第13讲 平行线的判定（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第13讲 平行线的判定（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的定义及画法 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 平行线定义的三要素 (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图 10.2-1，直线 AB 与 CD是平行线，记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” . 3. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落： 把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移： 把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画： 沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线 . 示图(如图 10.2-2)： 【知识点02】平行线的基本事实及其推论 1. 基本事实 经过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线 . 特别提醒： 基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线 . 特别解读 “有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 推论：平行线的传递性 如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 . 表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b. 【知识点03】同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角” 两条直线被第三条直线所截形成八个角， 习惯上称为“ 三线八角”， 它们构成了同位角、内错角、同旁内角 . 如图 所示，两条直线 a 和 b 被第三条直线 l所截 . 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 (1)同位角：∠ 1 与∠ 5 分别在直线 a 和b 相同的一侧，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同位角 . 再如∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7，∠ 4 与∠ 8. (2)内错角：∠ 5 与∠ 3 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫作内错角 . 再如∠ 4 与∠ 6. (3)同旁内角：∠ 5 与∠ 4 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同旁内角 . 再如∠ 3与∠ 6. 【知识点04】平行线的判定的基本事实(判定方法 1） 1. 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同位角相等，两直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)， 所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) . 【知识点05】过直线外一点作已知直线的平行线 1.过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法如下： 作法  示图 1.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O， P 作直线 CD 2.以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线CD 的右侧作∠ DPN=∠ DOB.PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线 【知识点06】平行线的判定方法 2 1. 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说，内错角相等，两直线平行 . 特别解读： (1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的 . (2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) . 【知识点07】平行线的判定方法 3 1. 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 . 特别提醒： 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) . 【知识点08】平行线判定方法的推论 1. 判定方法推论 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 . 简称： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式： 如图 ，直线 a， b， c 在同一平面内 . 因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c. 2. 拓展 a，b，c 为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（23-24七年级下·安徽芜湖·月考）如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 变式1．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________． 变式2．在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 【题型二】立体图形中平行的棱 例2．（25-26七年级下·安徽芜湖·月考）观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 变式1．（2024七年级下·安徽黄山·课后作业）如图，在长方体中，与平行的棱是__． 变式2．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【题型三】用直尺、三角板画平行线 例3．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 变式1．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 变式2．（25-26七年级下·安徽宿州·月考）如图，已知直线和点，根据下列要求画一画． (1)过点画，垂足为； (2)过点画的平行线，记为． 【题型四】平行公理的应用 例4．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 变式1．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）如图，在直线的同侧有、、三点，若，，则、、三点__（填“在”或“不在” ）同一条直线上． 变式2．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 【题型五】平行公理推论的应用 例5．（25-26七年级下·安徽黄山·期末）在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 变式1．三条直线，若，则与的位置关系是______． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·课后作业）如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型六】同位角相等两直线平行 例6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，写出一个使的条件：__________． 变式2．如图，，垂足为，，垂足为，，在下面括号中填上理由． 因为， 所以（    ）（    ） 又因为（    ） 所以（    ） 为（    ） 所以（    ）（    ）（    ） 【题型七】内错角相等两直线平行 例7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 变式1．如图所示，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是________． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，． (1)求的度数； (2)直线和平行吗？为什么？ 【题型八】同旁内角互补两直线平行 例8．（23-24七年级下·安徽芜湖·月考）如图，由下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级下·安徽黄山·期末）如图，添加一个条件______，使AB∥CD． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【题型九】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例9．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）平面内有两两不重合的直线和，已知，则的位置关系是（　　） A．互相平行 B．可能平行，可能不平行 C．互相垂直 D．可能垂直，可能不垂直 变式1．在同一平面内，如果，，则a__________c． 变式2．如图，点P为内一点，根据下列语句画图并回答问题：    (1)画图：①过点P画边的垂线，垂足为点M； ②过点P画边的平行线，交于点N； (2)连接，则线段与的大小关系是 ________，依据是 _______． 【题型十】同位角、内错角、同旁内角 例10．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 一、单选题 1．如图，直线交的边于点，则与是（    ） A．同位角 B．同旁内角 C．对顶角 D．内错角 2．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，能判断ab的条件是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2+∠4＝180° C．∠4+∠5＝180° D．∠2＝∠3 4．如图，下列条件中：①∠1=∠3；②∠4=∠5；③∠2+∠4=180°；④∠2=∠6，其中不能判断直线//的是（      ） A．①②③ B．③④ C．③ D．④ 5．下列图形中，一定成立的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．下列说法中，正确的个数是（    ）． ①两条不相交的直线叫平行线； ②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③连接两点间的线段叫做两点间的距离； ④如果直线，，那么； ⑤在同一平面内，如果直线，，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列各图均是由含角或含角的直角三角板组合而成，其中可以利用“内错角相等，两直线平行”得出的有（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④ 8．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图所示，当 _____（添加一个适当的条件）时，则AD∥BC． 10．在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 11．如图，点在的边上，用尺规作出了，下列说法正确的有________． ①弧是以点为圆心，长为半径作出的弧；②弧是以点为圆心，长为半径作出的弧；③弧是以点为圆心，长为半径作出的弧；④ 12．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）： （1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________． 这个判定方法2可简述为：____________，____________． 几何语言表述为：如图，_______________ （2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________． 这个判定方法3可简述为：___________，_________________． 几何语言表述为：______ ______   三、解答题 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N、E是△ABC边上的点，且∠1+∠2＝90°，试说明MN∥CE． 14．如图所示，已知，，分别平分，，且．求证：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵，分别平分，（ ）， ∴，（ ）． ∵（ ）， ∴ 1 （ ）． ∵（ ）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． 15．补全下列过程： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， _______（_____________________________________）． （已知）， ________（________）， （_____________________________）． 16．如图，点M是的边上一点，请你过点M作一条直线，使得（保留作图痕迹，不写作法）．    17．在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 18．（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 19．【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？     如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．    【实践·体验】 （1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）. （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．    【创造·突破】 （3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 平行线的判定（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的定义及画法 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 平行线定义的三要素 (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图 10.2-1，直线 AB 与 CD是平行线，记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” . 3. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落： 把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移： 把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画： 沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线 . 示图(如图 10.2-2)： 【知识点02】平行线的基本事实及其推论 1. 基本事实 经过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线 . 特别提醒： 基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线 . 特别解读 “有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 推论：平行线的传递性 如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 . 表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b. 【知识点03】同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角” 两条直线被第三条直线所截形成八个角， 习惯上称为“ 三线八角”， 它们构成了同位角、内错角、同旁内角 . 如图 所示，两条直线 a 和 b 被第三条直线 l所截 . 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 (1)同位角：∠ 1 与∠ 5 分别在直线 a 和b 相同的一侧，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同位角 . 再如∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7，∠ 4 与∠ 8. (2)内错角：∠ 5 与∠ 3 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫作内错角 . 再如∠ 4 与∠ 6. (3)同旁内角：∠ 5 与∠ 4 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同旁内角 . 再如∠ 3与∠ 6. 【知识点04】平行线的判定的基本事实(判定方法 1） 1. 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同位角相等，两直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)， 所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) . 【知识点05】过直线外一点作已知直线的平行线 1.过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法如下： 作法  示图 1.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O， P 作直线 CD 2.以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线CD 的右侧作∠ DPN=∠ DOB.PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线 【知识点06】平行线的判定方法 2 1. 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 . 简单地说，内错角相等，两直线平行 . 特别解读： (1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的 . (2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) . 【知识点07】平行线的判定方法 3 1. 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 . 特别提醒： 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等 . 2. 表达方式 如图 ，因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) . 【知识点08】平行线判定方法的推论 1. 判定方法推论 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 . 简称： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式： 如图 ，直线 a， b， c 在同一平面内 . 因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c. 2. 拓展 a，b，c 为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（23-24七年级下·安徽芜湖·月考）如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作，，，，的延长线， 其中只有的延长线不与相交， 故选：． 变式1．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________． 【答案】0或1或2或3个 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点吗，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个 【点睛】本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果． 变式2．在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 【答案】在同一条直线上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型二】立体图形中平行的棱 例2．（25-26七年级下·安徽芜湖·月考）观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 【答案】D 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 变式1．（2024七年级下·安徽黄山·课后作业）如图，在长方体中，与平行的棱是__． 【答案】棱，棱，棱． 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键． 变式2．如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    【题型三】用直尺、三角板画平行线 例3．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案． 【详解】解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线， 故选：B 变式1．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 变式2．（25-26七年级下·安徽宿州·月考）如图，已知直线和点，根据下列要求画一画． (1)过点画，垂足为； (2)过点画的平行线，记为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线与平行线的作图方法，解题关键是掌握利用三角板或直尺平移、垂线法作平行线的基本原理． （1）利用三角板的直角边，过点作直线的垂线，标出垂足并标注直角符号； （2）利用三角板平移法或垂线法，过点作直线的平行线，保证作图痕迹清晰、方向与一致． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【题型四】平行公理的应用 例4．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：依题意，当时，； 当时，，就可以确定点，，在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）． 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）如图，在直线的同侧有、、三点，若，，则、、三点__（填“在”或“不在” ）同一条直线上． 【答案】在 【知识点】平行公理的应用 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：，（已知）， ，，三点在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：在． 【点睛】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 变式2．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答． 【详解】解：，理由如下： ，， （平行公理）． 【题型五】平行公理推论的应用 例5．（25-26七年级下·安徽黄山·期末）在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行可得到结论． 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 变式1．三条直线，若，则与的位置关系是______． 【答案】 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即可判断与的位置关系． 【详解】解：∵，， ∴． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·课后作业）如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一） (2)．理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、立体图形中平行的棱 【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）； （2）解：．理由如下： ， ． 【题型六】同位角相等两直线平行 例6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，写出一个使的条件：__________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法通常有三种：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．选定一个判定方法，根据这个判定方法的条件补充角之间的关系即可． 【详解】解：， (同位角相等，两直线平行)． 故答案为： （答案不唯一）． 变式2．如图，，垂足为，，垂足为，，在下面括号中填上理由． 因为， 所以（    ）（    ） 又因为（    ） 所以（    ） 为（    ） 所以（    ）（    ）（    ） 【答案】；垂直的定义；已知；等式的性质；；；；同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定．根据已知，等式的性质；同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】因为，， 所以（垂直的定义）， 又因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以（同位角相等，两直线平行）． 【题型七】内错角相等两直线平行 例7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，由可得，其中依据的数学原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故其中依据的数学原理是内错角相等，两直线平行． 变式1．如图所示，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】由题意可知，两个三角板的30°角形成了一组内错角， ∴根据的定理是：内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，解题的关键是找到题目中相等的内错角． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，． (1)求的度数； (2)直线和平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)．见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查平行线的判断与性质，邻补角的定义，掌握平行线的判断与性质是解题关键． （1）由邻补角的定义即可求出； （2）由（1）知，再根据，利用内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与互为邻补角，， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知， 又∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题型八】同旁内角互补两直线平行 例8．（23-24七年级下·安徽芜湖·月考）如图，由下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，本选项不符合题意； B、，，本选项不符合题意； C、，，本选项不符合题意； D、，，不能判定，符合题意， 故选：D． 变式1．（2024七年级下·安徽黄山·期末）如图，添加一个条件______，使AB∥CD． 【答案】∠1＝∠3 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行，可得结论． 【详解】解：当∠1＝∠3时，可得到AB∥CD； 当∠A+∠ADC＝180°时，可得到AB∥CD； 当∠ABC+∠C＝180°时，可得到AB∥CD． 故答案为：∠1＝∠3（不唯一）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键． 变式2．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，，，，，将下列推理过程补充完整： (1)（已知） （ ） (2)（已知） （内错角相等，两直线平行） (3)（已知） ，（ ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行得出结论； （2）根据内错角相等，两直线平行得出结论； （3）根据同旁内角互补，两直线平行得出结论． 【详解】（1）解：（已知） ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （3）（已知） ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 【题型九】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例9．（22-23七年级下·安徽合肥·月考）平面内有两两不重合的直线和，已知，则的位置关系是（　　） A．互相平行 B．可能平行，可能不平行 C．互相垂直 D．可能垂直，可能不垂直 【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】利用垂直的定义，由题意得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 则． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 变式1．在同一平面内，如果，，则a__________c． 【答案】 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 变式2．如图，点P为内一点，根据下列语句画图并回答问题：    (1)画图：①过点P画边的垂线，垂足为点M； ②过点P画边的平行线，交于点N； (2)连接，则线段与的大小关系是 ________，依据是 _______． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 【知识点】画垂线、垂线段最短、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】（1）①根据画垂线的方法画出垂线即可；②根据平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，过P作的垂线即可； （2）根据垂线段最短可得结论． 【详解】（1）解：①直线即为所求作； ②直线即为所求作；    （2）根据垂线段最短可知：． 故答案为：，垂线段最短． 【点睛】本题考查作图-作垂线、垂线段最短、平行线性质，理解题意，熟练掌握基本作图方法是解答的关键． 【题型十】同位角、内错角、同旁内角 例10．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）根据内错角的定义即可求得答案； （2）根据同旁内角的定义即可求得答案； （3）根据同位角的定义即可求得答案． 【详解】（1）与是内错角，它们是直线，被直线所截形成的． （2）与是同旁内角，它们是直线，被直线所截形成的． （3）与是同位角，它们是直线，被直线所截形成的． 一、单选题 1．如图，直线交的边于点，则与是（    ） A．同位角 B．同旁内角 C．对顶角 D．内错角 【答案】A 【分析】根据对顶角，同位角、内错角、同旁内角的概念解答即可． 【详解】解：∵直线AB交∠DCE的边CE于点F， ∴∠1与∠2是直线AB、CD被直线CE所截得到的同位角． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是掌握对顶角，同位角、内错角、同旁内角的概念． 2．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线被某直线所截形成的内错角相等、同位角相等，或同旁内角互补对选项逐个分析即可． 【详解】解：A. ∵不是直线被某直线所截形成的内错角与同位角， ∴故不能判断； B. ∵是直线被直线EF所截形成的内错角， ∴可判断，与 无关系，故不能判断； C. ∵直线被EF所截形成的同旁内角， ∴， ∴， 故可判定； D. ∵是直线被直线CD所截形成的同位角， ∴可判断，与 无关系，故不能判断； 故选择C． 【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理，确定直线被某直线所截形成的内错角相等、同位角相等，或同旁内角互补是解题关键． 3．如图，能判断ab的条件是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2+∠4＝180° C．∠4+∠5＝180° D．∠2＝∠3 【答案】B 【分析】同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，再逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解： ， ，故不符合题意； ， ，故符合题意； ， ， 故不符合题意； ， ，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键. 4．如图，下列条件中：①∠1=∠3；②∠4=∠5；③∠2+∠4=180°；④∠2=∠6，其中不能判断直线//的是（      ） A．①②③ B．③④ C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，对各条件逐一判断即可． 【详解】解：①∵∠1=∠3 ∴l1//l2（内错角相等，两直线平行），故本条件不合题意； ②∵∠4=∠5， ∴l1//l2（同位角相等，两直线平行），故本条件不符合题意； ③∵∠2+∠4=180°， ∴l1//l2（同旁内角互补，两直线平行），故本条件不符合题意； ④∵∠2、∠6，无特殊位置关系， ∴由∠2=∠6不能得到l1//l2，故本条件合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了行线的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 5．下列图形中，一定成立的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据邻补角、内错角、同位角、对顶角的定义逐一分析解答即可． 【详解】解：、和是邻补角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是内错角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是对顶角，根据对顶角的性质可知，故选项符合题意； 、和是同位角，不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了邻补角、内错角、同位角、对顶角，邻补角、对顶角成对出现，解题的关键是熟记以上知识的定义． 6．下列说法中，正确的个数是（    ）． ①两条不相交的直线叫平行线； ②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③连接两点间的线段叫做两点间的距离； ④如果直线，，那么； ⑤在同一平面内，如果直线，，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的定义、平行公理、两点间距离的定义、平行公理的推论、平行的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故①错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误； 连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故③错误； 根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两直线平行，故④正确； 在同一平面内，如果直线，，那么，故⑤错误； 综上可知，正确的只有④． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的定义和性质，平行公理及推论，两点间距离的定义等，属于基础题，掌握相关定义和性质是解题的关键． 7．下列各图均是由含角或含角的直角三角板组合而成，其中可以利用“内错角相等，两直线平行”得出的有（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定条件：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题关键．结合三角板的特点，根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：图①，根据同位角相等，两直线平行得出，不符合题意； 图②，，，符合题意； 图③，，根据同旁内角互补两直线平行得到，不符合题意； 图④，，，符合题意； 即能得出的是②④， 故选：B． 8．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 二、填空题 9．如图所示，当 _____（添加一个适当的条件）时，则AD∥BC． 【答案】∠DAC=∠ACB（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定条件求解即可． 【详解】解：添加条件∠DAC=∠ACB，理由如下： ∵∠DAC=∠ACB， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：∠DAC=∠ACB（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键． 10．在同一平面内有条线，，…，，如果，，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】先根据垂直与平行的性质推导直线与后续直线的位置关系，总结位置关系的循环规律，再根据规律计算得到与的位置关系． 【详解】解：根据平行线和垂直的性质，推导与前若干条直线的位置关系如下： 由，，可得， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 以此类推，可知与各直线的位置关系按照“垂直，垂直，平行，平行”为一个周期循环，周期为， 从开始，直线是第条直线，计算得， 余数为，对应周期中第三个位置关系，即平行． 11．如图，点在的边上，用尺规作出了，下列说法正确的有________． ①弧是以点为圆心，长为半径作出的弧；②弧是以点为圆心，长为半径作出的弧；③弧是以点为圆心，长为半径作出的弧；④ 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角的方法及平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行），解题的关键是掌握尺规作等角的核心步骤与同位角判定平行的应用． 尺规作时，以C为圆心长画弧（可知②正确）、以E为圆心长画弧（可知①③错）；由（同位角相等），得（可知④正确）． 【详解】解：以C为圆心长作弧交于E，故②正确；以E为圆心长作弧交前弧于N，故①以N为圆心、③以为半径均错误． ∵与是同位角，则， ∴，故④正确． 综上，正确说法为②④， 故答案为：②④． 12．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）： （1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________． 这个判定方法2可简述为：____________，____________． 几何语言表述为：如图，_______________ （2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________． 这个判定方法3可简述为：___________，_________________． 几何语言表述为：______ ______   【答案】 内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 2 8 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 5 【分析】（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可； （2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可． 【详解】解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行． 这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行． 几何语言表述为：如图，∵∠2=∠8，∴AB//CD； （2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行． 这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表述为：∵∠2+∠5=180° ，∴AB//CD． 故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 三、解答题 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N、E是△ABC边上的点，且∠1+∠2＝90°，试说明MN∥CE． 【答案】见解析 【分析】根据∠1+∠ACE＝90°，∠1+∠2＝90°，得出∠2＝∠ACE，根据同位角相等，两直线平行，得出NM∥CE． 【详解】证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠1+∠ACE＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠ACE， ∴NM∥CE． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同角的余角相等，熟练掌握同位角相等两直线平行，是解题的关键． 14．如图所示，已知，，分别平分，，且．求证：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵，分别平分，（ ）， ∴，（ ）． ∵（ ）， ∴ 1 （ ）． ∵（ ）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 首先由角平分线得到，，然后等量代换得到，，即可得到． 【详解】证明∶∵，分别平分，（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 15．补全下列过程： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， _______（_____________________________________）． （已知）， ________（________）， （_____________________________）． 【答案】D  两直线平行，同旁内角互补  D  等量代换  同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及同旁内角互补定理，熟练掌握平行线相关的定理是解题的关键； 通过已知条件推导出结论即可. 【详解】解：根据“两直线平行，同旁内角互补”可知 与互补的是； 所用到的定理即两直线平行，同旁内角互补； 通过可得： ， 利用的是等量代换； 最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出； 所以答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行. 16．如图，点M是的边上一点，请你过点M作一条直线，使得（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定，根据作一个角等于已知角，构造得两直线平行即可，熟练掌握作图和判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据尺规作图—根据作一个角等于已知角， 作， ． 则直线即为所求．    17．在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据图形可知：和互为同旁内角，和互为内错角，和互为同位角，然后结合平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①通过度量的度数，若满足， 根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； ②通过度量的度数，若满足， 根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； ③通过度量的度数，若满足， 根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论． 18．（1）如图①，是三条公路，且．请直接写出与的位置关系； （2）如图②，在（1）的条件下，若小路平分，通往加油站N的岔道平分．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线的定义；熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； （1）根据垂直于同一直线的两直线平行，即可求解； （2）延长交于点P．根据垂直的定义与角平分线的定义可得，进而得出，根据同位角相等两直线平，即可得证． 【详解】解：（1）∵ ∴． （2），理由如下： 示意图如图，延长交于点P． 因为， 所以． 因为平分平分， 所以． 因为，所以， 所以． 19．【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？     如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”. 在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．    【实践·体验】 （1）已知，则______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）. （2）如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．    【创造·突破】 （3）若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为______． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3） 【分析】（1）把变形为，然后整体代入求值即可； （2）利用“辅助线”延长交于点F，由三角形内角和定理以及等量代换可得，由同位角相等，两直线平行可得结论； （3）将代入关于x、y的方程组可得，，再代入关于x、y的方程组可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：4   （2）如图，延长到，使与相交于点，    ∵ ∴， ∴； （3）将代入关于x、y的方程组可得，， 再代入关于x、y的方程组可得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组，平行线的性质以及有理数的运算，掌握二元一次方程组的解法、平行线的性质和判定，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是正确解答的前提． 1 学科网（北京）股份有限公司 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