河南南阳华龙高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

**基本信息** 高一数学月考卷涵盖复数、立体几何、三角函数等模块，通过基础题（如复数运算）、综合题（如四棱锥证明）、创新题（如旋转体最短路径）梯度设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高一阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数运算、圆锥圆柱侧面积比、三角函数最值|第3题结合轴截面等边三角形考查空间图形转化，体现数学眼光| |多选题|3/18|空间线面关系、三角恒等变换|第11题翻折问题综合异面直线角与外接球，培养逻辑推理| |填空题|3/15|复数模、三角化简、正方体截面面积|第14题正方体截面计算，融合几何直观与空间想象| |解答题|5/77|复数相等、立体几何证明、三角求值、旋转体问题|第19题旋转体表面积与侧面展开最短路径，类似高考实践应用题，发展应用意识|

华龙高中2026年春期第二次月考高一年级 数学学科试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 3．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值是（  ）. A． B． C． D． 5．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ） A． B． C．8 D．4 8．将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为，那么的值为 A． B．2 C． D．1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．，是三个平面，是两条直线，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 10．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边长为1，分别为的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为定值 B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．三棱锥与体积之比值为定值 D．四面体的外接球体积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知复数z满足，则___________． 13．的值是___________. 14．如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15． (13分)已知，，为实数，若，求 16．(15分)如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：CE∥平面PAB． 17．(15分)已知，. （1）求的值； （2）若且，求的值. 18．(17分)如图所示，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 19．(17分)如图，在直角梯形中， ， ，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 学科网（北京）股份有限公司高高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 华龙高中2026年春期第二次月考高一年级数学学科试卷答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C C B A B A D BD ABC ACD 二、填空题 12、2 13、 14、 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用复数的运算化简求解. 【详解】解：由题得， 所以. 故选：B 2．（2023春·山东日照·高一校联考期中）复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接计算即可. 【详解】，， 故选：C. 【点睛】本题主要考查复数的运算，关键是求出，属基础题. 3．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 4．（2023春·广西柳州·高一统考期末）已知，则的值是（  ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简所求的表达式为正切函数的表达式，代入求解即可. 【详解】 ， 故选：B. 5．（2023春·海南省直辖县级单位·高一文昌中学校考期中）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式将函数转化为关于的二次函数，令，，结合二次函数的性质计算可得； 【详解】解：， 令，则， 所以当时，即时； 故选：A． 6．（2023·全国·模拟预测）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，，再由二倍角公式求出，最后由计算可得. 【详解】因为，为锐角且，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 故选：B 7．（2022秋·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中，， 所以原图形的面积为， 故选：A 8．（2023·高二课时练习）将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为，那么的值为 A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】试题分析：三个圆心角分别为，相对应的三段弧长分别为，故，所以. 考点：圆锥的侧面展开图． 【易错点晴】圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥底面半径和扇形的弧长的关系是：底面周长等于侧面展开图的弧长.由于半径为的圆分割成面积之比为的三个扇形，我们就可以先求出个扇形的弧长，再由圆的周长公式，即可求出三个圆锥所对应的底面半径.在弧度制的概念中，圆心角和弧长的对应关系为. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．，是三个平面，是两条直线，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个分析可得答案. 【详解】对于A，若，由平面与平面平行的性质可得，故选项A正确； 对于B，若，当与相交时，，故选项B错误； 对于C，若则与无公共点，因为，所以与无公共点，所以，故选项C正确； 对于D，若，，则或与相交，故选项D错误. 故选：BD. 10．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三角函数值的正负判断角的范围，利用同角三角函数的平方关系和商数关系，二倍角公式计算即可. 【详解】解：已知，则， 解得，C选项正确； 因为，，所以，， 而，则，所以，A选项正确； 由于，则， 联立，解得，， 则，B选项正确； ，D选项错误； 故选：ABC. 11．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）如图，正方形的边长为1，分别为的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为定值 B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．三棱锥与体积之比值为定值 D．四面体的外接球体积为 【答案】ACD 【分析】对于，取中点，连接，，易证平面，再由判断；对于B，若直线与直线垂直，得到是以和为腰长的等腰三角形判断；对于C，由分别为正方形的边的中点，得到与面积比为2∶1，再由到面的距离与到面的距离之比为2∶1判断；对于D，易知外接球球心是中点求解判断． 【详解】如图所示： 对于，取中点，连接，，则，且， ∴平面，∴，异面直线与所成的角为90°， 又，∴异面直线与所成的角为定值，故A正确； 对于B，若直线与直线垂直， ∵直线与直线也垂直，则直线平面， ∴直线直线，又，∴平面，∴， 而是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误； 对于C.分别为正方形的边的中点， ∴与面积比为2∶1， 又B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2∶1， 所以三棱锥与体积之比值为定值，故C正确； 对于D，因为OA=OB=OC=OD，所以外接球球心是，所以外接球半径， ∴四面体的外接球体积为，故D正确． 故选：ACD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z满足，则___________． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再由模的意义计算作答. 【详解】，依题意，， 因此，解得， 所以. 故答案为：2 13．（2023·全国·高三专题练习）的值是___________. 【答案】 【分析】由进行转化，可得答案. 【详解】解：由 故答案为：. 14．（2023春·北京·高一东直门中学校考期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为________． 【答案】 【分析】由过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形求解. 【详解】如图所示： 过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形， 因为， 所以之间的距离为， 所以梯形的面积为， 故答案为；． 1． 解答题（共5小题，满分77分） 15．已知，，为实数，若，求 【答案】. 【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 16．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：BC∥AD； (2)求证：CE∥平面PAB． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明． 【详解】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． （2）取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点， ∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB． 17．已知，. （1）求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先根据平方关系求出，从而得到，再利用两角和的正切公式即可求出； （2）由平方关系求出，再根据展开即可求出． 【详解】（1）因为，，故，所以. . （2）因为，，所以. 又因为，所以. ． 18．（2023·全国·高一专题练习）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由 平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则 FO . 又平面，平面，故 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又 平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又 DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 19．如图，在直角梯形中， ， ，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体． (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可； （2）将圆台侧面沿母线展开求解即可. 【详解】（1） 如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. （2） 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， ∵圆台上下底面半径的关系为，∴，∴， 又∵，∴，， 设，则的弧长，∴， 连接，取线段中点，连接，则， 在中，，，∴， ∴蚂蚁从点绕着圆台的侧面爬行一周回到点的最短路径即为线段， . ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 学科网（北京）股份有限公司高第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $