5.1等可能性与等可能性条件下的概率（讲义，3知识5题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦等可能条件下的概率核心知识点，系统梳理等可能性概念、一次实验概率计算及两次实验概率（树状图法、列表法，含放回与不放回区别），通过定义解析、即学即练及题型分类（列举结果、直接计算、已知概率求结果数、统计图表结合）搭建学习支架。 资料特色在于结合生活实际问题（如设备分配利润、研学活动选择）设计分层练习，典例与变式巩固并重，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和数据意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

第五章 等可能条件下的概率 5.1 等可能性与等可能性条件下的概率 知识点一 等可能性 1. 一般地，设一个随机试验所有可能发生的结果有个，如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这个事件的发生是等可能的，其中的每个事件发生的概率都是。 即学即练 1．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 2．（2026·北京·二模）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 知识点二 一次实验下的概率 1.一般地，如果有一个试验有个等可能的结果，事件A包含其中的个结果，那么事件A发生的概率。 即学即练 1．（2026·黑龙江佳木斯·三模）某校九年级有10个班，每班50人，现要从全年级学生中随机抽取50人参加一项问卷调查，那么每个学生被抽到的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江丽水·模拟预测）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球为红球的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆北碚·二模）某校为学生开设了3门艺术类选修课和2门体育类选修课，从中随机选取一门选修课恰好是体育类选修课的概率是_________． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ (2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 知识点三 两次实验下的概率 1. 树状图法：适用于两步及以上试验，直观地显示了一个随机事件在一次试验中所有可能的结果。 2. 列表法：适用于两步试验，清晰罗列所有等可能结果，做到不重不漏。 3. 放回与不放回试验区别 有放回：每次试验总结果数不变，各次试验相互独立； 不放回：每次试验后总结果数减少，前后试验相互影响。 即学即练 1．（2026·江苏徐州·二模）一个不透明的盒子中装有2个红球和若干个白球，这些小球除颜色外均相同，将盒中小球摇匀，从中随机摸出一个小球是白球的概率为 (1)白球的数量是 个； (2)从盒中任意摸出两个球（不放回），用画树状图或列表的方法，求这两个小球是一红一白的概率． 2．（2026·云南文山·一模）丘北普者黑国家风景区、广南坝美世外桃源旅游景区和西畴国家石漠公园都是文山州的著名旅游景区．某旅行社推出“盲盒旅行活动”，将这三个景区的宣传图分别印在三张卡片的正面上（除宣传图外，其余完全相同），将三张卡片放在一个不透明的盒子中，游客从中随机抽取一张卡片，卡片正面是哪个景区，就到哪个景区去游玩．前一名游客确定游玩的景区后，将卡片放回盒中，再由下一名游客抽取．小张和小李先后抽取卡片，记小张抽到的景区为x，小李抽到的景区为y． (1)如图，分别用A、B、C表示三个景区，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小张和小李游玩的景区互不相同的概率P． 3．（2026·云南红河·一模）聚焦青少年红色教育，以故事为纽带、以行走为载体，让红色基因融入青春血脉．某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的爱国主义研学活动，策划了三个研学基地供学生选择：朱德旧居陈列室，张永和纪念馆，张冲故居，且每个基地被选择的可能性相等．记选择朱德旧居陈列室为A，选择张永和纪念馆为B，选择张冲故居为C，每名学生只能任意选择一个基地．记小刚的选择为，小红的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小刚和小红选择同一基地的概率． 题型01 列举简单随机事件的所有等可能结果 / 有序枚举，做到不重不漏；区分有序、无序试验，规范罗列。 典｜例｜精｜析 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 2．（25-26九年级上·全国·单元复习）下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 题型02 直接计算简单事件概率 / 套用概率公式：，直接代入计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·广东深圳·三模）不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）现有5张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，随机抽一张卡片，抽到数字5的概率为______． 3．（25-26七年级下·广东茂名·期中）在“重走信宜路，追寻家国情”研学活动中，导游准备了一个不透明的袋子，里面装有除颜色外完全相同的4个球，其中红色代表“怀乡起义馆”，黄色代表“怀乡虎跳峡”，蓝色代表“北界林砺儒故居”，绿色代表“池洞莲花湖”，学生通过摸球的方式，分批前往相应的研学地点． (1)小明从袋子中随机摸出一个球，摸到红球是______事件． A．不可能    B．必然    C．随机 (2)小明从袋子中随机摸出一个球． ①小明摸到黄球的概率是______． ②小明摸到红球或蓝球的概率是多少？ 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东东莞·二模）小亮制作了5张完全相同的代表东莞特色的卡片，卡片内容分别为：园林·可园，非遗·莞香，民俗·龙舟，美食·烧鹅、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为特产·荔枝的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）确定了“”“豆包”“”三个主题，小红随机选择其中一个主题，她恰好选中“”的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·三模）深港澳青少年创意设计大赛顺利收官，某参赛小组有4名深圳学生、3名港澳学生，随机抽取1名选手展示作品，恰好抽到港澳学生的概率为______． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）从，，，，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是______． 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同．求： (1)一张奖券中特等奖的概率； (2)一张奖券中奖的概率． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）盛唐时期涌现了大量杰出的诗人，他们以独特的风格和题材共同塑造了“盛唐气象”．某社团开展唐诗朗诵赛，社团社长在一个不透明的箱子中放入五张分别写着《蜀道难》《将进酒》《潼关吏》《蜀相》《登岳阳楼》的卡片，这些卡片除所写文字不同外其余都相同，参加朗诵赛的每位同学都从箱子里这五张卡片中随机抽出一张，根据卡片上所写的唐诗进行朗诵，该校的小君参加了此次比赛． (1)事件“小君摸到写着‘《将进酒》’的卡片”为______事件，事件“小君摸到写着‘《登高》’的卡片”为______事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)已知《蜀道难》和《将进酒》的作者是李白，《潼关吏》《蜀相》《登岳阳楼》的作者是杜甫，求小君朗诵的唐诗作者是杜甫的概率． 7．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，这是芳芳设计的自由转动的转盘，平均分成10个相等部分，上面写有10个有理数，想想看，转得下列各数的概率是多少？ (1)转得正数； (2)转得负数； (3)转得正整数； (4)转得绝对值小于6的数． 题型03 已知概率，求事件包含的结果数或总结果数 / 依托概率公式列方程逆算，结果结合题意取正整数。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西太原·三模）在一个不透明盒子里有20个除颜色外完全相同的小球，其中白球有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为．由此可以推算出为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2026·江苏泰州·二模）小明通过大量的点球射门练习，用频率估计他射中的概率为0.8，则他平均练习100次能射进球门约为__________次． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川乐山·一模）已知不透明的口袋中有两个红球和若干个白球，红球和白球除颜色外大小形状都相同．若随机摸出个球，摸到红球的概率是，则口袋中白球的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2026·重庆·一模）一个不透明的盒子中装有15个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其充分摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记录颜色后放回．通过大量重复试验后发现摸到黄球的频率稳定在左右，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个袋中有20个球，分别为红球、蓝球（除颜色外完全相同）．经反复试验，小明摸出红球的概率为，请估算袋中蓝球的数量为______个． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）七年级举办“我是数学解题小老师”主题活动，现场设置了幸运抽奖环节．盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别，随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． (1)求盒中黑球的个数； (2)若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)直接写出袋中红球的个数_____； (2)求从袋子中摸出一个球是白球的概率； (3)在袋中再放入10个球（其中有5个黄球），求从袋中的球中摸出一个球是黄球的概率． 题型04 利用列表法或树状图法计算概率 / 两步试验：列表/树状图；三步及以上：只用树状图；区分放回、不放回抽样。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南三门峡·三模）爸爸手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 3．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南平顶山·三模）开封作为宋韵文化名城，非遗资源丰富.萱萱和辰辰计划在开封深度体验非遗，从如图所示的三项国家级非遗中（分别为汴绣、朱仙镇木版年画、灯彩），各随机选择一项参与体验，则两人选中同一非遗项目体验的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________． 3．（2026·吉林四平·二模）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率． 4．（2026·江苏盐城·一模）2026年4月江苏省首次在全省义务教育阶段推行春假，旨在打破传统课堂边界，引导学生走出书本、亲近自然，促进亲子互动、研学成长． 春假期间，学校建议同学们利用假期自主到以下三个景区开展亲子研学活动． A．荷兰花海；    B．中华麋鹿园；    C．中华水浒园． 小明家和小丽家各自从中随机选择一个景区作为本次春假研学的第一站． (1)小明家选择景区的概率是______； (2)用列表或画树状图的方法，求小明家和小丽家选择相同景区的概率． 5．（2026·陕西榆林·三模）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行抽奖活动，凡在超市一次性消费满168元的顾客可获得一次抽食用油的机会，共有、、三个品牌的食用油可选，每个品牌均有六个种类的食用油：1．菜籽油，2．花生油，3．葵花籽油，4．大豆油，5．玉米油，6．橄榄油．活动规则如下：每位参与活动的顾客先从标有、、的三支签里随机抽取一支，记下字母后放回，所抽字母即代表所选品牌；抽完签的顾客再掷一枚质地均匀的正六面体骰子（六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6）一次，向上一面的点数即代表所选食用油的种类．参与活动的顾客均可免费获得一桶所选品牌及种类的食用油． (1)若从标有、、的三支签里随机抽取一支，则抽到标有签的概率为__________； (2)若张阿姨这天参与了此次活动，请你用树状图或列表的方法，求张阿姨免费获得一桶品牌的花生油的概率． 6．（2026·吉林长春·一模）生活常识：日常使用电池时，严禁将有电电池与没电电池混合搭配使用，混用容易出现漏液、损坏电器、发热危险等安全隐患．家用电池检测仪可以快速区分电池电量状态．现有2节有电电池、和1节没电电池B，所有电池除电量状态外无其他区别．使用家用电池检测仪，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测．用列表法或树状图法，求两次检测电池电量状态相同的概率． 7．（2026·吉林长春·二模）如图，每个小方框代表一个座位，横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有人入座，甲从第二排剩余的3个座位中随机选择一个入座，乙从第三排剩余的3个座位中随机选择一个入座．用画树状图（或列表）的方法，求甲和乙刚好坐在同一列的概率． 题型05 概率与统计图表结合 / 提取图表频数、样本总量，代入概率公式求解。 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖南长沙·三模）某中学计划在月日国际数学日，举办一场以数学及相关文化知识为背景的学科主题日活动，获得了同学们的积极响应．在第一轮预赛中，数学组老师随机抽取了部分同学的比赛成绩进行了统计，按成绩分为如下组（满分分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图表． 组别 成绩x（单位：分） 频数    根据上述提供的信息，解答下列问题： (1)本次采用的调查方式是___________（填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量为___________，___________； (2)若成绩在分及以上为“优秀”，求“优秀”的部分在扇形统计图中所对应的圆心角的度数； (3)已知比赛成绩不低于分的名同学中，有名男生和名女生，数学组老师要从这名同学中随机选取名同学进行采访，请用画树状图或列表的方法求恰好选到名男生和名女生的概率． 2．（2026·江苏盐城·三模）2026年春节档某影院热映四部影片：A《飞驰人生3》、B《镖人：风起大漠》、C《惊蛰无声》、D《熊出没•年年有熊》．为了解七年级学生对这四部电影的喜爱情况，学校随机抽取部分七年级学生开展问卷调查（每人限选一项）．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．      请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次一共抽查了 名学生，A类所对应圆心角的度数为 °； (2)将条形统计图补充完整，标注D类对应的人数； (3)若七年级学生苗苗从中随机选择两部观看，求她所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的概率． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南长沙·二模）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 n 8 7 (1)表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数__________； (3)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用直接列举法或树状图法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 2．（2026·广东江门·三模）为纪念抗战胜利80周年、庆祝国庆76周年，某校计划通过实践作业培育中学生的社会主义核心价值观，加强青少年思想道德建设，引导学生厚植对祖国和家乡的情感．该校设计了6项实践作业：分别是“我与国旗合个影”“祝福话语我来讲”“手绘国庆七彩梦”“共访红色足迹”“家乡名片亮出来”“伟大精神我传承”．近期，学校随机调查了部分学生的作业完成情况，按每名学生完成的作业数量分成4个等级：A级：完成0-1项，B级：完成2-3项，C级：完成4-5项，D级：完成6项．并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： (1)本次共调查了____名学生，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为_____°； (3)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人参加学校作业展示，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 3．（2026·广东广州·二模）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177    两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示： 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 乙队 177 b (1)表中________，________； (2)从甲、乙两队中挑选两位身高达到的队员担任队长，请求出这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的概率． 4．（2026·宁夏银川·二模）自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．甲、乙两学校在九年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生成绩进行了整理和分析． 信息一：绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：A组：，B组：，C组：，D组：） 信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是：80，82.5，82.5，85，85.5，89，89.5，82.5，85． 信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表所示． 平均数 中位数 众数 甲校 83.2 a 82.5 乙校 80.6 81 80 (1)表格中___________． (2)扇形统计图中D组所在的圆心角度数为___________． (3)在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中，___________的排名更靠前？ (4)甲校准备从取得优异成绩的D组学生里选取成绩前四名的学生（前四名学生成绩相同，3名男生，1名女生）当中抽取2人参加市级比赛，请用列表或者画树状图的方法计算抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 等可能条件下的概率 5.1 等可能性与等可能性条件下的概率 知识点一 等可能性 1. 一般地，设一个随机试验所有可能发生的结果有个，如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这个事件的发生是等可能的，其中的每个事件发生的概率都是。 即学即练 1．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 2．（2026·北京·二模）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 B 181 【分析】根据表格得到每增加一台设备的利润增量，分类讨论所有分配情况，计算总利润后比较即可得到最大值． (1) 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台，只需比较各经销商分得第二台时的利润增量即可得到结果； (2) 将7台设备按分配的经销商数量分类讨论，分别计算不同分配情况下的最大总利润，比较后得到最大值． 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此一家分得2台，其余三家各分得1台． 计算各经销商第二台设备的利润增量： 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， ， 应向经销商分配2台设备． 解：按分配经销商的数量分类讨论： ① 分配给1家经销商：最大利润为经销商7台的利润，即（万元）； ② 分配给2家经销商：最大总利润为1台加6台，即（万元）； ③ 分配给3家经销商：最大总利润为1台，2台，4台，即（万元）； ④ 分配给4家经销商：四家各分1台，剩余3台选择增量最大的3台，总利润为（万元）； 比较所有情况的总利润：， 因此总利润最大值为万元． 知识点二 一次实验下的概率 1.一般地，如果有一个试验有个等可能的结果，事件A包含其中的个结果，那么事件A发生的概率。 即学即练 1．（2026·黑龙江佳木斯·三模）某校九年级有10个班，每班50人，现要从全年级学生中随机抽取50人参加一项问卷调查，那么每个学生被抽到的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数和抽取的人数计算每个学生被抽到的概率． 【详解】解：总人数为 人，抽取 人， 每个学生被抽到的概率为 ． 2．（2026·浙江丽水·模拟预测）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球为红球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解 【详解】解：∵袋子中装有2个红球和5个白球，所有球除颜色外都相同， ∴所有等可能摸球结果的总数为，摸到红球的结果数为2， 根据概率公式，得摸出红球的概率为 3．（2026·重庆北碚·二模）某校为学生开设了3门艺术类选修课和2门体育类选修课，从中随机选取一门选修课恰好是体育类选修课的概率是_________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，所有选修课的总数为，其中体育类选修课的数量为2， 故根据概率公式可得从中随机选取一门选修课恰好是体育类选修课的概率为． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ (2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 【答案】(1) (2)5个 【分析】（1）摸到红球的概率为袋中红球的总数除以袋中所有球的总数； （2）由题意可得，从袋中取走白球的数量和又放入红球的数量相等，用概率计算出改变后袋中红球的数量，然后减去原来红球的数量，就可得出从袋中取走白球的数量． 【详解】（1）解：不透明的袋子中一共有个球，其中红球有3个，故从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率； （2）解：要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，则袋中红球应有个， 红球增加了个， 由题意可得，取走白球的个数为红球增加的个数，故从袋中取走了5个白球． 知识点三 两次实验下的概率 1. 树状图法：适用于两步及以上试验，直观地显示了一个随机事件在一次试验中所有可能的结果。 2. 列表法：适用于两步试验，清晰罗列所有等可能结果，做到不重不漏。 3. 放回与不放回试验区别 有放回：每次试验总结果数不变，各次试验相互独立； 不放回：每次试验后总结果数减少，前后试验相互影响。 即学即练 1．（2026·江苏徐州·二模）一个不透明的盒子中装有2个红球和若干个白球，这些小球除颜色外均相同，将盒中小球摇匀，从中随机摸出一个小球是白球的概率为 (1)白球的数量是 个； (2)从盒中任意摸出两个球（不放回），用画树状图或列表的方法，求这两个小球是一红一白的概率． 【答案】(1)2 (2)这两个小球是一红一白的概率为 【分析】（1）设白球的数量为个，根据题意列方程即可求解； （2）画出树状图，可得出所有等可能的情况数，找出一红一白的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：设白球的数量为个， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴白球的数量是2个； （2）解：画树状图如图： ∵所有等可能的情况数有12种，其中恰为一个红球和一个白球的情况有8种， ∴两次摸出的球颜色不相同的概率为=． 2．（2026·云南文山·一模）丘北普者黑国家风景区、广南坝美世外桃源旅游景区和西畴国家石漠公园都是文山州的著名旅游景区．某旅行社推出“盲盒旅行活动”，将这三个景区的宣传图分别印在三张卡片的正面上（除宣传图外，其余完全相同），将三张卡片放在一个不透明的盒子中，游客从中随机抽取一张卡片，卡片正面是哪个景区，就到哪个景区去游玩．前一名游客确定游玩的景区后，将卡片放回盒中，再由下一名游客抽取．小张和小李先后抽取卡片，记小张抽到的景区为x，小李抽到的景区为y． (1)如图，分别用A、B、C表示三个景区，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小张和小李游玩的景区互不相同的概率P． 【答案】(1)一共有9种 (2) 【分析】（1）根据列表法表示即可； （2）求解出小张和小李游玩的景区互不相同的情况数，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意列表如下： A B C A B C 如表所示，所有可能出现的结果为： ，，，，，，，，， 它们出现的可能性相等，一共有9种． （2）解：由（1）知，共有9种等可能出现的结果， 其中小张和小李游玩的景区互不相同的情况为： 、、、、、，共6种结果． ∴． ∴小张和小李游玩的景区互不相同的概率为． 3．（2026·云南红河·一模）聚焦青少年红色教育，以故事为纽带、以行走为载体，让红色基因融入青春血脉．某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的爱国主义研学活动，策划了三个研学基地供学生选择：朱德旧居陈列室，张永和纪念馆，张冲故居，且每个基地被选择的可能性相等．记选择朱德旧居陈列室为A，选择张永和纪念馆为B，选择张冲故居为C，每名学生只能任意选择一个基地．记小刚的选择为，小红的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小刚和小红选择同一基地的概率． 【答案】(1)共9种等可能的结果 (2) 【分析】（1）通过列表即可得出所有可能结果数； （2）从（1）可知小刚和小红选择同一基地的结果数，然后用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： A B C A B C 那么共有9种等可能的结果； （2）解：从（1）可知，共有9种等可能的结果，小刚和小红选择同一基地的结果有3种，那么小刚和小红选择同一基地的概率为． 题型01 列举简单随机事件的所有等可能结果 / 有序枚举，做到不重不漏；区分有序、无序试验，规范罗列。 典｜例｜精｜析 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 【答案】10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 2．（25-26九年级上·全国·单元复习）下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 【答案】(1)4种 (2)3种 (3)3种 【分析】本题主要考查了通过列表来列出所有可能的结果，并根据不同的事件找到符合要求的结果的种数．在列表时注意，首行首列必须标清楚第一堆和第二堆所有的数字，再在表格中用表示出每个结果． （1）根据表中的结果判断即可； （2）根据表中的结果判断即可； （3）根据表中的结果判断即可． 【详解】（1）解：所有可能的结果列表如下：(用表示第一堆的数为x，第二堆的数为y） 1 4 6 2 5 共6种等可能性结果． 有奇数的结果共有4种，分别是、、、． （2）和是偶数的结果有3种，分别是、、． （3）数字的乘积大于10的结果有3种，分别是、、． 题型02 直接计算简单事件概率 / 套用概率公式：，直接代入计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·广东深圳·三模）不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率公式计算简单随机事件的概率，先找到所有可能出现的结果数、所求事件所有可能出现的结果数，再计算即可求解． 【详解】解：∵盒子中共有5个完全相同的小球， ∴总共有5种可能的摸球结果，并且发生的可能性都相等， 而数字为奇数的是1，3，5，共有3种符合要求的结果， ∴摸出的小球上面的数字是奇数的概率是． 2．（2026·浙江台州·二模）现有5张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，随机抽一张卡片，抽到数字5的概率为______． 【答案】/ 【分析】根据等可能事件的概率计算公式，先确定所有等可能的结果总数，再确定抽到数字5的结果数，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，随机抽取1张卡片，所有等可能的结果共有种，其中抽到数字的结果只有种， ∴抽到数字5的概率为． 3．（25-26七年级下·广东茂名·期中）在“重走信宜路，追寻家国情”研学活动中，导游准备了一个不透明的袋子，里面装有除颜色外完全相同的4个球，其中红色代表“怀乡起义馆”，黄色代表“怀乡虎跳峡”，蓝色代表“北界林砺儒故居”，绿色代表“池洞莲花湖”，学生通过摸球的方式，分批前往相应的研学地点． (1)小明从袋子中随机摸出一个球，摸到红球是______事件． A．不可能    B．必然    C．随机 (2)小明从袋子中随机摸出一个球． ①小明摸到黄球的概率是______． ②小明摸到红球或蓝球的概率是多少？ 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】（1）根据随机事件的定义解答即可； （2）直接根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：小明从袋子中随机摸出一个球，摸到红球是随机事件； （2）解：①小明摸到黄球的概率是； ②小明摸到红球或蓝球的概率是． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东东莞·二模）小亮制作了5张完全相同的代表东莞特色的卡片，卡片内容分别为：园林·可园，非遗·莞香，民俗·龙舟，美食·烧鹅、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为特产·荔枝的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：共有5张卡片， 从中任意抽出一张卡片，共有5种等可能的结果， 其中卡片为特产·荔枝的只有1种结果， 抽得卡片为特产·荔枝的概率为． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）确定了“”“豆包”“”三个主题，小红随机选择其中一个主题，她恰好选中“”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵总共有3个等可能的选择结果，恰好选中“”的结果只有1种， ∴她恰好选中“”的概率是 ． 3．（2026·广东深圳·三模）深港澳青少年创意设计大赛顺利收官，某参赛小组有4名深圳学生、3名港澳学生，随机抽取1名选手展示作品，恰好抽到港澳学生的概率为______． 【答案】 【详解】解：参赛小组总人数为人， 其中港澳学生人数为人， ∴恰好抽到港澳学生的概率为. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）从，，，，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是______． 【答案】 【分析】先根据有理数的定义，确定这5个数中有理数的个数，再根据概率公式计算抽到有理数的概率． 【详解】解：在，，，，这个数中， 根据有理数的定义，有理数包括整数和分数，可得有理数为，，，共个， 根据概率公式，抽到有理数的概率为． 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同．求： (1)一张奖券中特等奖的概率； (2)一张奖券中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵共准备了100张奖券，设特等奖1个， ∴一张奖券中特等奖的概率为； （2）解：∵共准备了100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个， ∴一张奖券中奖的概率为． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）盛唐时期涌现了大量杰出的诗人，他们以独特的风格和题材共同塑造了“盛唐气象”．某社团开展唐诗朗诵赛，社团社长在一个不透明的箱子中放入五张分别写着《蜀道难》《将进酒》《潼关吏》《蜀相》《登岳阳楼》的卡片，这些卡片除所写文字不同外其余都相同，参加朗诵赛的每位同学都从箱子里这五张卡片中随机抽出一张，根据卡片上所写的唐诗进行朗诵，该校的小君参加了此次比赛． (1)事件“小君摸到写着‘《将进酒》’的卡片”为______事件，事件“小君摸到写着‘《登高》’的卡片”为______事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)已知《蜀道难》和《将进酒》的作者是李白，《潼关吏》《蜀相》《登岳阳楼》的作者是杜甫，求小君朗诵的唐诗作者是杜甫的概率． 【答案】(1)随机，不可能 (2) 【分析】（1）根据题干判断即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：社团社长在一个不透明的箱子中放入五张分别写着《蜀道难》《将进酒》《潼关吏》《蜀相》《登岳阳楼》的卡片， ∴事件“小君摸到写着‘《将进酒》’的卡片”为随机事件，事件“小君摸到写着‘《登高》’的卡片”为不可能事件； （2）解：∵《蜀道难》和《将进酒》的作者是李白，《潼关吏》《蜀相》《登岳阳楼》的作者是杜甫， ∴P（小君朗诵的唐诗作者是杜甫）． 7．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，这是芳芳设计的自由转动的转盘，平均分成10个相等部分，上面写有10个有理数，想想看，转得下列各数的概率是多少？ (1)转得正数； (2)转得负数； (3)转得正整数； (4)转得绝对值小于6的数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据转盘共有5个正数求解概率即可； （2）根据转盘共有4个负数求解概率即可； （3）根据转盘共有4个正整数求解概率即可； （4）根据转盘共有6个绝对值小于6的数求解概率即可． 【详解】（1）解：因为转盘中有10个数，正数有1，，6，8，9，共5个， 所以转得正数的概率； （2）解：因为转盘中有10个数，负数有，，，，共4个， 所以转得负数的概率； （3）解：因为转盘中有10个数，正整数有1，6，8，9，共4个， 所以转得正整数的概率； （4）解：因为转盘中有10个数，绝对值小于6的数有0，1，，，，，共6个， 所以转得绝对值小于6的数的概率． 题型03 已知概率，求事件包含的结果数或总结果数 / 依托概率公式列方程逆算，结果结合题意取正整数。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西太原·三模）在一个不透明盒子里有20个除颜色外完全相同的小球，其中白球有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为．由此可以推算出为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】大量重复试验中频率稳定于概率，据此得到摸到白球的概率，再根据概率公式列方程求解即可，解题关键是掌握频率估计概率的性质． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，摸到白球的频率为， ∴可估计摸到白球的概率为， 由题意得，总球数为，白球数为， ∴， 解得． 2．（2026·江苏泰州·二模）小明通过大量的点球射门练习，用频率估计他射中的概率为0.8，则他平均练习100次能射进球门约为__________次． 【答案】80 【分析】本题考查用频率估计概率的应用，解题思路为利用总练习次数乘射中的概率，即可得到射中次数的估计值． 【详解】根据题意，总练习次数为次，射中的概率估计值为，则射中次数约为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川乐山·一模）已知不透明的口袋中有两个红球和若干个白球，红球和白球除颜色外大小形状都相同．若随机摸出个球，摸到红球的概率是，则口袋中白球的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据摸到红球的概率公式：红球个数总球数摸到红球的概率，设白球个数为，列出方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球的个数为， 口袋中有个红球， 口袋中总球数为个， 摸到红球的概率为，且概率等于所求情况数除以总情况数， ， 解得， 经检验符合题意， 口袋中白球的个数是个． 2．（2026·重庆·一模）一个不透明的盒子中装有15个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其充分摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，记录颜色后放回．通过大量重复试验后发现摸到黄球的频率稳定在左右，估计盒子中黄球的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率稳定后可用来估计概率，再结合概率公式计算即可得到盒子中黄球的估计个数 【详解】∵大量重复试验后摸到黄球的频率稳定在左右， ∴估计摸到黄球的概率是， ∵盒子中总共有15个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）一个袋中有20个球，分别为红球、蓝球（除颜色外完全相同）．经反复试验，小明摸出红球的概率为，请估算袋中蓝球的数量为______个． 【答案】14 【分析】先根据概率的性质求出摸出蓝球的概率，再根据概率公式变形计算得到袋中蓝球的数量． 【详解】解：摸出篮球的概率为：， 袋中蓝球的数量为：（个）． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）七年级举办“我是数学解题小老师”主题活动，现场设置了幸运抽奖环节．盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别，随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． (1)求盒中黑球的个数； (2)若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 【答案】(1)盒中黑球的个数为7个 (2)加入的红球个数为4个 【分析】（1）根据红球的概率求出盒子中一共装有球的个数，即可解决问题； （2）根据摸到黑球的概率为，先算出球的总个数，再计算加入的红球的数量即可． 【详解】（1）解：∵摸到红球的概率为，盒子中装有8个红球， ∴盒子中一共装有球（个）， ∴盒中黑球的个数为（个）， 答：盒中黑球的个数为7个； （2）加入若干红球后盒子中一共装有的球为（个） ∴盒子中新加入红球的个数为（个） 答：加入的红球个数为4个． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)直接写出袋中红球的个数_____； (2)求从袋子中摸出一个球是白球的概率； (3)在袋中再放入10个球（其中有5个黄球），求从袋中的球中摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)30 (2) (3) 【分析】本题考查了概率的基本计算，解题的关键是利用“概率所求情况数总情况数”，结合题中数量关系逐步求解． （1） 利用红球概率与总球数直接计算红球个数； （2） 先求出黄球与白球总数，再根据黄球与白球的数量关系列方程求白球个数，最后计算白球概率； （3） 先算出原有黄球个数，再加上新增黄球个数，除以新的总球数得到概率． 【详解】（1）解：． （2）解：设白球有个，则黄球有个， 根据题意，得， 解得． 摸出白球的概率为：． 答：从袋子中摸出一个球是白球的概率为. （3）解：原黄球个数：， 加入5个黄球后，黄球总数：， 总球数：， 摸出黄球的概率为：． 答：从袋中摸出一个球是黄球的概率为． 题型04 利用列表法或树状图法计算概率 / 两步试验：列表/树状图；三步及以上：只用树状图；区分放回、不放回抽样。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南三门峡·三模）爸爸手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题关键是先求出所有可能的出牌组合情况，再找出爸爸出的牌面数字比小军大的组合情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】根据题意，列表如下：     小军 爸爸 由表格可知共有9种等可能的结果，其中爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的结果有，，共种，故所求概率为． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 3．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南平顶山·三模）开封作为宋韵文化名城，非遗资源丰富.萱萱和辰辰计划在开封深度体验非遗，从如图所示的三项国家级非遗中（分别为汴绣、朱仙镇木版年画、灯彩），各随机选择一项参与体验，则两人选中同一非遗项目体验的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列举出所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：将三项非遗：汴绣、朱仙镇木版年画、灯彩分别记为A、B、C， 根据题意，画树状图如解图： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中萱萱和辰辰两人选中同一非遗项目体验的结果有3种，所以两人选中同一非遗项目体验的概率为． 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查列表法或画树状图求概率．根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示， 根据题意可列出表格如下： 第一个第二个 A A — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果， 小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为． 故答案为：． 3．（2026·吉林四平·二模）据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率． 【答案】抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 【分析】需要通过列表法或树状图法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果，注意抽取两张不考虑顺序，避免重复计数，再根据概率公式求出符合条件的事件概率． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，符合条件的是AC或者CA，共2种， ∴抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 ． 4．（2026·江苏盐城·一模）2026年4月江苏省首次在全省义务教育阶段推行春假，旨在打破传统课堂边界，引导学生走出书本、亲近自然，促进亲子互动、研学成长． 春假期间，学校建议同学们利用假期自主到以下三个景区开展亲子研学活动． A．荷兰花海；    B．中华麋鹿园；    C．中华水浒园． 小明家和小丽家各自从中随机选择一个景区作为本次春假研学的第一站． (1)小明家选择景区的概率是______； (2)用列表或画树状图的方法，求小明家和小丽家选择相同景区的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：有三个景区，选择它们的概率等可能分布， 所以； （2）方法一：用表格列出所有可能的结果： A B C A B C 由表格可知，共有9种可能的结果，并且它们是等可能的，“小明家和小丽家选择相同景区”记为事件D，它的发生有3种． ． 答：小明家和小丽家选择相同景区的概率为． 方法二：树状图法 由图可知，共有9种可能的结果，并且它们是等可能的，“小明家和小丽家选择相同景区”记为事件D，它的发生有3种． ． 答：小明家和小丽家选择相同景区的概率为． 5．（2026·陕西榆林·三模）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行抽奖活动，凡在超市一次性消费满168元的顾客可获得一次抽食用油的机会，共有、、三个品牌的食用油可选，每个品牌均有六个种类的食用油：1．菜籽油，2．花生油，3．葵花籽油，4．大豆油，5．玉米油，6．橄榄油．活动规则如下：每位参与活动的顾客先从标有、、的三支签里随机抽取一支，记下字母后放回，所抽字母即代表所选品牌；抽完签的顾客再掷一枚质地均匀的正六面体骰子（六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6）一次，向上一面的点数即代表所选食用油的种类．参与活动的顾客均可免费获得一桶所选品牌及种类的食用油． (1)若从标有、、的三支签里随机抽取一支，则抽到标有签的概率为__________； (2)若张阿姨这天参与了此次活动，请你用树状图或列表的方法，求张阿姨免费获得一桶品牌的花生油的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用简单概率公式计算即可； （2）根据题意画出树状图，求出所有等可能结果数和符合条件的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从标有、、的三支签里随机抽取一支，共有3种等可能结果， 抽到标有签有1种结果， 则抽到标有签的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 则所有等可能的情况数有18种，其中得到B品牌的花生油的结果有1种， 因此，张阿姨免费获得一桶B品牌的花生油的概率为． 6．（2026·吉林长春·一模）生活常识：日常使用电池时，严禁将有电电池与没电电池混合搭配使用，混用容易出现漏液、损坏电器、发热危险等安全隐患．家用电池检测仪可以快速区分电池电量状态．现有2节有电电池、和1节没电电池B，所有电池除电量状态外无其他区别．使用家用电池检测仪，从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测．用列表法或树状图法，求两次检测电池电量状态相同的概率． 【答案】 【分析】根据列表法可进行求解概率． 【详解】解：由题意可列表如下： B ／ ／ B ／ 由表可知：从中随机取出一节电池检测后不放回，再随机取一节进行检测的所有等可能情况有种，其中两次检测电池电量状态相同的情况有种， 所以两次检测电池电量状态相同的概率为． 7．（2026·吉林长春·二模）如图，每个小方框代表一个座位，横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有人入座，甲从第二排剩余的3个座位中随机选择一个入座，乙从第三排剩余的3个座位中随机选择一个入座．用画树状图（或列表）的方法，求甲和乙刚好坐在同一列的概率． 【答案】 【分析】甲有3种选择方式，乙有3种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲和乙刚好坐在同一列的结果数，最后利用概率的公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 由树状图可得，共有种等可能结果，其中甲和乙刚好坐在同一列的结果数为，即 甲和乙刚好坐在同一列的概率为 题型05 概率与统计图表结合 / 提取图表频数、样本总量，代入概率公式求解。 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖南长沙·三模）某中学计划在月日国际数学日，举办一场以数学及相关文化知识为背景的学科主题日活动，获得了同学们的积极响应．在第一轮预赛中，数学组老师随机抽取了部分同学的比赛成绩进行了统计，按成绩分为如下组（满分分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图表． 组别 成绩x（单位：分） 频数    根据上述提供的信息，解答下列问题： (1)本次采用的调查方式是___________（填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量为___________，___________； (2)若成绩在分及以上为“优秀”，求“优秀”的部分在扇形统计图中所对应的圆心角的度数； (3)已知比赛成绩不低于分的名同学中，有名男生和名女生，数学组老师要从这名同学中随机选取名同学进行采访，请用画树状图或列表的方法求恰好选到名男生和名女生的概率． 【答案】(1)抽样调查；； (2) (3) 【分析】（1）根据本次调查是随机抽取了部分同学的比赛成绩进行了统计，可得本次采用的调查方式是抽样调查；根据本次调查的样本容量组人数组在调查人数中所占的百分比，即可得到本次调查的样本容量，再用样本容量乘组的人数所占的百分比即可得到的值. （2）根据成绩在分及以上为“优秀”判断成绩在组的学生为“优秀”，用乘组的学生在调查人数中所占的百分比即可得到答案. （3）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到恰好选到一名男生和一名女生进行采访的次数，根据等可能事件的概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，本次采用的调查方式为抽样调查， 本次调查的样本容量为：， 学生成绩统计表中， 故答案为：抽样调查；；； （2）解：∵成绩在分及以上为“优秀”， ∴被评为“优秀”的学生即是组的学生， ∴被评为“优秀”的学生所占的扇形圆心角的度数为：； （3）解：根据题意画树状图如下： ∴共有种等可能的结果，其中恰好选到一名男生和一名女生进行采访的结果有种， ∴恰好选到一名男生和一名女生进行采访的概率为． 2．（2026·江苏盐城·三模）2026年春节档某影院热映四部影片：A《飞驰人生3》、B《镖人：风起大漠》、C《惊蛰无声》、D《熊出没•年年有熊》．为了解七年级学生对这四部电影的喜爱情况，学校随机抽取部分七年级学生开展问卷调查（每人限选一项）．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．      请你根据以上信息解决下列问题： (1)本次一共抽查了 名学生，A类所对应圆心角的度数为 °； (2)将条形统计图补充完整，标注D类对应的人数； (3)若七年级学生苗苗从中随机选择两部观看，求她所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的概率． 【答案】(1)100； (2)补全条形统计图，如图所示： (3) 【分析】（1）根据B类学生的人数和所占的百分比求出总的调查人数即可；用乘以A类学生所占的份数即可求出A类所对应圆心角的度数； （2）求出D类对应的人数为（人），再补全条形统计图即可； （3）先画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：本次一共抽查的学生人数为：（人）； A类所对应圆心角的度数为：； （2）略 （3）解：画树状图，如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的有6种情况， ∴所选两部影片中都没有《熊出没•年年有熊》的概率为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南长沙·二模）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 n 8 7 (1)表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数__________； (3)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用直接列举法或树状图法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)8.5，8， (2)； ； (3) 【分析】（1）一共有10家种植户的评分，中位数是从小到大排列，第五名，第六名的平均分，观察甲快递公司配送速度的直方图，可知第五名8分，第六名9分，求平均数即可得到，利用平均数公式求出的值，分别计算服务质量的方差、，即可比较大小； （2）算出甲快递公司评分为9的商家数量，即可补全直方图；先求出7分所占的比例，乘以这个比例，即可求出； （3）用树状图展示所有等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：观察甲快递公司配送速度的直方图，可知10家种植户中，给出评分6的两家，评分7的两家，评分8的一家，评分10的一家， 给出评分9的：（家）， 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 甲快递公司的中位数，是第五名，第六名的平均分，即， ， 由扇形图可知：， ， ． （2）①略； ②解：7分所占的比例为：， ． （3）解：画树状图，列出所有可能结果，如下： 由树状图可知共有4种可能结果，其中两家种植户选择同一快递公司的有2种结果， 两家种植户选择同一快递公司的概率． 2．（2026·广东江门·三模）为纪念抗战胜利80周年、庆祝国庆76周年，某校计划通过实践作业培育中学生的社会主义核心价值观，加强青少年思想道德建设，引导学生厚植对祖国和家乡的情感．该校设计了6项实践作业：分别是“我与国旗合个影”“祝福话语我来讲”“手绘国庆七彩梦”“共访红色足迹”“家乡名片亮出来”“伟大精神我传承”．近期，学校随机调查了部分学生的作业完成情况，按每名学生完成的作业数量分成4个等级：A级：完成0-1项，B级：完成2-3项，C级：完成4-5项，D级：完成6项．并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： (1)本次共调查了____名学生，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为_____°； (3)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人参加学校作业展示，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1)50；补全条形统计图如图： (2)108 (3) 【分析】（1）先用D级的人数除以占比求出总数，再用总数减去其余的人数求出C级的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以D级的占比即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：（名）， 则C级的人数为：， 补全条形统计图略； （2）解：； （3）解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数有2种， ∴恰好选中甲和乙的概率是． 3．（2026·广东广州·二模）某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177    两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示： 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 乙队 177 b (1)表中________，________； (2)从甲、乙两队中挑选两位身高达到的队员担任队长，请求出这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的概率． 【答案】(1)178；177 (2) 【详解】（1）解：将甲队队员的身高数据按从低到高的顺序排列为： 177，177，177，178，178，178，178，179，179，179． 其中身高处于中间的两个数据是178和178，所以中位数（）； 因为乙队数据中177出现次数最多，所以众数（）； （2）解：甲队中有三名队员身高在，记为A，B，C，乙队中有一名队员身高在，记为D， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的等可能结果6种，分别是，，，，，， 所以这两位队员一个来自甲队一个来自乙队的概率是． 4．（2026·宁夏银川·二模）自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．甲、乙两学校在九年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生成绩进行了整理和分析． 信息一：绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：A组：，B组：，C组：，D组：） 信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是：80，82.5，82.5，85，85.5，89，89.5，82.5，85． 信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表所示． 平均数 中位数 众数 甲校 83.2 a 82.5 乙校 80.6 81 80 (1)表格中___________． (2)扇形统计图中D组所在的圆心角度数为___________． (3)在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中，___________的排名更靠前？ (4)甲校准备从取得优异成绩的D组学生里选取成绩前四名的学生（前四名学生成绩相同，3名男生，1名女生）当中抽取2人参加市级比赛，请用列表或者画树状图的方法计算抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】(1) (2) (3)小华 (4) 【分析】（1）先根据甲校频数直方图算出A、B、C组人数，再根据中位数定义，把20个成绩从小到大排序，取第10、11位数据的平均数得到中位数； （2）利用D组占比乘求扇形圆心角度数； （3）对比两人分数与各自学校中位数：分数中位数，排名靠后；分数中位数，排名靠前； （4）用列表法列举所有等可能抽取结果，统计一男一女的情况数，按概率公式计算． 【详解】（1）解：甲校一共抽取20人，由频数直方图得，A组1人，B组3人，C组9人， C组数据从小到大排列为：80，82.5，82.5，82.5，85，85，85.5，89，89.5， 第10、11位数据都落在C组，数值分别为85和85.5， ． （2）解：乙校D组占比， 圆心角为． （3）解：甲校中位数，小明 ∴小明成绩在甲校排在中位数之后，名次靠后； 乙校中位数为，小华 ∴小华成绩在乙校排在中位数之前，名次靠前； 小华排名更靠前． （4）解：记男生为A、B、C，女生为D， 列表如下： A B C D A B C D 一共有12种等可能的结果，其中一男一女的情况有，，，，，，共6种情况， ∴抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $