第二十四章 数据的分析 （11知识详解+24典例分析）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理数据的分析知识体系，涵盖平均数、加权平均数、中位数、众数、方差等11个知识点，用对比表格呈现三者区别联系，清晰展现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于24个典例分层设计，从基础计算到综合决策，如“运用加权平均数做决策”培养数据意识，提供计算器操作、箱线图绘制等方法指导，帮助基础学生掌握计算，优秀学生提升分析能力，助力教师精准教学。

第二十四章 数据的分析 （11知识详解+24典例分析） 【知识点01】平均数 1. 定义：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，我们把叫作这n个数据的平均数，记作“͞x”.也称算术平均数 2. 意义：平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量. 3. 性质(拓展) 若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为͞x ，则： (1)数据nx1，nx2，…，nxn的平均数为n ͞x； (2)数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为͞x＋b； (3)数据nx1＋b，nx2＋b，…，nxn＋b的平均数为n ͞x＋b. 【知识点02】加权平均数 1. 定义：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则͞x叫作这n个数的加权平均数. 2. 权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重就越大，反之越小.权的表现形式： (1)数据的个数；(2)比；(3)百分比. 3. 计算分组(两组或更多组)数据的平均数或百分数，只需知道两类信息：一是每组数据的平均数或百分数，二是每组数据的个数(频数)，或每组数据个数所占的比值(频率). 根据这两类信息，以频数或频率为权，通过计算加权平均数就可以得到结果. 4. 当各组的数据是一个范围时，可以用各组的组中值(这个小组两个端点的数的平均数)代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，通过计算加权平均数得到结果. 5. 用计算器求加权平均数的步骤：通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn以及它们的权w1，w2，…，wn；最后按求平均数的功能键，计算器便会求出的值. 【知识点03】用样本平均数估计总体平均数 1.用样本的平均数估计总体的平均数：统计中常常通过抽取样本，通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. 在实际生活中，常用样本的平均数估计总体的平均数. 样本的抽取应具有随机性，从而尽量使得样本中的数据具有代表性，否则将影响到样本对总体估计的精确度. 2. 用样本估计总体的理由：(1)在很多情况下总体包含的个体数目很多，甚至无限，不可能一一加以考察；(2)有些从总体中抽取个体的试验对考察对象带有破坏性，因此抽取个体的数目不允许太多. 【知识点04】中位数 1. 定义：一般地，一组数据按从小到大(或从大到小) 的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数. 当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数. 2. 意义：一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平. 3. 确定中位数的方法简记为“一排，二找，三定”. 若数据个数为n(已排序)，当n为奇数时，中位数为第个数；当n为偶数时，中位数为第个数和第(＋1)个数的平均数. 【知识点05】众数 1. 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 说明： (1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定出现在这组数据中； (2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最为关心的统计数据. 2. 意义：众数也是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势. 3. 确定众数的方法 (1)排列：将数据按照大小顺序排列； (2)确定：先数出这组数据中各数据出现的次数, 再找出这组数据中出现次数最多的数据. 【知识点06】平均数、中位数和众数的特点 平均数、中位数和众数的区别与联系 类别 区别 联系 优点 缺点 平均数 平均数能够充分利用数据提供的信息，在实际生活中较为常用，常用样本的平均数估计总体的平均数 受极端值的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差 中位数 中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述集中趋势 不能充分地利用各数据的信息 众数 众数考察的是各数据所出现的次数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题的实质 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据的“一般水平” 【知识点07】离差平方和与方差 1. 离差 一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用͞x表示它们的平均数，我们把xi－ ͞x (i＝1，2，…，n)叫作xi关于平均数͞x的离差或偏差. 2. 离差平方和与方差 我们把(x1－ ͞x)2＋(x2－ ͞x)2＋… ＋(xn－ ͞x)2叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. 因此s2＝. 3. 方差的意义 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大，即越分 散；方差越小，数据的离散程度越小，即越稳定. 4. 用计算器求方差的步骤 通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差s2＝ 的值. 【知识点08】用样本方差估计总体方差 1. 根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差； 根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差. 正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 2. 用样本方差估计总体方差的必要性 在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，因此常用样本方差来估计总体方差. 【知识点09】四分位数 1. 百分位数：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2 等份，将数据分成100 等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数. 相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 2. 四分位数：将一组按由小到大顺序排列的数据分成四等份的三个值，称为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数(下四分位数)、第二四分位数(中位数)、第三四分位数(上四分位数)，分别记作. 3. 判断四分位数的步骤及方法 步骤 方法 (1)将数据从小到大排列 (2)确定第二四分位数 数据个数是奇数，最中间数是第二四分位数；数据个数是偶数，最中间两数的平均数是第二四分位数； (3)确定第一四分位数和第三四分位数 小于数据的中位数是第一四分位数，大于数据的中位数是第三四分位数 【知识点10】箱线图 1. 箱线图的五要素 一组数据的三个四分位数及最小值和最大值； 2. 箱线图的结构：如图24.3-1，箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成. 箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 3. 箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，中位数在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 【知识点11】数据的分组 1. 组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为͞x . 如果把这组数据分为两组，前m(m<n)个数据为一组，平均数为͞x1，离差平方和为d12，后(n－m) 个数据为一组，平均数为͞x2，离差平方和为d22. 那么d2＝d12＋d22＋m(͞x1－ ͞x)2＋(n－m)(͞x2－ ͞x)2. 其中d12＋d22称为组内离差平方和； 2. 数据分组的原则：组内差距最小，即组内离差平方和最小. 3. 数据分组的根据：组内离差平方和最小（或组间离差平方和最大） m(͞x1－ ͞x)2＋(n－m)(͞x2－ ͞x)2称为组间离差平方和，记作d122. 4. 数据分组的步骤： (1)将数据由小到大排列； (2)从m＝1开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和分组后数据的平均数； (4)计算两组的组内离差平方和(或组间离差平方和)； (5)组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 【题型一】求一组数据的平均数 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．都有可能 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数 【详解】解：原数据的平均数为：， 新数据的平均数为． ， 与换人前相比，场上队员的身高平均数变小． 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）数学课上，小明拿出了连续五天日最低气温的统计表，那么，这组数据的平均数是________． 日期 一 二 三 四 五 最低气温/℃ 22 24 26 23 25 【答案】/24 【知识点】求一组数据的平均数 【详解】解：这组数据的平均数是． 3．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知一组数据的平均数等于7，判断下列说法是否正确，若不正确，请举出一个反例： (1)如果这组数据共有三个，且其中一个大于7，那么必有一个小于7； (2)如果这组数据共有四个，且其中两个小于7，那么必有两个大于7． 【答案】(1)该说法正确 (2)该说法不正确，反例不唯一，例如这组数据为 【知识点】求一组数据的平均数 【详解】（1）解：设三个数为a，b，c，平均数为7，所以。 假设其中一个数，如果另外两个数都不小于7，即，， 那么：这与矛盾， 所以另外两个数中必有一个小于7， 因此，这个说法正确； （2）解：设四个数为a，b，c，d，平均数为7，所以， 我们可以举反例： 比如数据为：6，6，7，9， 两个数小于7；只有一个数大于7， 平均数：，符合条件，但不是两个数大于7； 因此，原说法不正确． 【题型二】已知 平均数求未知数据的值 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知n个数据的和为108，平均数为12，则n为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】利用平均数的计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵n个数据的和为108，平均数为12， ∴． 5．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【详解】解：根据平均数的定义可得 ， 解得． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）某省统计数据显示，2021年下半年平均每月进出口总额为3703亿元．如图是根据该省2021年下半年每月的进出口总额情况绘制的．不计算下半年的进出口总额，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置上吗？ 【答案】见解析 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】根据平均数的意义，超出平均数的数量和等于低于平均数的数量和，可以画出所求的点． 【详解】解：能．如图所示，过作一条平行于横轴的直线，根据超出平均数的数量和等于低于平均数的数量和，利用直尺通过度量可以确定11月份的大约进出口总额． 点即为所求． 【题型三】利用已知的平均数求相关数据的平均数 7．（24-25八年级下·河北邢台·期末）一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】此题主要考查算术平均数的求法，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． 由题意可知，将这组数据扩大为原来的2倍，它的平均数也扩大为原来的2倍，据此即可解答． 【详解】解：一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为：． 故选：B． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【详解】解：，，，，的平均数是5， ， ． 9．（25-26八年级下·全国·单元复习）某个工程队正在修建道路．有4天每天修5米，有2天每天修7米，有3天每天修10米，有1天修11米．这10天中该工程队平均每天修建道路多少米？ 【答案】这10天中该工程队平均每天修建道路米． 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【详解】解：， 答：这10天中该工程队平均每天修建道路米． 【题型四】利用平均数做决策 10．（23-24八年级下·广东河源·期末）某商店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码的销售量如表所示，如果鞋店要购进双这种女鞋，那么购进厘米、厘米和厘米三种女鞋数量之和最合适的是（    ） 尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 12 6 3 1 A．双 B．双 C．双 D．双 【答案】B 【知识点】利用平均数做决策 【分析】求得销售这三种鞋数量之和为10，是30的三分之一，故要购进的这三种鞋应是100的三分之． 【详解】根据题意可得： ∵销售的某种女鞋30双，厘米、厘米和厘米三种女鞋数量之和为10， ∴要购进100双这种女鞋，购进这三种女鞋数量之和应是 ， ∴购进100双这种女鞋，购进这三种女鞋数量之和最合适的是双， 故选：B 【点睛】本题主要考查了综合运用统计知识解决问题的能力，理清题意，是解决此类问题的关键． 11．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第______次； （2）在这五次成绩中，______组进步更大．（选填“一”或“二”） 【答案】 5 一 【知识点】利用平均数做决策、折线统计图 【分析】本题考查了读取图象信息的能力， （1）观察二组成绩，越在上面的平均数越大，即可作答． （2）一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分，即可作答． 【详解】解：（1）观察图象，得出越在上面的平均数越大， ∴二组成绩中，平均成绩最大是第5次 （2）∵观察图象，得出一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分， ∴ ∴在这五次成绩中，一组进步更大 故答案为：5，一． 12．（22-23八年级下·云南德宏·期末）某班欲从甲、乙两名同学中推出一名同学，参加学校组织的数学素质测试竞赛，首先在班内对甲、乙两名同学进行了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示： 学生 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践 甲 85 89 92 94 乙 94 92 85 80 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两名同学的平均成绩，从他们的成绩看，应该推选谁？ (2)若数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的成绩按的比确定，计算甲、乙两名同学的平均成绩，从他们的成绩看，应该推选谁？ 【答案】(1)推选甲 (2)推选乙 【知识点】运用加权平均数做决策、利用平均数做决策 【分析】（1）根据平均数的概念分别计算甲、乙两名同学的平均成绩，即可获得答案； （2）结合题意，根据加权平均数的概念分别计算甲、乙两名同学的平均成绩，即可获得答案． 【详解】（1）解：依题意得，甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， ∵9087.75， ∴推选甲； （2）依题意得：， ， ∵， ∴推选乙． 【点睛】本题主要考查了平均数和加权平均数的应用，理解并掌握平均数和加权平均数的概念是解题关键． 【题型五】求加权平均数 13．（25-26八年级下·全国·期末）某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（     ） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 【答案】D 【知识点】求加权平均数 【分析】利用各项的得分乘以其所占的百分比，然后相加即可得． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）． 14．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）学校抽查了30名学生参加社会实践活动的次数，并根据数据绘制成条形统计图，如图，则30名学生参加活动的平均次数是____次． 【答案】 3 【知识点】求加权平均数 【分析】利用加权平均数的计算公式进行计算即可. 【详解】解：30名学生参加活动的平均次数是（次）. 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）有三组数据——第一组数据：10，10；第二组数据：20，20，20；第三组数据：30，30，30，30，30．请问：每组数据的平均数分别是多少？如果将这三组数据合成一组新的数据，请问新数据的平均数是多少？ 【答案】第一组平均数为10，第二组平均数为20，第三组平均数为30，新数据的平均数为 【知识点】求加权平均数 【详解】解：第一组数据的平均数为． 第二组数据的平均数为． 第三组数据的平均数为． 新数据的平均数为． 【题型六】利用加权平均数求未知数据的值 16．（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 17．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为分，根据加权平均数的计算公式可得，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·福建泉州·期末）德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙，见解析 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值、求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键． （1）根据甲作品的得分以及加权平均数公式可得x的值； （2）求出m的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． （2）解：由（1）可知权重比例为3:1:2， 所以， 解得，， 所以， 所以乙学生在“造型设计”方面比较突出 【题型七】运用加权平均数做决策 19．（22-23八年级下·福建厦门·期末）厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】运用加权平均数做决策 【分析】利用加权平均数的计算公式求解即可得． 【详解】解：甲的综合分：（分）， 乙的综合分：（分）， 丙的综合分：（分）， 丁的综合分：（分）， 则最终录用的应聘者是是乙， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握计算公式是解题关键． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年8月14日，莱西市人民政府发布了2023年青岛教育系统招聘工作人员拟聘用人员公示，为一年一度的教师招聘画上了圆满的句号．本次考试采用先笔试后面试的方式进行，（其中面试分值按照模拟上课70%、答辩30%的比例加权计算出面试得分，并设置最低分60分），总成绩按照笔试40%、面试60%的比例加权计算，保留两位小数，尾数四舍五入，择优录取．已知甲、乙、丙三名考生的各类成绩如下表，最终被录取的是__________．      成绩     项目 姓名 笔试 模拟上课 答辩 甲 90 60 50 乙 80 70 40 丙 70 80 40 【答案】丙 【知识点】运用加权平均数做决策 【分析】本题考查了加权平均数的应用，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 先求出面试成绩，判断是否达到录取标准，再计算总成绩比较即可． 【详解】解：甲的面试成绩为（分）， ， 甲的面试成绩未达到录取标准； 乙的面试成绩为（分）， ， 乙的面试成绩达到录取标准， 乙的总成绩为（分）； 丙的面试成绩为（分）， ， 丙的面试成绩达到录取标准， 丙的总成绩为（分） ， 最终被录取的是丙， 故答案为：丙． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 (1)如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ (2)如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 【答案】(1)乙的最终成绩更高 (2)甲的最终成绩更高 【知识点】运用加权平均数做决策、求加权平均数 【分析】（1）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果； （2）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果． 【详解】（1）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴乙的最终成绩更高； （2）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴甲的最终成绩更高． 【题型八】用计算器求平均数 22．用计算器计算13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为(　　) A．13.53 B．13.61 C．13.74 D．14.00 【答案】C 【知识点】用计算器求平均数 【分析】根据计算器的基本使用方法，依次输入13.49+13.55+14.07+13.51+13.84+13.98=，可得. 【详解】运用计算器，依次输入13.49+13.55+14.07+13.51+13.84+13.98=13.74 故选C 【点睛】考核知识点;用计算器求平均数. 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）用计算器求平均数时，打开计算器先按方向键选中_________图标，再按_________进入统计应用，再按_________启动“单变量统计”计算功能，每次按完数据后，再按键_________，表示已将这个数据输入计算器． 【答案】 “统计” 【知识点】用计算器求平均数 【分析】本题考查利用计算器求平均数的操作步骤，需依据初中阶段所学的计算器统计功能操作流程进行作答． 【详解】 解：打开计算器后，先通过方向键选中“统计”图标，再按“”键进入统计应用，接着按“”键启动“单变量统计”计算功能，每次输入完数据后，按“”键确认该数据已输入计算器． 【题型九】求中位数 24．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图是小敏同学这个学期的6次数学测验的成绩统计图，则她这6次成绩的中位数是（     ） A．60分 B．70分 C．75分 D．80分 【答案】C 【知识点】求中位数 【详解】解：该同学次成绩按从小到大的顺序排列，，，，，，中间的数是和， 中位数是． 25．（25-26八年级下·全国·暑假作业）设一组数据15，10，12，14，16，14，17的众数是，中位数是，则有________．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】求中位数、求众数 【分析】根据众数的定义求出，再将数据按从小到大排序后根据中位数的定义求出，最后比较与的大小即可． 【详解】解：在数据，，，，，，中，出现次数最多，因此众数． 