2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习导入先回顾四种解法，再用因式分解法求解具体方程并观察根的和与积的规律，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步发现韦达定理。 其亮点在于以实践探究为核心，通过填表计算和公式推导培养抽象能力与推理意识，应用举例强调判别式前提确保严谨性，课堂小结明确应用条件。如例2结合根与系数关系求参数，体现模型意识，助力学生发展逻辑思维与应用能力，也为教师提供结构化教学流程和分层练习设计。

第2章 一元二次方程 3 一元二次方程的根与系数的关系 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 复习导入 1. 一元二次方程的一般形式？ (1)_______；(2)______________；(3)_________；(4)因式分解法。 配方法 直接开平方法 公式法 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根。 (1)x2－2x－3＝0； (2)x2＋4x＋3＝0； (3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0。 解：(1)(x－3)(x＋1)＝0， x1＝3，x2＝－1； (2)(x＋3)(x＋1)＝0， x1＝－3，x2＝－1； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根。 (3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0。 解：(3)(x－6)(x＋1)＝0， x1＝6，x2＝－1； (4)(x＋3)(x＋4)＝0， x1＝－3，x2＝－4。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．根据方程的根的情况，完成下列问题。 (1)x2－2x－3＝0；x1＝____，x2＝____， x1＋x2＝____，x1x2＝____； (2)x2＋4x＋3＝0；x1＝____，x2＝____， x1＋x2＝____，x1x2＝____； (3)x2－5x－6＝0；x1＝____，x2＝____， x1＋x2＝____，x1x2＝____； (4)x2＋7x＋12＝0；x1＝____，x2＝____， x1＋x2＝____，x1x2＝____。 你发现了什么规律？告诉大家。 3 －1 2 －3 －1 －3 －4 3 6 －1 5 －6 －3 －4 －7 12 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 实践探究 计算填表： 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x+1=0 x2 -x-1=0  2x2-3x +1=0 1 1 2 1 -1 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 6 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac ≥ 0 时有两个根： x1＝ x2＝ x1＝ ＝ . x1＝ ＝ . 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么 x1＝ . x1＝ . 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 3x -2 = 0 . 【方法指导】利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6. △ =b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2=7， x1x2 = 6. 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （2）2x2 - 3x -2 = 0 . 解： （2）这里 a = 2，b =3，c =2. △ =b2-4ac = (3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2= ， x1x2 = 1. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。 (1)求m的取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值。 【方法指导】(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； (2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2， 【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。 (1)求m的取值范围； ∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0。解得m≤ 。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。 (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值。 解：(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3， x1x2＝m－1。 ∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0， ∴2×(－3)＋m－1＋10＝0。 解得m＝－3。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例3】若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数，求k的值。 【方法指导】应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判别式。 解：设方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2。 由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1。 当k＝1时，Δ＜0； 当k＝－1时，Δ＞0。 综上所述，k＝－1。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 2. 应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 3. 应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac ≥ 0 时，才能应用根与系数的关系. 1. 一元二次方程根与系数的关系是什么？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 随堂练习 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0. 解：（1）x1+x2=3， x1x2 = -1. （2）x1+x2=－，x1x2 =－ . 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2. 小明和小华分别求出了方程 9x2+6x-1=0 的根. 小明：x1 = x2 =－ ； 小华：x1 =－3+3 ，x2 =－3－3. 他们的答案正确吗？说说你的判断方法. x1+x2=－ ，x1x2 =－. 解：由题意，可得 小明和小华求得的根与算式都不符合， ∴小明和小华的答案都不正确. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3. 已知方程 x2－ x－7=0 的一个根是 3 ，求它的另一个根. 解：x1x2 =－7. x1 = 3. x2 = －. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．利用根与系数的关系，求出下列方程的两根之和、两根之积。 (1)2x2－3x－4＝0； (2)x(2x－1)－2＝0。 解：(1)这里a＝2，b＝－3，c＝－4。 Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，∴方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝， x1x2＝－2。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(2)原方程可化为2x2－x－2＝0。 这里a＝2，b＝－1，c＝－2。 Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－2)＝1＋16＝17＞0，∴方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1＋x2＝ ， x1x2＝－1。 (2)x(2x－1)－2＝0。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 5．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根是－2，则另一个根是____。 0 －5 －1 6．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根是6，则m＝____，另一个根是____。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．若方程3x2＋2x－5＝0的两个根为x1，x2，则＋ ＝____。 5．已知方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0的两个实数根x1，x2，且x1x2＝5，则k的值为____。 4 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $