第二十九章 圆 习题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“与圆的性质有关的辅助线的作法”，涵盖巧用弧的中点、巧构直径与直角、巧构圆内接四边形三大类型，通过例题导入，衔接圆的垂径定理、圆心角弧弦关系等基础知识点，搭建从性质理解到辅助线应用的学习支架。 其亮点在于以“满分技法”引导几何直观，如连弧中点半径用垂径定理，构直径用圆周角直角，培养学生推理能力。例题步骤详尽，如证明BC=2DE时延长DE构造等弧，助力学生形成逻辑思维，教师可借此提升教学效率，学生能掌握解题思路。

第二十九章　圆 培优精练27　 辅助圆(隐圆)构造方法及圆中最值 类型1　定点定长构造隐圆 【条件】OA＝OB＝OC＝OD   【结论】A，B，C，D四点在以点O为圆心的圆上 【依据】到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 【条件】O为定点，A为平面内一动点，且满足OA＝a   【结论】点A在以O为圆心，a为半径的圆上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 1.如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝42°，则∠CAD的度数是______. (第1题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 84° 返回首页 2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是边AB上的一动点.若将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是______. (第2题) －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 3.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝4，点D为平面内一动点，且AD＝1，E为CD的中点，则BE的最大值为. (第3题) ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 4.如图，AB＝3，C是平面内一动点，且BC＝3，连接AC，将AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，则BD的最小值为___. (第4题) 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 类型2　定弦定角构造隐圆 【条件】∠ACB＝90°，AB＝a，C为动点 【结论】C在以AB为直径的圆上运动 【条件】∠ACB＝α，AB＝a，C为动点 【结论】C在以AB为弦的圆上运动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 5.如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，若在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为______. (第5题) ＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 6.如图，在边长为3的等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，AC上的两个动点，且BD＝CE，若AD，BE交于点P，则CP的最小值为. (第6题) 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 7.如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝3，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠APD＝90°，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN＋MN的最小值为_____. (第7题) 3.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 类型3　四点共圆 【条件】∠ACB＝∠ADB 【结论】A，B，C，D四点共圆 【证明】反证法 【条件】在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180° 【结论】A，B，C，D四点共圆 【证明】反证法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 8.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝5，D是射线CB上的动点，连接AD，以AD为斜边向上作直角三角形ADE，使得∠AED＝90°，∠EAD＝30°，则BE的最小值是. (第8题) 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 9.将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADM，且点D落在BC的延长线上，连接CM. (1)如图1，若α＝120°，∠DMC＝90°，CM交AD于点N. ①求∠BAC的度数； 解：∵AB＝AD，∠BAD＝120°， ∴∠B＝∠ADB＝30°. ∵AC＝AM，∠CAM＝120°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∴∠ACM＝∠AMC＝30°. ∵∠DMC＝90°， ∴∠AMD＝∠AMC＋∠DMC＝30°＋90° ＝120°. 由旋转变换的性质，得∠ACB＝∠AMD. ∴∠ACB＝120°. ∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝180°－30°－120°＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ②求的值. 解：由①，得∠ADB＝∠ADM＝30°， ∴∠CDM＝60°. ∵∠CMD＝90°， ∴∠MCD＝∠NDC＝30°. ∴CN＝ND. ∵∠DMN＝90°，∠MDN＝30°， ∴DN＝2MN. ∴CN＝2MN. ∴＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)如图2，若点P，Q分别为BD，CM的中点，连接PQ并延长交AD于点G，求证：PG⊥AD. 解：证明：如图2，连接AP，AQ. ∵AB＝AD，BP＝DP， ∴AP⊥BD，AP平分∠BAD. ∵AC＝AM，CQ＝MQ， ∴AQ⊥CM，AQ平分∠CAM. ∴∠APC＝∠AQC＝90°. ∴A，C，P，Q四点共圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∴∠ACQ＝∠APQ. ∵∠BAD＝∠CAM＝α，∠CAQ＝∠CAM，∠PAD＝∠BAD， ∴∠CAQ＝∠PAD. ∵∠ACQ＋∠CAQ＝90°， ∴∠APG＋∠PAG＝90°. ∴∠AGP＝90°. ∴PG⊥AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $第二十九章　圆 培优精练26　求阴影部分面积的常见方法 方法1　直接和差法 图形         计算 方法 S阴影＝S扇形AOB－S△AOB S阴影＝S△ACB－S扇形CAD S阴影＝S扇形BAD－S半圆AB S阴影＝S扇形EAF－S△ADE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，若以AC为直径作半圆，交AB边于点D，点O为圆心，连接OD，则图中阴影部分的面积是_____. (第1题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2－ 返回首页 2.如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，以点C为圆心，以OC为半径作弧，交BC于点F，交CD于点G，以点D为圆心，以AD为半径作弧，交BD于点E.若AB＝1，则阴影部分的面积为. (第2题) 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 方法2　构造和差法 图形       计算 方法 S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC S阴影＝S△ODC－S扇形DOE S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 3.如图，矩形ABCD内接于⊙O，AD＝1，AC＝2，则图中阴影部分的面积为(　　) A. π＋ C.π＋ π＋ (第3题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，若以点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为. (第4题) π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 5.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为_____. (第5题) ＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 方法3　等积变换法 类别 平行 对称 旋转 平移 图形         转化后图形 计算 方法 S阴影＝S扇形COD S阴影＝S△ACD S阴影＝S扇形BOC S阴影＝ S正方形BCFE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC是⊙O的切线，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D.若F是劣弧AD的中点，且CE＝4，则阴影部分的面积为. (第6题) π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7.如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是________(结果保留π). (第7题) 4π－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8.如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP，BP，旋转△APB到△CEB的位置.若正方形的边长是10，PB＝4，则阴影部分的面积为______. (第8题) 21π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 方法4　容斥原理法 图形     计算方法 S阴影＝S扇形ACE＋S扇形BCD－S△ABC S阴影＝S扇形BCF＋S扇形BAE－ S矩形ABCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E是AD的中点，连接BE，CE.若分别以B，C为圆心，BE，CE为半径画弧交BC于点G，F，则图中阴影部分的面积为________. (第9题) 2π－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4.若以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧，交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是__________. (第10题) 13π－24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $第二十九章　圆 培优精练24　 与圆的性质有关的辅助线的作法 类型1　巧用弧的中点 满分技法： (1)连等弧所对的弦(圆心角)，运用等弧所对的弦(圆心角)相等解题； (2)连过弧(弦)中点的半径，运用垂径定理解题. 返回首页 1.如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是劣弧的中点，点D是优弧上的一点.若∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于. (第1题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 返回首页 2.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上异于A，B的一点，点D为的中点，延长DC交AB的延长线于点E.若∠CAE＝14°，则∠E的度数是______. (第2题) 24° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 3.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，交BC于点F. (1)求证：BC＝2DE； 解：证明：如图，延长DE交⊙O于点G. ∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB， ∴DE＝GE，＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵D是的中点， ∴＝＝. ∴＝. ∴BC＝DG＝2DE. 返回首页 (2)若AC＝6，AB＝10，求DF的长. 解：如图，连接BD，OD. ∵＝， ∴∠DBC＝∠BDF. ∴DF＝BF. ∵AB为⊙O的直径，AB＝10， ∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5. ∴BC＝＝＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 由(1)得DE＝BC＝4. ∵DE⊥AB， ∴OE＝＝＝3. ∴BE＝OB－OE＝2. 设DF＝BF＝a，则EF＝4－a. 在Rt△BEF中，由勾股定理，得22＋(4－a)2＝a2， 解得a＝. ∴DF＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 类型2　巧构直径与直角 直径所对的圆周角为90° 90°的圆周角所对的弦是直径 　   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 4.如图，AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的弦，P是上一点.若∠BCD＝30°，则∠APD的度数为(　　) A.150° B.135° C.120° D.105° (第4题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 5.如图，在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，连接AD，BC.若AD＝3，⊙O的直径为，则BC的长为___. (第5题) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 6.如图，在△ABC中，CB与⊙O相交于点D，CA与⊙O相交于点E，AB是直径，AC＝AB.若BC＝6，AB＝5，则AE的长为. (第6题) 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7.如图，BD是⊙O的直径，＝，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧.若＝5，BD＝4，求AC的长. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°. ∵＝， ∴AB＝AD. ∴∠ADB＝∠ABD＝45°. 解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴∠BOC＝∠COD. ∴∠BOC＝∠BOD＝×180°＝30°. ∴∠BDC＝∠BOC＝15°. ∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°. ∴∠ADC＝∠AEC＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵＝5， 返回首页 ∴∠CAE＝90°. ∴∠ACE＝30°. ∵CE＝BD＝4， ∴AE＝CE＝2. ∴AC＝＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵CE是⊙O的直径， 返回首页 类型3　巧构圆内接四边形 8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接BD.若∠BCD＝2∠BAD，则∠EBD的度数是(　　) A.30° B.35° C.45° D.60° 满分技法：通过构造圆内接四边形转化与圆有关的角. A (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9.如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，若＝，∠D＝128°，则∠B＝_____°. (第9题) 116 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上的一点，AG，DC的延长线交于点F.求证：∠FGC＝∠AGD. 证明：如图，连接AD. ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴＝. ∴∠AGD＝∠ADC. ∵四边形ADCG是⊙O的内接四边形， ∴∠AGC＋∠ADC＝180°. ∴∠FGC＝∠ADC， 即∠FGC＝∠AGD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $第二十九章　圆 培优精练25　角平分线图(回归教材) 基本 图形 平分90°角   基本 结论 AB是直径，CD平分∠ACB⇒ 基本 方法 作DE⊥CD交CB的延长线于点E(或将△DAC绕点D顺时针旋转90°至△DBE) 返回首页 基本图形 平分120°角   基本结论 ∠ACD＝∠BCD＝60°⇒ 基本方法 延长AC到点E，使CE＝CB(或将△BCD绕点B顺时针旋转60°至△BEA) 返回首页 基本图形 平分外角   基本结论 AB是直径，CD平分∠BCE⇒ 基本方法 作DF⊥CD交BC于点F(或将△ACD绕点D逆时针旋转90°至△BFD) 返回首页 1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE.求证：AE＋CE＝DE. 1 2 3 证明：如图，连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于点F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠DEC＝45°，∠ABD＝∠AED＝45°，DA＝DC. 返回首页 1 2 3 ∵∠EDF＝90°， ∴∠F＝90°－45°＝45°. ∴DE＝DF. ∵∠ADC＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF. 在△ADE和△CDF中， 返回首页 ∴△ADE≌△CDF(AAS). ∴AE＝CF. ∴由勾股定理，得EF＝DE. ∴EF＝DE＝EC＋CF＝EC＋AE，即AE＋CE＝DE. 1 2 3 返回首页 2.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论. 解：PC＝PA＋PB. 证明：如图，在PC上截取PH＝PA，连接AH. ∵∠APC＝60°， ∴△APH为等边三角形. ∴AP＝AH，∠AHP＝60°. 在△APB和△AHC中， 1 2 3 返回首页 ∴△APB≌△AHC(AAS). ∴PB＝HC. ∴PC＝PH＋HC＝PA＋PB. 1 2 3 返回首页 3.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为AC的延长线上一点，∠DCB的平分线CP交⊙O于点P，连接PA，PB. (1)判断△PAB的形状并证明； 解：△PAB为等腰直角三角形. 证明：∵∠ACB＝∠DCB＝∠APB＝90°，CP平分∠DCB， ∴∠PAB＝∠PCB＝45°. ∴△PAB为等腰直角三角形. 1 2 3 返回首页 (2)若PC＝3，求BC－AC的值. 解：如图，过点P作PE⊥PC交BC于点E，则△PCE与△PAB均为等腰直角三角形. 在△PCA和△PEB中， ∴△PCA≌△PEB(AAS). ∴AC＝BE. 由勾股定理，得CE＝PC. ∴BC－AC＝BC－BE＝CE＝PC＝3. 1 2 3 返回首页 $