2025-2026学年高二下学期期末数学限时小卷（十三）（人教B版选择性必修第三册）

**基本信息** 聚焦数列与导数核心模块，以限时训练整合知识应用，突出数学建模与逻辑推理，强化综合解题能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|5题（含解答题1）|结合数学文化（周髀算经）、高阶等差，考查等差等比性质及求和|从定义推导到实际应用，构建“概念-性质-求和-建模”逻辑链| |导数应用|5题（含解答题1）|导函数图像分析、单调区间、极值与最值，强调符号语言转化|以导数几何意义为基础，形成“求导-判号-应用”的问题解决路径|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十三） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设等差数列，，，则(    ) A. B. C. D. 2.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为(    ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(    ) A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 4.函数的单调递减区间是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知为等比数列，是其前项和若，且与的等差中项为，则(    ) A. B. 公比 C. D. 6.如图是函数的导函数的图象，则(    ) A. 在时，函数取得极值 B. 在时，函数取得极值 C. 的图象在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列，的前项和          ． 8.已知为常数在上有最小值，则在上的最大值是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 设数列的前项和为已知，． 若，证明：数列是等差数列； 求的前项和． 10.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间； 若，恒成立，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十三） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设等差数列，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】 解：由等差数列的通项公式可得：． 故选：． 2.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为(    ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等差数列的实际应用，属于基础题． 根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列的通项公式与前项和公式求解即得． 【解答】 解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为尺． 故选：． 3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(    ) A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查导函数与原函数之间的关系，利用导数图象确定原函数性质的方法等知识，属于基础题． 由题意利用导数与原函数之间的关系结合图象分析选项中的说法是否正确即可． 【解答】解：由图可知，，则曲线在点处的切线斜率等于零，选项A错误； B.可知当时，，则函数在区间上单调递减，选项B错误； C.可知当时，；当时，； 则函数在处不取得极大值，选项C错误； D.可知当时，；当时，； 则函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间内至多有两个零点，选项D正确． 故选：． 4.函数的单调递减区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，属于基础题． 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可． 【解答】 解：函数的定义域是， ， 令，解得：， 故函数在递减， 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知为等比数列，是其前项和若，且与的等差中项为，则(    ) A. B. 公比 C. D. 【答案】CD  【解析】【分析】 本题主要考查等比数列通项公式，属于基础题． 【解答】 解：设等比数列的公比为， 若，则，即， 由与的等差中项为，可得， 即， 解得，， 则，． 6.如图是函数的导函数的图象，则(    ) A. 在时，函数取得极值 B. 在时，函数取得极值 C. 的图象在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查导函数与原函数的关系，利用导数判断已知函数的单调性，属于基础题． 由导函数与原函数的关系，结合导函数的图象，逐项判断即可求得正确答案． 【解答】 解：由图可知，是导函数的一个变号零点， 故当时，函数取得极值，故A正确； 不是导函数的一个变号零点， 故当时，函数不能取得极值，故B错误； 的图象在处的切线斜率为，故C错误； 当时，，此时函数单调递增，故D正确． 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列，的前项和          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列求和，数列通项公式的应用，属基础题． 求出数列的前项，然后求解即可． 【解答】 解：数列满足， 可得，，， 所以． 故答案为：． 8.已知为常数在上有最小值，则在上的最大值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数及其应用中的利用导数研究闭区间上函数的最值，属于基础题． 要求的最大值，先求出函数的导函数，判断其单调性，在上分三种情况讨论得函数的极值，然后和端点值比较取最大值即可． 【解答】 解：，令，得，． 当，或时，，单调递增， 当时，单调递减，由最小值为知，最小为或 ，，则， ，其最大值为或， ，，则最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 设数列的前项和为已知，． 若，证明：数列是等差数列； 求的前项和． 【答案】解：因为， 所以可化为， ， 又， 所以是首项为，公差为的等差数列； 由，知，所以， 所以 ． 即．  【解析】本题考查了等差数列证明，分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 根据条件得出是首项为，公差为的等差数列； 由利用分组求和即可得到答案． 10.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间； 若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 ； 由知在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 所以，， 所以实数的取值范围为．   【解析】本题考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数研究恒成立问题，属于较易题． 对函数进行求导，然后利用分析函数的单调性即可求解； 先将不等式恒成立问题转化为求函数在区间上的最大值问题，利用的结论和给定区间，即可求得的范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $