暑假作业04 平行线相交线常考类型题（巩固培优，11大题型巩固培优+能力提升+创新拓展）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 聚焦平行线相交线核心考点，通过11类题型构建“规律探究-性质应用-综合迁移”的递进式训练体系，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线位置关系规律|4题|归纳n条直线交点/对顶角公式|从特殊到一般，建立数量关系模型| |余角补角计算证明|12题|方程思想/角平分线性质|从概念（互余互补）到应用（计算与证明）| |跨学科应用|4题|平行线性质转化物理模型|几何与光学/机械原理结合，培养应用意识| |动态与折叠问题|14题|分类讨论/轴对称性质|静态性质到动态变化，提升空间观念| |综合应用|23题|辅助线添加（作平行线）/模型迁移|整合相交线平行线知识，强化推理能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 平行线相交线常考类型题 【题型1 直线位置关系中的规律探究问题】 1．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 3．观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 4．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【题型2 综合运用余角和补角进行计算】 5．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（     ） A． B． C． D． 6．已知与互余，且，则的补角是_____． 7．如图，直线，交于点，，平分，若，求． 8．如图，直线相交于点O，． (1)请写出图中的对顶角为______，的余角为______； (2)若，求的度数． 【题型3 利用余角和补角证明】 9．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 10．如图，直线相交于点，平分，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的度数． 11．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 12．如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线．    (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【题型4 利用余角和补角证明】 13．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 14．在同一平面内，若，且，则的度数为____． 15．如图，点O在直线上，． (1)作的对顶角，作．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，计算的度数． 16．如图1，交于点O，，且平分． (1)求的度数； (2)过O点作射线，且，求的度数． 【题型5 相交线问题中方程思想的应用】 【题型4 利用余角和补角证明】17．已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 18．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，且，求的度数． 20．如图，直线，相交于点O，直线经过点，，分别平分，，在内部，． (1)若，求的度数； (2)若，，求与的数量关系． 【题型6 平行线性质在跨学科背景下的应用】 21．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质斜射进入另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，若，则___________． 23．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜折射后，折射光线，反向延长线交于主光轴上一点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 24．【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． (1)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由） 解：∵_____（已知），∴（平角的定义）， ∵（已知），∴_________（_________）， ∵（已知），∴； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 【题型7 实际背景下平行线性质与判定】 25．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 26．机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 27．骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 28．糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型8 折叠背景下平行线性质与判定的应用】 29．把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 30．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 31．如图，． 某同学进行了下面操作： 第一步，将边沿过点A的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点D，折叠后展开； 第二步，将边沿过点D的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点E，折叠后展开； 第三步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点A与点D重合），折痕与，分别交于点F，G，折叠后展开； 第四步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点F与点G重合），折痕与分别交于点H，K，P，折叠后展开． 根据上面的操作，解答下面问题： (1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想； (2)若，，求的度数． 32．已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点的对应点是O，点B的对应点是Q，设，求的度数（用含m的式子表示） 【题型9 动态三角板背景下的平行线性质与判定】 33．将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． (1)如图②，当为的平分线时，求此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 34．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 35．根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放不同位置涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，． 问题解决 任务图 (1)如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，则_____度；（提示：过点G作） (2)如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？说明理由； (3)将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C、F重合，为的角平分线，当时，请直接写出角度所有可能的值． 36．老师让同学们借助两条平行线、和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板，中，，，． (1)若，如图摆放时，则的度数为_____； (2)若图中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，分别作和的角平分线相交于点（如图），求的度数； (3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 【题型10 动态背景下的平行线性质与判定的应用】 37．如图，直线，直线交直线m，n分别于点A，B，点C，D在直线m上，点M在直线n上，且满足．垂直于交的延长线于点E，交直线n于点F，平分交于点H，交直线n于点G．    (1)请用等式表示之间的数量关系 ； (2)若． ①求的度数； ②将绕点B以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转的过程中，当与的某一边平行时，请直接写出t的值． 38．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 39．已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 40．如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【题型11 平行线性质与判定的综合应用】 41．问题探究： 如图，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点作 ___________， ，， （___________）， ___________（___________）， ， 即， (2)请按李思同学的思路，写出证明过程： 证明：过点作交的延长线于点…… 问题迁移： (3)如图④，已知，平分，平分，若，请直接写出的度数． 42．已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 43．如图1，，是上方一点，F，G分别是，上的点，连接，． (1)若． ①求的度数． ②如图2，是上方一点，连接，．若平分 的度数比的度数的2倍还大，求的度数． (2)如图3，是上一点，连接，且 ，延长至点，连接．若平分 ，请直接写出的度数． 44．如图，线段、交于点，点为直线上一点（不与点、重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)若点在线段上． ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数，你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，画出图形，写出与的数量关系，说明理由． 45．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 46．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 48．小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 (1)锐角的补角与的余角之差为______°． (2)如果锐角的补角为，那么是的余角．请你说明理由． 【问题思考】 (3)一个锐角的补角是它的余角的4倍，求这个角的大小． 49．如图，，的平分线交于点． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点，满足，过点作交于点． ①若，求证：； ②在①的条件下，在射线上取一点，使得，直线交直线于点，求的值． 50．嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 51．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：； 【方法应用】 (2)如图2，若，，，则________． 【变式探究】 (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由： 【拓展延伸】 (4)如图4，若，的平分线和的平分线交于点，求出的度数． 52．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 53．如图，点O为直线上一点，，在的内部作射线、射线，且满足． (1)如图1，证明：； (2)如图2，作平分，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，在内部作，射线平分，若，试求的度数． 54．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 55．数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 56．小杨同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，，则______； (2)如图②，已知，平分，平分，，所在直线交于点E． ①若，，求的度数； ②将图②中的点B移到点A的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，求的度数． 57．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 试卷第82页，共83页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 平行线相交线常考类型题 【题型1 直线位置关系中的规律探究问题】 1．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 2．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 【答案】 【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可. 【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1. 即：当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有5个交点； 当n=5时，共有9个交点；…， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律. 3．观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 4．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    【题型2 综合运用余角和补角进行计算】 5．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据补角的定义求出这个角的度数，再根据余角的定义计算即可得到结果． 【详解】解：一个角的补角是， 这个角的度数为， 这个角的余角是． 6．已知与互余，且，则的补角是_____． 【答案】 【分析】根据互余和补角的定义求解此题. 【详解】解: ∵ 与 互余， ∴ ， ∴的补角是. 7．如图，直线，交于点，，平分，若，求． 【答案】 【分析】由，可以求解出，又有，则，而平分，可求解出，最后由与互补，即可得到答案． 【详解】解：∵直线，交于点，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．如图，直线相交于点O，． (1)请写出图中的对顶角为______，的余角为______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对顶角与余角的定义可得答案； （2）求解，结合，结合角的和差关系进一步可得答案． 【详解】（1）解：的对顶角为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3 利用余角和补角证明】 9．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据对顶角相等，余角的定义求解即可； （2）先证明．．再根据余角的性质，得到，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴，即：． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 10．如图，直线相交于点，平分，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质． （1）由，从而，由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得结论； （2）由并且互补，可得和的度数，再利用邻补角求得的度数，根据角平分线的定义可得，利用邻补角和角平分线求得和的度数． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，（等角的余角相等） ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 11．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 12．如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线．    (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． 【题型4 利用余角和补角证明】 13．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据定义，分类画图求解即可； 【详解】解：如图，根据题意，得， ， ， ； 如图，根据题意，得， ， ， ； 故的度数为或； 14．在同一平面内，若，且，则的度数为____． 【答案】或 【分析】根据垂直的定义可得，结合已知比例求出，再分两种情况讨论的位置，计算的度数． 【详解】解：由题意，分两种情况讨论： ∵， ， ， ； ① 当与在同侧，即在内部时， ； ② 当与在两侧，即在外部另一侧时 ． 15．如图，点O在直线上，． (1)作的对顶角，作．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，计算的度数． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为或． 【分析】（1）反向延长射线，即可得到，作，，即为所求； （2）根据对顶角相等得到，进而分别计算的度数即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：∵是的对顶角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的度数为或． 16．如图1，交于点O，，且平分． (1)求的度数； (2)过O点作射线，且，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】（1）利用垂线性质得到，又利用角平分线性质得到，与是对顶角，即可得到的度数； （2）分三种情况讨论，根据角的和与差列式计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在内部时， ∵，， ∴ ， ∴，不符合题意，舍去； 当在内部时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【题型5 相交线问题中方程思想的应用】 【题型4 利用余角和补角证明】17．已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设未知数列方程求出这个角的度数，再计算该角的补角即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵互余两角的和为， ∴这个角的余角为， 由题意列方程得：， 展开整理得， 解得， ∵互补两角的和为， ∴这个角的补角为． 18．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后根据垂直定义可得，从而利用平角的定义进行计算，即可解答； （2）根据已知可设，则，根据角平分线的定义可得，从而利用平角定义进行计算可得，然后根据垂直定义可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对顶角可得，然后利用角平分线的定义和平角定义进行计算，即可解答； （2）根据已知，可设，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用角的和差关系得，即可得到答案． 【详解】（1）解：和是对顶角， ， 平分， ， ； （2）解：， ∴设， 平分， ∴， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 20．如图，直线，相交于点O，直线经过点，，分别平分，，在内部，． (1)若，求的度数； (2)若，，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，设，则，根据平角的定义列方程求出，根据对顶角相等，结合垂直的定义即可求出； （2）由平角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直的定义得出，根据即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型6 平行线性质在跨学科背景下的应用】 21．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质斜射进入另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再结合已知条件利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， . ∵，且， ∴． 22．如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，若，则___________． 【答案】 34 【分析】根据光的反射规律可知光线与平面镜A的夹角等于，光线b与平面镜的夹角等于，根据平行线的性质得到这两个夹角相等，即可得解． 【详解】 解：如图，设光线b与平面镜A的夹角为，光线与平面镜B的夹角为 ， 根据光的反射规律可知，， 平面镜A平行于平面镜B ， 由平行线的性质可得， ． 23．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜折射后，折射光线，反向延长线交于主光轴上一点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 24．【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． (1)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由） 解：∵_____（已知），∴（平角的定义）， ∵（已知），∴_________（_________）， ∵（已知），∴； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)90，，两直线平行，内错角相等； (2)解：，理由如下： ∵与入射镜筒壁平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点O作， ∴， ∵与直管壁垂直，， ∴与直管壁垂直， 即， 由题干的反射定律可知， ∴， ∵镜筒上下壁可看作分别相互平行的直线，，，， ∴， ∴， 由题干的反射定律可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）根据垂线的定义及平行线的性质作答即可； （2）根据平行线的性质得到，进而求出，过点O作，根据平行线的性质得到与直管壁垂直，即，进而得到，证明，得到，由题干的反射定律可知，进而得到，根据平行线的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（平角的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴； （2）略． 【题型7 实际背景下平行线性质与判定】 25．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴． 26．机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作，则，根据平行线的性质求出，，再根据即可求解． 【详解】解：过点E作， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 27．骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得出的度数，再结合求出，最后由得出的度数即可. 【详解】解：，， ， ， ， ， . 28．糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，利用角平分线的定义求出 的度数，在 中求出 的度数，最后根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求出 的度数． 【详解】解： ， ， ∵， ， 平分 ， ， 在 中， ， ， ． 【题型8 折叠背景下平行线性质与判定的应用】 29．把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 【答案】或 【分析】根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果即可． 【详解】解：由折叠得，, ∵， ∴， ∵恰好是的三等分线， ∴分两种情况： 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或 30．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，先证明，由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出从而得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故答案为：． 31．如图，． 某同学进行了下面操作： 第一步，将边沿过点A的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点D，折叠后展开； 第二步，将边沿过点D的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点E，折叠后展开； 第三步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点A与点D重合），折痕与，分别交于点F，G，折叠后展开； 第四步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点F与点G重合），折痕与分别交于点H，K，P，折叠后展开． 根据上面的操作，解答下面问题： (1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）证明，即可得到结论； （2）求出．根据即可得到答案． 【详解】（1）． 证明：由折叠可知：． ∵． ∴． 同理：． ∴ ∴． （2）解：由折叠可知：． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 32．已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点的对应点是O，点B的对应点是Q，设，求的度数（用含m的式子表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的判定和性质，理解图示，掌握平行线的性质是关键． （1）根据折叠的性质，平行线的性质即可求解； （2）过点作，如图所示，，，根据折叠可知，，由此即可求解； （3）设，且，由翻折可知，，则，，设，，，由此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 根据折叠可知：， ， ； （2）解：数量关系：，理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 根据折叠可知：， ， ， ； （3）解：如图所示， 设，且， 由翻折可知：， ， ， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ∴． 【题型9 动态三角板背景下的平行线性质与判定】 33．将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． (1)如图②，当为的平分线时，求此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 【答案】(1)3 (2) (3)15或24或27或33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找相等关系是解题的关键． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得t的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图2，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：； 理由是：由旋转得：， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图4，， ； ②如图5，当时， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图6，则， ∴， ∴； ④当时，如图7，， ∴； 综上，t的值是15或27或33或24秒． 34．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据平行的性质得到，即可得到答案； （2）根据平行的性质得到，证明，即可得到平分； （3）分当，且点C在的右侧时，当，且点C在的上方时，当，且点C在的左侧时，当，且点C在的下方时四种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：平分； ，， ， ， ， 平分； （3）解：或或或． 详解如下：依题意有以下四中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ， ； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ， ， 综上所述：的度数是或或或． 35．根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放不同位置涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，． 问题解决 任务图 (1)如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，则_____度；（提示：过点G作） (2)如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？说明理由； (3)将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C、F重合，为的角平分线，当时，请直接写出角度所有可能的值． 【答案】(1) (2)解：， 理由：过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． (3)或 【分析】（1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）分在上方和在下方，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）略 （3）解：①当在上方时，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴； ②当在下方时，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：角度所有可能的值是或． 36．老师让同学们借助两条平行线、和一副直角三角板开展数学探究活动．直角三角板，中，，，． (1)若，如图摆放时，则的度数为_____； (2)若图中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，分别作和的角平分线相交于点（如图），求的度数； (3)若图中固定，（如图）将绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （2）分别过点作，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，分别过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为每秒转， 分三种情况： 当时，如图，，即 此时， ∴，即，解得：； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ③当时，如图， 延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 【题型10 动态背景下的平行线性质与判定的应用】 37．如图，直线，直线交直线m，n分别于点A，B，点C，D在直线m上，点M在直线n上，且满足．垂直于交的延长线于点E，交直线n于点F，平分交于点H，交直线n于点G．    (1)请用等式表示之间的数量关系 ； (2)若． ①求的度数； ②将绕点B以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转的过程中，当与的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；②当与的某一边平行，t的值为秒或15秒或20秒． 【分析】（1）作，得，由，可得，，据此求解即可； （2）①设，则，，由，可得，由平分，可得，由，可求，根据，计算求解即可； ②由（2）①可知，，，，由题意知，当与的某一边平行，分，，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴； ②解：由（2）①可知，，，， ∵， ∴， 由题意知，当与的某一边平行，分，，三种情况求解； 当时， ∴， ∴， ∴旋转时间为（秒）； 当， ∴， ∴， ∴旋转时间为（秒）； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转时间为（秒）； 综上所述，当与的某一边平行，t的值为秒或15秒或20秒． 38．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据平角的定义，求出，由角平分线求出，平行求出，再利用角的和差关系即可得解； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图①中，， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）如图2中，Ⅰ，当时，， ， ， ， ， ； Ⅱ如图3，当时，延长至点，则， ， ， ， ， 综上所述，在旋转过程中，若，的值为或． 39．已知，如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（）秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； (3)或6或12或15 【分析】（1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，再分情况讨论：当时，记的交点为，可得，可得，当在上方时，此时，证明，可得：，当时，如图，可得，求解，当时，如图，记的交点为，过作，证明，可得：． 【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ∵， ， ， ， ∴， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）略 （3）解：， ∴最长运动时间为：， ， ，是的平分线， ， ∴， 由（1）知，， ， ， ，， ， ， 当时，记的交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图：当在上方时， 此时， 如下图： ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， 同理可得：，， ∴， 解得：， 当时，如图，记的交点为，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或6或12或15． 40．如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，可得，由（1）得：，利用平行线的性质建立方程求解即可； （3）令，，可得．证明，．结合．再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴令，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 【题型11 平行线性质与判定的综合应用】 41．问题探究： 如图，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点作 ___________， ，， （___________）， ___________（___________）， ， 即， (2)请按李思同学的思路，写出证明过程： 证明：过点作交的延长线于点…… 问题迁移： (3)如图④，已知，平分，平分，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)，平行于同一直线的两直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2)证明：如图③，过点B作交的延长线于点G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 42．已知直线，按如图1放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数；（用的代数式表示） (2)将图1中的进行适当旋转，如图2，顶点始终在两条平行线之间，连接．当恰好平分时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由： 设，由（1）得． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 即与之间的数量关系为． 【分析】（1）过点作，得出，确定，，结合图形求解即可； （2）设，由（1）得，利用角平分线得出，确定，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）略 43．如图1，，是上方一点，F，G分别是，上的点，连接，． (1)若． ①求的度数． ②如图2，是上方一点，连接，．若平分 的度数比的度数的2倍还大，求的度数． (2)如图3，是上一点，连接，且 ，延长至点，连接．若平分 ，请直接写出的度数． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）① 过点作平行线，利用平行线的内错角相等，将转化为，再用与的差求解． ② 过点作平行线，设，利用平行线内错角将和用表示，结合已知条件列方程求解． （2） 利用角平分线定义设，过点、E平行线，设，利用平行线性质将和用表示，代入已知等式消去后求解． 【详解】（1）① 解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． ② 解：过点作， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 又， ， 解得：， ． （2）解：平分， 设， 则， 过点作， ， ， 设， 则， ∵， ∴， 过点作， ， ∴， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， ． 44．如图，线段、交于点，点为直线上一点（不与点、重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）． (1)若点在线段上． ①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数，你试着完成求解过程． ②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，画出图形，写出与的数量关系，说明理由． 【答案】(1)①如图，过点作，则， ， ； ，， ， ， ； ②，理由如下： 过点作． ， ， ，， ， ； (2)解：画出图形如图所示，， 理由：过点作， ， 由题意可得：， ，， ， ， ． 【分析】（1）①过点作，则，从而求得；再由得，由两直线平行，同旁内角互补即可求解； ②过点作，则得，从而求得；再由得，由两直线平行，内错角相等即可求解； （2）过点作，则得，从而求得，再由得，由两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】（1）①略；②略 （2）略 45．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由题意设，再由与互补，建立方程求解即可； （2）根据平角的定义结合，以及，求解即可； （3）设，则由（2）知，由角平分线可得，则由，得到，解得，再分两种情况，根据角的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴设 ∵与互补， ∴ 解得 ∴，； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，则由（2）知 ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， ①当在内部时， ∵ ∴ ∴； ②当在内部时， ∵ ∴ ∴， 综上：的度数为或． 46．将两个全等的三角形与按如图所示的位置摆放，其中，，则与互余的角的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据余角的定义，结合对应角相等进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即与互余， ∵， ∴与互余， ∵ ∴，即与互余， 综上，与互余的角有个． 47．已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 【答案】C 【详解】解：A、∵与互余， ∴ ∵是锐角， ∴也一定是锐角，说法正确，不符合题意； B、∵ ∴ ∵与互补， ∴ ∴ ∴，说法正确，不符合题意； C、∵是的补角，是的补角， ∴， ∴，说法错误，符合题意； D、∵是的余角，是的补角 ∴， ∴，说法正确，不符合题意． 48．小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 (1)锐角的补角与的余角之差为______°． (2)如果锐角的补角为，那么是的余角．请你说明理由． 【问题思考】 (3)一个锐角的补角是它的余角的4倍，求这个角的大小． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3) 【分析】（1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据补角与余角的定义，列方程求解即可； 【详解】（1）锐角的补角为，的余角为， ； （2）锐角的补角为， ， ， 是的余角； （3）设一个锐角为， 锐角的补角为，锐角的余角为， 锐角的补角是它的余角的4倍， ， ， ， ， 这个锐角为． 49．如图，，的平分线交于点． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点，满足，过点作交于点． ①若，求证：； ②在①的条件下，在射线上取一点，使得，直线交直线于点，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2)①证明：设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②或． 【分析】（1）直接利用平行线的性质、角平分线的定义以及等量代换即可证明结论； （2）①设，易得、、，利用平行线的性质、角平分线的定义可得，利用（1）可得，再利用角的和差即可解答； ②如图：过点M作，则．然后分点M在线段上和点M在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②由①知，则， 如图：过点M作，则． 如图1，当点M在线段上时， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点M在线段的延长线上时， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为或． 50．嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， ，即平分； （3）解：根据题意，分以下四种情况： ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， 则， ； ④如图4，当时，此时重合， ． 综上所述，的度数为或或或． 51．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：； 【方法应用】 (2)如图2，若，，，则________． 【变式探究】 (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由： 【拓展延伸】 (4)如图4，若，的平分线和的平分线交于点，求出的度数． 【答案】(1)如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； (2) (3)，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； (4) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，可得，再根据平行公理的推论，得到，再次利用平行线的性质及角的和差关系即可解答； （2）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，，再根据（1）中结论即可解答； （3）过点作，两次利用“两直线平行，内错角相等”即可得到，，之间的数量关系； （4）过点作，过点作，先根据平行线的性质得到，，再由周角性质得到，从而求出，再利用角平分线的定义，可得，最后根据（1）中结论即可解答． 【详解】（1）解：略 （2）， ， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）略 （4）如图，过点作，过点作， ， ，， ，， ，， ， , 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 由（1）知，， 即的度数为． 52．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 53．如图，点O为直线上一点，，在的内部作射线、射线，且满足． (1)如图1，证明：； (2)如图2，作平分，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，在内部作，射线平分，若，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查的是角的和差运算，补角的性质，角平分线的定义； （1）由，，可得答案； （2） 求解，结合．可得．结合，可得结论． （3）先画图，求解． ．求解， 可得，结合． 进一步可得答案. 【详解】（1）证明：∵点O为直线上一点， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：， 理由如下：∵， ∴， ∴． ∵平分．   ∴． ∴． 由（1）知， ∴．即． （3）解：如图， 由（2）可得， ． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴. 54．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答； （2）由已知可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“兄弟角”， ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图： ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 55．数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 56．小杨同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，，则______； (2)如图②，已知，平分，平分，，所在直线交于点E． ①若，，求的度数； ②将图②中的点B移到点A的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案；②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． （2）解：①过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； ②设，，则由题意得，， 过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 57．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 【答案】(1)30 (2) (3)30或120或165 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）过点作，则，推出，根据角平分线的定义得到，结合即可求解； （2）分别过点作，则，同理（1）即可求解； （3）分三种情况，画出示意图，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，则， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：分别过点作，则， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，延长交于点L， 根据题意：， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点K，过点作，则， 根据题意：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点X，过点作，则， 根据题意：， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 综上，当与三角板某一边平行时，t值为30或120或165． 故答案为：30或120或165． 试卷第82页，共83页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $