（期末复习）专题08 三角形、平行四边形和梯形的实际问题（讲义）-2025-2026学年四年级数学下册苏教版

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年四年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为苏教版四年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年四年级数学下册满分培优讲练测 （期末复习押题）专题08 三角形、平行四边形和梯形的实际问题 （能力清单+实战演练） 1、能清晰说出三类图形的定义、各部分名称，明确高、内角和的定义，掌握三类图形边、角的核心特征，牢记核心性质判定规则，理清三类图形的联系和区别。 2、能熟练根据已知边长、角度画出对应图形的高，说明“顶点向对边作垂线”的作图逻辑，理解高与对应底边的垂直对应关系。 3、能熟练根据已知条件求解三类图形的内角和、边长相关问题，说明“内角和固定、边的关系推导”的逻辑，理解边、角数值的对应关系。 4、能根据不同题目要求，灵活选用“性质判定法”“高的作图法”“内角和计算法”解决三类图形的实际问题。 5、解题前，会习惯性确定“图形类型”与“边、角、高的对应关系”，明确问题所求，理清已知量对应关系，避免特征混淆、高的底错配。 6、能分辨“图形判定”“高的绘制”“内角和边长计算”类问题，抓住“图形特征匹配、高底垂直对应”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“三角形”“平行四边形”“梯形”“高”“内角和”等关键词，快速定位解题方向。 8、能熟练根据已知高反推对应的底边长度，说明“垂直关系逆推匹配”的推导逻辑。 9、能熟练根据已知部分边、角条件反推缺失的数值，理解边、角、高的对应关系，掌握图形性质逆向推导的逻辑。 一、解答题 1．按要求画一画、填一填。如图是一条4厘米的线段。以M点为顶点画一个30°的角，以N点为顶点画一个70°的角，组成一个三角形，并标出度数。这个三角形属于（    ）三角形。 2．一个三角形的两条边的长度分别为4厘米和9厘米，另一个三角形的两条边的长度分别为2厘米和5厘米，并且这两个三角形的第三边一样长，且长度是整厘米数。聪明的你想一想它们的第三条边是多少厘米呢？ 3．一个直角梯形的高是3厘米，下底是上底的4倍，将上底延长9厘米，这个梯形就变成了一个长方形，长方形的周长是多少厘米？ 4．小明想用一根长14厘米的塑料棒围成一个等腰三角形，请你帮他设计一下，一共有几种不同的围法？并列举出来。（长度为整厘米数） 5．已知一个三角形中钝角是两个锐角和的2倍，那么这个钝角三角形中的钝角为多少度？ 6．一个梯形的下底是上底的4倍，如果将下底缩短9厘米，就成了一个平行四边形。这个梯形的上底和下底分别是多少厘米？ 7．一块三角形玻璃被打碎了一个角，被打碎的角是多少度？这个三角形是一个什么三角形？ 8．淘气是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根18厘米长的吸管剪成3段，再用这三段吸管围成一个三角形，可以怎么剪？（写出三种不同的答案） 9．奇奇在数学课上画了一个等腰三角形，已知他画的等腰三角形中的一个角是。你知道他画的等腰三角形中另外两个角分别是多少度吗？ 10．数学家具有刻苦踏实和勤奋好学的品质。在平时学习中，我们要像数学家一样善于思考，敢于探究。将一根长12厘米的铁丝，分成三段，再首尾相连成一个三角形。李鑫在3厘米处剪了一刀，再在哪个刻度剪一刀就能围成一个三角形？请你先在图中标出剪的位置，再把想法写下来。（边长为整厘米数） 你的想法是： 11．有9根小棒，长度分别是1cm、2cm、3cm、……、8cm、9cm，最多留下几根小棒，可以使留下的小棒中任意3根都无法拼成三角形？留下的分别是哪几根？ 12．从如图所示的5根小棒中选出3根，组成一个三角形，有多少种不同的组法？并列出其中三种。 13．一块直角三角形的菜地，已知一个锐角是另一个锐角的4倍，这两个锐角的度数分别是多少度？ 14．调皮的小兔子把三角形其中的一个角遮住了，你知道被遮住的角各是多少度吗？请列式算一算。 15．红领巾是少先队员的标志，是少先队组织的重要象征。红领巾的大小、形状都有严格的规定：红领巾的顶角的度数是底角的4倍，求红领巾各角的度数。 16．笑笑参加手工社团，需要把20厘米的吸管剪成三段，拼成一个三角形。笑笑可以怎么剪呢？请帮她列出两种剪法。 17．一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 18．用一张长80厘米，宽35厘米的彩纸做直角三角形小旗，每面小旗的两条边分别是20厘米、15厘米。这张彩纸最多可以做多少面小旗？ 19．用一段4米长的篱笆围一个一面靠墙的等腰三角形花坛（每条边都是整米数），靠墙的一面不用围。你能围出多少种不同的等腰三角形花坛？请在下面画一画示意图。 20．2024潍坊国际风筝嘉年华开幕，本届嘉年华创新扎制了众多特色鲜明的主题风筝。例如，以庆祝新中国成立75周年为主题的“祖国万岁”风筝、港珠澳大桥风筝和“蛟龙”号风筝等。小红买了一个形状是等腰三角形的风筝，已知该风筝的一个角是50°，另外两个角可能是多少度？ 21．小华家有一个三角形的小花园，其中一个角的度数为90°，而这个角的度数恰好是另一个角的度数的3倍。这个三角形花园的其他两个角的度数分别是多少？ 这个三角形的形状是什么样的？ 22．算出下面各三角形中∠3的度数，并写出它们各是什么三角形。 （1）∠1＝35°，∠2＝45°。 （2）∠1＝70°，∠2＝35°。 （3）∠1＝30°，∠2＝60°。 23．把一根12厘米长的细铁丝剪成3段（每段的长度都是整厘米数），围成一个三角形。能围成多少种不同的三角形？如果围成等腰三角形，底是多少厘米？ 24．乐乐要制作一个等腰三角形学具，这个等腰三角形的一个内角必须是52°，请你算一算，这个等腰三角形学具另外两个内角分别是多少度？ 25．黄山市境内名贵古树较多，某村为加强生态资源保护，赋能乡村文旅发展，在林业部门指导下，融合周边环境，给一棵树龄一千多年的银杏树加建一个等腰三角形护栏。已知护栏总长为36米，其中一条边的长度为8米，算一算另两条边分别是多长？ 26．李叔叔想制作一个三角形框架。他找到了下面这两根木条。 （1）你认为李叔叔应该锯断那根木条？并写出理由 （2）李叔叔把这根木条锯成长度是多少厘米的两段（取整厘米数）才能和另一根木条组成三角形？请你写出其中的一种锯法。 27．如图，用宽度为1厘米的小木条给一幅风景画包上边框，边框内侧长32厘米，宽18厘米。 （1）将包上边框后的风景画挂在墙上，所占墙面面积是多少平方厘米？ （2）画一画：下面的长方形代表宽1厘米的木条，用它制作边框。怎样切割，所用木条的总长度最短（请在下图中接着分一分，并标上需要的数据）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年四年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为苏教版四年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年四年级数学下册满分培优讲练测 （期末复习押题）专题08 三角形、平行四边形和梯形的实际问题 （能力清单+实战演练） 1、能清晰说出三类图形的定义、各部分名称，明确高、内角和的定义，掌握三类图形边、角的核心特征，牢记核心性质判定规则，理清三类图形的联系和区别。 2、能熟练根据已知边长、角度画出对应图形的高，说明“顶点向对边作垂线”的作图逻辑，理解高与对应底边的垂直对应关系。 3、能熟练根据已知条件求解三类图形的内角和、边长相关问题，说明“内角和固定、边的关系推导”的逻辑，理解边、角数值的对应关系。 4、能根据不同题目要求，灵活选用“性质判定法”“高的作图法”“内角和计算法”解决三类图形的实际问题。 5、解题前，会习惯性确定“图形类型”与“边、角、高的对应关系”，明确问题所求，理清已知量对应关系，避免特征混淆、高的底错配。 6、能分辨“图形判定”“高的绘制”“内角和边长计算”类问题，抓住“图形特征匹配、高底垂直对应”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“三角形”“平行四边形”“梯形”“高”“内角和”等关键词，快速定位解题方向。 8、能熟练根据已知高反推对应的底边长度，说明“垂直关系逆推匹配”的推导逻辑。 9、能熟练根据已知部分边、角条件反推缺失的数值，理解边、角、高的对应关系，掌握图形性质逆向推导的逻辑。 一、解答题 1．按要求画一画、填一填。如图是一条4厘米的线段。以M点为顶点画一个30°的角，以N点为顶点画一个70°的角，组成一个三角形，并标出度数。这个三角形属于（    ）三角形。 【答案】图见详解；锐角 【分析】用量角器画角的一般方法：先确定一个端点，引出一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一个点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度。分别M、N为端点以线段MN为一边按要求画出角，并组成一个三角形，三角形的内角和等于180°，用180°减去30°，再减去70°，即等于第三个角的度数，再根据三角形三个内角的度数判断是什么三角形；据此即可解答。 【详解】 180°－30°－70° ＝150°－70° ＝80° 30°、70°、80°都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 2．一个三角形的两条边的长度分别为4厘米和9厘米，另一个三角形的两条边的长度分别为2厘米和5厘米，并且这两个三角形的第三边一样长，且长度是整厘米数。聪明的你想一想它们的第三条边是多少厘米呢？ 【答案】6厘米 【分析】要确定第三边的长度，就要根据三角形三边之间的关系，即：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据题目可知第一个三角形的其中两条边是4厘米和9厘米，4＋9＝13，9－4＝5，从而得到第三边长的取值范围在5厘米和13厘米之间；同样的方法，2＋5＝7，5－2＝3，得到第二个三角形的第三边长的取值范围在3厘米和7厘米之间；接下来根据这两个三角形的第三条边一样长，且是整厘米数，即可确定第三边的长度。 【详解】4＋9＝13（厘米） 9－4＝5（厘米） 5厘米＜第三边＜13厘米（不包括5厘米和13厘米）； 所以第一个三角形的第三边长可能为6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米； 2＋5＝7（厘米） 5－2＝3（厘米） 3厘米＜第三边＜7厘米（不包括3厘米和7厘米）； 所以第二个三角形的第三边长可能为4厘米、5厘米、6厘米。 答：它们的第三条边是6厘米。 3．一个直角梯形的高是3厘米，下底是上底的4倍，将上底延长9厘米，这个梯形就变成了一个长方形，长方形的周长是多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】根据题意可知，下底比上底长9厘米，下底是上底的4倍，所以9厘米是上底的4－1＝3倍，9除以3等于上底的长度，上底的长度乘4等于下底的长度，即长方形的长，长方形的宽等于梯形的高，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算即可求出长方形的周长。 【详解】9÷（4－1） ＝9÷3 ＝3（厘米）     3×4＝12（厘米）     （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 答：长方形的周长是30厘米。 4．小明想用一根长14厘米的塑料棒围成一个等腰三角形，请你帮他设计一下，一共有几种不同的围法？并列举出来。（长度为整厘米数） 【答案】3种；围法见详解过程 【分析】三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；根据等腰三角形的特征：两腰相等，把14厘米分成符合三角形三边关系的三个整数，据此解答。 【详解】因为三条边的长度都是整厘米数，所以根据三角形的三边关系可知有3种不同的围法： ①围成一个等腰三角形：4厘米；4厘米；6厘米； ②围成一个等腰三角形：5厘米；5厘米；4厘米； ③围成一个等腰三角形：6厘米；6厘米；2厘米。 答：一共有3种不同的围法。 5．已知一个三角形中钝角是两个锐角和的2倍，那么这个钝角三角形中的钝角为多少度？ 【答案】120度 【分析】根据三角形的内角和是180度，又三角形中钝角是两个锐角和的2倍，即在三角形内角和中两个锐角占1份，钝角占2份，依此可求出两个锐角的度数，再乘2求出钝角，即可解答。 【详解】180÷（1＋1×2） ＝180÷（1＋2） ＝180÷3 ＝60（度） 60×2＝120（度） 答：这个钝角三角形中的钝角为120度。 6．一个梯形的下底是上底的4倍，如果将下底缩短9厘米，就成了一个平行四边形。这个梯形的上底和下底分别是多少厘米？ 【答案】上底3厘米；下底12厘米 【分析】根据一个梯形的下底是上底的4倍，如果将下底缩短9厘米，就成了一个平行四边形，说明梯形的下底缩短9厘米上底和下底长度就相同了，则缩短的9厘米就是原来梯形上底的（4－1）倍，用9除以相应的倍数即可求出上底的长度，再乘4即可求出下底的长度。 【详解】上底：9÷（4－1） ＝9÷3 ＝3（厘米）     下底：3×4＝12（厘米） 答：这个梯形的上底是3厘米，下底是12厘米。 7．一块三角形玻璃被打碎了一个角，被打碎的角是多少度？这个三角形是一个什么三角形？ 【答案】85度；锐角三角形 【分析】三角形的内角和是180°，已知其中的两个角，要求第三个角，用减法计算。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。据此解答。 【详解】180°－55°－40° ＝125°－40° ＝85° 因为三角形的三个角都小于90°，所以它是锐角三角形。 答：被打碎的角是85度，这个三角形是一个锐角三角形。 8．淘气是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根18厘米长的吸管剪成3段，再用这三段吸管围成一个三角形，可以怎么剪？（写出三种不同的答案） 【答案】见详解 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，进行解答即可。 【详解】把一根18厘米长的吸管剪成3段，再用这三段吸管围成一个三角形，可以这样剪： ①6厘米、6厘米、6厘米； ②5厘米、5厘米、8厘米； ③7厘米、7厘米、4厘米； ④5厘米、6厘米、7厘米； ⑤4厘米、6厘米、8厘米； ⑥3厘米、7厘米、8厘米； ⑦2厘米、8厘米、8厘米。（答案不唯一） 9．奇奇在数学课上画了一个等腰三角形，已知他画的等腰三角形中的一个角是。你知道他画的等腰三角形中另外两个角分别是多少度吗？ 【答案】两个角的度数分别是70°和40°或两个角的度数都是55° 【分析】在等腰三角形中，两个底角相等且三个内角之和为180°。已知等腰三角形中的一个角是70°，那么有两种情况。第一种，如果已知的那个角是底角，那么剩下的两个角分别是底角和顶角，也就是另一个底角也为70°。然后用180°减去两个底角的度数之和即可得到另一个顶角的度数。第二种，如果已知的那个角是顶角，那么可以用180°减去顶角的度数可以得到两个底角的度数之和。最后用除法即可求出另外两个底角的度数。 【详解】第一种：如果已知的那个角是底角，它的度数是70°，那么另一个底角的度数也是70°。 180°－（70°＋70°） ＝180°－140° ＝40° 第二种：如果已知的那个角是顶角，它的度数是70°。 （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 答：明明画的等腰三角形中另外两个角的度数分别是70°和40°或两个角的度数都是55°。 10．数学家具有刻苦踏实和勤奋好学的品质。在平时学习中，我们要像数学家一样善于思考，敢于探究。将一根长12厘米的铁丝，分成三段，再首尾相连成一个三角形。李鑫在3厘米处剪了一刀，再在哪个刻度剪一刀就能围成一个三角形？请你先在图中标出剪的位置，再把想法写下来。（边长为整厘米数） 你的想法是： 【答案】7厘米或8厘米处；图见详解 【分析】在3厘米处剪一刀，剩余长度为12－3＝9（厘米）。根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断，当另外两边为4厘米和5厘米的时候能够围成三角形。因此可以在7厘米或者8厘米处剪一刀，就能围成一个三角形。 【详解】 想法是：12厘米减去3厘米后还剩9厘米，9厘米可以分成：1厘米和8厘米，2厘米和7厘米，3厘米和6厘米，4厘米和5厘米，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断，3＋1＜8，不符合；3＋2＜7，不符合；3＋6＝6，不符合；3＋4＞5且5－4＜3，符合，即当三角形三条边分别为3厘米、4厘米和5厘米的时候能够围成三角形。 答：在7厘米或者8厘米处剪一刀，就能围成一个三角形。 11．有9根小棒，长度分别是1cm、2cm、3cm、……、8cm、9cm，最多留下几根小棒，可以使留下的小棒中任意3根都无法拼成三角形？留下的分别是哪几根？ 【答案】5根；见详解 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，要使三根小棒不能拼成三角形，那么任意两根小棒的长度之和等于或小于第三根小棒，则不能拼成三角形来求解。第1种，1与2的和是3，而2与3的和是5，3与5的和是8，所以可以留1cm、2cm、3cm、5cm、8cm。第2种，在第1种的基础上，把8cm的小棒换成9cm的小棒即可。第3种，1cm、2cm、3cm的小棒不能拼成三角形，而2与3的和是5，当第4根小棒是6cm时，5比6小，任意3根小棒也不能组成三角形，3与6的和是9，当第5根小棒是9cm时，也不能拼成三角形，据此来解答。 【详解】第1种：1＋2＝3（cm） 2＋3＝5（cm） 3＋5＝8（cm） 第2种：1＋2＝3（cm） 2＋3＝5（cm） 3＋5＝8（cm） 8＜9 第3种：1＋2＝3（cm） 2＋3＝5（cm） 5＜6 3＋6＝9（cm） 答：最多留下5根小棒,分别是1cm、2cm、3cm、5cm、8cm或1cm，2cm、3cm、5cm、9cm或1cm、2cm、3cm、6cm、9cm。 12．从如图所示的5根小棒中选出3根，组成一个三角形，有多少种不同的组法？并列出其中三种。 【答案】7；2cm、3 cm、4 cm，2cm、4 cm、5 cm，2cm、5 cm、6cm 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，选出的小棒符合三角形三边之间的关系即可组成一个三角形，据此即可解答。 【详解】2＋3＞4，所以2cm、3 cm、4 cm的小棒可以组成一个三角形。 2＋3＝5，所以2cm、3 cm、5 cm的小棒不能组成一个三角形。 2＋3＜6，所以2cm、3 cm、6cm的小棒不能组成一个三角形。 2＋4＞5，所以2cm、4 cm、5 cm的小棒可以组成一个三角形。 2＋4＝6，所以2cm、4 cm、6cm的小棒不能组成一个三角形。 2＋5＞6，所以2cm、5 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 3＋4＞5，所以3cm、4 cm、5cm的小棒可以组成一个三角形。 3＋4＞6，所以3cm、4 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 3＋5＞6，所以3cm、5 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 4＋5＞6，所以4cm、5 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 答：有7种不同的组法，例如：2cm、3 cm、4 cm，2cm、4 cm、5 cm，2cm、5 cm、6cm可以组成一个三角形。 13．一块直角三角形的菜地，已知一个锐角是另一个锐角的4倍，这两个锐角的度数分别是多少度？ 【答案】72°；18° 【分析】直角三角形的两锐角之和等于90°，一个锐角是另一个锐角的4倍，所以90°是较小锐角的（1＋4）倍，90°除以（1＋4）等于较小锐角的度数，90°减较小的锐角的度数等于较大锐角的度数，据此即可解答。 【详解】90°÷（1＋4） ＝90°÷5 ＝18° 90°－18°＝72° 答：两个锐角的度数分别是72°和18°。 14．调皮的小兔子把三角形其中的一个角遮住了，你知道被遮住的角各是多少度吗？请列式算一算。 【答案】40度和35度 【分析】根据三角形的内角和是180度，用180度减去各图形中已知的两个角的度数即可求解。 【详解】 （度） （度） 答：被遮住的角分别是40度和35度。 15．红领巾是少先队员的标志，是少先队组织的重要象征。红领巾的大小、形状都有严格的规定：红领巾的顶角的度数是底角的4倍，求红领巾各角的度数。 【答案】顶角为120°；底角分别为30°、30° 【分析】三角形的内角和是180°，红领巾为等腰三角形，底角相等，因此假设底角的度数为1份，则顶角的度数为4份，因此用180°除以（1＋1＋4），即可得到底角的度数，再用底角的度数乘4，即可得到顶角的度数，依此解答。 【详解】180°÷（1＋1＋4） ＝180°÷6 ＝30° 30°×4＝120° 答：红领巾顶角的度数为120°，底角的度数分别为30°、30°。 16．笑笑参加手工社团，需要把20厘米的吸管剪成三段，拼成一个三角形。笑笑可以怎么剪呢？请帮她列出两种剪法。 【答案】三条边分别为5厘米、6厘米、9厘米；三条边分别为4厘米、7厘米、9厘米；三条边分别为3厘米、8厘米、9厘米 【分析】由题意得，剪成三段的长度之和为20厘米。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）。所以三角形中最长边就不能超过总长度的一半，即不能超过20÷2＝10厘米。据此解答。 【详解】第三条边最长为：20÷2－1＝10－1＝9（厘米） 剩余两边之和为：20－9＝11（厘米） ①如果剩下的两条边分别为5厘米、6厘米。 5＋6＝11（厘米），11＞9，可以构成三角形。 ②如果剩下的两条边分别为4厘米、7厘米。 4＋7＝11（厘米），11＞9， 可以构成三角形。 ③如果剩下的两条边分别为3厘米、8厘米。 3＋8＝11（厘米），11＞9，可以构成三角形。 答：笑笑可以剪出三条边分别为5厘米、6厘米、9厘米或4厘米、7厘米、9厘米或3厘米、8厘米、9厘米的三角形。 17．一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 【答案】上底4厘米；下底16厘米 【分析】根据一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍可知，缩短的长度是梯形上底的（4－1）倍，用缩短的长度除以这个倍数即可求出梯形上底的长度，再乘4即可求出梯形下底的长度，据此解答即可。 【详解】12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 答：它的上底是4厘米，下底是16厘米。 18．用一张长80厘米，宽35厘米的彩纸做直角三角形小旗，每面小旗的两条边分别是20厘米、15厘米。这张彩纸最多可以做多少面小旗？ 【答案】18面 【分析】2个直角边分别是20厘米、15厘米的直角三角形小旗，可以拼成一个长方形，先将宽35厘米裁成15厘米和20厘米，在长80厘米，宽15厘米的彩纸中，求出80厘米里面有几个20厘米，由此进一步求出小长方形的个数，再乘2求出三角形小旗的面数；在长80厘米，宽20厘米的彩纸中，求出80厘米里面有几个15厘米，由此进一步求出小长方形的个数，再乘2求出三角形小旗的面数；然后将两次求出三角形小旗的面数相加，即可求出这张彩纸最多可以做多少面小旗；据此解答。 【详解】80÷20＝4（个） 4×2＝8（面） 80÷15＝5（个）……5（厘米） 5×2＝10（面） 合起来：8＋10＝18（面） 答：这张彩纸最多可以做18面小旗。 19．用一段4米长的篱笆围一个一面靠墙的等腰三角形花坛（每条边都是整米数），靠墙的一面不用围。你能围出多少种不同的等腰三角形花坛？请在下面画一画示意图。 【答案】图见详解；3种 【分析】两腰相等的三角形是等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。且三条要满足任意两边的长度之和大于第三边。三角形一面靠墙，则三角形另外两条边的长度之和是4米。第一种：当底是1米，且底靠墙，那么两腰的长度之和是4米，即一条腰的长度是2米。第二种：两腰长度是2米，底也是2米，此时是等边三角形。第三种：两条边的长度分别是1米与3米，另一条腰的长度是3米，且一条腰靠墙。 【详解】①等腰三角形的底是1米。 4÷2＝2（米），两腰长度是2米。 ②4－2＝2（米） 等腰三角形的腰长2米，一条腰靠墙，此时是等边三角形； ③等腰三角形的腰长3米，且一条腰靠墙。 4－3＝1（米） 答：能围出3种不同的等腰三角形花坛。 20．2024潍坊国际风筝嘉年华开幕，本届嘉年华创新扎制了众多特色鲜明的主题风筝。例如，以庆祝新中国成立75周年为主题的“祖国万岁”风筝、港珠澳大桥风筝和“蛟龙”号风筝等。小红买了一个形状是等腰三角形的风筝，已知该风筝的一个角是50°，另外两个角可能是多少度？ 【答案】50°和80°或者65°和65° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。已知该风筝的一个角是50°，如果这个角是底角，那么另一个底角也是50°，可以用180°减去两个底角的度数算出第三个角的度数。已知该风筝的一个角是50°，如果这个角是顶角，可以用180°减去顶角的度数算出两个底角的度数，再除以2即可算出一个底角的度数。 【详解】假设这个50°的角是底角，那么另一个底角也为50°。 180°－50°－50° ＝130°－50° ＝80° 假设这个50°的角是顶角 （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 答：已知该风筝的一个角是50°，另外两个角可能是50°和80°或65°和65°。 21．小华家有一个三角形的小花园，其中一个角的度数为90°，而这个角的度数恰好是另一个角的度数的3倍。这个三角形花园的其他两个角的度数分别是多少？ 这个三角形的形状是什么样的？ 【答案】30°，60°；直角三角形 【分析】三角形的一个角的度数为90°，是另一个角的3倍，所以90°除以3等于另一个角的度数，三角形的内角和等于180°，180°减去90°，再减去另一个角的度数，即等于第三个角的度数；再根据三角形的分类知识判断这个三角形是什么三角形；据此即可解答。 【详解】90°÷3＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 三角形有一个角等于90°，是直角，所以这个三角形是直角三角形。 答：这个三角形花园的其他两个角的度数分别是30°、60°，这个三角形是直角三角形。 22．算出下面各三角形中∠3的度数，并写出它们各是什么三角形。 （1）∠1＝35°，∠2＝45°。 （2）∠1＝70°，∠2＝35°。 （3）∠1＝30°，∠2＝60°。 【答案】（1）100°；钝角三角形 （2）75°；锐角三角形 （3）90°；直角三角形 【分析】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；三角形的内角和为180°，知道三角形的两个内角的度数，直接用180°减去两个内角的度数即可算出第三个内角的度数。然后根据三个内角的度数来判断三角形的类型即可。 【详解】（1）∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－35°－45°＝145°－45°＝100° 100°的角是钝角，所以这是一个钝角三角形。 答：∠3＝100°，这个三角形是钝角三角形。 （2）∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－70°－35°＝110°－35°＝75° 三个角都是锐角，所以这是一个锐角三角形。 答：∠3＝75°，这个三角形是锐角三角形。 （3）∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－30°－60°＝150°－60°＝90° 90°的角是直角，所以这是一个直角三角形。 答：∠3＝90°，这个三角形是直角三角形。 23．把一根12厘米长的细铁丝剪成3段（每段的长度都是整厘米数），围成一个三角形。能围成多少种不同的三角形？如果围成等腰三角形，底是多少厘米？ 【答案】3种；2厘米 【分析】因为12＝1＋1＋10＝1＋2＋9＝1＋3＋8＝1＋4＋7＝1＋5＋6＝2＋2＋8＝2＋3＋7＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4，把一根12厘米长的细铁丝剪成3段，可以剪成1厘米1厘米10厘米、1厘米2厘米9厘米、1厘米3厘米8厘米、1厘米4厘米7厘米、1厘米5厘米、6厘米、2厘米2厘米8厘米、2厘米3厘米7厘米、2厘米4厘米6厘米、2厘米5厘米5厘米、3厘米3厘米6厘米、3厘米4厘米5厘米、4厘米4厘米4厘米。 任意三角形的两边之和必须大于第三边。将每组中较短的2根铁丝长度相加，如果大于第三根铁丝长度，就能围成三角形。围成的三角形有2条边相等的三角形就是等腰三角形，相等的两条边是等腰三角形的腰。另一条边是等腰三角形的底。 【详解】1＋1＜10，1厘米、1厘米、10厘米的铁丝不能围成三角形。 1＋2＜9，1厘米、2厘米、9厘米的铁丝不能围成三角形。 1＋3＜8，1厘米、3厘米、8厘米的铁丝不能围成三角形。 1＋4＜7，1厘米、4厘米、7厘米的铁丝不能围成三角形。 1＋5＜6，1厘米、5厘米、6厘米的铁丝不能围成三角形。 2＋2＜8，2厘米、2厘米、8厘米的铁丝不能围成三角形。 2＋3＜7，2厘米、3厘米、7厘米的铁丝不能围成三角形。 2＋4＝6，2厘米、4厘米、6厘米的铁丝不能围成三角形。 2＋5＞5，2厘米、5厘米、5厘米的铁丝能围成三角形。 3＋3＝6，3厘米、3厘米、6厘米的铁丝不能围成三角形。 3＋4＞5，3厘米、4厘米、5厘米的铁丝能围成三角形。 4＋4＞4，4厘米、4厘米、4厘米的铁丝能围成三角形。 答：能围成3种不同的三角形；如果围成等腰三角形，底是2厘米。 24．乐乐要制作一个等腰三角形学具，这个等腰三角形的一个内角必须是52°，请你算一算，这个等腰三角形学具另外两个内角分别是多少度？ 【答案】52°、76°或64°、64° 【分析】根据等腰三角形的特点可知，等腰三角形的两个底角相等，所以已知的一个内角是52°，这个内角可能是顶角，也可能是底角，分情况进行计算，再根据三角形的内角和为180°计算。 【详解】当52°的角是顶角时，底角为： （180°－52°）÷2 ＝128°÷2 ＝64° 当52°的角是底角时，另一个底角也为52°，顶角为： 180°－52°×2 ＝180°－104° ＝76° 答：这个等腰三角形学具另外两个内角分别是52°、76°或64°、64°。 25．黄山市境内名贵古树较多，某村为加强生态资源保护，赋能乡村文旅发展，在林业部门指导下，融合周边环境，给一棵树龄一千多年的银杏树加建一个等腰三角形护栏。已知护栏总长为36米，其中一条边的长度为8米，算一算另两条边分别是多长？ 【答案】14米；14米 【分析】等腰三角形的两条边相等。由题意得，等腰三角形护栏的总长为36米，其中一条边的长度为8米，可以假设这条边为腰或底边，然后算出剩下的边的长度。最后再根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边）来验证该假设是否成立即可。 【详解】假设8米的边为腰，那么另一条腰的长度也为8米。 36－8×2 ＝36－16 ＝20（米） 8＋8＝16（米），16米＜20米，即这三边无法围成三角形。 假设8米的边为底 （36－8）÷2 ＝28÷2 ＝14（米），即两条腰的长度都是14米。 8＋14＝22（米），22米＞14米，即这三边可以围成三角形。 答：剩下的两条边都是14米。 26．李叔叔想制作一个三角形框架。他找到了下面这两根木条。 （1）你认为李叔叔应该锯断那根木条？并写出理由 （2）李叔叔把这根木条锯成长度是多少厘米的两段（取整厘米数）才能和另一根木条组成三角形？请你写出其中的一种锯法。 【答案】（1）B木条；理由见详解 （2）5厘米和6厘米，或4厘米和7厘米，或3厘米和8厘米 【分析】（1）因为三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，观察两根木条，若不锯断11厘米的木条，仅6厘米这一根木条无法满足与11厘米木条组成三角形的条件。所以应该锯断11厘米长的木条，因为它太长，不锯断的话无法和6厘米的木条组成三角形。 （2）把B木条锯成两段，使锯断得到的两段木条之和6厘米，其差小于6厘米，即可围成三角形，由此解答即可。 【详解】（1）李叔叔应该锯断11厘米长的木条。 因为6＜11，6厘米的木条不论怎么据断都无法使两边之和大于11厘米，所以应锯断B木条。 （2）据法①：5＋6＞6，6－5＜6 可以把B木条锯成长度是5厘米和6厘米的两段和A木条组成三角形。 据法②：4＋7＞6，7－4＜6 可以把B木条锯成长度是4厘米和7厘米的两段和A木条组成三角形。 据法③：3＋8＞6，8－3＜6 可以把B木条锯成长度是3厘米和8厘米的两段和A木条组成三角形。 27．如图，用宽度为1厘米的小木条给一幅风景画包上边框，边框内侧长32厘米，宽18厘米。 （1）将包上边框后的风景画挂在墙上，所占墙面面积是多少平方厘米？ （2）画一画：下面的长方形代表宽1厘米的木条，用它制作边框。怎样切割，所用木条的总长度最短（请在下图中接着分一分，并标上需要的数据）。 【答案】（1）680平方厘米 （2）见详解 【分析】（1）根据题意，新的长方形的长就是（32＋1＋1）厘米，新的长方形的宽是（18＋1＋1）厘米。再根据长方形的面积＝长×宽，算出所占墙面面积是多少平方厘米。 （2）根据题意，边框是一个长方形，长方形的顶点处要用斜角拼接，据此解答即可。 【详解】（1）32＋1＋1 ＝33＋1 ＝34（厘米） 18＋1＋1 ＝19＋1 ＝20（厘米） 34×20＝680（平方厘米） 答：所占墙面面积是680平方厘米。 （2）切割方法如下所示：（画法不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $