2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习导入环节回顾方程一般形式、判别式、求根公式等旧知，搭建学习支架，为新知推导奠定基础，帮助学生建立前后知识的逻辑联系。 其亮点在于采用合作探究引导学生从具体方程因式分解抽象出根与系数关系，培养推理能力与抽象能力，典例精析结合新知小结归纳常见代数式变形公式，强化模型意识。学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可借助清晰结构高效开展教学。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点） 复 习 导 入 1. 一元二次方程的一般形式？ 2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3. 当 根的情况如何？ 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根； 时，方程没有实数根. 4. 一元二次方程的求根公式是什么？ 复 习 导 入 方程的求根公式不仅表示可以由方程的系数决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ 合 作 探 究  的两根为1，那么和2（（1）相等吗？换几个一元二次方程再试一试。 解：通过因式分解与2（ 即=2（ 合 作 探 究 ：你认为（ 否一定成立？与同伴进行交流。 ，是一元二次方程的两个实数根，那么（. 合 作 探 究 根据上面的结论，你能发现一元二次方程 的系数与它的两个根之间有怎样的关系吗？与同伴进行交流。 当是一元二次方程 的两个根时，根据上面的结论有 所以 -. 所以 于是 合 作 探 究 ☀归纳 一元二次方程根与系数的关系： 如果方程有两个实数根，那么 合 作 探 究 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）; （2） 解： （1）这里 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是，那么 典 例 精 析 （2）这里 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是，那么 . 典 例 精 析 例2 方程的两个实数根分别为2，则 =_________. 【解析】根据题意，得 = -2 典 例 精 析 例3 不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知,. ∴ ∵ 典 例 精 析 常见的代数式求值如下： 3. ； 1. ； 2. ； 4. =； 5. | 新 知 小 结 例4 已知关于 的方程的一个根是 2，求它的另一个根及 的值. 解：因方程有两个实数根，故，则是任意数. 设方程的两根分别是 ，其中 . 所以 ，即 由于 ， 解得 . 答：方程的另一个根是， 的值为 -7. 典 例 精 析 变式 已知关于的方程的一个根是 1，求它的另一个根及的值. 解：因方程有两个实数根，故， 得.设方程的两根分别是，其中. 因为， 所以. 由于，解得. 答：方程的另一个根是 5，的值为 15. 典 例 精 析 2. 已知一元二次方程的两根分别为 -2 和 1，则. 1 -2 1. 如果 -1 是方程的一个根，那么另一个根是_____， ____. -3 随 堂 检 测 3. 已知关于的方程的一个根是 1，求它的另一个根及的值. 解：将代入方程中，得. 解得. 设另一个根为，则 ∴ 随 堂 检 测 4.已知是方程的两个根，且(1)求的值；(2)求的值. (1)根据根与系数的关系，得. ∴ , 解得. (2)∵ k = -7，∴ 则 解：依题意有 则是任意实数. 随 堂 检 测 5.设是方程的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. （1）； （2） 解：由根与系数的关系，得. （1） （2） 随 堂 检 测 内容 一元二次方程的根与系数的关系 如果是一元二次方程的两个实数根 ，那么 ； =； 应用 课 堂 总 结 $