精品解析：上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试卷

2024学年第二学期期末 高二年级数学学科质量监测试卷 满分150分 时间120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分） 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为. 故答案为 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型. 2. 等差数列中，2和8的等差中项为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：5. 3. 经过点且斜率为1的直线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 5. 已知直线和互相垂直，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 6. 已知数列中，，则其前项和_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列求和公式即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：. 7. 已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 【答案】7 【解析】 【分析】由题意得，结合等比数列性质、对数运算性质即可得解. 【详解】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 故答案为：7. 8. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆相切，建立方程，可得答案. 【详解】由双曲线方程，则其渐近线方程， 由圆方程，整理可得，其圆心为，半径， 由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得， 由题意，可得，解得. 故答案为：. 9. 已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求则到的距离与到准线的距离之和的最小值. 【详解】设为抛物线的焦点，则， 如图，设，为到准线的距离且为垂足， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 10. 在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律. 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为____________________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，进一步得所求为，结合诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以，即，所以， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则， 所以， 故双曲线的两条渐近线的夹角的正切为. 故答案为：. 12. 数列满足，若，且，则的最大值为__________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角换元、数学归纳法得，进一步化简所求表达式，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以可设， 又，所以，， 所以我们猜想，现在利用数学归纳法证明之， 设当时，公式成立， 则当时，， ， 综上所述，， 结合恒等式，有， 当时，即时，表达式有最大值. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分） 13. 已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 14. 已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 15. 已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （ ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关系得出，找到数列的周期即可. 【详解】由题意可得，，， ，， 故数列是以为一个循环的周期数列， 故. 故选：D 16. 平面直角坐标系中，将直线绕着轴旋转一周后形成一个曲面，用一不过原点的平面截该曲面.设平面与轴所成的角为，若平面与曲面相截得到的平面曲线为椭圆，则的范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，由几何关系可得. 【详解】由题意知，曲面为一个圆锥的侧面，设过椭圆长轴的圆锥的轴截面为平面，长轴与交于点，则， 在轴截面内，过椭圆中心作，则， 因直线的倾斜角为，故，， 则，则. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤） 17. 已知直线. （1）证明：对任意实数，直线都经过一个定点； （2）若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）或. 【解析】 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【小问1详解】 将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； 【小问2详解】 由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 18. 已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. （1）求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； （2）令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用构造法结合等比数列定义可证数列为等比数列，从而求得的通项公式； （2）根据增数列得对任意正整数都成立，化简后可求参数的取值范围. 【小问1详解】 数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 19. 如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. （1）求向量在基下的坐标； （2）若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）向量在基下的坐标为，再根据向量的线性运算可求； （2）①根据向量的线性运算，先求在基下的坐标，设，再利用向量模长的坐标表示求得，即可得到向量在基下的坐标；②由题知旋转体是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体积计算公式求解即可. 【小问1详解】 设向量在基下的坐标为， 则 因为 可得方程组，解得 所以向量在基下的坐标为. 【小问2详解】 ①向量在基下的坐标为， 即 则. 因为向量与共线，可设， 解得， 所以在基下的坐标为或. ②， 因为与的夹角为锐角，从而，所以， 在上的投影大小为 以、为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥， 该圆锥的半径， 两个圆锥高值和为， 所以旋转体的体积为 20. 如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. （1）若点是的中点，证明：与、共面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小； （3）若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）时，与平面所成的角取得最大值. 【解析】 【分析】（1）计算出，得到与共面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而利用夹角余弦公式得到平面与平面所成的锐二面角的大小； （3）在（2）基础上，根据点到平面的距离得到方程，求出，设与平面所成角为，计算出，此时，结合正弦函数单调性得到结论. 【小问1详解】 因为且， ， 所以， 因此与共面； 【小问2详解】 以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量是 则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为； 【小问3详解】 ，， 从而点到平面的距离为， 由可化简得，， 设与平面所成角为， 则， 令，则 ，（当时取等号）， 所以， 因为时，严格增， 所以当时，与平面所成的角取得最大值， 此时，即时， 与平面所成的角取得最大值. 21. 已知椭圆的图像经过点 （1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； （2）为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； （3）若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）； （3）是，定值. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）首先得到点的坐标，根据坐标表示直线和的斜率，得到，并利用倾斜角表示的正切值，即，转化后利用基本不等式求最值，根据最值成立的条件求离心率； （3）首先根据条件确定椭圆方程，当直线斜率存在时，设出直线得到方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，根据向量关系转化为，利用韦达定理表示点的坐标，结合点在椭圆上，得到，并求解点到直线的距离，结合面积公式求定值，当直线得到斜率不存在时，求定值. 【小问1详解】 由已知条件可知， 从而， 所以椭圆的方程； 【小问2详解】 设，则， 则， 从而. 设直线的倾斜角分别为则 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以， 从而，解得（舍负）， 所以当取得最大值时，椭圆的离心率为； 【小问3详解】 由已知椭圆经过点可得， 从而椭圆的方程； ①当直线与轴不垂直时，设， 联立方程组， 得. 由题意可知. 设，则，所以 ， 由可知， 设，则有， ， 因为点，在椭圆上， 所以， 整理得， 此时，， 点到直线的距离， 所以的面积 ， ②当直线与轴垂直时，，， ， ， . 综上可和，的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末 高二年级数学学科质量监测试卷 满分150分 时间120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分） 1. 抛物线的焦点坐标是__________． 2. 等差数列中，2和8的等差中项为__________. 3. 经过点且斜率为1的直线方程为___________. 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 5. 已知直线和互相垂直，则实数__________. 6. 已知数列中，，则其前项和_____________. 7. 已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 8. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_______． 9. 已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为_____________. 10. 在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为____________________. 12. 数列满足，若，且，则的最大值为__________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分） 13. 已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 与相交但不垂直 14. 已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （ ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 16. 平面直角坐标系中，将直线绕着轴旋转一周后形成一个曲面，用一不过原点的平面截该曲面.设平面与轴所成的角为，若平面与曲面相截得到的平面曲线为椭圆，则的范围是 （ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤） 17. 已知直线. （1）证明：对任意实数，直线都经过一个定点； （2）若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 18. 已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. （1）求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； （2）令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 19. 如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. （1）求向量在基下的坐标； （2）若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 20. 如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. （1）若点是的中点，证明：与、共面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的大小； （3）若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 21. 已知椭圆的图像经过点 （1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； （2）为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； （3）若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $