精品解析：黑龙江省哈尔滨市松南学校2025---2026学年度下学期七年级期中问诊测试 数学学科调研测试

松南学校2025—2026学年度（下）七年级期中问诊测试 数学学科调研测试 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“考号”、“班级”“姓名”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列各点中，位于第四象限的点是（ ） A. (3,4) B. (3,4) C. (3,4) D. (3,4) 3. 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( ) A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 4. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 点一定在第二象限 B. 点到y轴的距离为2 C. 若中，则P点在y轴上 D. 若，则点一定在第二、第四象限角平分线上 7. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断 的是（　　） A. B. C. D. 8. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 9. 下列命题中正确的有（ ） ①相等的角是对顶角；②平方根等于本身的数是0和1； ③同旁内角互补；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤无限小数是无理数；⑥负数有一个立方根 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 10. 如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的规律运动，则第 次运动到点（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 11. 的算术平方根是______． 12. 已知方程，用含x的代数式表示y为 ： ________________________. 13. ﹣2的小数部分是________________． 14. 若，，则______． 15. 已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是__________． 16. 若点在轴上，则点的坐标为______． 17. 已知，则的值为______． 18. 若关于x、y的方程是二元一次方程，则________． 19. 在平面内，已知∠AOB=50°，OC⊥OA，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为_______. 20. 在平面直角坐标系中，将，两点先同时向左平移2个单位长度，再向下平移k个单位长度得到R，S两点（点P对应点R，点Q对应点S）．连接，过Q作的垂线l，E是直线l上一点，连接，且的最小值为2．下列结论正确的有______（只填序号）． ①；②P、Q、R三点可能在同一条直线上；③直线 轴；④当取最小值时，点E的坐标为． 三、解答题（本题共计7小题，共计60分） 21. 计算 （1）； （2）； （3） 22. 用适当的方法解下列方程组． （1）； （2） 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点的坐标为． （1）写出点，点的坐标； （2）画出将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得到的三角形； （3）直接写出三角形的面积． 24. 完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知， ，垂足分别为、，， 求证：． 证明：， （ ① ）， ，（ ② ）． 即． （ ③ ）． ④ （ ⑤ ）． （已知）， （ ⑥ ）． ⑦ （ ⑧ ）． （两直线平行，同位角相等）． 25. 某校计划从批发市场花6000元购买篮球和足球共240个，组织学生手绘设计后出售，并将利润全部捐给山区贫困儿童，已知篮球批发是20元/个，足球批发是30元/个． （1）该校购进篮球和足球各多少个？ （2）已知篮球零售价32元/个，足球零售价是43元/个，若这批篮球足球全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 26. 已知两直线a，b，且 ，在直角三角板中，，，三角板的顶点 B在直线b上． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，和分别与直线a交于D，E 两点，探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，F为直线b上一点，绕点B 旋转直角三角板，点A 始终在直线a的上方， 若存在， 求的度数． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，其中，满足 ，连接、 ． （1）直接写出点坐标； （2）动点以每秒个单位长度的速度，从点出发，沿轴正半轴匀速运动，设点的运动时间为秒，请用含有的表达式表示的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，作 的角平分线交轴负半轴于点， ，为延长线上一点，的角平分线交于点，且 ，当为何值时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松南学校2025—2026学年度（下）七年级期中问诊测试 数学学科调研测试 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“考号”、“班级”“姓名”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握负数小于零、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键． 直接比较各数的大小即可解答． 【详解】解：∵， ∴最小的是，D选项符合题意． 故选D． 2. 下列各点中，位于第四象限的点是（ ） A. (3,4) B. (3,4) C. (3,4) D. (3,4) 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0. 【详解】∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴(3,4) 位于第四象限. 故选A. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. 3. 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( ) A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】C 【解析】 【详解】由对顶角的定义：“有公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角互为对顶角”分析可知，A、B、D三幅图中的∠1、∠2都不是对顶角，只有C图中的∠1、∠2是对顶角. 故选C. 4. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根，算术平方根，平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. 错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 点一定在第二象限 B. 点到y轴的距离为2 C. 若中，则P点在y轴上 D. 若，则点一定在第二、第四象限角平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、∵，，所以点一定在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意； B、点到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意； C、若中，则P点在y轴上，说法正确，故此选项不符合题意； D、若，则点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 7. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断 的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵ ，∴ ，本选项不符合题意； B、∵，∴，不能判定 ，本选项符合题意； C、∵，∴ ，本选项不符合题意； D、∵，∴ ，本选项不符合题意； 故选：B． 8. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，先确定的取值范围，再利用不等式性质推导的范围即可． 【详解】∵ ，，且， ∴ ∴， ∴， ∴ 的值在 和之间． 9. 下列命题中正确的有（ ） ①相等的角是对顶角；②平方根等于本身的数是0和1； ③同旁内角互补；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤无限小数是无理数；⑥负数有一个立方根 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，则命题①错误； 平方根等于本身的数是0（因为1的平方根是 ，不是它本身），则命题②错误； 两直线平行，同旁内角互补，则命题③错误； 在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则命题④错误； 无限不循环小数是无理数，则命题⑤错误； 任何实数都只有一个立方根，负数的立方根是负数，则命题⑥正确； 综上，正确的命题只有1个． 10. 如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的规律运动，则第 次运动到点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：运动点 的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环， ，因此第 次运动到点 ． 【详解】解：根据题意可知，动点 的运动规律是： 第1次从原点运动到点 ， 第2次运动到点， 第3次运动到点 ， 第4次运动到点 ， ， 由此可得：动点 的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环， ， 第 次运动到点 ，即． 二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 已知方程，用含x的代数式表示y为 ： ________________________. 【答案】y=-2x+4 【解析】 【分析】把方程2x+3y-4=0写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后系数化1就可用含x的式子表示y的形式.: 【详解】解：移项得：y=-2x+4， 故答案为：y=-2x+4. 【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能，移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其它的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含x的式子表示y的形式或用含y的式子表示x的形式． 13. ﹣2的小数部分是________________． 【答案】##-4+ 【解析】 【分析】先估算出﹣2的范围，再用﹣2整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵和小数部分相同， ∴的小数部分为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 14. 若，，则______． 【答案】293.8 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，先根据，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：293.8 15. 已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得：2m−6=6， 移项得：2m=6+6， 解得：m=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握二元一次方程的解的定义是解题关键． 16. 若点在轴上，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中轴上的点的坐标特征，理解坐标轴上的点的坐标特征是解题关键．根据题意“点在轴上”，可得，算出的值，即可解题． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ， 则点 的坐标为， 故答案为：． 17. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和绝对值的化简，利用二次根式被开方数的非负性确定的取值范围，化简绝对值后整理等式，再变形得到所求代数式的值，运用整体代入的思想求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，即， ， ， 将其代入原等式得： ， 整理得 ， 两边平方得：， 移项得： ， 故答案为． 18. 若关于x、y的方程是二元一次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 19. 在平面内，已知∠AOB=50°，OC⊥OA，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为_______. 【答案】60°或30°． 【解析】 【分析】分类讨论：OB在∠AOC的内部；OB在∠AOC的外部．根据垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得∠BOC的度数，根据角平分线，可得∠BOD的度数，再根据角的和差，可得答案． 【详解】符合题意的图形有两个，如图1、图2， 在图1中，OB在∠AOC的内部． ∵OC⊥OA， ∴∠AOC=90°． ∵∠AOB=50°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=40°． ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD=∠BOC=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°； 在图2中，OB在∠AOC的外部． ∵OC⊥OA， ∴∠AOC=90°． ∵∠AOB=50°， ∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=140°． ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD=∠BOC=70°， ∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=30°． 综上，∠AOD的度数为60°或30°． 故答案为：60°或30°． 【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，先求出∠BOC的度数，再求出∠BOD的度数，最后求出答案，有两种情况，以防漏掉． 20. 在平面直角坐标系中，将，两点先同时向左平移2个单位长度，再向下平移k个单位长度得到R，S两点（点P对应点R，点Q对应点S）．连接，过Q作的垂线l，E是直线l上一点，连接，且的最小值为2．下列结论正确的有______（只填序号）． ①；②P、Q、R三点可能在同一条直线上；③直线 轴；④当取最小值时，点E的坐标为． 【答案】①③ 【解析】 【分析】先求出点，的坐标，再利用两点之间的距离公式可得①正确；先得出点与点不在同一条直线上，再根据平移的性质可得，进而可得②错误；得出轴，进而可得③正确；先求出直线上的点的纵坐标都与点的纵坐标相等，即为，再根据垂线段最短可得当与直线垂直时，的值最小，则可得此时点 的横坐标与点的横坐标相等，即为，进而可得④错误． 【详解】解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为，即， ∴， ， ∴，结论①正确； ∵点 与点的横坐标相等、纵坐标不相等， ∴点与点不在同一条直线上， 由平移的性质可知，， ∴点 、、三点不可能在同一条直线上，结论②错误； ∵点 与点的横坐标相等、纵坐标不相等， ∴轴， ∵过作的垂线， ∴直线 轴，结论③正确； ∴直线上的点的纵坐标都与点的纵坐标相等，即为， ∵点 是直线上一点， ∴点 的纵坐标为， 由垂线段最短可知，当与直线垂直时，的值最小， ∴此时轴， ∴此时点 的横坐标与点的横坐标相等，即为， ∴当取最小值时，点 的坐标为，结论④错误； 综上，结论正确的有①③． 三、解答题（本题共计7小题，共计60分） 21. 计算 （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先算，再算，再进行化简即可； （2）先算，再进行化简即可； （3）先算，再算，，，再进行化简即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 22. 用适当的方法解下列方程组． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 由① ②得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为 【小问2详解】 解： 由 得，③ 由得，④ 由 得，，解得 将代入①得，，解得 ∴原方程组的解为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点的坐标为． （1）写出点 ，点的坐标； （2）画出将三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得到的三角形； （3）直接写出三角形的面积． 【答案】（1）；； （2） （3） ． 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标确定、图形的平移变换以及利用“割补法”求格点三角形的面积． （1）坐标确定：根据点在坐标系中的位置，写出横纵坐标； （2）平移变换：利用“左减右加，上加下减”的规律计算平移后的坐标； （3）面积计算：通过构造外接矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来求解． 【小问1详解】 由图可得：，； 【小问2详解】 三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，利用坐标变换“左减右加，上加下减”的规律可知三角形的横坐标减，纵坐标加， 点平移后的坐标为即； 点平移后的坐标为即； 点平移后的坐标为即； 图略； 【小问3详解】 解：如图，构造一个矩形 ，再利用“割补法”求三角形的面积， ，，， ， ． 24. 完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知 ， ，垂足分别为 、 ，， 求证：． 证明： ， （ ① ）， ，（ ② ）． 即． （ ③ ）． ④ （ ⑤ ）． （已知）， （ ⑥ ）． ⑦ （ ⑧ ）． （两直线平行，同位角相等）． 【答案】①已知；②垂直的定义；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥同角的补角相等；⑦ ；⑧内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，利用已知条件可求得，根据同位角相等，两直线平行可得，利用两直线平行，同旁内角互补求出，结合题目中所给的条件，可得，再利用内错角相等，两直线平行可知，最后根据两直线平行，同位角相等即可求证． 【详解】证明： ， （已知）， ，（垂直的定义）． 即． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 25. 某校计划从批发市场花6000元购买篮球和足球共240个，组织学生手绘设计后出售，并将利润全部捐给山区贫困儿童，已知篮球批发是20元/个，足球批发是30元/个． （1）该校购进篮球和足球各多少个？ （2）已知篮球零售价32元/个，足球零售价是43元/个，若这批篮球足球全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 【答案】（1）该校购进篮球120个,足球120个． （2）该校这次义卖活动所获利润为3000元． 【解析】 【分析】（1）设该校购进篮球个，足球个，某校计划从批发市场花6000元购买篮球和足球共240个，据此列出方程组并解方程组即可； （2）根据总利润等于每件利润乘对应数量，分别计算篮球和足球的利润再相加即可得到总利润． 【小问1详解】 解：设该校购进篮球个，足球个， 根据题意得， 解得． 答：该校购进篮球120个，足球120个； 【小问2详解】 解：（元）． 答：该校这次义卖活动所获利润为3000元． 26. 已知两直线a，b，且 ，在直角三角板中，，，三角板的顶点 B在直线b上． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，和分别与直线a交于D，E 两点，探究与 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，F为直线b上一点，绕点B 旋转直角三角板，点A 始终在直线a的上方， 若存在， 求 的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）过点C作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况：当在直线b的上方时；当在直线b的下方时；根据平行线的性质列出一元一次方程，计算即可得解． 【小问1详解】 解：如解图①，过点C作， ∵ ， ∴， ∴ ，， ∵， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下：如解图②，取 和 ， 由（1）可得，， ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， 整理，得； 【小问3详解】 解：①当在直线b的上方时，如解图③， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴； ②当在直线b的下方时，如解图④， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 综上所述， 的度数为或． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，其中，满足 ，连接 、． （1）直接写出点坐标； （2）动点 以每秒个单位长度的速度，从点出发，沿轴正半轴匀速运动，设点 的运动时间为秒，请用含有的表达式表示的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，作 的角平分线交轴负半轴于点 ， ， 为延长线上一点，的角平分线交于点，且 ，当为何值时， ． 【答案】（1）； （2） ； （3） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点的坐标表示、求不规则三角形的面积、三角形的外角性质和直角三角形的面积公式． （1）根据非负数的性质可知 ， 即可求出，的值； （2）利用“割补法”将三角形 的面积转化为几个规则三角形的面积和差关系， 即可得到； （3）根据三角形外角的性质以及角平分线的性质可求得 ，再利用三角形内角和为，可求出 ，根据直角三角形的面积公式得到 即可求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：动点 以每秒个单位长度的速度，从点出发，沿轴正半轴匀速运动，设点 的运动时间为秒， ，如图，连接、、 ，且知，， ， ， ； 【小问3详解】 解：平分 ， ， 平分， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $