重难点专训02 集合新定义问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“四步通用思路+题型专属方法+技巧提炼”构建集合新定义问题解题体系，强化抽象转化与逻辑推理，适配一轮复习专项突破需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1通用思路+2题型思路+5技巧|精读拆解定义→回归集合基础转化→分类规范推演→回代检验边界；新运算分步翻译、子集分类枚举、特例法速解|以集合基本性质为根基，通过新定义转化联结元素关系、集合运算与逻辑推理，形成“概念-方法-应用”链条| |题型通法及变式提升|2题型4典例4变式|新运算类严格套规则分步算，子集逻辑类结合数形与量词转化|覆盖新运算/元素规则、子集/综合逻辑核心考法，典例精选京豫津等地模拟题，凸显高考命题趋势| |重难专题分层过关练|巩固4题+创新5题|分层设计从基础验证到创新探究，强化参数求解与逻辑证明|通过“基础巩固-创新提升”递进训练，深化知识应用与批判性思维，培养数学表达与迁移能力|

重难点专训02 集合新定义问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 新运算与元素规则 2 题型2 子集与综合逻辑 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 一、通用整体解题思路 步骤 1：精读题干，拆解新定义（最关键） 逐字读懂规则，标注关键词、符号、限定条件，区分：新运算、元素要求、子集性质、几何定义四类。不要凭固有集合知识主观脑补，严格按题干规则执行。 遇到陌生符号，先翻译成通俗语言，举例辅助理解（取简单数字、点代入试算）。 步骤 2：回归集合基础，转化问题 无论定义多新颖，最终落脚点都是：元素与集合关系、集合交并补、子集、区间范围、元素个数、参数求解。 把新问题转化为熟悉的集合运算、不等式、函数、计数问题。 步骤 3：分类列式 / 画图，规范推演 1.代数类：列不等式、方程，求解范围、参数； 2.计数类：分类列举、排除重复元素； 3.几何点集类：画数轴、平面区域，用数形结合分析； 4.子集类：按子集元素个数分类讨论。 步骤 4：回代检验，验证边界 重点检查区间端点、空集、重复元素、特殊取值，天津考题常在端点、特殊值设置陷阱。 二、两大主流题型专属解题思路 题型一：新运算、元素限定类 1.新运算（差集、对称集、积集等） 思路：先套规则，再做常规集合运算。 技巧：① 把新运算写成表达式，分步计算，不要跳步；② 若结合不等式，先解不等式求出原始集合，再执行新运算；③ 出现多个连续运算，按运算顺序依次处理。 元素性质限定（奇偶、整除、距离、对应关系） 思路：逐一验证元素是否满足题干条件。 技巧：① 有限集直接枚举法，逐个判断、计数；② 无限集结合不等式、数论知识圈定范围；③ 警惕 “元素互异性”，剔除重复元素。 题型二：特殊子集、综合逻辑 / 数形类 新定义子集（封闭集、和谐子集、最优子集等） 思路：围绕子集定义 + 题干附加性质双重约束分析。 技巧：① 优先判断全集、空集、单元素集是否符合要求；② 求子集个数时，分类讨论（按元素个数划分），不重不漏；③ 若要求集合运算后仍在原集合内，取代表元素验证规律。 点集新定义 + 数形结合 思路：将集合看作坐标点 / 区域，转化为几何问题。 技巧：① 数轴处理一维数集，平面直角坐标系处理二维点集；② 利用距离、区域范围、边界直线分析；③ 结合线性规划、区间思想求参数。 融合全称 / 存在量词、充要条件 思路：把集合新定义和恒成立、有解、充分必要条件捆绑转化。 技巧：翻译逻辑语句，转化为 “对任意元素都满足”“存在元素满足”，再结合不等式最值思路求解参数。 三、解题技巧 1.特例法秒杀选择题 遇到抽象新定义，优先取0、1、-1、空集、单元素集等特殊值 / 特殊集合代入排除选项，天津小题适用。 2.化繁为简，符号翻译 陌生符号一律用文字复述一遍，避免因看不懂符号出错；复杂多层定义，拆成单层逐一理解。 3.牢牢守住集合三大基本性质 元素确定性、互异性、无序性，尤其是互异性，计数、求元素时必查。 4.含参问题统一思路 新定义 + 参数：先根据规则列出不等式 / 方程，再用分类讨论、分离参数求解范围，和常规集合含参题解法一致。 5.区间端点专项处理 结合不等式的新定义，重点判断端点能否取等号，这是天津高频易错点。 题型通法及变式提升 题型1 新运算与元素规则 【典例1-1】（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 遇到集合新运算、元素规则类题型，首要做到严格依题干定义解题，不套用固有运算规则。先拆解陌生符号与限定条件，可用简单数值代入辅助理解。若结合不等式，先求解基础集合，再按顺序完成新运算。有限集合优先枚举验证元素，时刻牢记元素互异性，剔除重复项。含范围、参数的题型，列式求解后重点核验区间端点能否取等。选择题可巧用特殊值、空集快速排除错误选项，分步演算不跳步，避免理解偏差与计算失误。 【典例1-2】（2026·河南·三模）给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【变式1-1】（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【变式1-2】（2026·湖南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型2 子集与综合逻辑 【典例2-1】（2026·天津·模拟预测）设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． (1)当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； (2)设，记，求证：； (3)设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． 解答子集、综合逻辑类集合新定义题，先吃透子集附加规则，再结合逻辑关系分析。优先验证空集、单元素集等特殊集合，按元素个数分类枚举，保证不重不漏。遇到数形结合题型，借助数轴、坐标系转化为区域、范围问题。融合全称、存在量词或充要条件时，将题意转化为恒成立、有解问题求解参数。选择题可用特例法排除选项，解题全程紧扣集合基本性质，重点排查边界取值与逻辑判断失误，严谨推演避免漏解。 【典例2-2】（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【变式2-1】（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【变式2-2】（2026·山东济南·二模）已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京石景山·一模）已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 2．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． 3．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 4．（2026·河北石家庄·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)记函数的极小值点为，若满足，设集合，，其中表示不大于的最大整数. （i）求和的表达式，并判断1，2，3，4，5，6与集合的关系（参考数据：）； （ii）定义：若集合满足：，且，则称集合是正整数集的一个“互补覆盖”，求证：集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 创新提升 1．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 2．（2026·陕西·模拟预测）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 3．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 4．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 5．（2026·陕西咸阳·一模）设表示有限集合中元素的个数，已知函数，，若，其中为常数，且，则的取值范围是________. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 集合新定义问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 新运算与元素规则 2 题型2 子集与综合逻辑 5 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 一、通用整体解题思路 步骤 1：精读题干，拆解新定义（最关键） 逐字读懂规则，标注关键词、符号、限定条件，区分：新运算、元素要求、子集性质、几何定义四类。不要凭固有集合知识主观脑补，严格按题干规则执行。 遇到陌生符号，先翻译成通俗语言，举例辅助理解（取简单数字、点代入试算）。 步骤 2：回归集合基础，转化问题 无论定义多新颖，最终落脚点都是：元素与集合关系、集合交并补、子集、区间范围、元素个数、参数求解。 把新问题转化为熟悉的集合运算、不等式、函数、计数问题。 步骤 3：分类列式 / 画图，规范推演 1.代数类：列不等式、方程，求解范围、参数； 2.计数类：分类列举、排除重复元素； 3.几何点集类：画数轴、平面区域，用数形结合分析； 4.子集类：按子集元素个数分类讨论。 步骤 4：回代检验，验证边界 重点检查区间端点、空集、重复元素、特殊取值，天津考题常在端点、特殊值设置陷阱。 二、两大主流题型专属解题思路 题型一：新运算、元素限定类 1.新运算（差集、对称集、积集等） 思路：先套规则，再做常规集合运算。 技巧：① 把新运算写成表达式，分步计算，不要跳步；② 若结合不等式，先解不等式求出原始集合，再执行新运算；③ 出现多个连续运算，按运算顺序依次处理。 元素性质限定（奇偶、整除、距离、对应关系） 思路：逐一验证元素是否满足题干条件。 技巧：① 有限集直接枚举法，逐个判断、计数；② 无限集结合不等式、数论知识圈定范围；③ 警惕 “元素互异性”，剔除重复元素。 题型二：特殊子集、综合逻辑 / 数形类 新定义子集（封闭集、和谐子集、最优子集等） 思路：围绕子集定义 + 题干附加性质双重约束分析。 技巧：① 优先判断全集、空集、单元素集是否符合要求；② 求子集个数时，分类讨论（按元素个数划分），不重不漏；③ 若要求集合运算后仍在原集合内，取代表元素验证规律。 点集新定义 + 数形结合 思路：将集合看作坐标点 / 区域，转化为几何问题。 技巧：① 数轴处理一维数集，平面直角坐标系处理二维点集；② 利用距离、区域范围、边界直线分析；③ 结合线性规划、区间思想求参数。 融合全称 / 存在量词、充要条件 思路：把集合新定义和恒成立、有解、充分必要条件捆绑转化。 技巧：翻译逻辑语句，转化为 “对任意元素都满足”“存在元素满足”，再结合不等式最值思路求解参数。 三、解题技巧 1.特例法秒杀选择题 遇到抽象新定义，优先取0、1、-1、空集、单元素集等特殊值 / 特殊集合代入排除选项，天津小题适用。 2.化繁为简，符号翻译 陌生符号一律用文字复述一遍，避免因看不懂符号出错；复杂多层定义，拆成单层逐一理解。 3.牢牢守住集合三大基本性质 元素确定性、互异性、无序性，尤其是互异性，计数、求元素时必查。 4.含参问题统一思路 新定义 + 参数：先根据规则列出不等式 / 方程，再用分类讨论、分离参数求解范围，和常规集合含参题解法一致。 5.区间端点专项处理 结合不等式的新定义，重点判断端点能否取等号，这是天津高频易错点。 题型通法及变式提升 题型1 新运算与元素规则 【典例1-1】（2026·北京·三模）对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则S的“绝对交错和”为；当时，S的“绝对交错和”为．若数集，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【分析】根据集合新定义，分别求出当子集为单元素、两个元素、三个元素以及四个元素时的“绝对交错和”，即可求得答案. 【详解】对于数集， 当其子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即； 当子集为三个元素的集合时，若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 若是，则“绝对交错和”为； 故此时子集的“绝对交错和”的总和为； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为， 则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为. 遇到集合新运算、元素规则类题型，首要做到严格依题干定义解题，不套用固有运算规则。先拆解陌生符号与限定条件，可用简单数值代入辅助理解。若结合不等式，先求解基础集合，再按顺序完成新运算。有限集合优先枚举验证元素，时刻牢记元素互异性，剔除重复项。含范围、参数的题型，列式求解后重点核验区间端点能否取等。选择题可巧用特殊值、空集快速排除错误选项，分步演算不跳步，避免理解偏差与计算失误。 【典例1-2】（2026·河南·三模）给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】(1) ，(2)（i） ；（ii） 【详解】（1）（1） ， ． （2）（2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列， 且这两个数为， 若去掉中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于，之间或最后； 若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置， ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设，，则当的逆对数为1时， 前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数， 综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于，或，之间或最后： 若去掉后逆对数为1，且为，则可能位于除最后与，之间的所有位置， ， 由（i）知 ， 又 ，则 ， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， ， ， 又 ，则 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ． 【变式1-1】（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 【变式1-2】（2026·湖南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得a可能取1，3，5，23，b可能取1，3，5，23， 则可能取2，4，6，24，4，6，8，26，6，8，10，28，24，26，28，46， 由集合的互异性去掉重复的元素，则，则． 题型2 子集与综合逻辑 【典例2-1】（2026·天津·模拟预测）设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． (1)当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； (2)设，记，求证：； (3)设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)当时，集合，其元素和为，为偶数，故存在平衡子集. 当时，，集合，其平衡子集为与，故； 当时，平衡互补子集总对数为，集合； 当时，集合可看作在集合的基础上，新增加了4个元素：，，，； 对于中的每一对平衡互补子集与，可构造中的4对平衡互补子集： ①与； ②与； ③不妨设，剔除元素1得到，则与； ④不妨设，剔除元素2得到，则与； 由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为中的平衡互补子集， 因此可得：，即， ，即不等式成立. (3)时，集合U的非空真子集总数为. 平衡子集个数为（每对平衡互补子集对应2个平衡子集）， 因此单次抽取到平衡子集的概率， 由（2）可知，代入可得， 令，，，则； 在严格递减，则； . ； . 【详解】（1）当时，则集合，其非空真子集个数为个； ，要使，为平衡互补子集，则，中元素和都为14. 由，得平衡互补子集有与，与，与，与，共4对，即平衡子集有8个. 子集是平衡子集概率为. 解答子集、综合逻辑类集合新定义题，先吃透子集附加规则，再结合逻辑关系分析。优先验证空集、单元素集等特殊集合，按元素个数分类枚举，保证不重不漏。遇到数形结合题型，借助数轴、坐标系转化为区域、范围问题。融合全称、存在量词或充要条件时，将题意转化为恒成立、有解问题求解参数。选择题可用特例法排除选项，解题全程紧扣集合基本性质，重点排查边界取值与逻辑判断失误，严谨推演避免漏解。 【典例2-2】（2026·北京大兴·三模）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】(1)集合不是，集合是 (2)不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则， 则，且，使得， 当时， ， 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. (3) 【详解】（1）集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （3）不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数. 所以范数的最小值为. 【变式2-1】（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 6 8 【详解】（1）设与互为邻点的点为，则且， 若，则，解得，（舍去）或，点为； 若，则，解得或，或，点为； 若，则，解得（舍去）或，，点为， 综上，满足条件的点共有个； （2）根据，以及点集坐标范围可得，记， 则该邻点列各点的依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件， 因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以和 一样也是偶数，即为偶数，所以和的奇偶性相同， 即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知，其横纵坐标之和为奇数， 点集中满足为奇数的点共有个，依次为， 对应的值依次为（依次递减），满足要求的邻点列只能从这个点中选择 且按值递减的顺序排列，假设个点均可以存在，即有邻点列 ，可验证相邻点确实均为邻点，所以的最大值为. 【变式2-2】（2026·山东济南·二模）已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解不等式得或，则或， 因为，所以. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京石景山·一模）已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，，. (2)证明见详解(3)，证明见详解 【详解】（1）因为，所以不具有性质； 因为，，，所以具有性质； ，. （2）因为对于任意的，总有，所以，从而， 因为，，， 所以当时，和至多有一个成立， 所以集合中的元素个数最多为，即. （3），证明如下： ①设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； ②设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； 由①②可知. 2．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． 【答案】①②③ 【分析】直接计算即可判断①；分类讨论判断②；举反例判断③；举例证明④. 【详解】①：因，则；，则，解得：或，①错误 ②：当区间关于对称，即时，，此时，. 当时，会增大，因此的最小值为1，不存在使得，命题②错误 ③，由题意知，，但是满足的点集，它可以是的子集，不一定是整个区间。 例如时，，对于满足题设，此时时不满足 ，③错误 ④，取等比数列，，则， ，，即，④正确 3．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 4．（2026·河北石家庄·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)记函数的极小值点为，若满足，设集合，，其中表示不大于的最大整数. （i）求和的表达式，并判断1，2，3，4，5，6与集合的关系（参考数据：）； （ii）定义：若集合满足：，且，则称集合是正整数集的一个“互补覆盖”，求证：集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 【答案】(1)减区间为；增区间为 (2)（i），；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增. 所以函数的减区间为；增区间为； （2）（i）当时，， 令，解得， 函数）在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故 ，故，故； ，故，故； ，故，故. 故； （ii）先证明：.假设存在正整数满足， 记，其中，且. 若，则， 即，显然等式右侧为整数，左侧为无理数，故. 故， 故，与假设矛盾，故假设不成立，因此； 再证明：. 解法一：由（1）知时成立，设任意一个大于6的正整数为， 一定存在正整数满足， 即证明的整数中有个在集合中， 有个在集合中，，只需证明即可. 易知，且， 又因为， 即，故，又，于是原结论成立， 综上知，集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 解法二：由（1）知时成立，假设存在一个大于6的正整数为，不存在正整数， 满足， 或时，无理数等于有理数，显然不成立， 所以，且 所以且 化简得，显然不成立,故假设不成立，所以原命题得证， 又，综上知，集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 创新提升 1．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 2．（2026·陕西·模拟预测）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 【答案】 【分析】分析出数列前项由的前项和的前项组成即可求解. 【详解】由题可得集合，是正奇数集，通项为， 集合，是的整数次幂集，通项为， 由于集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为， 则数列前项由的前项和的前项组成； 则 3．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】(1)(2)(3)证明过程见解析 【详解】（1），说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； （2）已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 （3）证明： 对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 4．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 5．（2026·陕西咸阳·一模）设表示有限集合中元素的个数，已知函数，，若，其中为常数，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用求导分析函数的单调性，并作出函数图象，再利用数形结合可分析出参数的范围. 【详解】由，可得， 当时，，所以在时单调递增， 当时，，所以在时单调递减， 当时，，所以在时单调递增， 由，且，作出函数的图象，如下：    因为，所以当时，， 由于必有一个解，且， 所以也必有一个解，且与的解不相同， 由图及题设：或. 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $