第10章 相交线、平行线与平移（18知识详解+30典例分析）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学讲义围绕“相交线、平行线与平移”单元，通过18个知识点详解与30个典例分析构建系统知识体系，运用表格对比（如点到直线距离与两点间距离）、步骤分解（如垂线画法“一落二移三画”）、示图辅助等工具，梳理对顶角、垂线、平行线判定与性质、平移等核心内容，突出概念辨析与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如“垂线段最短”结合将军饮马问题培养模型意识，“平移作图”通过“定方向、找关键点、移对应点、连图形”四步法强化几何直观，涵盖选择、填空、解答题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化推理，教师可据此实施精准教学，提升学生运算能力与应用意识。

第10章 相交线、平行线与平移（18知识详解+30典例分析） 【知识点01】对顶角 1. 定义 两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角. 特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .  内容 示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角 . 2. 性质 对顶角相等 . 特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角 . 【知识点02】垂直与垂线 1. 定义 在两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 . 特别解读： 垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 . 2. 表示方法 如 果 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直，可 以 记 作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直 CD”. 3. 推理格式 如图 10.1-2，因为∠ AOC=90°(已知)，所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)， 所以∠ AOC=90°(垂直的定义) . 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 . (1)用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一折 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合 过点 P 作直线 l 的垂线： 二画 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合  过点 P 作直线 l 的垂线： 点 P 在直线 l 外 点 P 在直线 l 上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 2. 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 特别提醒： 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外 . 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1) 定义： 从直线 l 外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足记为点 O，则线段 OP 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . (2) 性质： 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 . 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 . (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 . (2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离  点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度  直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短  垂线段最短 【知识点05】平行线的定义及画法 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 平行线定义的三要素 (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图 10.2-1，直线 AB 与 CD是平行线，记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” . 3. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落： 把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移： 把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画： 沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线 . 示图(如图 10.2-2)： 【知识点06】平行线的基本事实及其推论 1. 基本事实 经过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线 . 特别提醒： 基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线 . 特别解读 “有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 推论：平行线的传递性 如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 . 表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b. 【知识点07】同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角” 两条直线被第三条直线所截形成八个角， 习惯上称为“ 三线八角”， 它们构成了同位角、内错角、同旁内角 . 如图 所示，两条直线 a 和 b 被第三条直线 l所截 . 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 (1)同位角：∠ 1 与∠ 5 分别在直线 a 和b 相同的一侧，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同位角 . 再如∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7，∠ 4 与∠ 8. (2)内错角：∠ 5 与∠ 3 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫作内错角 . 再如∠ 4 与∠ 6. (3)同旁内角：∠ 5 与∠ 4 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同旁内角 . 再如∠ 3与∠ 6. 【知识点08】平行线的判定的基本事实(判定方法 1） 1. 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同位角相等，两直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)， 所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) . 【知识点09】过直线外一点作已知直线的平行线 1.过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法如下： 作法  示图 1.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O， P 作直线 CD 2.以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线CD 的右侧作∠ DPN=∠ DOB.PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线 【知识点10】平行线的判定方法 2 1. 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说，内错角相等，两直线平行 . 特别解读： (1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的 . (2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) . 【知识点11】平行线的判定方法 3 1. 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 . 特别提醒： 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) . 【知识点12】平行线判定方法的推论 1. 判定方法推论 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 . 简称： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式： 如图 ，直线 a， b， c 在同一平面内 . 因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c. 2. 拓展 a，b，c 为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b 【知识点13】平行线的性质 1 1. 性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单地说： 两直线平行，同位角相等 . 表达方式： 如图 10.3-1，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，同位角相等) . 2. 平行线的性质与平行线的判定的区别 (1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系； (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件 . 【知识点14】平行线的性质 2 1. 性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 . 简单地说： 两直线平行，内错角相等 . 2. 表达方式 如图 10.3-5，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等) . 【知识点15】平行线的性质 3 1. 性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 . 简单地说： 两直线平行，同旁内角互补 . 2. 表达方式 如图 10.3-7，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补) . 【知识点16】平移的定义 1. 平移 在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 10.4-1， 把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′. 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′； 对应线段： AB 与 A′B′， AC 与 A′C′， BC 与 B′C′； 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′. 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 在图形平移中，原图形上的点到它的对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离. 【知识点17】平移的性质 1. 平移的性质 (1)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等； (2)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 . 2. 示图     如图 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，则 (1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′； (2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′； (3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′. 【知识点18】平移作图 平移作图的一般步骤 平移作图是平移性质的基本应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的四个步骤——定、找、移、连 . (1)定： 确定平移的方向和距离； (2) 找： 找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)； (3) 移： 过关键点作与平移方向一致且与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； (4) 连： 按原图顺次连接各对应点 . 【题型一】垂线的定义理解 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）如图，直线，相交于点，，，，则 的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知直线、相交于点，射线，平分，如果，那么______． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，直线相交于点O，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型二】画垂线 4．过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）画一条直线，在直线取一点，在直线外取一点，用三角尺或量角器分别经过，点，画直线的垂线． 【题型三】垂线段最短 6．（2024七年级下·安徽·期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是（    ）    A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 7．（22-23七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，某农场在灌溉时要把水渠中的水引到C点，为使渠道最短，则点D即为使得所挖渠道最短的位置．其数学依据是______．    【题型四】点到直线的距离 8．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点，于点，则点到的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 9．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是____，点B到的距离是___，点A到的距离是___； 10．（22-23七年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【题型五】对顶角的定义 11．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 12．如图所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．图中与是对顶角吗？ 【题型六】对顶角相等 13．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，直线，交于点，于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，若直线，相交于，且，则的度数为________． 15．（2024七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．    【题型七】邻补角的定义理解 16．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 17．如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 18．阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据． 命题：如图所示，直线，相交于点，那么． 理由：因为(________)， (________)， 所以(________)， 所以(________)． 【题型八】利用邻补角互补求角度 19．（22-23七年级下·安徽·期末）如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 20．（22-23七年级下·安徽黄山·期中）如图，点是直线上一点，是一条射线，且，若过点作射线，使，则的度数为___________． 21．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 【题型九】平面内两直线的位置关系 22．小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．其中是平行线的有（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 23．如图，线段，，，是画在方格纸上的四条线段，请找出其中互相平行的线段． 【题型十】立体图形中平行的棱 24．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 25．在正方体的一个顶点处，有_________条棱相交，这些棱中任意两条都_________（填“是”或“不是”）平行． 26．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【题型十一】用直尺、三角板画平行线 27．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 28．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 29．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 【题型十二】平行公理的应用 30．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）过直线外一点画与已知直线平行的直线（    ） A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．无数条 31．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是______________________. 32．直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线与B，C两点确定的直线都与l平行，那么A，B，C三点的位置关系如何？ 【题型十三】平行公理推论的应用 33．在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 34．若直线，，则的依据是______． 35．如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 【题型十四】同位角相等两直线平行 36．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 38．如图，平分，若，，求证：． 【题型十五】内错角相等两直线平行 39．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 40．如图所示，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是________． 41．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， ①__________，②__________（③_______________） （已知）， ④__________（等量代换）． （已知）， ⑤__________⑥__________（⑦____________________）， （⑧______________________________）． 【题型十六】同旁内角互补两直线平行 42．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，下列推理中正确的有（    ）个 ①，；②，；③，；④，． A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠A＝∠DCE； ④∠A＋∠ABD＝180°． 能判断AB∥CD的有________（填写序号）． 44．（2024七年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，，，求证：． 【题型十七】同位角、内错角、同旁内角 45．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 46．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 47．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 【题型十八】两直线平行同位角相等 48．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线，被直线所截，．当时，直线．由此可知，的值为（   ） A． B． C． D． 49．（2024七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线a∥b，直角三角形的直角顶点在直线b上，已知∠1=48°，则∠2的度数是___度． 50．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型十九】两直线平行内错角相等 51．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，由已知条件推出结论错误的是（   ） A．由，可以推出 B．由，可以推出 C．由，可以推出 D．由，可以推出 52．（22-23七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知海岛B在海岛A的正东方向，从海岛A观测货船C在其北偏东方向上，从海岛B观察货船C在其北偏东方向上，则的度数是______．    【题型二十】两直线平行同旁内角互补 53．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，且被直线所截，，的度数是（  ）    A． B． C． D． 54．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，，，，则的度数等于______． 55．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分． (1)直线与有何位置关系？请说明理由； (2)求的度数； (3)若左右平移，在平移的过程中， ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【题型二十一】根据平行线的性质探究角的关系 56．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，且平分平分交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 57．（22-23七年级下·安徽池州·期末）已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是___________．      58．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 【题型二十二】根据平行线的性质求角的度数 59．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，绳子的两端分别系在墙上的点处和房顶的点处，在绳子上的点处悬挂重物，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，将直尺与含角的直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为____________． 61．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，，的平分线交于点G． (1)求证； (2)在线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，求证； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，直接写出的值． 【题型二十三】平行线的性质在生活中的应用 62．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 63．小明在坪山区中心公园沿着一条小路散步，小明两次拐弯后方向与原来相同，已知第一次拐的角，第二次拐的角是________． 64．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【题型二十四】根据平行线判定与性质求角度 65．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 66．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，，，，，是上一点，是延长线上一点． （1）的度数为__________； （2）若，则的度数为____________． 67．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整． 解：（已知）， ________（________________________） 又（已知）， （________________________）， ________（________________________）， ________（________________________）， （已知）， ________． 【题型二十五】根据平行线判定与性质证明 68．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 69．（2024七年级下·安徽亳州·期末）已知：，点在点的右侧，平分，平分，，所在直线交于点，． （1）__________度； （2）若，则的度数是__________（用含的式子表示）． 70．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 【题型二十六】生活中的平移现象 71．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运动属于平移的是（   ） A． B． C． D． 72．“科教兴国，强国有我”．在科技实验活动中，陈臻设计制作了“水火箭”升空实验．观察发射过程，他把水火箭抽象成几何图形，如图，火箭主体约，若起飞过程中约，则的长约________． 73．举出现实生活中平移的一些实例． 【题型二十七】图形的平移 74．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）祥云，寓意祥瑞之云气，表达了吉祥、喜庆、幸福的愿望以及对生命的美好向往．下列选项中可以看作是左面祥云图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 75．如图，经过平移后运动到位置，作出平移方向，量出平移距离．（精确到） 【题型二十八】利用平移的性质求解 76．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 77．（2024七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 _______． 78．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，将三角形沿边所在的直线向右平移，得到三角形，与相交于点，且平移距离为3，．    (1)与的关系是_______________；的长为____________； (2)若四边形的面积为15，求的长． 【题型二十九】利用平移解决实际问题 79．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 80．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 _____平方米． 81．某酒店在重新装修后，准备在门口的阶梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米的售价为元，阶梯道宽为米，其侧面如图所示，铺设阶梯的红地毯至少需要多长？至少花费多少元？    【题型三十】平移(作图) 82．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 83．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上） (1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形； (2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 相交线、平行线与平移（18知识详解+30典例分析） 【知识点01】对顶角 1. 定义 两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角. 特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .  内容 示图 ∠ 1 和∠ 2 互为对顶角 . 2. 性质 对顶角相等 . 特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角 . 【知识点02】垂直与垂线 1. 定义 在两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 . 特别解读： 垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 . 2. 表示方法 如 果 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直，可 以 记 作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直 CD”. 3. 推理格式 如图 10.1-2，因为∠ AOC=90°(已知)，所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)， 所以∠ AOC=90°(垂直的定义) . 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 . (1)用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一折 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合 过点 P 作直线 l 的垂线： 二画 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤  内容  示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合  过点 P 作直线 l 的垂线： 点 P 在直线 l 外 点 P 在直线 l 上 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 2. 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 . 特别提醒： 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外 . 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1) 定义： 从直线 l 外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足记为点 O，则线段 OP 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 . (2) 性质： 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 . 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 . (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 . (2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离  点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度  直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短  垂线段最短 【知识点05】平行线的定义及画法 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 平行线定义的三要素 (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图 10.2-1，直线 AB 与 CD是平行线，记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” . 3. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落： 把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移： 把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画： 沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线 . 示图(如图 10.2-2)： 【知识点06】平行线的基本事实及其推论 1. 基本事实 经过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线 . 特别提醒： 基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线 . 特别解读 “有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 推论：平行线的传递性 如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 . 表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b. 【知识点07】同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角” 两条直线被第三条直线所截形成八个角， 习惯上称为“ 三线八角”， 它们构成了同位角、内错角、同旁内角 . 如图 所示，两条直线 a 和 b 被第三条直线 l所截 . 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 (1)同位角：∠ 1 与∠ 5 分别在直线 a 和b 相同的一侧，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同位角 . 再如∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7，∠ 4 与∠ 8. (2)内错角：∠ 5 与∠ 3 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫作内错角 . 再如∠ 4 与∠ 6. (3)同旁内角：∠ 5 与∠ 4 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同旁内角 . 再如∠ 3与∠ 6. 【知识点08】平行线的判定的基本事实(判定方法 1） 1. 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同位角相等，两直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)， 所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) . 【知识点09】过直线外一点作已知直线的平行线 1.过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法如下： 作法  示图 1.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O， P 作直线 CD 2.以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线CD 的右侧作∠ DPN=∠ DOB.PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线 【知识点10】平行线的判定方法 2 1. 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说，内错角相等，两直线平行 . 特别解读： (1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的 . (2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) . 【知识点11】平行线的判定方法 3 1. 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 . 特别提醒： 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) . 【知识点12】平行线判定方法的推论 1. 判定方法推论 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 . 简称： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式： 如图 ，直线 a， b， c 在同一平面内 . 因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c. 2. 拓展 a，b，c 为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b 【知识点13】平行线的性质 1 1. 性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单地说： 两直线平行，同位角相等 . 表达方式： 如图 10.3-1，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，同位角相等) . 2. 平行线的性质与平行线的判定的区别 (1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系； (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件 . 【知识点14】平行线的性质 2 1. 性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 . 简单地说： 两直线平行，内错角相等 . 2. 表达方式 如图 10.3-5，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等) . 【知识点15】平行线的性质 3 1. 性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 . 简单地说： 两直线平行，同旁内角互补 . 2. 表达方式 如图 10.3-7，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补) . 【知识点16】平移的定义 1. 平移 在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 10.4-1， 把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′. 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′； 对应线段： AB 与 A′B′， AC 与 A′C′， BC 与 B′C′； 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′. 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 在图形平移中，原图形上的点到它的对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离. 【知识点17】平移的性质 1. 平移的性质 (1)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等； (2)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 . 2. 示图     如图 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，则 (1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′； (2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′； (3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′. 【知识点18】平移作图 平移作图的一般步骤 平移作图是平移性质的基本应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的四个步骤——定、找、移、连 . (1)定： 确定平移的方向和距离； (2) 找： 找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)； (3) 移： 过关键点作与平移方向一致且与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； (4) 连： 按原图顺次连接各对应点 . 【题型一】垂线的定义理解 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）如图，直线，相交于点，，，，则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据垂直的定义求出，然后求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知直线、相交于点，射线，平分，如果，那么______． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】当在内部时，当在外部时，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴；    如图所示，当在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或．    故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，直线相交于点O，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差： （1）先根据垂直的定义可得，再根据等量代换可得，从可得，然后根据平角的定义即可得； （2）先根据垂直的定义可得，再根据可求出的度数，由此即可得出答案． 掌握理解垂直的概念是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ． （2）∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 【题型二】画垂线 4．过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画垂线 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有过点，故该选项不符合题意； B．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； C．为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意； D．没有垂直于，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键． 5．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）画一条直线，在直线取一点，在直线外取一点，用三角尺或量角器分别经过，点，画直线的垂线． 【答案】 如图：直线即为所求． 【知识点】画垂线 【分析】根据过直线上一点和直线外一点作已知直线垂线的方法，利用三角尺的直角即可完成作图． 【题型三】垂线段最短 6．（2024七年级下·安徽·期末）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是（    ）    A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可求解． 【详解】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，关键是熟悉垂线段最短的知识点． 7．（22-23七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，某农场在灌溉时要把水渠中的水引到C点，为使渠道最短，则点D即为使得所挖渠道最短的位置．其数学依据是______．    【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短原理判断． 【详解】根据垂线段最短，得到最短的渠道， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【题型四】点到直线的距离 8．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点，于点，则点到的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【分析】点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断即可． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义知：线段的长度为点到的距离． 9．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是____，点B到的距离是___，点A到的距离是___； 【答案】 5 4 3 【知识点】点到直线的距离、两点间的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，两点间的距离．关键是理解两点间的距离是线段的长度，点到的距离是从点A向作垂线段的长度，即线段的长度，类比求出点B到的距离即可解题． 【详解】解：点A到点B的距离是；点B到的距离是；点A到的距离是； 故答案为：，，． 10．（22-23七年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)8，6 (2)见解析 (3) 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为：8，6； （2）如图，为所作；    （3），理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【题型五】对顶角的定义 11．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A． 与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； B．与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； C．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项符合题意； D．与无公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意． 12．如图所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．图中与是对顶角吗？ 【答案】 不是 【知识点】对顶角的定义 【分析】根据对顶角的定义判断即可． 【详解】解：不是，由对顶角的定义知和的两边不互为反向延长线，所以它们不是对顶角． 【题型六】对顶角相等 13．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，直线，交于点，于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】由垂线的定义可知，从而可求出，再根据对顶角的性质即可知． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵与为对顶角， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查垂线的定义，角的和与差，对顶角相等．利用数形结合的思想是解题关键． 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，若直线，相交于，且，则的度数为________． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】根据对顶角的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴. 15．（2024七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．    【答案】70° 【知识点】对顶角相等、角平分线的有关计算 【分析】由对顶角相等可得∠AOC＝40°，由角平分线的性质可得∠COE的度数，利用OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，用角的和差可求∠DOF的度数． 【详解】解：∵OE平分∠AOC， ∴∠COE＝∠AOC． ∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝40°， ∴∠AOC＝40°． ∴∠COE＝×40°＝20°． ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°． ∴∠DOF＝180°﹣∠EOF﹣∠COE＝180°﹣90°﹣20°＝70°． 【点睛】本题考查了角平分的定义、对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等以及角平分线的定义是解题的关键. 【题型七】邻补角的定义理解 16．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 只有选项D符合题意． 17．如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【答案】 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，是的邻补角． 18．阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据． 命题：如图所示，直线，相交于点，那么． 理由：因为(________)， (________)， 所以(________)， 所以(________)． 【答案】邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1 【知识点】对顶角相等、邻补角的定义理解 【分析】本题考查利用邻补角的定义、等量代换及等式基本性质来得到对顶角相等，先利用邻补角的定义得到两个角的和为，再通过等量代换建立等式，最后利用等式的基本性质消去公共角，从而推导出对顶角相等的结论． 【详解】解：∵(邻补角的定义)， (邻补角的定义)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质1)； 故答案为：邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1． 【题型八】利用邻补角互补求角度 19．（22-23七年级下·安徽·期末）如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】由角平分线定义得到，因此，由邻补角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角，角平分线定义，掌握以上知识点是解题的关键． 20．（22-23七年级下·安徽黄山·期中）如图，点是直线上一点，是一条射线，且，若过点作射线，使，则的度数为___________． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【分析】根据邻补角的定义求出，再根据，进行分类讨论，当点D在下方时，当点D在上方时． 【详解】解：当点D在下方时，如图中， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点D在上方时，如图中， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角度的和差计算，解题的关键是正确画出图形，进行分类讨论． 21．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】利用对顶角的性质，角平分线的定义以及角的和差进行求解． 【详解】解：∵直线、相交于点O，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 【题型九】平面内两直线的位置关系 22．小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．其中是平行线的有（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题了平行线，应结合生活实际进行解答． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的直线叫互为平行线判断即可． 【详解】解：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．都属于平行线， 故选：D． 23．如图，线段，，，是画在方格纸上的四条线段，请找出其中互相平行的线段． 【答案】互相平行的线段：， 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】由网格图线段，，，的位置判断即可． 【详解】解：由网格图可知，线段，都在水平方向上， ； 由网格图可知，的倾斜程度是相同的， ． 【题型十】立体图形中平行的棱 24．一个几何体有8个顶点，12条棱，它的所有面均为平行四边形，这个几何体是（   ），其中平行的棱有（   ）对． A．正方体，12 B．长方体，18 C．四棱柱，18 D．六面体，24 【答案】C 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】本题考查了四棱柱的认识，熟知四棱柱的特征是解决此题的关键；该几何体有8个顶点、12条棱、6个面，且每个面都是平行四边形，符合四棱柱的特征．四棱柱的棱可分为三组，每组4条互相平行的棱，因此平行的棱有18对． 【详解】解：∵几何体有8个顶点、12条棱，每个面都是平行四边形， ∴这个几何体是四棱柱， 在四棱柱的12条棱分为3组，每组有4条互相平行的棱． 对于每组4条平行棱，其中平行棱的对数为：每条棱与组内另外3条棱平行，共形成组关系，但每对棱会重复计算1次， ∴每组实际有对平行棱． ∴在常见的四棱柱中总平行棱对数为对． 故选C． 25．在正方体的一个顶点处，有_________条棱相交，这些棱中任意两条都_________（填“是”或“不是”）平行． 【答案】 3 不是 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】本题主要考查了正方体的特点，解题的关键在于能够熟练掌握正方体的特点． 正方体每个顶点处有三条棱相交，且这些棱两两互相垂直，不平行． 【详解】解：正方体有8个顶点，每个顶点处有3条棱相交；这三条棱分别沿正方体的长、宽、高方向，两两之间的夹角均为，因此任意两条棱都不平行． 故答案为：3，不是． 26．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【知识点】垂线的定义理解、立体图形中平行的棱 【分析】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 【题型十一】用直尺、三角板画平行线 27．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 28．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 29．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了作图—基本作图，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线和平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂线段最短即可得解答案． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求； （2）解：由垂线段最短得，． 【题型十二】平行公理的应用 30．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）过直线外一点画与已知直线平行的直线（    ） A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．无数条 【答案】A 【知识点】平行公理的应用 【分析】考查的知识点是平行线的平行公理，解答本题的关键是理解平行公理中的条件“直线外一点”. 【详解】解：过直线外一点画与已知直线平行的直线有且只有一条， 故选A. 31．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是______________________. 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 32．直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线与B，C两点确定的直线都与l平行，那么A，B，C三点的位置关系如何？ 【答案】A，B，C三点在同一条直线上 【知识点】平行公理的应用 【详解】解：∵A，B两点确定的直线与B，C两点确定的直线都与l平行， ∴和都经过点B， ∵平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与是同一条直线， ∴A，B，C三点在同一条直线上 【题型十三】平行公理推论的应用 33．在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行可得到结论． 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 34．若直线，，则的依据是______． 【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行公理推论即可求解，掌握平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：若直线，，则的依据是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 35．如图，按要求作图并解答问题． (1)过上一点D作的平行线，交于点； (2)过点C作； (3)直线的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【知识点】平行公理推论的应用、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了平行线的作法，以及平行公理，关键是掌握平行于同一条直线的两直线平行． （1）根据平行线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 【题型十四】同位角相等两直线平行 36．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 37．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 【答案】70 【知识点】同位角相等两直线平行、对顶角相等 【分析】根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 38．如图，平分，若，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：平分，， 角平分线定义， ，已知， 等量代换， 同位角相等两直线平行． 【题型十五】内错角相等两直线平行 39．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故其中依据的数学原理是内错角相等，两直线平行． 40．如图所示，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】由题意可知，两个三角板的30°角形成了一组内错角， ∴根据的定理是：内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，解题的关键是找到题目中相等的内错角． 41．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，分别平分与，且．求证：．（请根据条件进行推理，完成证明，并在括号内填上依据） 证明：分别平分与（已知）， ①__________，②__________（③_______________） （已知）， ④__________（等量代换）． （已知）， ⑤__________⑥__________（⑦____________________）， （⑧______________________________）． 【答案】①；②；③角平分线的定义；④；⑤；⑥；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行． 【知识点】内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】根据题中思路解答即可． 【详解】证明：分别平分与（已知）， ，（角平分线的定义） （已知）， （等量代换）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【题型十六】同旁内角互补两直线平行 42．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）如图，下列推理中正确的有（    ）个 ①，；②，；③，；④，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：①， ，故①错误； ②， ，故②错误； ③， ，故③正确； ④， ，故④错误． 故选：A． 43．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠A＝∠DCE； ④∠A＋∠ABD＝180°． 能判断AB∥CD的有________（填写序号）． 【答案】①；③ 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可． 【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD； ②根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD； ③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD； ④根据同旁内角互补，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 44．（2024七年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】平行公理的应用、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】先根据同旁内角互补，两直线平行，由∠2＋∠D＝180°可判断，根据∠1＝∠B可判定，根据平行公理的推论即可得到结论． 【详解】证明：∵∠2＋∠D＝180°， ∴， ∵∠1＝∠B， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【题型十七】同位角、内错角、同旁内角 45．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可． 【详解】解：如图所示，与两个角都在两条被截直线之间，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故与是直线a，b被c所截而成的同旁内角． 故选：C． 46．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 47．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）根据内错角的定义即可求得答案； （2）根据同旁内角的定义即可求得答案； （3）根据同位角的定义即可求得答案． 【详解】（1）与是内错角，它们是直线，被直线所截形成的． （2）与是同旁内角，它们是直线，被直线所截形成的． （3）与是同位角，它们是直线，被直线所截形成的． 【题型十八】两直线平行同位角相等 48．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线，被直线所截，．当时，直线．由此可知，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 49．（2024七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线a∥b，直角三角形的直角顶点在直线b上，已知∠1=48°，则∠2的度数是___度． 【答案】42 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可． 【详解】解：∵∠4=90°，∠1=48°， ∴∠3=90°-∠1=42°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=42°， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 50．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由题意，可得到，证得结论； （2）由题意，结合已知条件，得到，结合平行线的性质，求得的度数，可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型十九】两直线平行内错角相等 51．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，由已知条件推出结论错误的是（   ） A．由，可以推出 B．由，可以推出 C．由，可以推出 D．由，可以推出 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的额关键． 【详解】解：A、由，可以推出，故原选项正确，不符合题意； B、由，可以推出，故原选项错误，符合题意； C、由，可以推出，故原选项正确，不符合题意； D、由，可以推出，故原选项正确，不符合题意； 故选：B． 52．（22-23七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知海岛B在海岛A的正东方向，从海岛A观测货船C在其北偏东方向上，从海岛B观察货船C在其北偏东方向上，则的度数是______．    【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、两直线平行内错角相等 【分析】过点C作，根据题意可得：，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：如下图，过点C作，连接，    由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型二十】两直线平行同旁内角互补 53．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，且被直线所截，，的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】由对顶角相等可得，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的性质．掌握相关结论即可． 54．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，，，，则的度数等于______． 【答案】/度 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质得，则可计算出，然后利用进行计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 55．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分． (1)直线与有何位置关系？请说明理由； (2)求的度数； (3)若左右平移，在平移的过程中， ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线与互相平行，理由见解析 (2) (3)①；②存在， 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明，即可证得； （2）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数． （3）①首先根据，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得解答即可， ②首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）直线与互相平行，理由： ∵， ∴， 又 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，平分， ∴； （3）存在． ①∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②设． ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 若， 则， 得． ∴存在． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质与平行四边形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用． 【题型二十一】根据平行线的性质探究角的关系 56．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，且平分平分交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．利用平行线的性质，角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故C结论正确，不符合题意； 要使，即平分， ∵不一定平分， ∴不一定相等，故D结论错误，符合题意． 故选：D． 57．（22-23七年级下·安徽池州·期末）已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是___________．      【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】过点O作，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，可得，再证明，进一步可得出结论． 【详解】解：过点O作，      则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故要使．则与满足的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 58．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义； 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解、平行公理推论的应用 【分析】根据平行线的性质填写即可． 【详解】解：如图②，过点B作， 因为（已知）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 因为， 所以， 所以， 所以． 即：与的和是个定值． 【题型二十二】根据平行线的性质求角的度数 59．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，绳子的两端分别系在墙上的点处和房顶的点处，在绳子上的点处悬挂重物，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】先求出，再结合周角的含义求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 60．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，将直尺与含角的直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为____________． 【答案】/125度 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质得出，再由三角形内角和定理及对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵， ∴． 61．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，，的平分线交于点G． (1)求证； (2)在线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，求证； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）直接利用平行线的性质、角平分线的定义以及等量代换即可证明结论； （2）①设，易得、、，利用平行线的性质、角平分线的定义可得，利用（1）可得，再利用角的和差即可解答；②如图：过点M作，则．然后分点M在线段上和点M在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：①证明：设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②的值为或． 由①知，则， 如图：过点M作，则． 如图1，当点M在线段上时， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点M在线段的延长线上时， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为或． 【题型二十三】平行线的性质在生活中的应用 62．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 63．小明在坪山区中心公园沿着一条小路散步，小明两次拐弯后方向与原来相同，已知第一次拐的角，第二次拐的角是________． 【答案】 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵小明两次拐弯后方向与原来相同， ∴， ∴． 64．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【知识点】平行公理推论的应用、平行线的性质在生活中的应用 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 【题型二十四】根据平行线判定与性质求角度 65．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，已知：，，，．则x，y，z之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由平行线的性质可得，，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 66．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，，，，，是上一点，是延长线上一点． （1）的度数为__________； （2）若，则的度数为____________． 【答案】 /81度 /54度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据同旁内角互补两直线平行得，再结合，得，最后由两直线平行，内错角相等得，即可作答． （2）因为，故，结合，得，则，即可作答． 【详解】解：（1），， ， . ，， ， . （2），， . ， . 故答案为：， 67．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整． 解：（已知）， ________（________________________） 又（已知）， （________________________）， ________（________________________）， ________（________________________）， （已知）， ________． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， 【题型二十五】根据平行线判定与性质证明 68．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【详解】解：A、若，根据同位角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； B、若，根据内错角相等，两直线平行，可得，故本选项结论正确，不符合题意； C、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故本选项结论正确，不符合题意； D、若，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，无法得出，故本选项结论不正确，符合题意． 69．（2024七年级下·安徽亳州·期末）已知：，点在点的右侧，平分，平分，，所在直线交于点，． （1）__________度； （2）若，则的度数是__________（用含的式子表示）． 【答案】 35 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）由平分和，可得； （2）过点作，由，可推得，利用平行线性质可得，，利用角平分线定义与角的和即可得出结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴∠ADE=∠CDE， ∵， ∴， 故答案为； （2）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线性质，角平分线定义，角的和差，是基础题，掌握平行线性质，角平分线定义，角的和差是关键． 70．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】首先根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关角相等，运用等量代换的方法证明所分的两个角相等，即可证明． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以平分（角平分线的定义）． 【题型二十六】生活中的平移现象 71．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列运动属于平移的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查了平移的定义，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，掌握平移成为解题的关键． 根据平移的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．放飞风筝过程中，风筝的形状和方向会发生变化，不属于平移，不符合题意； B．拉出抽屉，抽屉沿着一定方向做相同距离的移动，属于平移，符合题意； C．转动方向盘，方向盘是绕着中心做旋转运动，不属于平移，不符合题意； D．荡秋千，秋千做的是圆弧摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意． 故选B． 72．“科教兴国，强国有我”．在科技实验活动中，陈臻设计制作了“水火箭”升空实验．观察发射过程，他把水火箭抽象成几何图形，如图，火箭主体约，若起飞过程中约，则的长约________． 【答案】15 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查平移的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再平移的性质，可得，即可解答． 【详解】解：由平移的性质，得 ，， ∴． 故答案为：15． 73．举出现实生活中平移的一些实例． 【答案】电梯的上下运动、汽车在笔直公路上行驶、玻璃拉门的开和关等(答案不唯一) 【知识点】生活中的平移现象 【分析】根据平移的性质，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，可以判断物体是否是平移． 【详解】解：略． 【题型二十七】图形的平移 74．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）祥云，寓意祥瑞之云气，表达了吉祥、喜庆、幸福的愿望以及对生命的美好向往．下列选项中可以看作是左面祥云图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的平移 【分析】将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A、能沿某一直线方向移动得到，符合题意； B、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； D、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意． 75．如图，经过平移后运动到位置，作出平移方向，量出平移距离．（精确到） 【答案】如图，即为所求； 平移距离约为． 【知识点】图形的平移 【分析】根据平移的性质解答即可． 【详解】略 【题型二十八】利用平移的性质求解 76．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，设，由题意得，根据，，可得，求解即可．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：设， ∵将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴点与点的距离为． 故选：B． 77．（2024七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为 _______． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移求线段长度的方法是解题的关键． 根据图形移动可求出阴影部分的长和宽，根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽， 阴影部分的面积， 故答案为． 78．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，将三角形沿边所在的直线向右平移，得到三角形，与相交于点，且平移距离为3，．    (1)与的关系是_______________；的长为____________； (2)若四边形的面积为15，求的长． 【答案】(1)且；6 (2)2 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）根据平移前后对应线段平行（或在同一直线上）且相等即可解答； （2）根据平移的性质得出，求出，得出，最后求出． 【详解】（1）解：∵三角形水平向右平移得到三角形，平移距离为3， ∴与的关系式为：且；，， ∴． （2）解：∵三角形水平向右平移得到三角形，， ∴，， ∵四边形的面积为15， ∴， ∴， ∴． 【题型二十九】利用平移解决实际问题 79．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 80．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 _____平方米． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查平移的应用，解题的关键是巧妙的运用等积代换． 【详解】解：种植面积为平方米, 故答案为：． 81．某酒店在重新装修后，准备在门口的阶梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米的售价为元，阶梯道宽为米，其侧面如图所示，铺设阶梯的红地毯至少需要多长？至少花费多少元？    【答案】铺设阶梯的红地毯至少需要米，花费至少元 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】根据平移的性质可得地毯的长度至少为，根据题意，长度乘以宽度，再乘以价格，列出算式，即可求解． 【详解】解：依题意，地毯的长度至少为（米）， （元）． 答：铺设阶梯的红地毯至少需要米，花费至少元． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【题型三十】平移(作图) 82．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系是平行且相等 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据平移方式确定各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由平移的性质可直接得出：与的关系是平行且相等． 83．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上） (1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形； (2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2)27 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）观察发现，点是由A点向右平移9个单位，再向下平移2个单位得到的，因此按照相同的规律，画出B、C、D三点平移后的对应点、、，再顺次连接、、、即可得到平移后的四边形； （2）线段扫过的图形为，按照平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：四边形即为所求； （2）解：如图，线段扫过的图形为，它的面积为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $