第11讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1. 分式方程 分母中含有未知数的方程叫作分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【知识点02】分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验方程解的方法 (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. (2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 . 4. 增根 ： 分式方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像这样的根，称为原方程的增根 . 增根产生的原因： 去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了 . 【知识点03】分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度× 时间= 路程. (2)利润问题：利润= 售价－ 进价；利润率= 利润÷ 进价×100%. (3)工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；总工作量= 各个分工作量之和. (4) 储蓄问题： 本息和 = 本金 + 利息 . 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【题型一】分式方程的定义 例1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义______． 变式1．（23-24七年级下·安徽阜阳·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·月考）判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【题型二】根据分式方程解的情况求值 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 例4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【题型三】分式方程无解问题 例5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 变式1．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为______． 变式2．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解有且仅有3个，求n的取值范围． 【题型四】列分式方程 例6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木100万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（  ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 变式2．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为______． 【题型五】解分式方程（化为一元一次） 例7．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 例8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；根据上述材料，则： （1）使等式成立的的值为______． （2）使等式成立的的值为______． 例9．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的分式方程． （1）当________时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是________． 变式3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程的解是． (1)出现错误的步骤是______（填序号）； (2)写出上述分式方程的正确解法． 【题型六】分式方程的行程问题 例10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x，则方程为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）、两地相距90千米，甲车和乙车的平均速率之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车迟到30分钟．若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为千米/小时，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？ 【题型七】分式方程的工程问题 例11．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某项工程，甲队单独做需要a天完成，甲、乙两队合作需要b天完成（其中），那么乙队单独完成需要做几天（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 变式2．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【题型八】分式方程的经济问题 例13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 例14．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是______． 甲：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 乙：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 丁：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 变式1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）2025年1月7日9时5分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，急需大量赈灾帐篷．某帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶．已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同，问该企业现在每天能生产多少顶帐篷？设该企业现在每天能生产x顶帐篷，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【题型九】分式方程和差倍分问题 例15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 变式1．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【题型十】分式方程的其它实际问题 例16．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 变式2．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 一、单选题 1．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（    ） A． B． C． D． 3．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队实际每天修铁路的效率比原计划提高了1倍，结果提前4天开通了列车，设原计划每天修米，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若分式方程无解，则_________． 9．近几年，人们越来越意识到城市要想持续发展，环境的保护不得不成为我们必须重视的一个问题．“蓝天”工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，根据题意列方程得_____________________________． 10．若数使关于的不等式组的解集为，使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的积为________． 11．已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为_______． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为______． 三、解答题 12．解方程：． 13．若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 14．列方程解应用题：华为的麒麟芯片，这颗承载着无数人希望的“中国芯”，从最初的探索到如今的麒麟9000系列，每一步都走得坚定而辉煌．2024年年12月4日搭载麒麟9000系列芯片的华为系手机正式开售，某用户购买后进行测试，分别在和网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，测得网络环境下载的速度是网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？ 15．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 16．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 17．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 18．某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书．已知乙种书单价比甲种书贵40元，用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍． (1)求甲、乙两种书的单价各为多少元？ (2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整：甲种书在原售价基础上上涨，乙种书按原售价的七五折出售．若书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，则书店此次购进甲种书最多是多少本? 19．为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． (1)求足球和排球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 20．端午节是我国首个入选世界非文化遗产的中国传统节日，它蕴含着博大精深的中华优秀传统文化．在今年的端午节来临之际，某商场先用32000元购进了一批盒装粽子，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批同一品牌的粽子，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每盒进价多了5元． (1)该商场第一次购进这种品牌粽子每盒多少元？ (2)该商场两次分别购进这种品牌粽子多少盒？ (3)如果这两批粽子每盒的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每盒售价至少是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1. 分式方程 分母中含有未知数的方程叫作分式方程 . 2. 判断一个方程是分式方程的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 【知识点02】分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验方程解的方法 (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. (2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 . 4. 增根 ： 分式方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像这样的根，称为原方程的增根 . 增根产生的原因： 去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了 . 【知识点03】分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度× 时间= 路程. (2)利润问题：利润= 售价－ 进价；利润率= 利润÷ 进价×100%. (3)工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；总工作量= 各个分工作量之和. (4) 储蓄问题： 本息和 = 本金 + 利息 . 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 【题型一】分式方程的定义 例1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案． 【详解】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 例2．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义______． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 变式1．（23-24七年级下·安徽阜阳·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·月考）判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（）（）（）（）（）是分式方程；（）（）是整式方程． 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】（1）是分式方程； （2）是整式方程； （3）是分式方程； （4）是分式方程； （5）是分式方程； （6）是整式方程； （7）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键． 【题型二】根据分式方程解的情况求值 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：C． 例4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程，理解分式有意义的条件是解题关键．解出方程的根用含m的代数式表示，当方程为增根时，即根使分母为0，进行计算即可求出m． 【详解】解： 化简得： 解得： 当根为增根时，，将x代入得： 解得： 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 由分式方程有增根，得到，代入整式方程计算即可求出m的值； 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合同同类型，得， 将系数化为1，得， 分式有增根， ， ． 故选A． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关键． （1）根据题中给出的特征即可得到解答； （2）根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可； （3）将方程的解代入原方程，判断左右两边是否相等即可解答． 【详解】（1）解：的解为：，， 故答案为：，； （2）解：∵①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… ∴第个方程为的解为，， 故答案为，，； （3）证明：当时，左边右边； 当时，左边右边； ∴，均为方程的解． 【题型三】分式方程无解问题 例5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可． 本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．熟练掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴最简公分母， ∴增根为， 将分式方程去分母得， 把代入方程得， 解得． 故选：D 变式1．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若关于x的分式方程：无解，则m值为______． 【答案】0或2或4 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键．分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式，再代入该整式即可的到m的值． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 整理得：， ∵无解， ∴，即时，方程无解； 当时，方程也无解，此时，则有， ∴． 当时，方程也无解，则有， 故答案为：0或2或4． 变式2．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的分式方程无解，关于y的不等式组的整数解有且仅有3个，求n的取值范围． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先由分式方程无解求出m的值，代入不等式组，求出不等式组的解集，根据整数解有且仅有3个，列出不等式，即可求解． 【详解】解：分式方程转化为整式方程得：， ∴x＝m+1， ∵原方程无解， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴m＝2， ∴不等式组为， 解得， ∵不等式组的整数解有且仅有3个， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，解题的关键是能够根据分式方程无解求出m的值，根据不等式组只有3个整数解列出不等式． 【题型四】列分式方程 例6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木100万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，实际每天植树量为原计划的1.2倍，即．通过比较原计划与实际完成天数的差值为5天，即可列出方程． 【详解】设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得，． 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了新定义，解分式方程，注意要分情况讨论．分和两种情况，分别根据定义的新运算列出分式方程，解分式方程求出的值，经检验后可得答案． 【详解】解：当时，则， 解得：（舍去）； 当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 综上，的值为， 故选：B． 变式2．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为______． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，根据“大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同”列出方程即可． 【详解】解：设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，由题意可得， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 【题型五】解分式方程（化为一元一次） 例7．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解法，正确理解题意、熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．分类讨论的大小，分别求出方程的解，检验即可． 【详解】若，根据新定义，，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合； 若，根据新定义，，解得， 经检验，是原分式方程的解但不符合，∴应该舍去． 综合可知． 故选：B． 例8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；根据上述材料，则： （1）使等式成立的的值为______． （2）使等式成立的的值为______． 【答案】 或； 或． 【知识点】数字类规律探索、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，发现题目所提供的等式所呈现的规律是正确解答的关键． （1）根据题目提供的等式的规律即可得到答案； （2）将原方程变为，再根据规律得出答案． 【详解】（1）解：根据题目所列举等式的规律可得， 使等式成立的的值为或， 故答案为：或； （2）解：根据题目所列举等式的规律可得， ， 即， 使等式成立的的值为或， 故答案为：或． 例9．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 【答案】无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程两边同乘，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 化简，得， 解得， 检验：时，， ∴不是该分式方程的解， ∴原分式方程无解． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【详解】解：方程 ，解得： 当时，，方程的解为负数，同学说法正确； 当时，且时，方程的解为正数，同学说法错误， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的分式方程． （1）当________时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是________． 【答案】 0 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解法和分式方程有解的条件． （1）将代入分式方程，通过解方程求出的值． （2）先解分式方程，再根据方程的解是正数且分母不为0，求出的取值范围． 【详解】解：（1）将代入分式方程，得到， 解得； （2）方程两边同乘去分母得， 解得， 因为方程的解是正数， 所以，解得， 又因为分母不能为0，即，所以，解得， 综上，的取值范围是且． 故答案为：0；且． 变式3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程的解是． (1)出现错误的步骤是______（填序号）； (2)写出上述分式方程的正确解法． 【答案】(1)①②； (2)见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母、去括号法则可以判断出出现错误的步骤是①②； （2）方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解：出现错误的步骤是， 故答案为：①②； （2）解：， 方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 解得， 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 【题型六】分式方程的行程问题 例10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是x，则方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：骑自行车所用的时间坐公交车所用的时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：D． 变式1．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）、两地相距90千米，甲车和乙车的平均速率之比为，两车同时从地出发到地，乙车比甲车迟到30分钟．若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为千米/小时，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设甲车平均速度为千米/小时，则乙车平均速度为千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车迟到30分钟，列出方程即可得． 【详解】甲车平均速度为千米/小时，则乙车平均速度为千米/小时，由题意得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？ 【答案】24分钟 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要分钟，根据速度路程时间结合隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需24分钟． 【题型七】分式方程的工程问题 例11．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某项工程，甲队单独做需要a天完成，甲、乙两队合作需要b天完成（其中），那么乙队单独完成需要做几天（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查分式方程，设乙队单独完成需要做x天，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设乙队单独完成需要做x天， ∴ ， ∴ 故选：A． 例12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)最多安排甲公司工作16天 【知识点】分式方程的工程问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司天，根据甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，若安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式得出y的取值范围，再由安装教室100间，进一步确定y的取值范围，即可得出结果． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作y天，则乙公司天， 由题意得：， 解得：， 同时需满足：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为16， 答：最多安排甲公司工作16天． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C．每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据分式方程的结构，原计划每天铺设的长度为实际每天铺设长度减去15米，原计划所用时间减去实际所用时间等于12天，说明实际提前12天完成． 【详解】解：设实际每天铺设管道米，则原计划每天铺设米． 原计划完成时间天，实际完成时间天． 方程表示原计划时间比实际多12天，即实际提前12天完成． 因此，实际每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成． 故选：A． 变式2．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队合作3天 (2)C方案，理由见解析 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查分式方程的应用； （1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程，可知方案C中“星号”部分为：若甲、乙两队合作3天； （2）根据题意先求得规定的天数，然后算出两种方案的费用之后，再根据题意选择节省工程款的方案． 【详解】（1）解：根据题意得出的方程为，则条件为：若甲、乙两队合作3天； 故答案为：若甲、乙两队合作3天; （2）解：解方程，得：， 经检验，是原分式方程的解，所以规定的工期为9天 如期完成的两种施工方案需要的费用分别为： B方案：（万元）； C方案： （万元）， ∵， ∴C方案更省钱. 【题型八】分式方程的经济问题 例13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 【答案】(1)乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元 (2)共有14种方案 【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元，根据“用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同”，可列出关于的分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副，分和两种情况，根据“总费用不超过1460元”，分别列出一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 当时，（元）， 答：乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元； （2）解：设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副， 根据题意，得： 当时， 解得 ， 又∵， ∴，即； 当时，， 解得 ， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴； ∴（种）， 答：共有种方案． 例14．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是______． 甲：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 乙：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：解：设该品牌饮料每瓶是元，则 丁：解：设该品牌饮料每箱瓶，则 【答案】乙丙/丙乙 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】根据题意，分别列出分式方程与一次方程然后即可得出结果． 【详解】解：设该品牌饮料每瓶是x元，则五一期间促销每瓶是0.9x元， 根据题意可得：或0.9（36+2x）=36， ∴甲同学错误，丙同学正确； 设该品牌饮料每箱x瓶， 根据题意可得：， ∴乙同学所列方程正确，丁同学所列方程错误； 故答案为：乙丙． 【点睛】题目主要考查分式方程及一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键． 变式1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）2025年1月7日9时5分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，急需大量赈灾帐篷．某帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶．已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同，问该企业现在每天能生产多少顶帐篷？设该企业现在每天能生产x顶帐篷，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，解题的关键是根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合已知条件找出等量关系． 先分别表示出实际和原计划的工作效率，再根据“现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同”这一条件列出方程． 【详解】已知设该企业现在每天能生产顶帐篷，因为实际每天生产帐篷比原计划多200顶，所以原计划每天生产（）顶帐篷， 根据公式：工作时间=工作总量工作效率，现在生产3000顶帐篷所用时间为；原计划生产2000顶帐篷所用时间为， 又因为现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同，所以可列方程为， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【答案】(1)、两种设备每台的成本分别是万元和万元 (2)该公司共获利为万元 【知识点】分式方程的经济问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）设种设备每台成本为元，则种设备每台设备成本为元，根据题意列出方程即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． 本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 【详解】（1）解：设种设备每台成本为万元，则种设备每台设备成本为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：、两种设备每台的成本分别是万元和万元． （2）由题意知：种设备共有台，种设备台， 种设备获利为：（万元）， 种设备获利为：（万元）， 该公司共获利为（万元）， 答：该公司共获利为万元． 【题型九】分式方程和差倍分问题 例15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 变式1．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同，且两人每小时共阅读60页课外读物，求甲同学每小时阅读课外读物的页数？若设甲同学每小时阅读课外读物x页，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页，根据“已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设甲同学每小时阅读课外读物x页，则乙每小时读页， 那么甲读150页所用的时间为：， 乙读200页所用的时间：． 由题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系：已知甲同学阅读150页课外读物与乙同学阅读200页课外读物所用的时间相同是解决问题的关键． 变式2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】(1)购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元 (2)这所学校最多可购买17个乙种足球 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题 【分析】】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； （2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 【题型十】分式方程的其它实际问题 例16．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺， 根据题意可得： 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 【答案】(1)商店至少购进根款跳绳； (2)甲平均每秒跳绳个． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题 【分析】（1）设该商店购进根款跳绳，则购进根款跳绳，根据题意列出一元一次不等式后即可得解； （2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳个，根据题意列出分式方程后求解即可． 【详解】（1）解：设该商店购进根款跳绳，则购进根款跳绳， 根据题意可得， 解得， 为正整数， ． 答：商店至少购进根款跳绳． （2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳个， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲平均每秒跳绳个． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用、分式方程的实际应用，解题关键是正确理解题意． 变式2．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递，已知型数控机器人比型数控机器人每小时多分拣30件快递，型数控机器人分拣900件快递所用时间与型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 【答案】(1)型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递 (2)共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；方案三：型号机器人2台，型号机器人9台 【知识点】分式方程的其它实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和一元一次方程是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设需要台型数控机器人，台型数控机器人，根据题意列方程，根据均为正整数，列出方案即可． 【详解】（1）解：设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（件）， 答：型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递． （2）解：设需要台型数控机器人，台型数控机器人， 由题意得，， 得， ∵均为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台； 方案二：型号机器人4台，型号机器人6台； 方案三：型号机器人2台，型号机器人9台． 一、单选题 1．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 2．把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程的第一步：化分式方程为整式方程，需要两边乘各分母的最简公分母；找出最简公分母即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的最简公分母为，分式方程两边乘这个最简公分母，便可化为整式方程； 故选：B． 3．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验求出分式方程的解，即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； 故选D． 4．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键． 解分式方程，根据分式方程的解为非负数，进而列出一元一次不等式，结合分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 5．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：（1）让最简公分母为0确定增根；（2）化分式方程为整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得的值． 【详解】解： 去分母得， 当增根为时，， ， 故选：A． 6．某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队实际每天修铁路的效率比原计划提高了1倍，结果提前4天开通了列车，设原计划每天修米，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间． 【详解】解：设原计划每天修米，则实际每天修米， 原来所用的时间为：，实际所用的时间为：， 根据题意：． 故选：B． 7．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题的关键，特别注意，要检验分式方程的增根． 根据分式方程求出a的范围, 然后再根据不等式组求出a的范围，从而确定a满足条件的所有整数值，求和即可． 【详解】解不等式组，得， 不等式组至少有2个整数解， ， ， 解分式方程，得， 为正整数，， 或或或， 时，，原分式方程无解， 故将舍去， 符合条件的所有整数的和是． 故选：B． 二、填空题 8．若分式方程无解，则_________． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解法，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．先把m看作已知，解分式方程得出x与m的关系，再根据分式方程无解可确定方程的增根，进一步即可求出m的值． 【详解】解：在方程的两边同时乘以，得 ， 解得：， 因为原方程无解，所以原分式方程有增根，即， 解得． 故答案为：3． 9．近几年，人们越来越意识到城市要想持续发展，环境的保护不得不成为我们必须重视的一个问题．“蓝天”工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，根据题意列方程得_____________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意是解题的关键．由原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，利用结果提前30天完成了这一任务，再建立方程即可； 【详解】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， ∴实际工作时每天绿化的面积为万平方米． 依题意，得：， 故答案为：． 10．若数使关于的不等式组的解集为，使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的积为________． 【答案】12 【分析】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，得出a的所有可能的值，再进行计算即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵整数a使关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解分式方程得：，且， 即 ∵分式方程的解是非负整数，为整数， ∴是非负整数， ∴，6 ∴符合条件的所有整数a的值的积为． 故答案为：12． 11．已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为_______． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为______． 【答案】 且 【分析】本题考查了解分式方程，以及根据分式方程解的情况求参数． （1）将分式方程化为整式方程，根据此方程无解，建立等式求解，即可解题； （2）根据此方程的解为正数，建立不等式求解，并考虑无解的情况，即可解题． 【详解】解：（1） ， 若此方程无解，则，解得； （2）若此方程的解为正数，则，解得； ∵时，方程无解， ∴且． 故答案为：，且． 三、解答题 12．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 原方程的解是． 13．若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 14．列方程解应用题：华为的麒麟芯片，这颗承载着无数人希望的“中国芯”，从最初的探索到如今的麒麟9000系列，每一步都走得坚定而辉煌．2024年年12月4日搭载麒麟9000系列芯片的华为系手机正式开售，某用户购买后进行测试，分别在和网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，测得网络环境下载的速度是网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？ 【答案】该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆 【分析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，解题的关键是根据两种网络环境下下载速度的关系以及下载时间的差异列出分式方程． 设该用户在网络环境下载的速度是每秒兆，根据速度关系表示出网络环境下下载速度兆，再结合下载时间的关系列出分式方程求解． 【详解】解：设该用户在网络环境下载的速度是每秒兆，在网络环境下载的速度是每秒兆，根据题意列方程，得： ， 解得：， 经检验是原方程的且符合题意， ， 答：该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆． 15．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求解参数，准确的计算是解题关键．解关于的不等式组得：．可得；分式方程的解为：．根且即可求解； 【详解】解：解关于的不等式组得：． 关于的不等式组有且只有五个整数解， ． 关于的分式方程的解为：． 关于的分式方程可得产生增根2， ． 关于的分式方程的解为非负整数， 且． ．解得：． 为整数，且为整数，． 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 16．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)2或1 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 17．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解； (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． （1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵分式方程有解且解为非负数， ∴且， 解得且． 18．某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书．已知乙种书单价比甲种书贵40元，用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍． (1)求甲、乙两种书的单价各为多少元？ (2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整：甲种书在原售价基础上上涨，乙种书按原售价的七五折出售．若书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，则书店此次购进甲种书最多是多少本? 【答案】(1)甲种书的单价为160元，乙种书的单价为200元 (2)60本 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式组，是解题的关键． （1）设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设书店此次购进甲种书是m本，根据书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种书的单价为160元，乙种书的单价为200元； （2）解：促销后，甲种书单价为元，乙种书单价为元， 设书店此次购进甲种书是m本， 根据题意得：， 解不等式得， ， 解不等式 得，， ， 答：书店此次购进甲种书最多是60本． 19．为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． (1)求足球和排球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 【答案】(1)80元；65元 (2)40 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，解题的关键是：审清题意、正确列出分式方程、一元一次不等式成为解题的关键． （1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价、单价、数量的数量关系，结合购买足球和排球的总费用不超过7100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为40． ∴学校最多可以购买40个足球． 故答案为：40． 20．端午节是我国首个入选世界非文化遗产的中国传统节日，它蕴含着博大精深的中华优秀传统文化．在今年的端午节来临之际，某商场先用32000元购进了一批盒装粽子，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批同一品牌的粽子，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每盒进价多了5元． (1)该商场第一次购进这种品牌粽子每盒多少元？ (2)该商场两次分别购进这种品牌粽子多少盒？ (3)如果这两批粽子每盒的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每盒售价至少是多少元？ 【答案】(1)每盒80元 (2)第一次购进这种品牌粽子400盒，第二次购进这种品牌粽子800盒 (3)每盒售价至少是100元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场第一次购进这种品牌粽子每盒x元，则该商场第二次购进这种品牌粽子每盒元，利用数量总价单价，结合第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用数量总价单价，即可求出结论； （3）设每盒售价是y元，利用总利润每盒的售价销售数量进货总价，结合总利润率不低于，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商场第一次购进这种品牌粽子每盒x元，则该商场第二次购进这种品牌粽子每盒元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商场第一次购进这种品牌粽子每盒80元； （2）根据题意得：该商场第一次购进这种品牌粽子的数量为（盒）； 该商场第二次购进这种品牌粽子的数量为（盒）． 答：该商场第一次购进这种品牌粽子400盒，第二次购进这种品牌粽子800盒； （3）设每盒售价是y元， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为100． 答：每盒售价至少是100元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $