第7章相交线与平行线 期末综合复习压轴题专题训练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线综合应用，以“辅助线构造—模型归纳—分类讨论”为主线，系统提炼压轴题解题方法，强化几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|1-5题|过拐点作平行线、角平分线等量代换|平行线性质→角关系推导→简单综合| |模型拓展|9-11题|猪蹄模型、拐点角关系公式|模型构建→性质迁移→规律总结| |综合探究|19-20题|多辅助线叠加、动态分类讨论|平移/旋转综合→多知识点融合→逻辑推理|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第7章相交线与平行线》 期末综合复习压轴题专题训练（附答案） 1.如图，直线AB‖CD,点E,F分别是直线AB,CD上一点，点O是直线AB,CD 之间一点，且点O在直线EF的左侧，连接OE,OF,∠EOF=120°，EG平分∠AEO FH‖≥ A (1)若∠AEG=25°，则∠BEO的度数为 (2)求证：∠OEG=∠DFH: (3)试探究∠AEG与∠OFH之间的数量关系，并说明理由. 2.已知ABCD,直线MN分别交AB、CD于点M,N,∠AMN=120°，ME平分 ∠BMN交CD于点E.将线段MN沿AB方向平移得到线段PQ(点M的对应点为P,点N 的对应点为Q),直线PQ与射线ME交于点K,连接NK」 A-M M B E D E 图1 备用图 (1)当点K在线段ME上时. ①请在图1中补全图形，求∠PKE的值： ②已知NK⊥ME,求证：NK平分∠MND. (2)在线段MN平移的过程中，当∠EKN=2∠ENK时，直接写出∠PKN的度数为， 3.如图1，ABCD,直线EF与AB,CD分别相交于点G,H, ∠EHD=a0°<<90，佳佳将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式 放置，使点N,M分别在直线AB,CD上，∠P=90°，∠PMN=60°， 图1 图2 (1)请对∠P=∠PNB+∠PMD说明理由. (2)如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O. ①当NO‖EF‖PM时，求a的度数. ②佳佳将三角尺PMN保持EF‖PM并向左平移，在平移的过程中，请直接写出∠MOW 的度数（用含a的代数式表示）· 4.如图，直线BE与线段AB,直线CD交于点B、E,AB‖CD,点F为直线BE上一点 (不与点B,E重合)，连接AF,过点F作射线FG⊥AF,交CD于点G(点G在点C,D 之间)· 图1 图 备用图 (1)若点F在线段BE上. ①如图1，若∠AFB为钝角，∠A=20°，求∠FGC的度数： ②如图2，若∠AFB为锐角，判断∠A与∠FGC的数量关系，并说明理由. (2)若点F在线段EB的延长线上，直接写出∠A与∠FGC的数量关系. 5.如图1，直线AB‖CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,∠AEF的平分线 交CD于点P E NB P F PGHIF 图1 图2 (1)求证：∠FEP=∠FPE: (2)点G是射线PF上一个动点（点G不与点P,F重合），∠FEG的平分线交直线CD于点 H,过点H作HNPE交直线AB于点N, ①当点G在线段PF上时，如图2，用等式表示∠EHN和∠EGF之间的数量关系，并证明： ②当点G在线段PF的延长线上时，直接写出用等式表示的∠EHN和∠EGF之间的数量 关系 6.如图1，ABCD,点E在直线AB上，点G在直线CD上，EF⊥FG G 图1 图2 图3 (1)当0°<∠AEF<90时， ①求证：∠AEF+∠FGC=90° ②如图2，若直线PM平分∠FGC,直线EP平分∠BEF交PM于点P,求∠EPM的度 数 (2)当90°<∠AEF<180°时，如图3，直线EP平分∠BEF.直线PM过点G交EP于点P, 且满足∠FGC=n∠PGC,请直接写出∠EPM与∠AEF的数量关系. 7.【问题情境】如图1，已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点M,N,AB‖CD. 图1 图2 图3 (1)【尝试探究】求证：∠AME+∠CNF=180°： (2)【拓展探究】如图2，点P在直线AB,CD之间，连接MP,NP ①若∠AMP=1 ∠AMN,∠CP=号∠CNM,求∠MPN的大小 ②如图3，若NM,MP分别是∠PND,∠AMN的平分线，点Q在PM的延长线上，连 接NQ,若∠Q=克∠AMP,∠P=84,请直接写出∠Q的度数。 8.如图1，已知直线MNPQ,点A在直线PQ上，点B在直线MN、PQ之间， ∠BAP=45°，点C在直线MN上，记∠MCB=C.作∠ABD交直线PQ于点D(D在A 的右侧)使得∠ABD-专∠ABC M C MC N MC N DO A DO 图1 备用图 备用图 (1)当a=时，AB⊥BC: (2)求∠BDP(用含有a的式子表示)； B)点E为平面内一点且满足∠MCE=}∠BCE,直线CE与直线BD交于点R,问 ∠BFC是否为定值？若是，请求出这个值，若不是，则求出∠BFC与∠MCB的数量关系. 9.【课题学习】研究两条平行线间的拐点问题. /IN -D N 图1 图2 图3 (1)【模型研究】如图1，ABCD,BE,CE交于点E,∠BEC=80°，∠C=20°，则 ∠B的度数是 (2)【深化拓展】如图2，若AB‖CD,点P在AB,CD的外部，请写出∠B,∠D, ∠BPD之间的关系并说明理由， (3)【实际应用】爱动脑的小菲发现书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图3所 示，EF与桌面MN垂直.当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行，即AC‖MN时，若 ∠=126°，∠BCD=104°，求∠CDE的度数. 10.己知点A,B,C不在同一条直线上，MA‖BN. 图1 图2 图3 (1)如图1，已知∠A=30°，∠B=120°，求∠C的度数. (2)如图2，已知∠MAC,∠CBN的平分线交于点P,试探究∠C与∠P之间的数量关系， (3)如图3，若AQ为∠MAC的平分线，BP为∠NBC的平分线，AQ的反向延长线与BP 交于点P,(2)中的结论仍成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠C与 ∠P的数量关系 11.【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小 猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系， 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，AB‖CD,P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP,试说明： ∠B+∠D=∠BPD;请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PMAB A B C :PM‖AB .∠B=∠BPM.( :AB‖CD.(已知) :PM‖CD.(平行于同一条直线的两条直线互相平行) .∠D=∠DPM.( ,∠BPM+∠DPM=∠BPD .∠B+ ----=∠BPD.(等量代换) 【方法应用】 (2)如图2，若AB‖CD,∠BEP=158°，∠PFD=128°，则∠EPF=: 【变式探究】 (3)如图3，AB|CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量 关系？请说明理由： 【拓展延伸】 (4)如图4，BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,则∠BFD和∠BED有怎样的数量关 系？请说明理由 12.如图，已知AB‖CD,直线MN交AB,CD于G,H. 图3 (1)如图1，点I在直线AB与直线CD之间，请找出∠AGI、∠GIH、∠IHC之间的关系， 并说明理由； (2)如图2，点E在直线AB上，E位于G点右侧，点F在直线MN上，且在直线AB上方， 点I在直线AB与直线CD之间，∠FEA=2∠AEI,IP‖MN,若∠I-∠EFH=75°， 求∠IEB (3)如图3，∠CHG=70°，点E在直线CD上(E在H点左侧)，点I在直线AB与直线 CD之间，∠HGI与∠HEI的角平分线交于点Q,请直接写出∠EIG与∠EQG的数量关 系 13.已知直线a,b,且ab,在直角三角尺ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°， 三角尺的顶点B在直线b上. C B B 图① 图② 图③ 1)如图①，若∠2=42°，求∠1的度数： (2)如图②，BC和AC分别与直线a交于D,E两点，探究∠1和∠2之间的数量关系，并 说明理由； (3)如图③，F为直线b上一点，绕点B旋转直角三角尺ABC,点A始终在直线Q的上方，当 ∠1=4∠CBF时，求∠2的度数. 14.已知直线AB‖CD,E为平面内一点，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE, EQ. P D A B F-------E -D O D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在直线AB、CD之间，过点E作EF‖AB,∠PEQ=100°， ∠DQE=70时，求∠BPE的度数、 (2)如图2，若点E在直线AB、CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当 ∠PFQ=135°时，求∠PEQ的度数. (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长 线交QF于点F,当∠PEQ=60°时，请直接写出∠PFQ的度数为 15.如图，ABCD,E为直线AB,CD外一点，连接AE,CE. B B B G DH G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠BAE+∠DCE+∠AEC=360°： (2)若AG平分∠BAE交CD于点G,CF平分∠DCE交AG于点F. ①如图2，求证：∠AEC+2∠AFC=360°： ②如图3，过A点作AH‖CE交CD于点H,若AC平分∠EAH, ∠CAF:∠ECF=5:13,则∠BAH的度数为 16.数学课上，老师介绍了一个经典的数学模型一一“铅笔模型”，激发了数学兴趣小组 对平行线间夹角度数之间数量关系的深入研究： (D)B (FC 图① 图② 图③ (1)如图①，AM‖CN‖BE,点D在射线BE上，点F在射线CN上，当点D与点B重合， 点F与点C重合，∠ABC=120时，则∠A+∠C= (2)已知AM‖CN,点D在射线BE上，点F在射线CN上，当点D与点B不重合，点F与点 C不重合时，连接DF, ①如图②所示，求证：∠A+∠B=∠CFD+∠BDF: ②如图③，连接AF,当AF平分∠BAM,DF平分∠AFC时，若∠B=70°， ∠BDF=160°，求∠AFD的度数. 17.如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN,ST之间，且满足 ∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°. M M B B 图1 图2 图3 (1)试说明：MN‖ST: (2)如图2，若∠ACB=60°，AD‖CB,点E在线段BC上，连接AE,且 ∠DAE=2∠CBT,试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若∠ACB=30°，点E在线段BC上，连接AE,若∠CAE=5∠CAN,请直 接写出∠MAE与∠CBT的等量关系. 18.【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问 题 D E E 图1 图2 图3 (1)【问题解决】如图1，已知AB‖CD,∠D=28°，∠GAB=52°，求∠P的度数： 2)【类比应用】如图2，已知ABCD,点P在直线AB的上方，点E在直线CD上，连接 PB,PE,则∠BPE,∠B,∠PEC之间有何数量关系？请说明理由； (3)【联想拓展】如图3，在(2)的条件下，已知∠BPE=a,∠PBA的角平分线和 ∠PEC的角平分线相交于点F,求∠F的度数.（用含的代数式表示） 19.已知直线AB,CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F. E/B E/R F GD 图① 图② 图③ 图④ (1)【问题提出】如图①，点T在直线AB,CD之间，连接TE,TF.若∠AET=30°， ∠ETF=50°，∠TFC=20°，探究直线AB与CD的位置关系 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作TU‖AB,由平行线的性质， 得∠AET=∠ETU,再求得∠UTF的度数即可判断.则直线AB与CD的位置关系是_： (2)【问题迁移】如图③，AB‖CD,EG平分∠BEF交CD于点G,FH平分∠CFE交 AB于点H,GQ平分∠EGF分别交EF,FH于点Q,T,若∠BEF=110°，求∠HTG的 度数； (3)【问题拓展】如图④，AB‖CD,EG平分∠BEF交CD于点G,FH平分∠CFE交 AB于点H,点Q在直线EF上，GR平分∠FGQ交HF于点R,探究∠EQG和∠HRG之 间存在的数量关系 20.已知直线AB,CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F. E/B A\H E B A\H E D G\D 图① 图② 图③ 【问题提出】 (1)如图①，点T在直线AB,CD之间，连接TE,TF,过点T作TU‖AB.若∠AET=30°， ∠ETF=50°，∠TFC=20°，则直线AB,CD的位置关系是 【问题迁移】 (2)如图②，AB‖CD,EG平分∠BEF交CD于点G,FH平分∠CFE交AB于点H,GQ 平分∠EGF交PFH于点T,若∠BEF=110°，求∠HTG的度数： 【问题拓展】 (3)如图③，AB‖CD,EG平分∠BEF交CD于点G,FH平分∠CFE交AB于点H,点 Q在直线EF上，GR平分∠FGQ交HF于点R,探究∠EQG和∠HRG之间存在的数量 关系 参考答案 1.(1)解：，∠AEG=25°，EG平分∠AE0, .∠AE0=2∠AEG=50°， .∠BE0=180°-∠AE0=130°， 故答案为：130°： (2)证明：如图，延长EG交CD于点K, A E G CK R :AB‖CD .AEG=∠EKF, .FHGE, .∠EKF=∠DFH, .∠AEG=∠DFH, ,EG平分∠AEO, .∠AEG=∠OEG, .∠OEG=∠DFH: (3)解：∠OFH=∠AEG+60°，理由如下： 如图，过点O作ON‖GE, A E N G of H D FH‖GE,ON‖GE, ..ON FH, :ON‖EG .∠EON=∠OEG .∠AEG=∠EON, .∠E0F=120°， .∠NOF=120°-∠EON=120°-∠AEG, .ON FH, .∠NOF+∠OFH=180°， ∴.∠OFH=180°-∠NOF=180°-120°-∠AEG=∠AEG+60°， 即∠OFH=∠AEG+60° 2.(1)解：①如图，补全图形， B :AB‖CD∠AMN=120° 刀 .∴.∠BMN=180°-120°=60°， ,ME平分∠BMN, ∴.∠EMN=∠BMN=30°， ,线段PQ是由线段MN平移得到的， ∴.PQMN .∴.∠PKE=30, ②证明：.AB‖CD .∴.∠MND+∠AMN=180°， ∴.∠MND=180°-120°=60°， .NK⊥ME .∴.∠MKN=90, 在△MNK中，∠EMN=30, ∴.∠MNK=180°-90°-30°=60°， .∴.∠MNK=∠MND, .∴.NK平分∠MND: (2)解：由(1)知∠MEN=30°， 分两种情况讨论： 当点K在线段ME上时： A M P 在△ENK中，∠KEN=30° 设∠ENK=x°，则∠EKN=2x°， .30+x+2x=180, 解得x=50, .∴.∠EKN=100°， ∴.∠MKN=180°-∠EKN=80° .PQ‖MN, .∠PKM=∠EMN=30, .∴.∠PKN=∠PKM+∠MKN=30°+80°=110°， 当点K在线段ME的延长线上时： -B N D·'∠MEN=30o K .∠NEK=180°-∠MEN=150°， 设∠ENK=x°，则∠EKN=2x°， .150+x+2x=180, 解得x=10 .∴.∠EKN=20°， .PQ MN, .∴.∠PKE=∠EMN=30°， ∴.∠PKN=∠EKN+∠PKE=20°+30°=50°， 综上所述，∠PKN的度数为110°或50° 3.(1)解：如答图1，过点P作PQAB,交MN于点Q, 则∠PNB=∠NPQ, ,AB‖CD .PQ‖CD, .∠PMD=∠QPM, .∠MPN=∠NPQ+∠QPM=∠PNB+∠PMD: (2)解：①.NO‖EF‖PM, ∴.∠ONM=∠NMP=60°， 又，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O, ∴.∠ANO=∠ONM=60°， 又.AB‖CD .∠NOM=∠ANO=60°， 又.NO‖EF, .a=∠NOM=60°： ②当点N在点G的右侧时， ,PM‖EF,∠EHD=a, ∴.∠PMD=∠EHD=a, ∴.∠NMD=∠NMP+∠PMD=60°+， 又，AB‖CD, ∴.∠ANM=∠NMD=60°+a, 又NO平分∠MNG, ∴∠AN0=号∠ANM=30+号c 又.AB‖CD, ·∠MON=∠ANO=30+1 : 当点N在点G的左侧时，如答图2， G OP M H OD 答图2 :PM‖EF,∠EHD=a, ∴.∠PMD=∠EHD=a, .∠NMD=∠NMP+∠PMD=60°+a, 又，AB‖CD, .∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON, 又：NO平分∠MNG, ∠BN0=l180-60+a=60-a, 又AB‖CD, ·∠MON=∠BNO=600-1 . 综上所达，∠M0N的度数为30°+号或60°-0 4.(1)解：①如图，作FH‖AB, H B E .·FH‖AB G 图1 ∴.∠AFH=∠A=20°， .·FG⊥AF, ∴.∠AFG=90°， .∴.∠HFG=90°-∠AFH=70°， .FH‖AB,AB‖CD .FH‖CD ∴.∠HFG+∠FGC=180°， ∴.∠FGC=180°-∠HFG=180°-70°=110°： ②∠FGC=90°+∠A,理由如下： 如图，作FK‖AB, B .FK‖AB 图2 ∴.∠AFK=∠A, .FG⊥AF, .∴.∠AFG=90°， ∴.∠KFG=90°-∠AFK=90°-∠A, .FK‖AB,AB‖CD, .FK‖CD, ∴.∠KFG+∠FGC=180, ..∠FGC=180°-∠KFG=180°-90°-∠A=90°+∠A (2)解：∠FGC=90°-∠A. 证明：如图，作FL‖AB, FL‖AB ∴.∠AFL=∠A, FG⊥AF, .∠AFG=90°， .∴.∠LFG=90°+∠AFL=90°+∠A, FL‖AB,AB CD, ∴.FLCD .∴.∠LFG+∠FGC=180°， .∴.∠FGC=180°-∠LFG=180°-90°+∠A=90°-∠A 5.(1)证明；AB‖CD, .∠AEP=∠FPE, ,∠AEF的平分线交CD于点P, .∠AEP=∠FEP ,∠FEP=∠FPE (2)解：①当点G在线段PF上时，如图所示： E N一B P GHF ,EH平分∠FEG, .∠HEF=∠HEG, HN‖EP, .∠EHN=∠HEP, ,∠FEP=∠FPE, .∠EGF=180°-∠EGP =180°-180°-∠FPE-∠GEP =∠FEP+∠GEP =∠GEP+2∠HEG+∠GEP, =2∠GEP+∠HEG =2∠HEP, ,∠EGF=2∠EHN: ②当点G在线段PF的延长线上时，如图所示： A E NB P FH G ,EH平分∠FEG, ∴.∠HEF=∠HEG, HN‖EP, ∴.∠EHN=∠HEP=∠HEF+∠FEP, ,∠FEP=∠FPE .∠EHN=∠HEF+∠FPE, ∠EGF=180°-∠FPE-∠GEP=180°-∠FPE-∠FEP-2∠HEF=180°-2∠HEF+∠FPE .∠EGF=180°-2∠EHN 6.(1)解：①如图，过F作FM‖AB, A E B M G D 图1 AB‖CD ∴.FM‖AB‖CD ∴.∠AEF=∠EFM,∠MFG=∠FGC, :'∠EFG=∠EFM+∠MFG, ∴.∠EFG=∠AEF+∠FGC, .EF⊥FG, .∠EFG=90°， .∠AEF+∠FGC=90°： ②过P作PQ‖AB M F ---G P AB‖CD .AB‖PQ‖CD, .∠BEP=∠QPE,∠QPM=∠CGM, ,直线PM平分∠FGC,直线EP平分∠BEF ,设∠CGM=∠MGF=x,∠BEP=∠FEP=y,则∠AEF=180°-2y, 由(1)知∠AEF+∠FGC=90°， .180°-2y+2x=90°， .y-x=45°， ∴.∠EPM=∠QPE-∠QPM=∠QPE-∠CGM=y-x=45° (2)解：如图所示，设AB交PM于H,作FN‖AB交PM于N,在PE的延长线上取一点 Q, P A一 H M 'AB‖CD .FN‖AB‖CD .∠BEF=∠EFH,∠NFG=∠FGD, .'∠EFG=∠EFN+∠NFG, ∴.∠EFG=∠BEF+∠FGD, .EF⊥FG .∠EFG=90, .∠BEF+∠FGD=90°： ,直线EP平分∠BEF, .∠BEF=2∠BEQ, .∠PEA=∠BEQ, .∠BEF=2∠PEA, ,∠AEF+∠BEF+∠CGF+∠FGD=360°，∠BEF+∠FGD=90° ∴.∠AEF+∠CGF=270° .∠FGC=n∠PGC, .∠AEF+n∠PGC=270°， :AB‖CD .∠PGC=∠AHP, 如图，过点P作PS‖AB, D H 图3 ∴.∠AHP=∠HPS,∠AEP=∠SPE, .∠AHP=∠HPS=∠AEP+∠EPG, :.∠AEF+n(∠AEP+∠EPG)=270°， :∠AEF+n180°，AEF+∠EPG)=270, 2 .∠AEF=180xn-3+2n ∠EPM. n-2n-2 7.(1)证明：ABCD ∴.∠AME=∠CNE(两直线平行，同位角相等)， 又：∠CNE+∠CNF=180°（邻补角定义）， .∴.∠AME+∠CNF=180°. (2)①过点P作PG‖AB, .AB‖CD, ∴.PG‖AB‖CD .∴.∠AMP=∠MPG:∠CNP=∠NPG, ∴.∠MPN=∠AMP+∠CNP, .AB‖CD .∴.∠AMN+∠CNM=180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠AMP=号∠AMN,∠CNP=S∠CM, ∠AaMP+2Cp-∠AMN+∠CM-含×180=60， 即∠MPN=60°. F 图2 ②设∠AMP=X,则∠Q=x :MP平分∠AMN, ∴.∠AMN=2∠AMP=2x,∠PMN=∠AMP=X, AB‖CD, ∴.∠AMN=∠DNM=2x, :NM平分∠PND, ∴.∠PND=2∠DNM=4x, .∴.∠PNC=180°-∠PND=180°-4x, 过点P作PHAB, .AB‖CD .PH‖AB‖CD, ∴.∠MPH=∠AMP=x:∠NPH=∠PNC=180°-4x, ∴.∠MPN=∠MPH+∠NPH=x+180°-4x=180°-3X, ,:∠MPN=84°，即180°-3x=84°， 解得X=32, 1 2Q=2X=16, 综上，∠Q的度数为16°. D 图3 8.(1)解：如图，过点B作BK‖MN, M C N -----K B .∴.∠CBK=∠MCB=a A DO .BK‖MN,MN‖PQ, .BK‖PQ, ∴.∠ABK=∠BAP=45° .∴.∠ABC=∠CBK+∠ABK=a+45° 当AB⊥BC时，∠ABC=a+45°=90°， 解得a=45°： (2)解：如图，过点B作BKMN, M ----------K P A DO 由(1)得∠ABC=a+45°，∠ABK=∠BAP=45°， ·2ABD月ABC-a+15 .∠KBD=∠ABK-∠ABD=45°- a+15-303 BK PQ, ∠B0r-∠K0=30°-3a (3)解：：∠ABC=Q+45°，∠ABD=号∠ABC, 3 1 ∴.∠ABD= &+15，∠CBD=?∠ABC=2。 3 5+30. 分两种情况： 当点E在直线MN上方时，如图，过点F作FT‖MN,过点B作BI‖MN, M C N :'∠MCE=1 ∠BCE 2 ∴.∠MCF=∠MCB=a, .'FT‖MN,BI‖MN, ∴.∠TFC=∠MCF=a,∠CBI=∠MCB=a,BI‖FT, ∠DB=2CB0-2CB1=*30-a=30 3q, BI‖FT, .∠TFD=∠IBD=30°-1a, ∠BFC=∠TFD-∠TFC=30- 3a-a=300- 3q, :∠BFC=30-4 ∠MCB: 当点E在直线MN下方时，如图，过点F作FTMN,过点B作BI‖MN, M C N E B 1 .∠MCE= ∠BCE DO :McF-号MCB 3g, :FT‖MN,BI MN, ∠TFC=∠MCFa,∠CBl=∠MCB=a,B|Fr :∠DI=∠cD-eCBI-号a+30-a=30-号. BI‖FT, .∠TFD=∠IBD=30- 3, 39×1 .∠BFC=∠TFD+∠TFC=30- X3Q=30 9.(1)解：如图，过点E作EQCD, A ------ E:AB‖CD C -D .AB‖EQ‖CD, ∴.∠B+∠BEQ=180°，∠C=∠CEQ, .BEC=80°，∠C=20°， .∠CEQ=20°， .∠BEQ=∠BEC-∠CEQ=60°， .∠B=180°-∠BEQ=120°； (2)解：∠BPD=∠B-∠D,理由如下： 如图，过点P作PE‖CD B C >D.∠D=∠DPE ----·E AB‖CD, ∴.AB‖PE ∴.∠B=∠BPE .'∠BPD=∠BPE-∠DPE, ∴.∠BPD=∠B-∠D. (3)解：如图，过点D作DG‖AC,过点E作EH‖AC AB //I八N G----------2D ,·EF⊥MN E Mc H ▣W .∠MFE=90. .AC‖MN, ∴.AC‖DGEH‖MN, .∴∠ACD+∠CDG=180°，∠GDE=∠DEH,∠HEF=∠MFE=90° .∠=126°，∠BCD=104°， ∴.∠GDE=∠DEH=126°-90°=36°，∠CDG=180°-104°=76°， .∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=112°. 10.(1)解：如图1，过点C作CD‖AM. M D B N 图1 因为MA BN,所以MA‖ICD‖BN, 所以∠A=∠ACD,∠DCB+∠B=180°. 因为∠A=30°，∠B=120°， 所以∠ACD=30°，∠DCB=60, 所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°」 (2)如图2，过点P作PE‖MA. M P B 图2 因为MA BN,所以MA‖PE BN, 所以∠APE=∠MAP,∠BPE=180°-∠PBN. 因为∠MAC,∠CBN的平分线交于点P, 所以MAP=空MAC,PRN-=克CBN, 所以∠APB=∠APE+∠BPE =∠MAP+180°-∠PBW -号<Mc+180-号<CN =I80-∠CBN-∠MAC 所以∠CBN-∠MAC=360°-2∠APB 同(1)得∠C=180°-∠CBN+∠MAC =180°-∠CBN-∠MAC =180°-乙 =2∠APB-180°， 所以2∠APB-∠C=180° (3)不成立.∠C与∠P的数量关系为2∠P+∠C=180°，理由如下： 如图3，过点P作PFMA, B N 图3 因为MA‖BN,所以MA‖PF‖BN, 所以∠APF=∠QAM,∠BPF=∠PBN」 因为AQ为∠MAC的平分线，BP为∠CBN的平分线， 所以∠QAM=∠MAC,∠PBN=克∠CBN, 所以∠APB=∠BPF-∠APF=<CBN-∠MAC. 所以∠CBN-∠MAC=2∠APB. 同(1)可得∠C=180°-∠CBN+∠MAC =180°-∠CBN-∠MAC =180°-2∠APB 所以2∠APB+∠C=180° 11.(1)解：如图，过P作PM‖AB, B SD :PM‖AB,(辅助线的作法) .∠B=∠BPM,(两直线平行，内错角相等) AB‖CD,(已知) :PM‖CD,(平行于同一条直线的两条直线互相平行) .∠D=∠DPM,(两直线平行，内错角相等) :∠BPM+∠DPM=∠BPD,(角的和差定义) .∠B+∠D=∠BPD.(等量代换) (2)解：过点P作PN‖AB(点N在点P的右侧)，如图2所示： A E一B -D 图2 .∠EPN+∠BEP=180, :∠BEP=158°， .∠EPN=180°-∠BEP=22°， .AB CD .PN‖CD, .∠FPN+∠PFD=180°， .∠PFD=128°， .∠FPN=180°-∠PFD=52°， .∠EPF=∠EPN+∠FPN=22°+52°=74 (3)解：∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF; 理由如下： 过点P作PH‖AB(点H在点P的右侧)，如图3所示： P ---------H E 一B 图3 .∠HPE=∠PEA, .AB‖CD, :.PH CD, :.∠HPF=∠PFC(两直线平行，内错角相等)， .∠EPF=∠HPF-∠HPE=∠PFC-∠PEA, 即∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF. (4)解：当ABCD时，由(1)可得：∠BED=∠ABE+∠CDE, ∠BFD=∠ABF+∠CDF; :BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, ∠AB=3∠ABE,∠CDF<CDE ·∠BFD= <ABE+1 <CDE=∠ABE+∠CDE. 又∠BED=∠ABE+∠CDE A∠BFD=3∠BED, ∴.∠BED=2∠BFD 12.(1)解：∠GIH=∠AGI+∠HC,理由如下： 如图所示，过点I作LI‖AB, M ----- N .∠AGI=∠GIL. ,CD‖AB, .LI‖CD .∠IHC=∠HIL, .∠GIH=∠GIL+∠HIL=∠AGI+∠IHC: (2)解：如图所示，过点F作FT‖AB, 设∠AEI=a, :'∠FEA=2∠AEI, .∠FEA=2a, 设∠FHC=B, AB‖CD, ..FT CD, .∠TFE=∠FEA=2a,∠TFH=∠FHC=B, .∠EFH=∠TFH-∠FEA=B-2a. .IP‖MN, .∠IPC=∠FHC=B, 由(1)可得∠EIP=∠AEI+∠IPC=a+B, :∠I-∠EFH=75°， .a+β-(B-2a)=75° .a=25°， .∠IEB=180°-∠AEI=180°-25°=155°： M F GE -B H N (3)解：∠CHG=70°，AB‖CD, .∠AGH=110°，∠BGH=∠CHG=70°， 设∠BGI=∠3，∠CEI=∠4， ,∠HGI与∠HEI的角平分线交于点Q, 设∠IGQ=∠HGQ=a,∠IEQ=∠HEQ=β， 如图所示，∠3=70°-2c,∠4=180°-2β， 由(1)可得∠EIG=∠3+2B,∠EQG=∠3+a+B, 2∠EQG-∠EIG =2(∠3+a+B)-(∠3+2B) =∠3+2a =70°-2a+2a =70°， 综上所述，2∠EQG-∠EIG=70°」 M G A 又3 4 AO H 一D 13.(1)解：过C作CFa,如图所示： C .a‖b -b B 图① .CF‖b, .∴.∠1=∠BCF,∠2=∠ACF, .∠ACB=90°， .∠1+∠2=90°， .∠1=90°-42°=48°： (2)解：∠1+∠2=270°， 理由如下： 过C作CFa,如图所示： .∴.∠1=∠DCF=∠ACB+∠ACF 图② 又∠ACB=90°， .∠ACF=∠1-90， .alb, ∴.CF‖b ∴.∠2+∠ACF=180°，∠ACF=180°-∠2， .∴∠1-90°=180°-∠2，即∠1+∠2=270°： (3)解：①当BC在直线b的上方时，如图③所示： B F b 图③ 设∠CBF=X,则∠1=4∠CBF=4x, .∠1+∠ABC+∠CBF=180, ∴.4x+60°+x=180°， 解得x=24°，则∠1=4x=96, .allb, .∠1+∠2=180°， .∴.∠2=180°-∠1=84°： ②当BC在直线b的下方时，如图④所示： F C 图④ 设∠CBF=X,则∠1=4∠CBF=4X,∠ABF=∠ABC-∠CBF=60°-X, .∠1+∠ABF=180°， .∴.4x+60°-x=180°， 解得x=40°，则∠1=4x=160, .alb, ∴.∠1+∠2=180°， .∠2=180°-∠1=20°： 综上所述：当∠1=4∠CBF时，∠2的度数为84°或20°. 14.(1)解：：AB‖CD,EF‖AB, .EF‖AB‖CD .∠BPE=∠PEF,∠DQE=∠QEF; ,∠PEQ=∠PEF+∠QEF, .∠PEQ=∠BPE+∠DQE, .∠PEQ=100°，∠DQE=70° .∴.∠BPE=∠PEQ-∠DQE=100°-70°=30： (2)解：同理(1)得：∠PEQ=∠BPE+∠DQE,∠PFQ=∠APF+∠CQF, ,∠PFQ=135°， .∠APF+∠CQF=135°， ,'PF平分∠APE,QF平分∠CQE, ∴.2∠APF=∠APE,2∠CQF=∠CQE, .∴.∠APE+∠CQE=2∠APF+2∠CQF=2∠APF+∠CQF=270°， ∠BPE=180°-∠APE,∠DQE=180°-∠CQE, ∠PEQ=∠BPE+∠DQE=180°-∠APE+180°-∠CQE=360°-∠APE+∠CQE=90° (3)解：如图，过点E作EG‖AB, HG」 E A- -B P F C D'AB∥CD 图3 ∴.EG‖ABI CD, ∴.∠BPE=∠PEG,∠DQE=∠QEG, .∴.∠PEQ=∠QEG-∠PEG=∠DQE-∠BPE=60°； 过点F作FN‖AB, .AB‖CD, ∴.FN‖AB‖CD, ∴.∠PFN+∠BPF=180°，∠QFN=∠CQF, ∴.∠PFN=180°-∠BPF=180°-∠APH; ,QF平分∠CQE,PH平分∠APE, ∠C0F=3∠C0E=21B0-∠DQE=90°-3∠D0E, ∠AP1I=∠APE=l80°-2BPEj=90-3BPE: ∴.∠PFQ=∠PFN+∠QFN =180°-∠APH+∠CQF =180°- 90-←nPE+90-3DoE =180-90+克∠BPE+90-∠DQE =180-D0E-∠BPE 1 =180°-×60° 2 =150° 15.(1)证明：如图，过点E作EP‖AB, E .∴.∠BAE+∠PEA=180 .AB‖CD, ∴EP‖CD, ∴.∠DCE+∠PEC=180°， ∴.∠BAE+∠PEA+∠DCE+∠PEC =∠BAE+∠DCE+∠AEC=360°： (2)①证明：如图，过点F作FM‖AB, B --M .∴.∠BAF=∠AFM G .AG平分∠BAE, ·BMF号 2 BAE, ∠AFM=∠BAE, .AB‖CD,FM‖AB, ∴.FM‖CD ∴.∠DCF=∠CFM. ,CF平分∠DCE, ∠DCF-i<DcC, :∠CFM=∠DCE, ,'∠AFC=∠AFM+∠CFM, ∠AC-BAE+<DCE=∠BAE+∠DCE, 由(1)知∠BAE+∠DCE+∠E=360°， ∴.∠AEC+2∠AFC=360°： ②解：设∠CAF=5a,则∠ECF=13a, .,CF平分∠DCE ∴.∠DCF=13a,则∠DCE=26a, ,AG平分∠BAE,AC平分∠EAH, .∠CF=∠caE-∠CE=3∠BaE-3∠lHAE=3<BAH, ∴.∠BAH=10a, AB‖CD, ∴.∠AHC=∠BAH=10a, .AH‖CE, .∴.∠AHC+∠DCE=180°， 即10a+26c=180°，解得a=5°， ∴.∠BAH=10a=50. B DHG 16.(1)解：AM‖BE‖CN .∠A+∠ABE=180°，∠C+∠CBE=180°， ∴.∠A+∠ABE+∠C+∠CBE=360°， ,∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°， .∠A+∠C=240°」 (2)①证明：过点B作BG‖AM,过点D作DH‖CN, A M B2-------G H--DE .AM‖CN C .BG‖AM‖DH‖CN .BG‖AM ∴.∠A+∠ABG=180°， BG‖DH, .∠GBD=∠BDH, DH CN, ∴.∠HDF+∠CFD=180° .∴.∠A+∠ABD=∠A+∠ABG+∠GBD=180°+∠GBD: ∠CFD+∠BDF=∠HDF+∠CFD+∠BDH=180°+∠BDH, .∴.∠A+∠ABD=∠CFD+∠BDF. ②'.AF平分∠BAM,DF平分∠AFC, ·∠DA=∠DFC=∠APC,∠MAF=∠BAF=3∠BAM, 设∠AFD的度数为X,则∠DFC=X,∠AFC=2X, .AM‖CN, ∴.∠MAF=∠AFC=2x, ∴.∠BAM=∠BAF+∠FAM=4X, 由①可得，∠MAB+∠ABE=∠BDF+∠DFC, ∠B=70°，∠BDF=160°， .70°+4x=160°+x. 解得：x=30°， ∴.∠AFD=30° 17.(1)证明：如图，过点C作CD‖MN, A M D---->C S B 图1 .∠MAC+∠ACD=180°， ,∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°， .∠DCB+∠SBC=180°， .CD‖ST, .MN‖ST (2)解：∠CAE=2∠CAN,理由如下： 如图，作CF‖ST, M A D C E B 图2 设∠CBT=,则∠DAE=2a,∠BCF=∠CBT=a, MN ST, .MN CF, .∠CAN=∠ACF=60°-a, .AD CB .∠DAC=180°-∠ACB=180°-60°=120°， ∴.∠CAE=120°-∠DAE=120°-2a=260°-a=2∠CAN, 即∠CAE=2∠CAN: (3)解：∠MAE=6∠CBT,理由如下： 如图，作CF‖ST, A M C E 图3 设∠CAN=B,则∠CAE=5B,∠MAE=180°-6B, :CF‖ST, .∠CBT=∠BCF, MN ST, .MN‖CF, .∠ACF=∠CAN=B .∠BCF=∠ACB-∠ACF=30°-B, ∴.∠CBT=30°-B, .β=30°-∠CBT, .∠MAE=180°-6B=180°-630°-∠CBT=6∠CBT」 18.(1)解：如图1，过点P作PQAB, ∴.∠APQ=∠GAB=52°， .AB‖CD, .PQ‖CD .∴.∠DPQ=∠D=28°， .∠APD=∠APQ+∠DPQ=52°+28°=80°； 图1 (2)∠BPE=∠PEC-∠B,理由如下： 如图2，过点P作PM‖AB, ∴.∠BPM=∠B, AB‖CD, ∴.PM‖CD ∴∠EPM=∠PEC, '∠EPM=∠BPE+∠BPM, ∴.∠PEC=∠BPE+∠B ∴.∠BPE=∠PEC-∠B: -----M D 图2 (3)如图3，，∠PBA的角平分线和∠PEC的角平分线相交于点F, ∴.BF平分∠PBA,EF平分∠PEC, ∠FBA=克∠PBA,∠TEC=克∠PEC, 由(2)知∠BPE=∠PEC-∠B, ∠BPE=a, .∴.∠PEC-∠PBA=a, 同(2)理，可知∠F=∠FEC-∠FBA, F=克<PG支<PRA=PRG-PAM=a E 图3 19.(1)解：AB‖CD,理由如下： 如图所示，过点T作MN‖CD A E/B M-K-- ----N F D 图① .∠NTF=∠TFC=20°， ,∠ETF=∠ETN+∠NTF=50°， .∠ETN=30°， 又，∠AET=30°， .∠ETN=∠AET, .AB MN, .MN‖CD, .AB‖CD (2)解：如图③，过点T作TU‖AB,则TU‖AB‖CD, B GD 图③ ∴.∠HTU=∠HFG,∠UTG=∠FGT, .∠BEF=110°，EG平分∠BEF, :∠BEG=号∠BEF=55°， AB‖CD .∠CFE=∠BEF=110°，∠EGF=∠BEG=55°， ,FH平分∠CFE,GQ平分∠EGF, ∠CH3<CE=5,∠FGT7<EGr=275, .∠HFG=180°-∠CFH=125°， ∴.∠HTG=∠HTU+∠UTG=∠HFG+∠FGT=125°+27.5°=152.5°. (3)解：设∠BEF=,∠FGR=B. .AB CD, .∠BEF=∠CFE=a,∠BEG=∠EGF, :EG平分∠BEF,FH平分∠CFE, <BEG=∠BGF=∠CH=∠hHFE-,Ic0=2p, ①如图④-1，当点Q在线段EF上时，过点R作RS‖AB,过点Q作QP‖AB A\H E B G\D 图④-1 .RS‖QP‖AB‖CD, ∠SG=∠FGR=B.∠FRS=∠C0,∠P0G=∠Fc0=2B. ∠EQP=180°-∠BEF=180°-a, ∠FRG=∠FS-∠5RG-a-A.∠r0G=∠0P+2P0G=1B0-&+2B. ∠HRG=180°-∠FRG=180-1 a+B, .2∠HRG-∠EQG=180°. ②如图④-2，当点Q在FE的延长线上时，过点R作RS‖AB,过点Q作QP‖AB. -S .-P B F 图④-2 .RS‖QP‖AB‖CD, :∠FRS=∠CFR=号a,∠GRS=∠FGR=B,∠PQE=∠BEF=a, ∠PQG=∠FGQ=2B, ∠HRG=∠FRS-∠GRS=2a-B,∠EQG=∠POE-∠PQG=a-2B, ∴.∠EQG=2∠HRG: ③如图④-3，当点Q在EF的延长线上时，过点R作RS‖AB,过点Q作QP‖AB AH E B O --P 图④-3 .RS‖QP‖AB‖CD, .∠HRS=∠HFG,∠EFG=∠EQP=180°-∠BEF=180°-a, ∠GQP=∠FGQ=2B,∠SRG=∠FGR=B .∠EQG=∠EQP-∠GQP=180°-a-2β， ∠HRs=∠HFG=∠HFE+∠EFG-a+180°-a=180-a, ·∠HRG=∠HRS-∠SRG=180°- 5a-B, .2∠HRG-∠EQG=180°， 综上所述，∠EQG和∠HRG之间存在的数量关系为2∠HRG-∠EQG=180°或 ∠EQG=2∠HRG】 20.(1)解：TUAB,∠AET=30°， .∠UTE=∠AET=30°， .∠ET℉=50°， .∠UTF=∠ETF-∠ETU=50°-30°=20°， .∠TFC=20°， .∠UTF=∠TFC=20°， .TU‖CD, AB‖TU, ..AB CD: (2)解：：EG平分∠BEF,∠BEF=110°， ∠BEG=方<BEF=号×10=5， .AB I CD, .∠EFC=∠BEF=110°，∠EGC=∠BEG=55°， .∠EFG=180°-110°=70°， ,FH平分∠EFC,GT平分∠EGF, ∠r1-BFc=55,∠CGT3<GC=275 .∠HTG=∠HFG+∠FGT=55°+70°+27.5°=152.5°： (3)解：设∠BEF=Q,∠FGR=B, 过R作RS‖AB,过Q作QP‖AB, 则RS‖AB‖ICD,QP‖AB CD, 第一种情况：如图，当点Q在线段EF上时， A\H B G\D 则∠BEG=∠EGF=∠CFH=2a,∠FGQ=2B, 1 则∠SRG=B,∠PQG=∠FGQ=2B,∠EQP=180°-∠BEF=180°-a, :∠FRG=∠FRS-∠SRG=a-B,∠EQG=∠EQP+∠PQG=180-a+2B, ∴.∠HRG=180°-∠FRG=1800- 2a+B, .2∠HRG=360°-Q+2B, ∴.2∠HRG-∠EQG=180°： 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时∠HRG=∠FRS-∠GRS=∠CPR-∠FGR=号ax-B, S O ---- B 则∠PQE=∠BEF=a, .∠EQG=a-2β， 2∠HRG=&-2B, .∠EQG=2∠HRG: 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， AH E/B G D ---P 则∠EQP=180°-∠BEF=180°-a, .∠EQG=∠EQP-∠GQP=180°-a-2B, ,∠SRG=∠FGR=B, 2HRS=∠IG=∠HmE+∠EFC=+180-a=180°-9 , .∠HRG=∠HRS-∠SGR=180°- 2-B, .2∠HRG=360°-a-2β， .2∠HRG-∠EQG=180°： 综上，2∠HRG-∠EQG=180°或∠EQG=2∠HRG.