第二章 函数与基本初等函数（综合训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦函数与基本初等函数综合应用，通过基础概念辨析、性质探究及新情景问题，培养数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|选择1-5、填空10-13（8题）|充分必要条件判断、零点区间、单调区间、奇偶性应用|从函数定义出发，构建奇偶性、单调性等性质的逻辑推导链| |函数应用与创新|选择3、6、9、填空15（4题）|新情景建模（电池健康度）、新定义问题、周期性综合|结合实际情境抽象函数模型，拓展性质应用边界| |综合解答与探究|解答16-20（5题）|解析式求解、单调性证明、不等式恒成立/存在性|整合函数性质与不等式，形成“概念-性质-应用”完整认知体系|

第二章 函数与基本初等函数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．【新情景】某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 4．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．【新考法】已知是上的偶函数，对任意实数都有成立，当时，，则（    ） A．7 B．4 C．1 D． 7．已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．是定义在上的奇函数，对任意，都有.若，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 9．【新考法】函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．函数的单调递增区间是_____． 11．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 则，，， 构造，可知在内单调递减， 则，即， 所以的取值范围是. 12．设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 13．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 14．已知函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______． 15．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 17．（15分）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 18．（15分）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 19．（15分）已知为上的偶函数，为上的奇函数，且. (1)判断并用定义证明函数在上的单调性； (2)若函数在上有零点，求实数的最小值； (3)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．（16分）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数与基本初等函数（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B D A D D B B B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12. 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） （1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又所以，所以， 显然，是奇函数， 综上（4分） （2）在上单调递增； 证明：任取，且， 所以， 则 ， 所以，所以在上单调递增；（9分） （3）由题可知在上单调递增且为奇函数， 由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为（14分） 17．（15分） （1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为；（2分） （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增；（7分） （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，.（10分） 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是.（15分） 18．（15分） （1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为；（4分） （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或；（9分） （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ，（12分） 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为.（15分） 19．（15分） （1）因为①，则， 又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②， 由①②得到，所以 由①②得到，所以. 函数在上单调递增.（2分） 证明如下： 取任意，且， 则 ； 当时，，，， 所以，即； 因此在上单调递增.（5分） （2）， 由可得， 所以在上有零点可转化为 在上有解， 令，由（1）知，在上为增函数，所以， 则可得， 因为的对称轴为，所以当时，， 所以.（10分） （3）因为为上的奇函数， 所以由可得， 因为为减函数，所以在上为减函数， 所以，即在上恒成立. 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故.（15分） 20．（16分） （1）由题意知，的定义域为， 令，则， 当时，等价于， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，二次函数取得最小值-3， 即时，取得最小值-3，无最大值．（4分） （2）令，当时，， 对任意的恒成立，即在时恒成立， ，令，则，不等式变为， 记，则函数的图象开口向下，对称轴为， 在时的最大值为，因此，， 即的取值范围为．（9分） （3）由题知， 令，当时，，则等价于， 题目等价于“存在，使得成立”， 等价于“在上的最大值与最小值之差大于或等于”，（12分） 分情况讨论： ①当时，易知在上单调递减，最大值与最小值之差为： ，由，知，满足条件， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，知在上单调递增，最大值为，最小值为， 差为：，由，得，满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，最大值为或， ，，均不符合条件； 当时，在上单调递减， 最大值与最小值之差为， 因为，所以，不符合条件， 综上，的取值范围为．（16分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数与基本初等函数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 3．【新情景】某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 4．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 6．【新考法】已知是上的偶函数，对任意实数都有成立，当时，，则（    ） A．7 B．4 C．1 D． 【答案】D 【详解】由是上的偶函数，当时，， 又，故，解得， 此时（）. 由，令，得，即， 而，故. 7．已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】任取，则， 由当时，都有，得， 任意的，都有， 即， 则， 因此函数在上单调递增， 故时， . 故选：B 8．是定义在上的奇函数，对任意，都有.若，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】构造，则的定义域为， 且，可知为奇函数， 又因为对任意，都有， 可得，即， 则在内单调递增，可知在内单调递增， 所以在定义域内单调递增， 若，可得， 即，则， 可得，即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 9．【新考法】函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】B 【详解】假设，在上单调递增函数， 对于任意实数，， ，，，，故①正确； 设，当时，，， 此时取，则，不满足； 当时，，取，则， 因为，所以，所以， 此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足. 综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误. 故选：B. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 11．已知方程有两个不相等的正根，，且，则的取值范围是___ 【答案】 【详解】因为方程有两个不相等的正根， 则，即，可得， 由，可得， 可知与在内有2个交点，如图所示： 则，，， 构造，可知在内单调递减， 则，即， 所以的取值范围是. 12．设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____ 【答案】 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当时，， 因为在上都是增函数，所以函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是 13．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 14．已知函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】， 不等式可化为①； 当时，①式可化为在区间上恒成立， 所以，即； 当时，①式可化为在区间上恒成立， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 若，即时，最小值为， 由可得，解得，即； 若 且，即 时，由于的最小值为 ， 则 在 上恒成立， 若时，，则 在 上恒成立； 当时，①式可化为在区间上恒成立， 只需，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 15．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1)(2)递增，证明见解析(3) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又所以，所以， 显然，是奇函数， 综上 （2）在上单调递增； 证明：任取，且， 所以， 则 ， 所以，所以在上单调递增； （3）由题可知在上单调递增且为奇函数， 由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 17．（15分）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3) 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 18．（15分）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或；(3). 【详解】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 19．（15分）已知为上的偶函数，为上的奇函数，且. (1)判断并用定义证明函数在上的单调性； (2)若函数在上有零点，求实数的最小值； (3)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）因为①，则， 又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②， 由①②得到，所以 由①②得到，所以. 函数在上单调递增. 证明如下： 取任意，且， 则 ； 当时，，，， 所以，即； 因此在上单调递增. （2）， 由可得， 所以在上有零点可转化为 在上有解， 令，由（1）知，在上为增函数，所以， 则可得， 因为的对称轴为，所以当时，， 所以. （3）因为为上的奇函数， 所以由可得， 因为为减函数，所以在上为减函数， 所以，即在上恒成立. 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 20．（16分）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 【答案】(1)最小值-3，无最大值(2)(3) 【详解】（1）由题意知，的定义域为， 令，则， 当时，等价于， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，二次函数取得最小值-3， 即时，取得最小值-3，无最大值． （2）令，当时，， 对任意的恒成立，即在时恒成立， ，令，则，不等式变为， 记，则函数的图象开口向下，对称轴为， 在时的最大值为，因此，， 即的取值范围为． （3）由题知， 令，当时，，则等价于， 题目等价于“存在，使得成立”， 等价于“在上的最大值与最小值之差大于或等于”， 分情况讨论： ①当时，易知在上单调递减，最大值与最小值之差为： ，由，知，满足条件， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，知在上单调递增，最大值为，最小值为， 差为：，由，得，满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，最大值为或， ，，均不符合条件； 当时，在上单调递减， 最大值与最小值之差为， 因为，所以，不符合条件， 综上，的取值范围为． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $