精品解析：河南南阳华龙高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

华龙高中2026年春期第二次月考高一年级 数学学科试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ）. A. B. C. D. 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 4 8. 将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为，那么的值为 A. B. 2 C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. ，是三个平面， 是两条直线，下列四个命题中错误的是（    ） A. 若 ，则 B. 若 则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形的边长为1，分别为 的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为定值 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 三棱锥与体积之比值为定值 D. 四面体的外接球体积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数z满足，则___________． 13. 的值是___________. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，为实数，若，求 16. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 17. 已知，． （1）求的值； （2）若且，求的值． 18. 如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）已知点在上满足平面，求的值. 19. 如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华龙高中2026年春期第二次月考高一年级 数学学科试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数的运算化简求解. 【详解】解：由题得， 所以. 故选：B 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算即可. 【详解】，， 故选：C. 【点睛】本题主要考查复数的运算，关键是求出，属基础题. 3. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 4. 已知，则的值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简所求的表达式为正切函数的表达式，代入求解即可. 【详解】 ， 故选：B. 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数转化为关于的二次函数，令，，结合二次函数的性质计算可得； 【详解】解：， 令，则， 所以当时，即时； 故选：A． 6. 已知，为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，，再由二倍角公式求出，最后由计算可得. 【详解】因为，为锐角且，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 故选：B 7. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中，， 所以原图形的面积为， 故选：A 8. 将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为，那么的值为 A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：三个圆心角分别为，相对应的三段弧长分别为，故，所以. 考点：圆锥的侧面展开图． 【易错点晴】圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥底面半径和扇形的弧长的关系是：底面周长等于侧面展开图的弧长.由于半径为的圆分割成面积之比为 的三个扇形，我们就可以先求出个扇形的弧长，再由圆的周长公式，即可求出三个圆锥所对应的底面半径.在弧度制的概念中，圆心角和弧长的对应关系为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. ，是三个平面， 是两条直线，下列四个命题中错误的是（    ） A. 若 ，则 B. 若 则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若 ， 由平面与平面平行的性质可得 ，故选项A正确； 对于B，若 ， 当 与相交时， ，故选项B错误； 对于C，若 则与无公共点，因为，所以 与无公共点， 所以 ，故选项C正确； 对于D，若 ， ，则 或与相交，故选项D错误. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角函数值的正负判断角的范围，利用同角三角函数的平方关系和商数关系，二倍角公式计算即可. 【详解】解：已知，则， 解得，C选项正确； 因为，，所以， ， 而，则，所以，A选项正确； 由于，则， 联立，解得，， 则，B选项正确； ，D选项错误； 故选：ABC. 11. 如图，正方形的边长为1，分别为 的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为定值 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 三棱锥与体积之比值为定值 D. 四面体的外接球体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，取中点，连接，，易证平面 ，再由判断；对于B，若直线与直线垂直，得到 是以和为腰长的等腰三角形判断；对于C，由分别为正方形的边 的中点，得到与 面积比为2∶1，再由到面的距离与到面的距离之比为2∶1判断；对于D，易知外接球球心是中点求解判断． 【详解】如图所示： 对于，取中点，连接，，则，且， ∴平面 ，∴，异面直线与所成的角为90°， 又，∴异面直线与所成的角为定值，故A正确； 对于B，若直线与直线垂直， ∵直线与直线也垂直，则直线平面 ， ∴直线直线，又，∴平面，∴ ， 而 是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误； 对于C.分别为正方形的边 的中点， ∴与 面积比为2∶1， 又B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2∶1， 所以三棱锥与体积之比值为定值，故C正确； 对于D，因为OA=OB=OC=OD，所以外接球球心是，所以外接球半径， ∴四面体的外接球体积为，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数z满足，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再由模的意义计算作答. 【详解】，依题意，， 因此，解得， 所以. 故答案为：2 13. 的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由进行转化，可得答案. 【详解】解：由 故答案为：. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形求解. 【详解】如图所示： 过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形， 因为， 所以之间的距离为， 所以梯形的面积为， 故答案为；． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，为实数，若，求 【答案】. 【解析】 【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 16. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而 平面，平面，所以平面. 17. 已知，． （1）求的值； （2）若且，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系可求得，由两角和差正切公式可求得结果； （2）利用，利用两角和差公式展开后，结合同角三角函数关系可求得结果. 【小问1详解】 ，，，， ； 【小问2详解】 ， ，，，， 由（1）知：， ． 18. 如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）已知点在上满足平面，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结， ，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【小问1详解】 证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面， 平面，故平面； 【小问2详解】 如图连结交延长线于，连结交于， 连结， ，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 19. 如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． （1）求该几何体的表面积； （2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可； （2）将圆台侧面沿母线展开求解即可. 【小问1详解】 如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. 【小问2详解】 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， ∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴， 又∵，∴，， 设，则的弧长，∴， 连接，取线段中点，连接，则， 在中，，，∴， ∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段， . ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $