精品解析：上海市宝山区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025~2026学年宝山区高二下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）． 1. 直线的斜率是__________. 2. 已知为等差数列，， ，则公差__________． 3. 已知向量平行于向量，则__________． 4. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则 的取值范围是______. 5. 平行直线与间的距离为_____. 6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 7. 已知数列满足，，则__________． 8. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______． 9. 数列的通项公式，则________. 10. 圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线 构成，其中与 的离心率之比为 ．一束激光从焦点发出，依次经 与反射后返回，历时秒；若将装置中的 去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则 ______． 11. 已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 12. 某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为 、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽 为2米，渠深（ 到直线 的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为__________米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）． 13. 已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ） A. B. C. D. 14. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 15. 设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，，，连接动点与、 形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）． 17. 已知直线：和直线：，其中m为实数． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 18. 如图，在直三棱柱中， ，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 19. 已知数列满足：， ，且对任意正整数都成立． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式 恒成立，求实数的最小值． 20. 在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且 ．” （1）请将该命题类比到空间中，并证明． （2）在四面体 中，已知 ， ， ．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 21. 已知抛物线，焦点为． （1）若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度； （2）已知 、为上两点，且．求面积的最小值； （3）抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、 两点（点在点、 之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年宝山区高二下期末考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）． 1. 直线的斜率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】直线斜率，为倾斜角. 【详解】直线的图像如图所示: 易知其倾斜角，其斜率 故答案为： 2. 已知为等差数列，， ，则公差__________． 【答案】2 【解析】 【详解】因为 ，即 ， 所以 3. 已知向量平行于向量，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 4. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 即． 故答案为：. 5. 平行直线与间的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【详解】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与平行，所以， 又因为双曲线的焦点为，且双曲线的一个焦点在直线上， 而直线与x轴的交点为，所以 ， 所以，所以， 所以双曲线的方程为：. 7. 已知数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由递推公式，确定数列周期，即可求解. 【详解】由，， 得 ， ， ​， 因此数列是周期为3的周期数列， 因为， 所以. 8. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，直线与连接两点的线段总有公共点，求出，可知直线的斜率满足或 ，求出倾斜角即可. 【详解】如下图，由题意， 直线方程可化为， 由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或 ， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 9. 数列的通项公式，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式求解即可. 【详解】数列中，，，数列是等差数列，数列亦是等差数列， 所以. 故答案为： 10. 圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线 构成，其中与 的离心率之比为 ．一束激光从焦点发出，依次经 与反射后返回，历时秒；若将装置中的 去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则 ______． 【答案】8 【解析】 【分析】由椭圆定义、双曲线定义结合离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆定义得①，②， ①﹣②得，， 即的周长为， 将装置中的 去掉，激光从发出经两次反射后返回， 不妨设，激光从发出后经C处反射后经过，再由D处反射后返回，如图， 由椭圆定义知的周长为， 一束激光从焦点发出，依次经 与反射后返回， 经过的路程为的周长为， 将装置中的 去掉，激光从发出经两次反射后返回，经过的路程为的周长为， 因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点， 所以 . 11. 已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 12. 某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为 、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽 为2米，渠深（ 到直线 的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为__________米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米） 【答案】0.71 【解析】 【分析】首先建立合适的坐标系，求出抛物线方程，当所挖的土方量最少时，梯形的面积最小，且等腰梯形的两腰均与抛物线相切，根据切线方程可得梯形的面积，结合基本不等式可求最值，进而得解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，由题意知， 当所挖的土方量最少时，梯形的面积最小，且等腰梯形的两腰均与抛物线相切， 设右侧切线与轴交于点，与梯形的上底交于点，切点为. 设抛物线的方程为，将的坐标代入方程可得 ， 所以曲线段的方程为. 设，因为，所以在处的切线的斜率为， 所以切线的方程为，即， 将代入可得，所以； 将代入可得，所以， 根据等腰梯形的对称性可得其面积为， 当且仅当，即时等号成立， 此时水渠的底部宽度为米. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）． 13. 已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 14. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 15. 设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，根据数列为递增数列，联立不等式组，即可求得答案. 【详解】由，得， 又数列为递增数列，得，解得 .即：. 16. 已知，，，连接动点与、 形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据题意可求出点的轨迹方程，将分别替换为看曲线方程是否仍成立可判断①；联立与曲线方程得到方程组，根据方程组解的情况可判断②；曲线上的点到原点的距离，消参后由基本不等式可得距离的最小值，从而可判断③；直线与曲线只有一个交点，从而可判断④． 【详解】由题意知直线的斜率均存在，故可设， 由得，去分母后可得， 即点的轨迹（曲线）方程为. 对于①，将分别替换为得，方程不变， 故曲线关于原点中心对称，①正确. 对于②，联立与得， 解得，但需满足，即， 由得， 所以当时，曲线与直线有交点； 当时，曲线与直线没有交点， 故②错误. 对于③，曲线上的点到原点的距离， 由得，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，此时，即曲线上的点到原点的距离的最小值不是，所以③错误. 对于④，因为曲线的方程可转化为， 取直线，将代入得， 即存在直线与曲线有且仅有一个交点，故④正确． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）． 17. 已知直线：和直线：，其中m为实数． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【答案】（1） 或0 （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据垂直得到方程，求出m的值； （2）将代入中，解得，设直线l的方程，根据两截距相等得到方程，求出或，得到直线l的方程. 【小问1详解】 由题意得，解得 或0； 【小问2详解】 由在直线上，得，解得，可得， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为， 令 ，可得，再令，可得， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或． 18. 如图，在直三棱柱中， ，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：直三棱柱中， ． 以为原点，以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，得 ， 令，则，， 得到平面的一个法向量， 又，，， 因为 ，所以， 又在平面外，所以平面． （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，，由 ，即可得证明； （2）平面的一个法向量为，求出的值，结合二面角的平面角定义即可得答案； （3）利用求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为． 则， 所以平面与平面所成二面角是或． 【小问3详解】 因为，， 所以点到平面的距离． 19. 已知数列满足：， ，且对任意正整数都成立． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式 恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）因为，对一切正整数成立， 所以，即 ， 因为， ，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到 ，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． 【小问3详解】 ， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式 恒成立时，， 即实数的最小值为． 20. 在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且 ．” （1）请将该命题类比到空间中，并证明． （2）在四面体 中，已知 ， ， ．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且 ． 证明：①若点 平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令 ， ， ，则，其中 ． ②反之，若已知，且 ． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且 ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）的结论知 ，从而， 从而， 由已知 ， ， 得 ， ②因为 ， 所以． 21. 已知抛物线，焦点为． （1）若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度； （2）已知 、为上两点，且．求面积的最小值； （3）抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、 两点（点在点、 之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用抛物线的定义求解； （2）思路一：设 的直线并联立抛物线方程；思路二：直接设 两点，再结合题目条件求解. （3）算出点，设、 两点坐标和直线方程再联立抛物线方程，结合题目条件求解. 【小问1详解】 由题知焦点．准线方程为， 根据抛物线的定义知， 由已知，所以 ． 【小问2详解】 思路一：显然，直线 的斜率不可能为零，设直线 的方程为，与 联立，得，所以 ，化简得 ． 设，，则，． 因为， 所以 ， 即 ， 于是 ． 将，代入，化简得． 由 ，得 ，所以 ． 由，得，解得或． 由得 ．所以的面积 ， 于是，当时， 有最小值为． 故面积的最小值为． 思路二：设，，则 ， 所以．① 因为．所以．② 当 时，不等式②化简得 ，所以 时不等式②成立； 当时，不等式②化简得 ，解得 或 ． 综上，的取值集合是． 由得 ，所以的面积 将①代入，得， 所以，当 时， 有最小值为． 故面积的最小值为． 【小问3详解】 如图，由已知得，，设，，直线的方程为 ，与 联立，得 ． 则 ， ， ，解得或 ． 因为，所以，即． 于是 ，当且仅当， 即或时等号成立． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $