期末压轴专题01 平行线的性质与判定六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 以“性质判定互化”为核心，通过六类专题构建“方法总结-技巧提炼-典例变式”三阶训练体系，强化逻辑推理与动态几何分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多结论问题|1例+3变式|逐项验证、反例排除；标注图形、逻辑链推理|从基础性质判定到复杂角关系推理，培养几何直观| |多解题问题|1例+3变式|分类讨论位置关系、方程求解角度|结合图形动态变化，提升分类思想与方程应用能力| |综合问题|1例+3变式|判定与性质结合、转化思想；标等角、方程法|性质判定双向应用，构建“证平行-算角度”逻辑链| |拐点问题|1例+3变式|过拐点作平行线、设元列方程；多拐点作多线|通过辅助线构造基本图形，强化转化与建模能力| |三角板旋转问题|1例+3变式|抓三角板不变角、列旋转角方程；分类讨论临界位置|动态几何中不变量分析，培养空间观念与推理意识| |平移综合问题|1例+3变式|平移性质应用、构造平行关系；找对应点与角|平移与平行线性质融合，提升综合应用与模型意识|

期末压轴专题01 平行线的性质与判定 目录 典例详解 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 类型三、平行线的性质与判定综合问题 类型四、平行线中的拐点问题 类型五、平行线中的三角板旋转问题 类型六、平行线与平移的综合问题 压轴专练 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 方法总结 1. 逐项验证：对每个结论，结合已知条件，利用平行线的判定（同位角、内错角、同旁内角）或性质进行独立推导。 2. 反例排除：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊图形或改变角度位置，验证其是否必然成立。 解题技巧 1. 标注图形：在图上清晰标出已知角及由平行产生的相等角或互补角，直观发现关系。 2. 逻辑链推理：从已知条件出发，逐步推导相关角的关系，形成完整推理链。 例1．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 【变式1-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且，平分，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由及，得，从而可判定③；由，得；由及平分，得，再结合，求得，可判定①；由及求得的度数即可判定②；根据现有条件无法判断④；最后可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴ ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴； ∵， 但无法得出， ∴无法得到 因而无法判断④正确； 综上，正确的有②③． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，正确； ②∵， ∴， 但不一定平分， ∴推不出， 即不一定正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，正确； ④∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴平分，正确 故正确的有①③④． 故答案为：①③④ ． 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 方法总结 1. 分类讨论：根据两直线的位置关系（平行或相交）以及所给角是同位角、内错角还是同旁内角，分情况建立方程。 2. 方程求解：利用平行线性质列出角的等量或互补关系，解方程得到多组解，检验是否符合图形合理性。 解题技巧 1. 画图辅助：画出两种可能的图形（如内错角相等或同旁内角互补），直观列式。 2. 检验取舍：求出角度后，代入原图形验证是否满足几何特征（如角度大于0°且小于180°），舍去不合题意的解。 例2．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【答案】2或20 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算； 设旋转时间为t，分两种情况，分别画出图形，求出对应的旋转角度，进而计算即可． 【详解】解：设旋转时间为t， 分两种情况： ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴秒； ②如图2，反向延长至点D， ∵，， ∴， ∴此时旋转的角度为： ， ∴秒； 综上，在旋转的过程中第2秒或第20秒时，边所在直线恰好与射线平行， 故答案为：2或20． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是_____． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度计算，注意进行分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴； 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 【变式2-3】（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为____________________． 【答案】或或 【详解】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角尺的性质求解是解题的关键． 【分析】解：①当时，如图，， ，与题意重复； ②当时，如图，，即， ； ③当时，如图，， ； ④当时，如图，延长交于点， ∴， 故答案为：或或． 类型三、平行线的性质与判定综合问题 方法总结 1. 判定与性质结合：先用判定定理（如同位角相等）证明两直线平行，再利用性质定理（如两直线平行内错角相等）进行角度或线段计算。 2. 转化思想：将未知角通过已知平行关系转化为与已知角相等的角，或利用同旁内角互补建立方程。 解题技巧 1. 标等角：在图上标出由平行线产生的相等角或互补角，建立等量关系。 2. 方程法：设未知角为 \(x\)，利用平行线性质列方程求解。 例3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若与互补，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质， （1）先通过垂直条件证明，再根据平行线的同旁内角互补性质，结合的度数计算的度数； （2）先由与互补的条件，结合推出的与互补，得到，最后根据内错角相等判定． 【详解】（1）解：，， ， ， ，且， ； （2）解：，理由如下： 与互补， ， 由（1）知， ， ， ． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴ 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 类型四、平行线中的拐点问题 解决平行线中的“拐点”问题，核心方法是过拐点作辅助线，将分散的角联系起来。 方法总结 1. 过拐点作平行线：在拐点处作一条与原有直线平行的辅助线，将复杂的图形分解为若干基本图形。 2. 利用性质转化：利用“两直线平行，内错角/同位角相等，同旁内角互补”的性质，将未知角与已知角建立起等量或互补关系。 解题技巧 1. 设元列方程：设未知角为 \(x\)，通过平行线性质表示出其他相关角，最终根据题目条件（如角度和、差、倍、分）列出方程求解。 2. 多拐点作多线：如果图形中有多个拐点，通常需要过每个拐点分别作平行线，再逐步推导各角之间的关系。 例4．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 【变式4-1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【变式4-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 类型五、平行线中的三角板旋转问题 解决平行线中的三角板旋转问题，关键在于动态分析三角板角度与平行线间夹角的关系。 方法总结 1. 抓不变量：明确三角板自身角度固定（如30°、60°、90°或45°、45°、90°），旋转时这些角度大小不变。 2. 列方程求旋转角：设旋转角为 \(x\)，用含 \(x\) 的式子表示三角板边与平行线形成的角度，再根据平行线性质（同位角/内错角相等、同旁内角互补）建立方程求解。 解题技巧 1. 分类讨论：旋转过程中，三角板的边与平行线的位置关系（如相交、平行）会变化，需分情况讨论，避免漏解。 2. 画临界图：找出三角板边从与一线平行转到与另一线平行的临界位置，画出图形，帮助确定角度范围和解的个数。 例5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 【变式5-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据平行线判定与性质证明，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得角的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部. ∵， ∴， ∵， 又∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴ 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． (1)在上述所拼图形中，的度数为_____________． (2)在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1) (2)①的值为或；②或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，角的和差计算等知识点，解题的关键是正确运用分类讨论的思想． （1）根据平角得到，据此即可求解； （2）①由题意得，，，，，然后分三种情况讨论，根据列方程求解即可； ②分三种情况讨论，利用平行线的性质以及角的和差计算求解的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， 由题意得，，，，， ∵， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）， ∴的值为或； ②当时，如图， ∴， ∴， 解得； 当时，如图： ∴， ∴， 解得； 当时，如图：记交点为点，过点作， ∴， ∴， 解得， 综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或． 类型六、平行线与平移的综合问题 解决平行线与平移的综合问题，关键在于将平移的几何性质与平行线的判定、性质相结合，实现线段和角的等量转化。 方法总结 1. 利用平移性质：平移前后图形全等，对应点连线平行且相等（即平移方向与距离）。平移后对应线段平行且相等。 2. 构造平行关系：利用平移产生的新平行线，结合原有的平行线，运用平行线性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）进行角度的等量代换或求解。 解题技巧 1. 找对应点与对应角：明确平移前后的对应点，从而确定平移的方向和距离。进而找出对应角，将未知角与已知角联系起来。 2. 将分散条件集中：通过平移，可以将图形中分散的线段或角“搬运”到一起，构成一个三角形或一个易于分析的基本图形，从而利用三角形内角和、勾股定理等求解。 例6．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【变式6-2】（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． （3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． 【详解】（1）解:由平移的性质可得， 故答案为； （2），理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）分两种情况讨论，过G作的平行线，利用平行线的性质定理，平移的性质和平行公理的推论即可求解； （3）分三种情况讨论，分别过点作的平行线，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可求解． 【详解】（1）证明：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）解：当点G在F下方时，过点作， 根据平移，得， ∴， ∴， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵； 综上所述，的度数为或． （3）解：①当点N在D左侧时，过M作， ∵， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，或或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知直线，点E、F分别在直线、上，如图，点H是直线与外一点，连接、．若，，，点P、H、Q在同一直线上，若，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解一元一次方程．设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点P作，过点H作，过点Q作，    ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，即． ∵， ∴， 解得， 故选：D． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求得答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，，连接，点是之间一点，点分别在上，连接，点在直线上，连接，恰好平分，，下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论序号是___________（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的选项①②， 故答案为：①②． 6．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图1，为射线上一点，．根据以上条件解答下列问题： (1)若．求证：； (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图形角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图：过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 8．（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，即可证明；由已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余，平角的定义，结合等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． 9．（24-25七年级下·广西南宁·期末）在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 【答案】(1)12 (2) (3)10秒 (4)105或52.5或17.5或35 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得，进而可得阴影部分的周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）设的边上的高为，则，由平移性质得四边形底，高为，面积为，根据四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； （4）分和两种情况，根据平行线的性质以及平移的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵沿着直线l平移得到，平移距离为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：12； （2）解：∵， ∴， ∵，沿着直线l平移得到， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的边上的高为，则， 由平移性质得：四边形底，高为， 所以，四边形面积为， 因为四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； 所以，， 解得：， 即10秒后四边形的面积是的面积的3倍 （4）解：连接，如图，由平移知，， ∴，当与中一个角是另一个角的3倍时，与中一个角是另一个角的3倍时，设， 当时，， 若，则，解得，即， 若，则，解得， 即， 当时， 若，则，解得，即， 若，则，解得，即， ∴的度数为或或或 故答案为：105或52.5或17.5或35． 10．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 11．（25-26七年级上·四川乐山·期末）综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴，（___________） ∵， ∴，（___________） ∴， ∴（___________） ∴． (2)方法运用：如图，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，、的角平分线相交于点， ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换 (2)猜想，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得，由平角的定义可得，则； （3）①根据（2）的结论得到，再由角平分线的定义和角之间的关系得到，，则；②仿照①求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∴（等量代换） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：①同理可得， ∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②如图 ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点Q， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期末）学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，，，． (1)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为 度； (2)如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合．当点在直线的下方时，探究所在直线与三角尺一边互相垂直的情况，请直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线性质可知，，即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）分为、、三种情况分别分析，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图， 依题意得：，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或． ①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时； ③当时，如图， 此时 综上，角度所有可能的值是或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题01平行线的性质与判定 目录 典例详解 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 类型三、平行线的性质与判定综合问题 类型四、平行线中的拐点问题 类型五、平行线中的三角板旋转问题 类型六、平行线与平移的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行线的性质与判定多结论问题 方法总结 1. 逐项验证：对每个结论，结合已知条件，利用平行线的判定（同位角、内错角、同旁内角）或性质进 行独立推导。 2.反例排除：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊图形或改变角度位置，验证其是否必然成立。 解题技巧 1.标注图形：在图上清晰标出已知角及由平行产生的相等角或互补角，直观发现关系。 2.逻辑链推理：从已知条件出发，逐步推导相关角的关系，形成完整推理链。 例1.(25-26七年级上福建漳州期末)如图，己知AB∥CD,AB∥EF,∠1+∠3=180°，以下4个结论：① CD∥EF;②∠1=∠BAE;③2L1+∠2=∠180°；④3+∠4=180°，正确的是() B D 3 E A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 【变式1-1】(25-26八年级上辽宁沈阳期末)如图，己知AB∥CD,EG,EM,FM分别平分 ∠AEF,∠BEF,∠EFD,下列结论：①LEMF=90°；②FM∥GE;③∠EGF与∠BEM互补.其中，正确 1/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 结论的个数是() B M A.0 B.1 C.2 D.3 【变式1-2】(24-25七年级下·四川南充期末)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,过点F作 FG⊥EH于点G,且∠AFG=2∠D,FE平分∠AFG,则下列结论：①∠D=45°；②2∠D+∠EHC=90°； ③FD⊥FG;④FH平分∠GFD.其中正确结论的是() A F G D H A.①② B.③④ C.②③ D.①②③④ 【变式1-3】(25-26七年级上·吉林长春·期末)如图，直线l∥1∥1.点A在直线1上，点B、点C在直线 马上，AB交直线马于点E,ED平分∠AEF交I于点D,CD交直线于点F.给出下列结论：① LABC+LBAD=I80°；②LDFE=2LBCE;③LABC=2LADE;④若DE⊥EC,则EC平分∠FEB.其中 正确的是 B 类型二、平行线的性质与判定多解题问题 方法总结 1.分类讨论：根据两直线的位置关系（平行或相交）以及所给角是同位角、内错角还是同旁内角，分情 况建立方程。 2.方程求解：利用平行线性质列出角的等量或互补关系，解方程得到多组解，检验是否符合图形合理性。 2/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧 1.画图辅助：画出两种可能的图形（如内错角相等或同旁内角互补），直观列式。 2.检验取舍：求出角度后，代入原图形验证是否满足几何特征（如角度大于0°且小于180°），舍去不 合题意的解。 例2.(25-26七年级上·江苏泰州期末)如图，在直线AB上取一点0，向上作一条射线0C,使 ∠B0C=50°，将一直角三角板顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其 中∠OMN=30°.将图中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第 秒时，边MN所在直线恰好与射线OC平行 M B 【变式2-1】(25-26七年级上江苏南京期末)将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含30的三角板 固定不动，将45°的三角板绕点A顺时针旋转，点C始终在直线AE的上方.在旋转的过程中，若两块三角 板有一组边互相平行，则∠BAE的度数是 D B 【变式2-2】(25-26八年级上陕西西安期末)将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，AC边重合， ∠BAC=45°，∠DAC=30°.保持三角尺ABC不动（如图2），将三角尺ACD绕着点C顺时针转动90°后停止. 在转动的过程中，当三角尺ACD有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行时，∠ACA'的度数为 图1 图2 【变式2-3】(24-25七年级下·江西南昌·期末)一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺ABC固 3/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定不动，将45的三角尺BDE绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线AB的上方，当两块三角尺至少有一组 边互相平行时，如图2，当DE∥AB时，∠ABE=45°，则其它符合条件的∠ABE度数为 D E 图1 图2 类型三、平行线的性质与判定综合问题 方法总结 1.判定与性质结合：先用判定定理（如同位角相等）证明两直线平行，再利用性质定理（如两直线平行 内错角相等)进行角度或线段计算。 2.转化思想：将未知角通过已知平行关系转化为与已知角相等的角，或利用同旁内角互补建立方程。 解题技巧 1. 标等角：在图上标出由平行线产生的相等角或互补角，建立等量关系。 2. 方程法：设未知角为(x),利用平行线性质列方程求解。 例3.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD 于点F,若∠B=∠D,∠1+∠2=180°. A B C E (I)求证：AB|CD: (2)若∠E=27°，求∠DAE的度数. 【变式3-1】(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，∠2=∠B,BE与DF交于点P, A F B 2 E (1)若∠1=52°，求∠C的度数： 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若∠2+∠D=90°，AB∥CD,试判断BE与DF的位置关系，并说明理由 【变式3-2】(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，CD⊥AB于点D,FG⊥AB于点F. (1)若∠1=140°，求∠DCB的度数； (2)若∠1与∠2互补，判断DE与BC是否平行，并说明理由 【变式3-3】(25-26八年级上河南郑州期末)在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚 的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能 图1 图2 (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关.如图1，从点O照射到抛物线上 的光线OB,OC等反射以后沿着与PO2平行的方向射出.图中如果∠B0P=42°，∠QOC=68°，则 ∠ABO= ,∠DC0= ； (②)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角 a=18°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角B=42°，求EF与FG所成的锐角∠EFG的度数. 类型四、平行线中的拐点问题 解决平行线中的“拐点”问题，核心方法是过拐点作辅助线，将分散的角联系起来。 方法总结 1. 过拐点作平行线：在拐点处作一条与原有直线平行的辅助线，将复杂的图形分解为若干基本图形。 2. 利用性质转化：利用“两直线平行，内错角同位角相等，同旁内角互补”的性质，将未知角与已知 角建立起等量或互补关系。 解题技巧 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1. 设元列方程：设未知角为、(x),通过平行线性质表示出其他相关角，最终根据题目条件（如角度 和、差、倍、分)列出方程求解。 2.多拐点作多线：如果图形中有多个拐点，通常需要过每个拐点分别作平行线，再逐步推导各角之间 的关系。 例4.(24-25八年级上·河北保定·期末)已知直线AB川CD,E为平面内一点，点P,Q分别在直线AB, CD上，连接PE,EQ. H 图， 图2 图3 (I)如图1，若点E在直线AB,CD之间，求证：∠PEQ=∠BPE+∠DQE, (②)如图2，若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当∠PEQ=100°时.求∠PFQ 的度数。 (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交QF于点F, 当∠PEQ=50°时，求∠PFQ的度数 【变式4-1】(24-25七年级上福建泉州期末)已知AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点M在 AB、CD之间，连接ME、MF,∠EMF=a. E 图1 图2 图3 (I)如图1，若a=80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； (2)如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF,NF与ME交于点G,∠MEB=∠MEN, ∠MPN=写∠DPN,∠DPM=20,求∠ENF的度数；（结果可用含a的式子表示） (3)如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF,若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分 ∠AEM交FP于点G,2LENF+∠EMF=II0°，求∠CFN的度数. 【变式4-2】(25-26七年级上江苏南京·期末)解决问题 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ① ③ (I)如图①，AB‖CD,∠ABD与LCDB的角平分线相交于点P,求∠P的大小： (2)如图②，ABII CD,∠F-∠E=6°，∠ABE与LCDF的平分线相交于点P,求∠P的大小： (3)如图，AB‖CD,∠E=a,∠F=B,∠G=Y,∠ABE与∠CDG的角平分线相交于点P,则∠P=一；（用 a,B,Y的代数式表示) (④)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论， 【变式4-3】(25-26八年级上贵州毕节期末)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=125°，∠PCD=135°， 求∠APC的度数，并指出∠APC与∠PAB、∠PCD之间的数量关系. 小明的思路是：过点P作PE∥AB,利用平行线的性质可求出∠APC的度数，得出∠APC与 ∠PAB、∠PCD之间的数量关系， B 00 H D D 图1 图2 图3 ()问题初探：根据小明的思路，图1中∠APC的度数为 度，∠APC与∠PAB、∠PCD之间的数 量关系为 ；(直接写出答案) (②)问题拓展：如图2，AB∥CD,若∠PAB=a、∠PCD=B,则∠APC与a、B之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)问间题延伸：如图3，AB∥CD,∠PAB和∠PCD的平分线相交于点Q,分别作∠QAB和∠QCD的平分线 相交于点g,再分别作∠QAB和∠Q,CD的平分线相交于点Q2,….设∠APC=a,∠AQnC=B,则a与 B之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由. 类型五、平行线中的三角板旋转间题 解决平行线中的三角板旋转问题，关键在于动态分析三角板角度与平行线间夹角的关系。 7/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方法总结 1. 抓不变量：明确三角板自身角度固定（如30°、60°、90°或45°、45°、90°），旋转时这些角 度大小不变。 2.列方程求旋转角：设旋转角为(x),用含1(x)的式子表示三角板边与平行线形成的角度，再根 据平行线性质（同位角/内错角相等、同旁内角互补）建立方程求解。 解题技巧 1.分类讨论：旋转过程中，三角板的边与平行线的位置关系（如相交、平行）会变化，需分情况讨论 避免漏解。 2. 画临界图：找出三角板边从与一线平行转到与另一线平行的临界位置，画出图形，帮助确定角度范 围和解的个数。 例5.(25-26七年级上·江苏扬州期末)小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知 MN∥PQ D M -N B A 图1 图2 图3 (1)如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线P9上，若∠BAQ=25°，则∠BDN的度数 为_，∠AEM的度数为 (2)如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D,F分别落在直线MN,PQ上，若FE平分∠DFP, 则DE是否平分∠MDF？请说明理由； (3)小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE>FA,若三角板ABC 绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中， 当三角板ABC的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数. 【变式5-1】(25-26七年级上·江苏无锡期末)动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到 许多有趣的结论 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°， GH∥MN,点A,B在直线GH上，点E,F在直线MN上. 8/16 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 GA B H G H G 马 M M 图1 备用图 备用图 【操作一】小宁固定三角板ABC不动，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，设时间为1 秒，且0≤1≤60. (1)当DF与AB平行时，则t的值为 (2)当DF与AC平行时，求t的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，小宁 将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且0≤1≤60，当DF与BC平行时，则t的 值为 【变式5-2】(25-26七年级上·福建福州期末)在数学活动课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条 平行线”为背景开展数学活动.如图，已知两直线a,b,且a∥b和直角三角形ABC,∠BCA=90°， ∠B=60 B B 人2 E C C 图1 图2 图3 (1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数； (2)如图2，在探究过程中A组同学把图1中的直线a向上移动，始终保持a∥b,并把∠2的位置改变，发现 ∠2-∠1=120°，请说明理由； (3)如图3，B组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边CA放在直线b上，另一边CB在直线b的下方. 过点C作射线CD,使∠ACD=110°，将图3中三角板绕点C以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设 旋转时间为t秒.当20<1<27时，在旋转的过程中∠DCB与∠ECA始终满足关系x∠DCB+∠ECA=y(x, y为常数)，求x+y的值. 【变式5-3】(25-26七年级上·江苏无锡期末)已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直 角边OA、斜边0C都与直线MN重合，∠0AB=45°，∠C0D=30°. 9/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B MA NMA 图1 图2 备用图 (1)在上述所拼图形中，∠BOD的度数为 (2)在上述所拼图形基础上，让三角尺AOB固定不动，将三角尺C0D绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方 向旋转，且两块三角尺均在直线MN的上方.设三角尺COD的旋转时间为t秒. ①在旋转过程中，请求出当∠B0C=3LBOD时t的值； ②在旋转过程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出所有满足条件t的值. 类型六、平行线与平移的综合问题 解决平行线与平移的综合问题，关键在于将平移的几何性质与平行线的判定、性质相结合，实现线段和 角的等量转化。 方法总结 1.利用平移性质：平移前后图形全等，对应点连线平行且相等（即平移方向与距离）。平移后对应线段 平行且相等。 2. 构造平行关系：利用平移产生的新平行线，结合原有的平行线，运用平行线性质（同位角、内错角 相等，同旁内角互补)进行角度的等量代换或求解。 解题技巧 1. 找对应点与对应角：明确平移前后的对应点，从而确定平移的方向和距离。进而找出对应角，将未 知角与己知角联系起来。 2.将分散条件集中：通过平移，可以将图形中分散的线段或角“搬运”到一起，构成一个三角形或 个易于分析的基本图形，从而利用三角形内角和、勾股定理等求解。 例6.(24-25七年级下·湖北荆州期末)如图，已知线段AB,点C是线段AB外一点，连接AC, ∠CAB=a(90°<a<I80°).将线段AC沿AB平移得到线段BD.点P是线段AB上一动点，连接PC, PD B 图1 备用图 (I)依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD=∠PCA+∠PDB; (2过点C作直线1∥PD.在直线1上取点M,使∠MDC=∠CDP.当a=120°时，画出图形，并直接用等 10/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系. 【变式6-1】(24-25七年级下江苏连云港·期末)如图，已知线段AB=5，点C是线段AB外一点，连接 AC,∠CAB=a(90°<a<180),将线段AC沿AB平移得到线段BD.点M是线段AB上一动点，连接 MC,MD. B M A B B 备用图1 备用图2 (I)依题意在图中补全图形，并证明：∠CMD=∠MCA+∠MDB; (2)过点C作直线1WMD,在直线1上取点N,使∠NDC=】∠CDM.当a=140°时，在备用图中画出图形， 21 并求出∠BDN与∠BDM之间的数量关系. 【变式6-2】(24-25七年级下·河北期末)如图，将三角形ABC沿射线BA方向平移到三角形A'B'C'的位置， 连接AC'. B (I)AA'与CC'的位置关系为. (2)试探索：∠A'+∠CAC'和∠ACC之间的数量关系，并说明理由. (3)设∠AC'B'=x,∠ACB=y,试探索∠CAC'与x,y之间的数量关系，并说明理由. 【变式6-3】(24-25七年级下，江苏扬州期末)如图1，已知线段AB、线段CD被直线1所截于点A、点C, ∠1=50°，∠2的度数是∠1的3倍少20°. 图1 图2 图3 (I)求证：AB∥CD; (2)如图2，连接BD,AB沿BD方向平移得到EF,点F在BD上，点G是BD上的一点，连接AG、EG, 11/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAG=30°，∠FEG=20°，求∠AGE的度数； (3)如图3，点M是线段BD上一点，点N是射线CD上一点，∠CAM度数为k,∠AMN度数为m,∠MND度 数为n,请直接写出k、m、n之间的数量关系.（本题的角均小于180°） 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·四川成都期末)太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关.如 图，以点O照射到抛物线上的光线OB,OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出.如果∠B0P=45°， ∠QOC=88°，那么∠AB0+∠DC0的值是() B O A.459 B.92° C.137 D.180° 2.(25-26七年级上山东济南·期末)己知直线AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H是 直线AB与CD外一点，连接HE、HF.若∠EHF=I20°，∠BEH=nZPEH,∠CFH=n∠HFQ,点P、H 、Q在同一直线上，若∠Q-∠P=50°，则n的值为() >P A.3 B.4 C.5 D.6 3.(25-26八年级上·辽宁沈阳·期末)如图，已知AB∥CD,EG,EM,FM分别平分 ∠AEF,∠BEF,∠EFD,下列结论：①LEMF=90°；②FM∥GE;③∠EGF与∠BEM互补.其中，正确 结论的个数是() 12/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.1 C.2 D.3 二、填空题 4.(24-25七年级下·四川绵阳·期末)如图，随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式己 融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下管和立管（点C在 AB上)，EF为后下叉，已知AB∥DE,AD‖EF,∠BCE=67°，∠CEF=133°，则∠A的度数为 A C E 1 5.(23-24七年级下·陕西安康期末)如图，AB∥CD,连接AC，点P是AB,CD之间一点，点E,F分别在 AB,CD上，连接PF,PE,点H,G在直线AC上，连接PH,PG,PG恰好平分∠EPF,∠A+∠AHP=18O ,下列结论：①CDPH;②∠BEP+∠DFP=2LEPG;③∠FPH=∠GPH,其中所有正确的结论序号是 (填序号 6.(25-26七年级上·河南新乡·期末)如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中 ∠ACB=∠CDE=90°，∠ABC=30°，∠DCE=45°.三角板ABC固定不动，三角板DCE可绕点C转动， 当AB∥EC时，∠DCB的度数为 13/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 7.(25-26八年级上江西景德镇期末)如图1，M为射线BA上一点，LABC=a,∠AMN=B(a>B).根 据以上条件解答下列问题： M M 图1 图2 ()若a=130°，B=50°，∠CBD=80°.求证：BD∥MW: (2)如图2，点E在BC上，过点E作PQ∥MN,求∠BEQ的度数.（用含a和B的代数式表示） (3)在(2)的条件下，过点E作射线EF1BC,若a=100°，B=50°，直接写出∠FEP的度数， 8.(25-26八年级上·贵州期末)已知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,FG平分∠EFD与 直线AB交于点G D 图1 图2 图3 (I)如图1，若LEGF=26°，则∠AEF的度数是_ (2)作EM平分LGEF,交FG于点M. 如图2，过点G作GN⊥FG,交直线EF于点N,求证：GN∥EM. 如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP,若2LCFP=3LPFG,请写出∠FPM与∠DFG存在的数量 关系，并说明理由。 9.(24-25七年级下·广西南宁.期末)在ABC中，∠ACB=70°，ABC的周长为12cm,边AB在直线1上， 14/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将ABC沿着直线I任意平移得到△DEF(A,B,C的对应点分别为D,E,F),连接CF. 图1 图2 备用图 (1)如图1，若平移距离为2cm,则阴影部分的周长为 cm: (2)如图2，若BC⊥BF,求∠BFD的度数； (3)若AB=5cm,aABC以每秒1cm的速度向右平移.设ABC移动了t(t>5)秒，则t为何值时，图2中的四 边形BCFD的面积是ABC的面积的3倍？ (④)在整个运动过程中，当∠BFD与∠CBF中一个角是另一个角的3倍时，则∠BFD的度数为 10.(25-26八年级上广东河源期末)如图1，AB∥CD,M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E B A-M B D C D 图1 图2 (I)若∠EMB=35°，∠END=65°，则∠MEN的度数是 (2)求证：∠MEN=∠END-∠EMB. (3)如图2，MQ平分∠EMB,NQ平分LEND,若LMEN=a,试用含a的代数式表示∠MQN的度数 11.(25-26七年级上·四川乐山期末)综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化” 的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形” E A B M-- 图1 图2 图3 (I)阅读理解：如图，AB∥CD,点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行线间一点，猜想∠AEP 、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由.阅读并补充下面推理过程： 解：∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由如下： 过点P作MN∥AB, .∠AEP=∠EPN,( 15/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB∥CD, .MN∥CD,( .∠CFP=∠FPN, :∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+LCFP( .LEPF=∠AEP+∠CFP. (2)方法运用：如图，AB∥CD,猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图，AB∥CD、∠CFP的角平分线相交于点Q, ①若∠AEG-∠AE0,∠CFG-?∠CF,∠EPF-108,求∠G的度数： 3 @若∠ABG∠AE0.∠CFG∠CF0,∠EPF=P,请直接写出LG的度数.C用含m、力的代数式表示 m 12.(25-26七年级上·吉林长春·期末)学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界.一副三角尺为我们观 察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，∠ACB=∠DFE=90°，∠B=45°，∠D=30°. D D B C (F) G A(F) M B 图① 图② 图③ (I)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G,则 LBGD的度数为_度； (2)如图②，将三角尺ABC的直角顶点C放在直线MN上，使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E在直线MN上， DF与AB相交于点P,则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由： (3)如图③，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C,F重 合.当点A在直线EC的下方时，探究DC所在直线与三角尺ABC一边互相垂直的情况，请直接写出 ∠ACE所有可能的度数. 16/16