半径为R米的圆中间去掉半径 为1米的圆（空白部分）剩下的部分，两块玉米试验田的玉米都收了450千克。 (1)哪块玉米试验田的玉米的单位面积产量高？ (2)两块玉米试验田的玉米单位面积产量高的是单位面积产量低的多少倍？ 图(1) 图(2) 74/88 第18章分式 18.5分式的乘除混合运算及乘方 知识点1分式的乘除混合运算 81-a2 a-9a+3 心计算之十6a+92a+6a+g的结果为0 B.1 C.-1 D.-2 2、【2025蚌埠期中】如果2a2b.2y 3x3÷0,那么括号内应填写的分式是 3,【2025大同质检】计约。-d议1g+9-内的过程如下 X+3 1x-3 解原式32x+33-3+)第-步 =1第二步 回答：(1)上述过程中，第一步中“因式分解”使用的公式用字母α，b表示为一 (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是 (3)以上两步中，哪一步出现错误？请求出正确结果。 4、【2026石家庄质检】计算： 2x25y.10y x+2.1x-3 (13y2‘6x*217 (2x-6+9*3-xx+2 75/88 第18章分式 知识点2分式的乘方和乘除混合运算 a2-1 (a-1)(a+1) -X 的计算结果为正整数，则对α值的描述最准确的是() 2a 2a A.a为自然数 B.a为大于0的偶数 C.a为大于1的奇数 D.a为正整数 6计算()()+(-头)的结果是 7、先化简，再求值：()二+g》-(名八，其中=y-1, 8、计算：(x+)÷+y.七 xx+y 佳佳的计算过程如下： 解：+》本，u+列生本)=+y xx+y 请问佳佳的计算结果对吗？如果不对，请改正。 76/88 第18章分式 18.6分式的加减 知识点1同分母分式的加减 1【2026金昌期中】计算2x-2 2 x-2 2-X 的结果为() 2x A.1 B.- C.2 D.-2 X-2 e7,w=1 2【2025泰安期中】已知M=, 一7则() M A.M+N=1 B.M-N=1 C.M·N=1 D.N 二1 B【2026石家庄质检若”、之的值大于6，则x的服值磁围为 两个分 4.【202临汾质检】在学习了“分式的加减法运算”后， 式相减 李萌同学设计了一种计算流程图，如图所示， ① 判断分母 ② 是 是否相同 但是张瑞同学在计算。2”。一。”。 的过程中说： 学寶 调分每宝 “我只要按照流程中的几个路径进行计算即可。” 3 判断是否 请填写张鹏同学需要经历的路径： (填写序号)。 为最简分 是 式或整式 否 结果 约分 5.【2026泸州期末】化简： 知识点2异分母分式的加减 6.【2025永州期中】已知x是整数，且2+2+2x+18 x+3+3-x+x2-9 为整数，则所有符合条件的 x的值的和为() A.12 B.15 C.18 D.20 77/88 第18章分式 7.老师布置了一道分式计算题： 小强是这样解答的： x-y x+y x(x+y) y(x-y)x2+xy-xy-y2 x2-y2 x-y x+y (x-y)(x+y)(x-y)(x+y) -=1. (x-y)x+y）(x-y)(x+y ① ② ③ ④ 他从第步开始出现错误（填序号）。 1 8.计算2十x十+3x+22+5x+6 一十 的结果为 9.【2026大同质检】化简： 6 1 x2-y24x(x-y)+y2 (1四Gx+3)x-3)x-3 (2)x+y 2x-y ® 10.【2025无锡期中】已知：P=x+1,Q=x十7 4x (1)当x>0时，比较P与Q的大小，并说明理由； (②设y-昌兰若x是整数，求整数y的值。 78/88 第18章分式 18.7分式的混合运算 知识点1分式的混合运算 1.【2026淄博期末】一个水池有甲、乙两个进水管，单独开甲、乙管各需要x小时、y小时可注满 水池，现两管同时打开，则注满水池的时间为() Ax+y小时 By小时 1 小时 D.上小时 xy x+y x+y xy 2【2026平凉质检】老师在黑板上给出7-道分式计算题：不之：(，一+：行） X 1 沙沙解答过程： 1 1 2-7（x五+x+7)=x+)x-DXx-1)+x+1)x-DXx+1)-(四 x+1+x-1…(2) 2x2 x+10x-)(3) 沙沙的解答过程是从开始出现错误的， 正确的结果是 ，下列填在横线上的答案正确的是() A.(①，2 B.(2),2 ca.月 D.(1),-2 11 3.【2026秦皇岛期末】若(0-1)×写xx一4则“口”表示的最简分式为—。 3-x .x2-2x-1 4已知22X+1÷P=1+ 1-x- (1)求P(化成最简形式)； (2)当x=n时，记P的值为P(n)。如：当x=2时，P的值为P(2)；当x=3时，P的值为P(3); 。请写出关于t的不等式4-2≥P(2)+P3)+P(④)+P(⑤)+P(⑥)+P()+P(⑧， 并求解集与最小整数解。 79/88 第18章分式 知识点2分式的化简求值 b 、a2-b2 5.已知a-2b=0且b≠0，则( a6+1).9 a2 的值为() .3 1 % C.3 D.-1 6有这样-道题：计算“兰 -x的值，其中x=2004。甲同学把“x=2004”错 抄成“x=2040”,但他的计算结果是正确的，请说明原因。 7.【2025池州期未】先化简： ÷(+.再从不号式想任+d的起 数解中选一个合适的x代入求值。 8.核心素养运算能力，已知a,b,c是非零有理数，且满足ab=二-b, a 则四名+尝品后兽)+g 十 等于一。 80/88 第18章分式 18.8负整数指数幂 知识点1负整数指数幂 1、若(x-3)°-2(2x-4)-1有意义，则x的取值范围是() A.x≠3 B.X≠2 C.x≠3或x≠2 D.x≠3且x≠2 2、我们知道：21=2,22=4，…，210=1024，那么230接近于() A.10-10 B.10-9C.10-8D.10-7 1 3、 若43m×8”-（)9, 则n的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 2ab2写成不含分母的形式，其结果为 3a 4、 _0 知识点2负整数指数幂的相关计算 5、【2026扬州期中】在数(-分，(-2)%(-克，(-)中，最小的数是(） 1 A（-2)2 B.(-2)-2 c.(-)1 D.(-2)-1 3ab-2\ 6、【2026益阳期末】计算： 2a-1b 7、【2026泉州质检】若实数m,n满足m2-m+3m2+3m=-1,则m-2-n=一。 8、传统文化【2026吉林长春期末】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》，如图(1)所 示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-4， -2,-1,2,3,4,6,7填入如图(2)所示的“幻方”中，部分数字已填入，则(a+b)2 的值为 (⑨ ①③. 6包1 ⑧ 图(1) 图(2) 81/88 第18章分式 9、【2025浦东质检】计算：(x-1-y1)÷(x-2-y-2)-xy(x+y)1。 10、计算：-2引+（令1×（π-V2)0-+(-1)2。 11、ap= a(a≠0，p为正整数)，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数。例：4-2= 1 42 (1)计算：52=一；（-2)2=。 (2)如果2- 8那么p=一：如果a2=1, 16 那么a=一。 ③)如果aP三且a,p均为整数，求满足条件的a,p的取值。 82/88 第18章分式 18.9用科学记数法表示小于1的正数 知识点1科学记数法 1.【2026深圳期末】2025年5月19日，央视新闻发布某国产品牌实现3nm(即0.000000 003m)芯片研发设计突破。数0.000000003用科学记数法表示为() A.3×10-9 B.3×10-10 C.3×109 D.3×1010 2.【2026遵义质检】清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来。苔花如米 小，也学牡丹开。”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向。袁枚所写的“苔花”很可能 是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为0.00000084米，0.00000084用科学记数 法可表示为() A.0.84×10-5 B.8.4×10-6 C.8.4×10-7 D.8.4×10-8 3.【2026驻马店期末】“墙角数枝梅，凌寒独自开。遥知不是雪，为有暗香来。”出自宋代诗 人王安石的《梅花》。梅花的花粉直径约为0.000036m,用科学记数法表示为a×10”m,则a, n的值分别为() A.3.6,-4 B.3.6,-5 C.0.36,4 D.36,5 1 1 4.某种分子的直径约为g000mm,将g000用科学记数法表示为a×10”的形式，下列说法正 确的是() A.a,n都是负数 B.a是负数，n是正数 C.a,n都是正数 D.a是正数，n是负数 5.【2026渝中期末】2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重 构技术提升光子雪崩非线性，成功将直径27nm（相当于0.000000027m)的纳米颗粒的光 学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础。数据0.000000 027用科学记数法可表示为 83/88 第18章分式 知识点2还原用科学记数法表示的数 6.已知a=1.2×10-2,b=1.2×10-3,则数a,b在数轴上的位置大致是() b A.-0.010 0.01 B.-0.01 00.01 b b 上● C.-0.0100.01 D.-0.01 00.01 7.山东大学某团队基于嫦娥四号月表辐射数据，首次发现地月之间存在低宇宙线辐射的“宇 宙线空腔”，空腔内的低能质子平均微分通量为2.1×10-3粒子/()。将2.1×10-3用小数表 示时，小数点后“0”的个数是一。 知识点3用科学记数法表示的数的计算 8.【2025开封期末】红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛。某红外线 遥控器发出的红外线波长约为9.4×10-7m,则下列说法正确的是() A.9.4×10-7×10=9.4×106 B.9.4×10-7-1.4=8×10-7 C.9.4×10-7是8位小数 D.9.4×10-7是7位小数 9.已知1米=1×109纳米，一微型电子元件的直径约50000纳米，用科学记数法可以表示 成米。 10.【2026苏州期中】水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子。 1个氢原子的质量约为1.674×10-27kg,一个氧原子的质量约为2.657×10-26kg,一个水分 子的质量大约是多少千克？ 84/88 第18章分式 18.10分式方程及其解法 知识点1分式方程的定义 26四川眉山期中下列关于x的方程：2，②3，③3- ④+月=5，@+1=0中，是分式方程的有() m n A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点2解分式方程 1=一。5时，去分母变形正确的是（） 2.解分式方程13x-1=2-6x A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 3.解分式方程： 、x+14 1 10 (1x-i2-1=1 (2)x-52-10x+25=0 4【2026杭州期中】小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：x一2十 1 3=2-x (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是方程的增根是x=2,原分式方程无解。”请你求出原 分式方程中数“？”是多少。 85/88 第18章分式 知识点3根据方程解的情况求字母的值或取值范围 5.【2026吉安期末】已知关于x的分式方程+3 x-2 +1的解满足-2<x<-1, (-2)(x+3) 且k为整数，则符合条件的所有k值有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.【2025周口期末】若关于x的分式方程，2 4=3+m一没有增根，则m的值可以为 4-x (写出一个即可)。 x2+x x2-1 x2-2m 7.【2026保定期末】已知A= x-4x2-8x+16 B= 1-x (1)化简分式A; (2)若关于x的分式方程A+B=1的解是非负数，求m的取值范围。 8.小丽解分式方程1- x-3 3x 2x+2x+1 时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得1-(x-3)=6x,…第一步 解得x一手…第二步 4 原分式方程的解是x=… 第三步 (1)小丽的解答过程从第步开始出错，这一步应为 这一步的依据是 (2)小丽的解答过程缺少的步骤是 (3)请写出正确的解题过程。 86/88 第18章分式 18.11分式方程与实际问题的综合 知识点分式方程的实际应用 1、【2026银川质检】实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克。如何处理 能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍。晓华根据这一情境中的数量关系列出 10 方程3×150150， 则未知数x表示的意义是() A.增加的水量 B.减少的水量 C.加入的食盐量 D.减少的食盐量 2、【2026聊城质检】为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行 全面更新改造。现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标。每施工一天，需 付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算， 给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成。 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是() A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 3、现有甲、乙、丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表。 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 20 10 20 单价（元/千克) 15 20 25 商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价， 要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克。 87/88 第18章分式 4、【2026池州期末】在杭州市余杭区经济高质量发展大会上，Rokid创始人兼CE0祝铭明 戴着一副AR+AI眼镜站在演讲台上。他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺 利完成了一场脱稿演讲。而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之 后，AI眼镜”也瞬间成为网络热词。请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视Po”,因其宛如一台集摄像 头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，而成为爆款。某科技商店被 授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视Pro”的标价贵700元，调查 发现，商店不做话动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买 “智视Pro”的数量相同 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元 素材3 商店降价促销：“灵眸X”按标价的8折出售，“智视Po”比标价优惠50元 问题解决 任务1求每副“灵眸X”和“智视Po”眼镜的标价 任务2该公司最多能购买多少副“灵眸X”眼镜 88/88第18章分式 18.1分式及其基本性质 知识点1分式的定义 1.【2026西安质检】如图，有甲、乙、丙、丁四张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是() 2 甲： 乙： 丙： 丁： 5m-n x+1 π+1 m+n 4y A.甲 B.乙C.丙 D.丁 答案：B 解析：甲、丙、丁卡片中的式子是分式，乙卡片中的式子不是分式，故选B。 2代数式@②， +y③x+y,@2+2。 ⑤⑥} 5 严中，是分式的有() m A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：判断分式的两个条件：①分子、分母都是整式；②分母中含有字母。 2,分母中不含字母，故不是分式； 、3 ① 4 ②. 符合分式的两个条件，故是分式： ③x+y,是整式，故不是分式； ③242 ，π是常数，故不是分式： ⑤8是分数，故不是分式 合分式的两个条件，鼓 ⑦ . 符合分式的两个条件，故是分式。 知识点2分式有意义的条件 3【2026成都期中】分式”2有意义，则：满足的条件是(） A.x≠-2 B.x≠2C.x≠-2或x≠2 D.x≠-2且x≠2 答案：D 2有意义，所以-2≠0，即x+士2，故选D。 X 解析：因为分式 117/152 第18章分式 4.开放性试题【2025江苏无锡质检】请写出一个关于x的分式，使得无论x取何值，该分式都 有意义，且当x=1时，分式的值为2，则这个分式可以是 (答案不唯一) 4 答案：x2+1 解析：x2≥0，x2+1≠0，即对于以x2+1为分母的分式，无论x取何值，该分式都有意义。 4 当x=1时，分式的值为2，符合题意的分式可以为之+故答案为2千1（答案不唯一。一 5.【2026邵阳质检】求证：不论x取什么值，分式-6x+12 2x2-3x+5 一定有意义。 答案：x2-6x+12=x2-6x+9+3=(x-3)2+3>0,不论x取什么值，分式 2x2-3x+5一定有意义。 x2-6x+12 知识点3分式的值为零的条件 6.根据下表信息，y表示的代数式可能是() X -2 0 无意义 米 A七+2 B七2 C*+2 X-2 D x-1 x+1 "x+1 x-1 答案：B 解析：当x=-1时，分式无意义，4D选项不符合题意。当x=2时，X一召 1=0,之 x+1*0, ∴B选项符合题意，C选项不符合题意。故选B。 关键点拨：分式无意义，分母为零；分式值为零，分子为零而分母不为零。 乙【2025青浦期中】已知x=-1时，分式2无 -无意义，x=1时，此分式的值为0，则 a+b= 答案：2 解折：x=-1时，分式碧无意义，2×(-)1a-0,a=2:X=1时.此分式的 15 值为0,1-2b=0,h=分Q+6=2+3 118/152 第18章分式 lal-1 8.【2026张掖质检】若式子2十。2的值为零，则武子a+2)Q-1①-24的值是一 答案：-26 解析：由已知可得，a-1=0 g2+。-2大0即〔a-1a+2)0解得a=-1,则原式三a2+a 2-24=a2+a-26=(-1)2-1-26=-26。 知识点4分式的值为正（或负或整）数的条件 Q【2026南通质检】若分式的值为负数，则x的取值范围为 答案：x<0.5且x≠0 2x-1 解析：分式x2的值为负数，“2x-1<0且x+0,解得x<0.5且x≠0，故答案为x<0.5 且x≠0。 易错警示：注意分母不能为0。 7的值 10.【2025郑州期末】若关于x的不等式(m+2)x>2m+4的解集为x<2,且分式2 为整数，则测满足上述条件的整数m的值是 答案：一3 解析：(m+2)x>2m+4,·(m+2)x>2(m+2)。又：关于x的不等式(m+2)x>2m+4 的解集为x<2,m+2<0,m<一2。分式十的值为整数，整数m的值为3，-2. 1。又m<-2,满足条件的整数m的值为-3，故答案为-3。 知识点5用分式表示数量关系 11.【2025邢台质检】公路全长为skm,骑自行车th可走完全程，为了提前半小时走完全程， 骑自行车每小时应多走 km 答案：(？-05 解析：公路全长为skm,骑自行车th可走完全程，则骑自行车的速度为；km/h;若提前半 S 小时走完全程，则骑自行车的速度为0.5kmh,则骑自行车每小时应多走（一0.5 )kam。 故答案为05。 119/152 第18章分式 18.2分式的基本性质 知识点分式的基本性质 1.【2025昆明期中】下列各式从左到右变形正确的是() a am am a a a-1 -a a A.bm B. C.b-1 D. a-b=- b-a 答案：B 解析：分式的基本性质中，分式的分子和分母同时乘或除以同一个数时，这个数不能为0。 A选项，号m a am (m≠0)，故此选项不符合题意； B选项， bm=故此选项符合题意； am a a,a-1 C选项，6+b-1 故此选项不符合题意； -a D选项， (-a）_a a-b-(a-B)=b-a 故此选项不符合题意。故选B。 2.【2025葫芦岛期中】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是() x2+x+2 x2-x+2 c2+x-2 x2-x-2 A. D. 2x3+x-3 2x3+x-3 2x3-X+3 2x3-x+3 答案：D 2-x2+ 解析：把-2x+x-3 的分子和分母同时乘-1得2+2-x=2-x-2 2x3-x+32x3-x+3° 故选D。 3.如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是() A.①③ B.①② C.②③ D.②④ ① ↓ -a +a-b 个个 ③④ 答案：B 解析： -a a 一 +a-ba-b° 故选B。 120/152 第18章分式 A 4.【2025镇江期末】若分式 一中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可 2x +y 能是() A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 答案：A 解析：当A=3x十2y时，分式3x+2y中的和y都扩大为原来的3倍后，得3X3x+2X3y- 2x+y 2×3x+3y 3(3x+2y)3x+2y 分式的值不变，故选项A符合题意； 3(2x+y) 2x+y 当A=3x+3时，分式 x+3 3×3x+33(3x+1) x+y 中的x和y都扩大为原来的3倍后，得 ×3x+3y3(2x+y) 3x+1 2x+y 分式的值改变，故选项B不符合题意； 当A2时，分式名中的x和落扩大为原来的3倍后，混2XX》 6xy 2×3x+3y2x+y 分式 的值改变，故选项C不符合题意； 当1-3时，分式x,中的和部扩大为原来的3台后，得2×+2 3 3 1 ,分式的 值改变，故选项D不符合题意。故选A。 5.【2026唐山质检】若a≠b≠0，且5=6如2，两 两个“口”中是运算符号“+“-"“X÷”中 的同一种，则“口”里可以填 (写出一种情况即可) 答案：×（答案不唯一） 解析：根据分式的基本性质可得 a×2a÷2 -b×2b÷2' 故答案为×（答案不唯一）。 6.若 2(x-1)2 3〔x一)3成立，则x的取值范围是 答案：x≠1 解析：由题意可知，x-1≠0，·x≠1。 7.【2026滨州期未】不改变分式1 04α一的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数} 5a+0.3b 其结果为 121/152 第18章分式 答案： 4a-5b 2a+3b 04a-h 2 解析：分式 分子、分8同时深10，得级， 4a-5b 5a+0.3b 1 5a+ 故答案为2a+3b 8.【2026晋城期中】阅读下列材料，并完成相应任务。 关于“设参法求分式的值”的研究报告 研究对象：设参法求分式的值。 研究思路：设参数为k,把含参数k的式子代入原式进行化简求值。 【问题提出】已知省年求分式 xy Z 的值。 x+2y-3z x y Z 【思路分析】根据题意可设已知条件中的连等式吃考-4=kk≠0)，因而有x=2k,y二3k, z=4k,于是将它们分别代入分式中，即可通过化简求得分式的值。 【问题解决】设好者-景kk≠)，则x-2水，y=3弘，2=4秋 所以原式= 2k+3k-4k k 2k+6k-12k=-4k=4。 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： 回已知，y满起等式牛牛“中，求+ 的值。 4 5x-y 答案：（四司 (x+y=4k 回设-生-=+0)2比第 (x=3k 4 y=k x+z=7k z=4k .3y+z3k+4k1 六5x-y5×3k-k2” 122/152 第18章分式 18.3分式的约分和通分 知识点1约分与最简分式 1. 分式4y+3x,2-12-xy+y2a2+2ab 4a x4-1' x+y,b-26中，最简分式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：分式的分子与分母有公因武21，分式y13秋”+少Q+2a6分 4a、x+y一、ab-2b是最简 分式。故选C。 2.【2026漯河期末】下列约分正确的有() a2-2a-3_a-3a(m-n)3 a+m a (1 22a+1a十F®2am1:2十合0：6+mb xy+2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 解析：(1)原式=a-3)(a+)_a-3 a+1? 符合题意； (a+1)2 (2)原式= a(m-n)3 -b(m-n)3B' 不符合题意； (③)原式-y+2 y+21,不符合题意； (4)原式为最简分式，不符合题意。故选A。 3. 【2025延安期未】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式， 那么我们称这个分式为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的是() -1 a-2b x+y a2-b2 A. B. D. x2+1 a2-b2 (a+b)2 答案：B 解析：A选项，文十 x-1 分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意 a-2b a-2b B选项，-a+0a-可 分母可以因式分解，且是最简分式，是“和谐分式”，符合 123/152 第18章分式 题意； C选项， 一严x+)(x刀x一y分母可以因式分解，但不是最简分式，不是“和 x+y x+y 1 谐分式”，不符合题意； D选项，a+b a2-b2_(a+b)(a-b)_a-b a+b 分子可以因式分解，但不是最简分式，不是“和 (a+b)2 谐分式”，不符合题意。故选B。 4. 若n为实数，分式+)不是最简分式，则m= x2+m 答案：0或-4 解析：：分式+2)不是最简分式，且m为实数，“m=0或-4。 x2+m 3a-3b 5. 2026成都期末F知a-b-1=0,则代数式220b十2的值是 答案：3 解析：a-b-1=0,a-b=1, 3a-3b3(a-b)33 a2-2ab+a-6=ab=3,故答案为3。 2a(a-1) 6.约分：(18ab2(1-a 、a2-4ab+4b2 (2) a2-4b2 2a(a-1)1 (a-2b)2 a-2b 答案：(1)-80ba-D-4：（2)a+2ba-2D-a+2b 7.先化简，再求值： x2-4xy+4y2 x-29,其中x=-2,y=3 1 答案：一8 解析：24y+42--22 1 (x-2y)3 (x-2y)3-x-2y 1 把x=-2,y=3代入，得原式--2-2×38 1 124152 第18章分式 知识点2通分与最简公分母 【2025许昌期中】将分式， 与分武a1 1 8. a2-2a+1 通分后， a+1 1 a2-2a+1 的分母变为(1+0·(1-a2,则1a的分子变为(） A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a 答案：A 解析：两分式的最简公分母为(1+a)(1-a)2, 1 1. 1-a 1 “1-a(1+@(1-。1+01-,“1-a的分子变为1-a,故选A。 123 9.【2026周口期未】分式.-2：3x十64的最简公分母是 答案：3x(x+2)(x-2) 2 2 3 3 3 解析：3x十63x+2-仅x2-4x(x+2-2可 所以分式1,23 x-2'3x+6'x-4x 的最简公分母是3x(x+2)(x-2)。 a-1一与 5 10.a2+2n+与1a2通分的结果是 (a-1)2 -5(a+1) 答案：a+1产a-可a+)2(a-可 a-1a-15-5 -5 解析：“a42a十1a+1:1-aa2-1a+)a-可 最简公分母为a+1)P(a-1),通分后分别为。（a二12 -5(a+1) (a+1)2(a-1)’(a+1)2(a-1) 11.填写下面的表格： 通分前的分式 最简公分母 通分后的分式 53 2x'4x2y 1 1 2x-1'2x+1 x+1 2x-1'2x+1 125/152 第18章分式 答案： 通分前的分式 最简公分母 通分后的分式 53 4x2y 10xy3 2x'4x2y 4x2y'Ax2y 1 1 4x2-1 2x+1 2x-1 2x-1'2x+1 4x2-1’4x2-1 X x+1 4x2-1 2x2+x2x2-x-1 2x-1'2x+1 4x2-1' 4x2-1 126/152 第18章分式 18.4分式的乘除 知识点1分式的乘法 1.【2025北京期中】下列计算正确的是() a2 b3 b3 a d ac 7b 8a3 4a b 1 b A币丽 B.B'cbd C.2‘7币- D.a-. aaa 答案：D 解析：A选项： a2b31 a d ad ba5={ ,故此选项不正确：B选项：石。c 故此选项不正确； 7b8a34 b 1 b C选项： 2a‘7b2=方故此选项不正确；D选项：a.b aa"a 故此选项正确。 2.【2025高新区质检】若x为正整数，则计算 x2-1x+4 的结果是() x+4x+1 A.正整数 B.负整数 C.非负整数 D.非正整数 答案：C 解析：原式=x+1)x-1),x+4 x+4x+1=x-1。 :x为正整数，“x≥1且x为整数，“x-1≥0且x-1为整数，计算结果是非负整数。 3.【2026晋中期未】化简 16-m2 m+3 的结果是 m2+6m+94-m 答案：= (4+m)(4-m)m+3m+4 (m+3)24-m-m+3° x2-2x+1x2-5x+6 4.计算： x2-4x+3x2-3x+2 答案：1 折：原成可名0=1 78-2x+1 5.【2025遵义期末】已知A=x+1g t1,c=2x4 x-2。先在A,B,C中任选2个 分式用乘号连接并进行化简，再从0,1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值。 答案：答案不唯一，示例如下：选择A,B A×B=x+1.2-2x+1_x+1x-1)2 =x+1。 x-1x-1x-1x-1 :x≠1且x≠2，x=0。当x=0时，原式=x+1=1。 127/152 第18章分式 解析：选取x的值时，需保证分式分母不为0，避免分式无意义。 知识点2分式的除法 6. 父4·二的部分括号被墨水污染了，若只知道该式的化简结果为整式，则酸 墨水污染的部分不可能是() A.x-3 B.x-2 C.x+3 D.x+2 答案：A 解析： x2-4.x-3(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)_(x+2)(x-2)(x+3 A选项：x-32-9 ,不是整式， x-3 X-3 x-3 符合题意； B选项： x2-4,X-2 x-3÷x2-9 x+20x-2.c+3x-3》=x+2x+3),是整式，不符合 X-3 x-2 题意； C选项： x2-4,x+3 x-3·x2-9 _x+2)x-2.x+3)x-3》=x+2)(x-2),是整式，不符合 X-3 X+3 题意； D选项： 2-4x+2c+2x-2).c+3)x-3》=x-2)x+3),是整式，不符合 x-3÷x2-9 x-3 x+2 题意。 7.【2026宁波期末】若A= 29B-2 X-3’ 则A÷B的值可能为() A造 1 B6 1 C D.0 答案：C 2x x-3 1 解析：A÷B= x2-9x-3(x+3)(x-3)2x2(x+3)9 11 由题意可知x≠士3,0，则A÷B的值不可能为0、12 当x=-2时，A÷B=子故选C。 128/152 第18章分式 a+3a2+3a 8.【2026青岛质检】化简：1-aa2-2a+7从0,1,2中选取-个数作为的值代入求 值。 答案： a+3.a(a+3)_a+3(a-1)2_a+3(1-a)2_1-a 化简：原式=1二a(a-1)21-aa(a+3)1-aa(a+3)。 Q≠1,0，-3，a可以取2；当a=2时，原式=1,21 2=-2° 9.如图(1)为“惠民1号”玉米试验田，是半径为R米的圆去掉宽为1米的出水沟（空白 部分)剩下的部分；如图(2)为“惠民2号”玉米试验田，是半径为R米的圆中间去掉半径 为1米的圆（空白部分)剩下的部分，两块玉米试验田的玉米都收了450千克。 (1)哪块玉米试验田的玉米的单位面积产量高？ (2)两块玉米试验田的玉米单位面积产量高的是单位面积产量低的多少倍？ 图(1) 图(2) 答案： (1)“惠民1号”玉米试验田的玉米的单位面积产量高。 解折：惠职1号”面积：份平方米，单位面积产量：”于克/平方米： 450 450 “惠民2号”面积：π(R2-1)平方米，单位面积产量： π(R2-五π(R+1)R-D千克/平 方米。 :R-1<R+1,R-1>0,0<(R-1)2<R2-1, 450 450 π(R2-)πR-1,即“惠民1号”单位面积产量更高。 +1 (2)倍数为 -1° 450 450450 π(R2-1)R+1 解析： π(R-1π(R2-1)π(R-1X】 450R-19 归纳总结：分式比较大小的方法：同分母时比分子，同分子时比分母，分子、分母均不同时可 用作差（商）法比较大小。 129/152 第18章分式 18.5分式的乘除混合运算及乘方 知识点1分式的乘除混合运算 81-a2 a-9a+3 1、计算。之十6a+92a+6a+g的结果为0 1 2 B.1 C.-1 D.-2 答案：D 解析：原式=9-(9+o.2(a+3)a+3 (a+3)2 a-9a+9 =(a-9)(a+9).2(a+3)a+3 (a+3)2 a-9a+9 =-2 2a2b 2xy 2、【2025蚌埠期中】如果3x·30÷0-,那么括号内应填写的分式是 答案： 2a 3b2 解析：由题意得，括号内分式= 2a2b 2xy 2 4a2bxy 3 2a 3x‘3a÷3=9b3x2y3b2 1 .x+3 3.【2025大同质检】计算2-6x+9x-3(9-)的过程如下： 解：原式= 1x-3 x-3)2x+3(3-03+x)第-步 =1第二步 回答： (1)上述过程中，第一步中“因式分解”使用的公式用字母a,b表示为 (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是 (3)以上两步中，哪一步出现错误？请求出正确结果。 答案： (1)a2-2ab+b2=(a-b)2,a2-b2=(a+b)(a-b) (2)约分 (3)第二步出现错误；正确结果为-1 解析： 130/152 第18章分式 (1)第一步因式分解用到完全平方公式与平方差公式，即a2-2ab+b2=(a-b)2,a2-b2= (a+b)(a-b)。 (2)第一步到第二步是对分子分母的公因式进行约分。 1x-3 ③)）原式=3驴x+36-03+0=-1. 4、【2026石家庄质检】计算： 2x25y,10y x+2 1x-3 (1) 3y26x21x2 (2x2-6x+93-xx+2 2x25y21x27x3 答案：(1)原式= 3y26x10y-6y2 x+2 -3 (2)原式= c-3)2·(3-x). +2 1 知识点2分式的乘方和乘除混合运算 5若0 2-1 (a-1)(a+1)1 a-1÷ 的计算结果为正整数，则对a值的描述最准确的是() 2a 2a A.a为自然数 B.a为大于0的偶数 C.a为大于1的奇数 D.a为正整数 答案：C 解析： 2a 原式= (a-1)2(a+1)2_a+1 a-1(a-1)(a+1) 4a2 2 因为结果为正整数，且(a-1)(a+1)≠0，a≠0，所以a为大于1的奇数。 6计算(--（受2：(2）的结果是 16x2 答案： y 解析： 原式一 8x34y2 、16x2 y5 131/152 第18章分式 7先化简，再球值：（兰÷收1刀-（月，其中=公y=-1 y 答案：化简结果为 X 3 为x一刀值为2 解析： 原式=x+)2(x-)2 1x3 X x2y2 x+y(x-y)3y(x-y万 代入x 2y=-1,得： 1 3 1 2 -1×(-2+1) 易错点在进行分式的乘除混合运算时因弄错运算顺序而出错 x+y x 8、计算：(x+y)÷ xx+y 佳佳的计算过程如下： 解：x+y÷x之=+y)÷(之·1)=x+y xx+y 请问佳佳的计算结果对吗？如果不对，请改正。 x2 答案：不对；正确结果为 x+y 解析： 分式乘除混合运算应统一为乘法，从左到右计算。 原式=(x+y) xx x2 x+y x+y x+y 132/152 第18章分式 18.6分式的加减 知识点1同分母分式的加减 1.【2026金昌期中】计算2x-2 2 x-2+ 2-X 的结果为() 2x A.1 B. C.2 D.-2 X-2 答案： 解析： 2x-2,22x-22=2x-2-2_2x-4_2x-2=2 x-2+2-x=x-2-x-2=x-2=x-2 X-2 2【2025泰安期中已知M三7水=1 七1则() M A.M+N=1 B.M-N=1 C.M.N=1 D. =1 答案：B 解析：M=七 .t7,ws、 挡 -1,M+W=x+ 1 M-N=-x 1 x-1 x-1=x-1=1,M.N=x. x-1 1. Fx-1'x-1=(x-1)2 Mx 1 x x-1 Nx-1x-1x-11=x。故选B。 1 8【2026石家庄质检】若千的值大于6，则的取值范围为 答案：x<5且x≠1 x2 1x21x2-1(x+1)(x-1) 解析：1-x+x-1=1-x1-x1-x -(x-1) =-x-1 由题意得-x-1>-6,解得x<5,又1-x≠0即x≠1，.x<5且x≠1 4.【202临汾质检】在学习了“分式的加减法运算”后，李萌同学设计了一种计算流程图，如 图所示，但是张鹏同学在计算。”。一6。的过程中说：“我只要按照流程中的几个路径进 行计算即可。”请填写张鹏同学需要经历的路径： (填写序号)。 133/152 第18章分式 两个分 式相减 ① 判断分母 ② 是 是否相同 否 分母不变 通分，化为 分子相减 同分母分式 ③ 判断是否 为最简分 ⑦ 是 式或整式 否 结果 约分 答案：①④ 2b 2a 解析：b-ab-ab-a 2b-20_2b-@=2,所以张鹏同学需要经历的路径为①④。 b-a 5.【2026泸州期末】化简：（ +1-2+ t2-1 答案：2t-2 解析：原式= 2+121-2-2+1+2-1-2-2 t --2=2t-2。 t t t 知识点2异分母分式的加减 6.【2025永州期中】已知x是整数，且 2,2,2x+18 +3+3-x+x2-9 为整数，则所有符合条件的 x的值的和为() A.12 B.15 C.18 D.20 答案：A 解析： 2 2x+18 2(x-3) 2(x+3) 2x+18 一十 x+33-xx2-9-(x+3)(x-3) (x+3)x-3)(x+3)(x-3) 2x+6 2 x+3)x-3)x-3 x为整数，x≠3，x≠-3，且原式为整数，·.x-3=±1或±2，x=4或2或5或1， ·.所有符合条件的x的值的和为4+2+5+1=12，故选A。 7.老师布置了一道分式计算题：之一y 小强是这样解答的： x-y x+y 134/152 第18章分式 y x(x+y) r(x-y) _x2+xy-xy-y2x2-y2 x-y xty-(x-y)(x+y) =1. (c-yc+y）-(6x-yx+y） (x-y)(x+y) ① ② ③ ④ 他从第步开始出现错误（填序号）。 答案：② 解析：原式= x(x+y) y(x-y)x2+xy-xy+y2 x2+y2 x2+y2 (x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)x2-y2' 所以他从第②步开始出现错误。 1 1 1 8.计算2十++3x+2+2+5x+6 的结果为 3 答案：x2+3x 1 1 11,11 1 解析：原式= xx+1+x+1)(x+2)+x+2)x+3)xx+1+x+1x+2 1 111 3 3 x+2x+3xx+3x(x+3)x2+3x 9.【2026大同质检】化简： 6 1 (1) (x+3)(x-3)x-3 1 答案： x+3 6 x+3 6-x-3 3-x 1 解析：原式= x+3)(x-3) (x+3)(x-3)(x+3)(x-3)(x+3)x-3)x+3° x2-y2 4x(x-y)+y2 (2) x+y 2x-y 答案：一x 解折：原式=位+0-》，少-6x刃-（2x-)=X-y2x十y=-x x+y 2x-y (3) 1+1+2x+48 x-1x+1x2+1x4+1 8x7 答案：x8一1 x+1x-1,2x4x32x,2x,4x3 解折：原式=-+2-+十1+x*+12-++1十计1 135/152 第18章分式 2x3+2x2x3-2x4x34x34x34x7+4x34x7-4x38x7 4-1+x4-1+4+1=x4-1+4+1=x8-1+8-1=8-1 4x 10.【2025无锡期中】已知：P=x+1,Q= x+1 (1)当x>0时，比较P与Q的大小，并说明理由； 答案：P≥Q 4x 解析：：P=x+1,Q= x+1 P-Q=x+1-4=x+102-4xx-1)2 x+1 x+1 x+1。 (x-1) x>0,x+1>0,又：(x-1)2≥0， x+1 -≥0，P≥Q。 3Q (②)设y=P2,若x是整数，求整数y的值。 答案：整数y的值为3或-7或-1或-3 3 解析：y三x+1x+1x十1 5-2+5 2x3-2x-2(x+1)+5 x+1 x+1° :x,y均为整数，x+1=±1，±5，对应整数y的值为3或-7或-1或-3。 136/152 第18章分式 18.7分式的混合运算 知识点1分式的混合运算 1.【2026淄博期末】一个水池有甲、乙两个进水管，单独开甲、乙管各需要x小时、y小时可注满 水池，现两管同时打开，则注满水池的时间为() A+y小时 By小时 C Z 1 小时 D.二小时 xy x+y x+y xy 答案：B 解析：设水池注满后总水量为1，则甲，乙管的工作效率分别为 11 ,两管同时打开，注满 水池的时间为1÷（左+）=（时）。故选B x+y 2【2026平凉质检】老师在黑板上给出了一道分式计第氨：之+（是+，十> 沙沙解答过程： X 1 2-i*（x-+x+)=x+1x-五X-1）+x+1x-Dxx+1() X fx+1+x-1…(2） 2x2 …(3) (x+1)(x-1) 沙沙的解答过程是从开始出现错误的，正确的结果是 ,下列填在横线上的答案正确 的是() 1 A(1), B.(2),2 1 C(2),- 答案：A 解析：沙沙的解答过程是从(1)开始出现错误的。 正确的解答过程如下： 原式= x+1+x-1 X (x+1)(x-1)1 +10x-五)c+10x-DGx+10x-D× 2x 则正确的结果 是，故选A。 137/152 第18章分式 11 3.【2026秦皇岛期未】若（口-1）×写-xx-则口”表示的最简分式为一。 答案： 解斯：根报等式的能质可哈n=4之1子15子 x-45-x 3-x x2-2x-1 4.已知22x分 ÷P=1+1x (1)求P(化成最简形式)； (2)当x=n时，记P的值为P(n)。如：当x=2时，P的值为P(2)；当x=3时，P的值为P(3); ·请写出关于t的不等式4-2≥P(②)+P(3)+P(4)+P(⑤)+P(⑥+P(7)+P(8), 并求解集与最小整数解。 答案：(1)P= 1 5 2二文，（②解集为t之3行最小整数解为4 解析： @3文3 1=x9）=x-1 1-x (x-1)2 1-x 1 1 2x(x-3)x(x-1)x2-x° (2)P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8) 1 1 1 1 1 2×(2-)+3x(3-+4x4-)+5x(5-)+6x(6-)+7×(7-D 1 8×(8-1) 1,11,11,11,11,11.1117 =1-2+23+34+45+后6+67+78=1-8=8 十 t-23-t7 5 4 2≥82(t-2)-4(3-0≥7，解得t之3石 解集为t≥3。，最小整数解为4。 61 知识点2分式的化简求值 5.已知a-2b=0且b≠0，则(_b 6+1).Q22 a2的值为() A号 1 C.3 D.-1 答案：A 138/152 第18章分式 解析：原式-(。”6日片 ba-b.(a+b)(a-b)a (a+b)(a-b)a+b a2 a-b a2 a 2b+b3 a-2b=0,b≠0，a=2b。则原式=2b=2故选A。 6有这样一道题：计算-2x+1、x-1 x2-1x2+x 一x的值，其中x=2004。甲同学把“x=2004”错 抄成“x=2040”,但他的计算结果是正确的，请说明原因。 答案：原式化简后结果为0，与x取值无关 x2-2x+1x-1 (x-1)2 解析： xx+)-x=x-x=0 212+x二x=x+1x-1)x， :原式化简后结果为0，与x的取值无关， ∴甲同学把“x=2004”错抄成“x=2040”,其结果也是0，计算结果正确。 1【a25池州期末灯元化商：产(，月】.馬以不等式组只盐 x+1×(J 数解中选一个合适的x代入求值。 答案：化简结果为2十文当x=0时，值为1：当×-1时，值为号 2-x 解析： 2+1÷(3 x2-4x+4. +1-x+1) (x-2)2 3 (x-1)x+1) x+1 x+1 =x-2)2 4-x2 x+1-x+1 =(2-x)2 x+1 x+1(2+x)(2-x) 2-x Γ2+x 解不等式组+得-1<x≤2，不等式组的整数解为01,2。 :x+1≠0，(2+x)(2-x)≠0，x≠-1，且x≠±2，x=0或1。 当0时，原武1：当数1时，原式名品子 139/152 第18章分式 刷素养走向重高 a2b22,1 8,核心素养运算能力已知a,b,c是非零有理数，且满足a2-日-b,则(-二++ ,22ab、101 2ab-÷(ie7 一)÷ 0二等于。 答案： 202 解析：：ab2=C-b,÷a2b2=c-ab,a2b2-c=-ab, a a2b22 1, 2ab 2 c2- c a2b2+ c2 abc =- 2a2b2 2c -)2+ abc?abc2 )2 2(a2b2-c) abc abc2 (ab -2ab )2+ abc abc2 12 1 2 2ab 2c-2a2b2 2ab 2 ab c abc abc c a2b2 21 2ab2、 22ab、101 c2 abc)÷( b 一)÷ 12101 1 =-22101 =-2029 140/152 第18章分式 18.8负整数指数幂 知识点1负整数指数幂 1、若(x-3)°-2(2x-4)-1有意义，则x的取值范围是() A.x卡3 B.X≠2 C.x≠3或x≠2 D.x≠3且x≠2 答案：D 解析：：(x-3)°-2(2x一4)-1有意义，x-3≠0且2x-4≠0，x≠3且x≠2。故选D。 2、我们知道：21=2,22=4，…，210=1024，那么230接近于() A.10-10 B.10-9 C.10-8 D.10-7 答案：B 解析：210=1024≈1×103,2-30=(210)3≈(103)-3=10-9。故选B。 关键点拨：利用210=1024≈1×103进行估算是解题的关键。 1 3、若4m×8”=(宁)广9，则n的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：~43m×8”=(匀)9,26×23m=2,29m=29,9n=9,解得n=1。故选A。 3a 4、将2ab7写成不含分母的形式，其结果为 答案：3a(2a-b)2 知识点2负整数指数幂的相关计算 5【2026扬州期中】在数(-分3，(-2)3，(-之1，(-)中，最小的数是() A(32 B.(-2)2 c.(-2)1 D.(-2)-1 答案：C 解桥：（克=4，(-92=子（分1-2，（-21-2.2<4，小 11 最小的数是(-)1。故选C。 141/152 第18章分式 3ab-2 6、【2026益阳期末】计算： 2a-ib 2b3 答案： 3a2 7、【2026泉州质检】若实数m,n满足m2-m+3m2+3n=-1,则m-2-n°= 答案：3 1 解析：m2-m+3n2+3n=-1,m2-m+3n2+3n+1=0,(m2-m+年)+3(2+n+ 早-0，即0m-2}+30a+分2-0~(m2220,30a+220.m--0,n+0, 1 1 1 解得m-克0=子m3-0=(分》3-(-安”=41-3. 1 8、传统文化【2026吉林长春期末】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》，如图(1)所 示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将一4， -2,-1,2,3,4,6,7填入如图(2)所示的“幻方”中，部分数字已填入，则(a+b)2 的值为 ⑨ ①3 ⑧ 图(1) 图(2) 答案：25 解析：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x,则4x-x=-4-2-1+2+3+4+6+7, 3x=15,解得x=5,-4+a+b+4=5,a+b=5,(a+)2=25 思路分析：根据所有数字的总和及每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶 点上的数字之和相等，列出方程，求出中间正方形四个顶点上的数字之和，进而求出a+b的 值，即可求出答案。 9、【2025浦东质检】计算：(x-1-y-1)÷(x-2-y-2)-xy(x+y)1。 答案：0 解析：(x-1-y1)÷(x-2-y2)-xy(x+y)-1 142/152 第18章分式 -G)(位) G)[+” -1÷+y xy xy x+y xyxy=0 x+y x+y 10,计算：1-2+》1×a-°-西1(-1. 答案：3 解析：原式=2+3×1-3+1=2+3-3+1=3。 11、ap= (a≠0，p为正整数)，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数。例：4-2= 2 42 (1)计算：52=一；(-2)2=一。 ②如果2P=日那么p-一；如果a2-1 6那么a= (3)如果ap 36且a,p均为整数，求满足条件的a,p的取值。 答案： 11 (0254 解析：52= （-2 1 (2)3;±4 解桥：如果2日即2？那么=3)匆果a3石即02= 1 （±4)2， 那么a=士4。 (3)当a=36时，p=1;当a=6时，p=2;当a=-6时，p=2。 解析：由于a,p均为整数，所以当a=36时，p=1;当a=6时，p=2;当a=-6时，p=2。 归纳总结：对于负整数指数幂：aP=中(a≠0，p为正整数)，应注意：（①）a≠0；②当底 数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；③在混合运算中，始终要注 意运算的顺序。 143/152 第18章分式 18.9用科学记数法表示小于1的正数 知识点1科学记数法 1.【2026深圳期末】2025年5月19日，央视新闻发布某国产品牌实现3nm(即0.000000 003m)芯片研发设计突破。数0.000000003用科学记数法表示为() A.3×10-9 B.3×10-10 C.3×109 D.3×1010 答案：A 解析：0.000000003=3×10-9，故选A. 2.【2026遵义质检】清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来。苔花如米 小，也学牡丹开。”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向。袁枚所写的“苔花”很可能 是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为0.00000084米，0.00000084用科学记数 法可表示为() A.0.84×10-5 B.8.4×10-6 C.8.4×10-7 D.8.4×10-8 答案：C 解析：0.00000084=8.4×10-7，故选C。 3.【2026驻马店期末】“墙角数枝梅，凌寒独自开。遥知不是雪，为有暗香来。”出自宋代诗 人王安石的《梅花》。梅花的花粉直径约为0.000036m,用科学记数法表示为a×10m,则a, n的值分别为() A.3.6,-4 B.3.6,-5 C.0.36,4 D.36,5 答案：B,解析：0.000036m=3.6×105m,则a=3.6,n=-5,故选B。 1 4.某种分子的直径约为g000mm,将g000用科学记数法表示为a×10的形式，下列说法正 确的是() A.a,n都是负数 B.a是负数，n是正数 C.a,n都是正数 D.a是正数，n是负数 答案：D 解析： =0.000111…≈1.11×10-4，故a是正数，n是负数，故选D。 9000 144/152 第18章分式 5.【2026渝中期末】2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重 构技术提升光子雪崩非线性，成功将直径27nm(相当于0.000000027m)的纳米颗粒的光 学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础。数据0.000000 027用科学记数法可表示为一。 答案：2.7×10-8 解析：0.000000027=2.7×10-8，故答案为2.7×10-8。 知识点2还原用科学记数法表示的数 6.已知a=1.2×10-2,b=1.2×10-3,则数a,b在数轴上的位置大致是() a b b& A.-0.010 0.01 B.-0.0100.01 b b C.-0.01 00.01 D.-0.0100.01 答案：B 解析：a=1.2×10-2=0.012,b=1.2×10-3=0.0012,0<b<0.01<a,故选B。 7.山东大学某团队基于嫦娥四号月表辐射数据，首次发现地月之间存在低宇宙线辐射的“宇 宙线空腔”，空腔内的低能质子平均微分通量为2.1×10-3粒子/()。将2.1×10-3用小数表 示时，小数点后“0”的个数是一。 答案：2 解析：2.1×103=0.0021，将2.1×10-3用小数表示时，小数点后“0”的个数是2，故答 案为2。 知识点3用科学记数法表示的数的计算 8.【2025开封期末】红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛。某红外线 遥控器发出的红外线波长约为9.4×10-7m,则下列说法正确的是() A.9.4×10-7×10=9.4×106 B.9.4×10-7-1.4=8×10-7 C.9.4×10-7是8位小数 D.9.4×10-7是7位小数 答案：C 145/152 第18章分式 解析：9.4×10-7×10=9.4×10-6，故A选项错误，不符合题意；9.4×10-7-1.4×10-7= 8×10-7,故B选项错误，不符合题意；9.4×10-7=0.00000094是8位小数，故C选项 正确，符合题意；D选项错误，不符合题意，故选C。 9.已知1米=1×10纳米，一微型电子元件的直径约50000纳米，用科学记数法可以表示 成米。 答案：5×10-5 解析：50000纳米=(50000÷109)米=5×10-5米，故答案为5×10-5。 10.【2026苏州期中】水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子。 1个氢原子的质量约为1.674×10-27kg,一个氧原子的质量约为2.657×10-26kg,一个水分 子的质量大约是多少千克？ 答案：2.9918×10-26kg 解析：(1.674×10-27×2)+2.657×10-26=2.9918×10-26(kg) 答：一个水分子的质量大约是2.9918×10-26kg。 146/152 第18章分式 18.10分式方程及其解法 知识点1分式方程的定义 1【2026四川眉山期中】下列关于x的方程：@3，产-2，②片-3，@，1_“十1- 3 2-4 ④验+员5，同+2+1=0中，是分武方程的有() m n A.1个 B.2个C.3个 D.4个 答案：A 解折：方程02号-2，②3，国“，士号①始+片5的分得中都不含未 3 知数，不是分式方程：⑤121=0的分母中含有末知致，是分式方程，故选A 知识点2解分式方程 2.解分式方程1 1 5 3x-1=-2-6x 时，去分母变形正确的是（） A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 答案：A 解析：原方程两边同乘2(1-3x)得2(1-3x)+2=-5,即2-6x+2=-5。故选A。 3.解分式方程： 11 4 答案：无解 解析：方程两边同乘(x+1)(x-1),得x2+2x+1一4=x2-1,解得x=1。经检验，当x=1 时，(x+1)(x-1)=0,“原分式方程无解。 1 10 (2)x-52-10x+2 =0 答案：x=15 解析：去分母得x-5-10=0,解得x=15。经检验，x=15是原分式方程的解。 期中小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看 1 3= 2-x 147/152 第18章分式 (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； 答案：x=0 解析：方程两边同时乘(x-2)得5+3(x-2)=-1,解得x=0,经检验，x=0是原分式方 程的解。 (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是方程的增根是x=2,原分式方程无解。”请你求出原 分式方程中数“？”是多少。 答案：-1 解析：设数“？”为m。方程两边同时乘(x-2)得m+3(x-2)=-1。由于x=2是原分式方 程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2-2)=-1,解得m=-1,所以原分式方 程中数“？”是-1。 知识点3根据方程解的情况求字母的值或取值范围 5.【2026吉安期末】已知关于x的分式方程2c一2)x+3) +1的解满足-2<x<-1, 且k为整数，则符合条件的所有k值有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 解析：关于x的分式方程去分母得(x+3)2=k+(x-2)(x+3),整理得k=5x+15。-2< x<-1,5<k<10。k为整数，∴k=6或7或8或9，故选D。 6【2025周口期末】若关于的分式方程，2子3+4”没有蜡根，则m的值可以为 (写出一个即可)。 答案：1（答案不唯一） 解析：将分式方程两边都乘(x-4),得2=3(x-4)-m。当x-4=0时，x=4。把x=4 代入2=3(x-4)-m,解得m=-2,所以若原分式方程没有增根，则m≠-2。故答案为1 (答案不唯一)。 7.【2026保定期未】已知A= x2+xx2-1 x4x2-8x+16B=20 1-x (1)化简分式A; 148/152 第18章分式 答案：A= x2-4x x-1 解析：A=2+x。 x2-1 x(x+1)y(x-4)2_x(x-4)_x2-4x x-4x2-8x+16x-4(x+1)x-1)x-1x-1。 (2)若关于x的分式方程A+B=1的解是非负数，求m的取值范围。 19 答案：m之-2：且m≠2，m≠2 2 解折：结合①)可得A十8-1为-+2-2m-1,整理得2-红-心十2m-x-1, 9x-1+1-x 1+2m ∴.-4x-x=-1-2m,-5x=-1-2m,x= 5。:分式方程的解是非负数，x≥0， 1 19 且x1,x≠4牛纱0且+2m生2≠4，解得m且m2,m子 8小丽解分式方程1一云时，出现了错误，他的题过程知下 解：去分母得1-(x-3)=6x,…第一步 4 解得x=7…第二步 4 …原分式方程的解是x=7…第三步 (1)小丽的解答过程从第步开始出错，这一步应为 这一步的依据是 答案：一；2x+2-(x-3)=6x;等式的性质 解析：小丽的解答过程从第一步开始出错，这一步应为2x+2一(x一3)=6x,这一步的依据 是等式的性质。 (②)小丽的解答过程缺少的步骤是 答案：检验 解析：小丽的解答过程缺少的步骤是检验。 (3)请写出正确的解题过程。 答案：x=1 X-33x 解析：1- 2x+2x+1 去分母得2x+2-(x-3)=6x,解得x=1。经检验，x=1是原 方程的解，“原分式方程的解是x=1。 149/152 第18章分式 18.11分式方程与实际问题的综合 知识点分式方程的实际应用 1、【2026银川质检】实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克。如何处理 能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍。晓华根据这一情境中的数量关系列出 10 方程3×150150一， 则未知数x表示的意义是() A.增加的水量 B.减少的水量 C.加入的食盐量 D.减少的食盐量 答案：B 解析：由题意可得，未知数x表示的意义是减少的水量，故选B。 2、【2026聊城质检】为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行 全面更新改造。现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标。每施工一天，需 付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算， 给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程： 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成。 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是() A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 答案：C 解析：设完成这项工程的规定日期是x天。根据题意得 .1 1 、,x-5 5(+x+10)+x+10 解得x=10,检验：当x=10时，x(x+10)≠0，x=10是原分式方程的解。 完成这项工程的规定日期是10天， 方案①的费用为10×1.2=12（万元)， 方案③的费用为5×(1.2+0.5)+(10-5)×0.5=11（万元)。 11<12,在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是方案③。故选C。 150/152 第18章分式 3、现有甲、乙、丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表。 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 20 10 20 单价（元/千克) 15 20 25 商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价， 要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克。 答案：12.5 解析：设需再加入丙种糖x千克。根据题意得 15×20+20×10+25(20+x)15×20+20×10+25×20, +1 20+10+20+x 20+10+20 解得x=12.5,经检验，x=12.5是所列方程的解，且符合题意，需再加入丙种糖12.5千克。 4、【2026池州期末】在杭州市余杭区经济高质量发展大会上，Roád创始人兼CE0祝铭明 戴着一副AR+AI眼镜站在演讲台上。他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺 利完成了一场脱稿演讲。而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之 后，AI眼镜”也瞬间成为网络热词。请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视Pro”,因其宛如一台集摄像 头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，而成为爆款。某科技商店被 授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视Po”的标价贵700元，调查 发现，商店不做话动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买 “智视Pro”的数量相同 素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元 素材3 商店降价促销：“灵眸X”按标价的8折出售，“智视Pro”比标价优惠50元 问题解决 任务1求每副“灵眸X”和“智视Po”眼镜的标价 解：设每副“灵眸X”眼镜的标价为x元，则每副“智视Po”眼镜的标价为(x一700)元。 60003200 由题意得 x-700 解得x=1500,经检验，x=1500是原方程的解，且符合题意， 151/152 第18章分式 x-700=800 答：每副“灵眸X”眼镜的标价为1500元，每副“智视Po”眼镜的标价为800元。 任务2该公司最多能购买多少副“灵眸X”眼镜 解：设购买m副“灵眸X”眼镜，则购买(20-m)副“智视Pro”眼镜。由题意得 1500×0.8m+(800-50)(20-m)≤20000 .100 解得m≤9 m为正整数，∴m的最大值为11。 答：该公司最多能购买11副“灵眸X”眼镜。 152/152