将这组数据从小到大排列为：，，，，，，． 这组数据共个，个数为奇数，中位数为排序后最中间的数，即第个数，因此中位数． 可得． 【题型十】利用中位数求未知数据的值 26．（2026·江苏徐州·一模）一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查了中位数的概念，先根据数据个数确定中位数的位置，再结合中位数的值得到x的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 27．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【答案】 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】分三种情况讨论：；；，根据中位数的定义求解即可. 【详解】把这组数据按从小到大排列得：，0，2，4，6， 插入一个数x后，数据变为6个，中位数为排序后第3、4位数的平均数． 设排序后的新数据为，，，，，， 若，则，，，， 此时中位数为，符合题意； 若，此时， ∴，解得，即； 若，则中位数，不符合题意，舍去， 综上，x的取值范围是． 28．某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表                            成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ； (2)样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； (3)若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)优秀率高的年级，平均成绩低，理由见解析 【知识点】求众数、 利用中位数求未知数据的值、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了统计表和扇形统计图，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据七年级 名学生活动成绩的中位数为分，即可求解； （2）由八年级名学生活动成绩的扇形统计图即可求解； （3）分别求出七八年级学生的优秀率和平均分即可； 【详解】（1）解：由七年级名学生活动成绩统计表可知：或或或或， ∵七年级 名学生活动成绩的中位数为 分． ∴， 故答案为：； （2）解：由八年级名学生活动成绩的扇形统计图可知：八年级活动成绩的众数为分， 故答案为：； （3）解：七年级学生的优秀率为：， 七年级学生的平均成绩为：分； 八年级学生的优秀率为：， 八年级学生成绩为分所占百分比为：， ∴八年级学生的平均成绩为：分； ∵ ∴优秀率高的年级是七年级，平均成绩低． 【题型十一】运用中位数做决策 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】B 【知识点】运用中位数做决策 【分析】本题考查统计量的实际意义，解题关键是明确不同统计量的作用，利用中位数的位置特征判断排名． 【详解】解：∵总共有9名学生，且所有学生成绩各不相同，将成绩从高到低排序后，第5名的成绩就是这组数据的中位数， ∴该同学想要知道自己是否进入前5名，只需将自己的成绩与中位数比较，即可得出结论， 因此需要了解这9名学生成绩的中位数． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙两班举行的一次月考数学成绩箱线图，根据此统计图可以判断出____________的成绩较好． 【答案】甲 【知识点】运用中位数做决策 【分析】我们可以通过箱线图的核心特征来判断： 箱线图的中位数（箱子中间的横线）代表数据的中间水平，中位数越高，整体成绩的中间水平越好。 【详解】解：从图中可以看到：甲班成绩的中位数明显高于乙班，甲班成绩的整体分布位置也比乙班更靠上，所以甲班的成绩较好. 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了中位数，解答本题的关键是掌握箱线图的定义． 31．（25-26八年级下·福建福州·期中）某校八年级开展数学知识竞赛，分为甲，乙，丙三个小组，其中甲组30人，乙组25人，丙组25人，对测试成绩进行整理，得到下面统计图表． 八年级数学知识竞赛成绩统计表 组别 平均数 中位数 众数 甲 82 乙 68 79 丙 75 75 (1)表格中的落在________组；（填序号） ①，②，③，④，⑤，⑥． (2)求这80名同学的平均成绩； (3)在本次测试中，乙组张华同学的成绩是70分，丙组王伟同学的成绩是74分，关于两人在各自所在小组中的排名，王伟认为自己比张华更靠前．你认可王伟的说法吗？谈谈你的理由． 【答案】(1)④ (2) (3)不认可王伟的说法，理由见解析 【知识点】求加权平均数、求中位数、运用中位数做决策 【分析】（1）根据中位数的定义，结合甲组成绩分布直方图求解即可； （2）利用加权平均数求解即可； （3）中位数反映了组内成绩的中游水平，利用中位数进行解答即可． 【详解】（1）解：甲组共30人，中位数是成绩从小到大排列后，第15、16个数据的平均数， 由甲组成绩分布直方图知，有1人，有3人，有6人， 前三组共人，有7人，即第15、16个数据都在内， 故落在④； （2）解： 分 答：这80名同学的平均成绩分； （3）解：不认可王伟的说法，理由如下： 乙组成绩的中位数是68分，张华成绩大于68分，说明张华的成绩在乙组超过一半以上的同学，排名在本组中上游；丙组成绩的中位数是75分，王伟成绩小于75分，说明王伟的成绩在丙组低于一半以上的同学，排名在本组中下游， 因此，张华在本组的排名比王伟更靠前． 【题型十二】求众数 32．（25-26八年级下·全国·暑假作业）小明在纸上写了5个数据：2，4，5，3，4，那么这组数据的众数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】求众数 【详解】解：统计题中各数据的出现次数： 出现次，出现次，出现次，出现次， ∵是这组数据中出现次数最多的数， ∴这组数据的众数是． 33．（25-26八年级下·全国·暑假作业）某校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．10名选手投中篮筐的个数分别为6，9，9，10，9，8，7，7，6，10，则这组数据的众数是________． 【答案】9 【知识点】求众数 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可求解． 【详解】解：对这组数据中各数的出现次数进行统计，出现次，出现次，出现次，出现次，出现次． 其中出现次数最多的数据为．因此这组数据的众数是． 34．（25-26八年级下·全国·单元复习）某饮食公司为一学校提供午餐，有12元、15元和18元三种价格的饭菜供师生选择（每人限定一份）．如图是5月份的销售情况统计图，如果这个月一共销售了10400份饭菜，那么师生购买午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少？ 【答案】平均数是元，中位数是元，众数是元． 【知识点】求众数、求中位数、求加权平均数 【分析】求平均数：因为已知各价格饭菜的销售占比，所以可以使用加权平均数公式，以各价格为数值、对应占比为权重计算． 求众数：因为众数是出现次数最多的数值，所以只需比较三种价格的销售占比，占比最高的价格即为众数． 求中位数：首先确定总份数的中间位置，再按价格从低到高累加各价格的销售份数，判断中间位置落在哪个价格的区间内，该价格即为中位数． 【详解】解：根据扇形图，三种价格饭菜的销售占比为：12元占20%，15元占65%，18元占15%． 用加权平均数计算：元 ∵总销量10400份，中位数是排序后第5200位和第5201位数据的平均数： 12元共份，即前2080个数据都是12元； 接下来的份都是15元，覆盖第2081~8840位； ∴第5200、5201位数据都是15，中位数为元． ∵15元饭菜销售占比最高，出现次数最多， ∴众数为15元． 【题型十三】利用众数求未知数据的值 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，解题的关键是理解众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数，且题目明确众数为，因此在本题的条件下，是唯一出现次数最多的数，据此分析的值． 【详解】解：∵ 众数是， ∴ 的出现次数必须最多， 当前数据中出现次，出现次，其他数出现次数均少于， 若，则出现次，其他数出现次数均少于，满足众数为； 若，则出现次，众数为，不符合题意； 若，则数据中的众数为6，8，10，不符合题意；若，则数据中的众数为6，8，12，不符合题意． ∴ ． 故选：B． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据的众数是，则的值为______． 【答案】 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【详解】解：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， 在数据中，每个数据均只出现次， ∵这组数据的众数是， ∴根据众数的定义可确定的值为． 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 【答案】 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了平均数和众数，熟练掌握相关概念是解题的关键； 根据平均数和众数的概念进行计算． 【详解】解：∵平均数和众数相等， ∴众数只有一个， ∴这组数据的众数为3， ， 解得． 【题型十四】运用众数做决策 38．（25-26八年级下·全国·期末）某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【知识点】运用众数做决策 【分析】根据不同统计量所反映的数据特征：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映数据的波动程度，而众数反映的是数据中出现次数最多(即最热门，最集中)的情况，商场经理根据销量决定进货，关注的是销量最大的品牌，这与众数的定义相符，据此即可解答． 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 39．（25-26八年级下·全国·暑假作业）为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，最终买什么水果该由调查数据的________（填“平均数”“中位数”或“众数”）决定． 【答案】众数 【知识点】运用众数做决策 【详解】解：∵是为筹备班级毕业晚会准备水果，需要选择大多数同学爱吃的水果， ∴应当由调查数据的众数决定． 【题型十五】求离差平方和 40．（25-26八年级下·全国·期末）将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 【答案】B 【知识点】求离差平方和 【分析】根据每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 【详解】解：每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 10个数据有9个间隔，所以有9种不同的分法． 41．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 【答案】4 【知识点】求离差平方和 【分析】先按题目要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果． 【详解】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：， 则总的组内离差平方和为． 42．（25-26八年级下·全国·期末）下表是某商店 5 天的日销售额数据： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 销售额 / 元 1200 1500 1800 2100 2400 将这些销售额按从低到高排列后，计算按第2个间隔分组时的组内离差平方和． 【答案】组内离差平方和为． 【知识点】求离差平方和 【分析】先按照按2个间隔分组，然后分别计算第一组离差平方和和第二组离差平方和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：步骤1：销售额已按从低到高排列：1200，1500，1800，2100，2400． 步骤2：按第2个间隔分组，两组为和． 步骤3：计算第一组的离差平方和： 第一组平均数：， 离差平方和：． 步骤4：计算第二组的离差平方和：第二组平均数：， 离差平方和：． 步骤5：组内离差平方和：． 【题型十六】离差平方和的应用 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【知识点】离差平方和的应用 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 44．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【知识点】离差平方和的应用 【分析】分组对比时，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较三个方案的组内离差平方和大小即可得到结果． 【详解】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 45．（25-26八年级下·全国·周测）在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 【答案】把10个苹果按直径大小分成两组是，． 【知识点】离差平方和的应用 【分析】先对数据排序，再尝试不同的连续分段划分方式，计算每种划分的总离差平方和，选出最小的那个划分． 【详解】解：将个数据由小到大排序为，，，，，，，，，． 计算不同分组的组内离差平方和，结果如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第三种情况的组内离差平方和最小． 因此把个苹果按直径大小分成两组是，． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算与最优分组，解题关键是先对数据排序，再通过计算不同连续分段划分的总离差平方和，找到最小值对应的分组． 【题型十七】求方差 46．（25-26八年级下·全国·暑假作业）设是，，，的方差，是，，，的方差，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求方差 【分析】先根据平均数和方差的定义表示出数据，，，的平均数和方差，进而表示出数据，，，的平均数和方差，即可推导出两组数据方差的数量关系． 【详解】设数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为， ， ； ， 即． 47．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）一组数据：0，1，2的平均数是1，则这组数据的方差是____________ 【答案】 【知识点】求方差 【分析】根据方差的计算公式，将已知数据代入公式计算即可． 【详解】解：方差计算公式 为， ∵，， ∴ ． 48．（25-26八年级下·全国·单元复习）通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 【答案】2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁 【知识点】运用方差做决策、求方差 【详解】解： ， ； ， ； ∵， ∴2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁． 【题型十八】利用方差求未知数据的值 49．（24-25八年级下·广东广州·期末）一组数据的方差为，则该组数据的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的公式可以得到平均数，用平均数乘上这组数据的个数即可得解．本题考查方差公式的定义与意义，从方差的公式可以得到平均数是解题的关键． 【详解】由方差公式可知，数据组的平均数为4．数据个数为5，因此总和为平均数乘以个数，即． 故选：D． 50．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一组数据的方差则这组数据的总和为___________ 【答案】40 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差与平均数的关系，解题的关键是通过方差公式确定平均数．根据方差的定义，确定数据的平均数，进而利用平均数与数据总和的关系求解． 【详解】解：方差公式为， 平均数为2，数据个数为20， 数据总和， 故答案为：40． 【点睛】 【题型十九】根据方差判断稳定性 51．（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，（     ）的成绩更稳定． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查方差的性质．方差用来衡量数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较四人方差的大小即可得到结果． 【详解】解：平均成绩相同时，方差越小成绩越稳定， 又， 甲的方差最小，甲的成绩更稳定． 52．（2026·湖南邵阳·二模）甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【知识点】根据方差判断稳定性 【详解】解：∵， ∴， 因此，成绩最稳定的是丙． 53．（25-26八年级下·全国·课后作业）下表是在投掷两枚正方体骰子的活动中得到的数据： 投掷次数 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 出现数字之和为奇数的频数 2 4 8 10 14 17 20 22 25 26 出现数字之和为奇数的频率 0.400 0.400 0.533 0.500 0.560 0.567 0.571 0.550 0.556 0.520 投掷次数 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 出现数字之和为奇数的频数 27 28 30 34 37 40 42 45 47 50 出现数字之和为奇数的频率 0.491 0.467 0.462 0.486 0.493 0.500 0.494 0.500 0.495 0.500 分别计算最初投掷次数这5个频率值的方差和最后投掷次数这5个频率值的方差，说说哪一段的频率表现得更为稳定． 【答案】投掷次数这5个频率值的方差约为；投掷次数这5个频率值的方差约为；投掷次数这一段的频率表现得更为稳定 【知识点】根据方差判断稳定性、求方差 【分析】根据方差的公式分别计算最初投掷次数和最后投掷次数频率值的方差，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：最初投掷次数这5个频率值的平均数为， 对应的方差为； 最后投掷次数这5个频率值的平均数为， 对应的方差为， ∵， ∴投掷次数这一段的频率方差更小，表现得更为稳定． 【题型二十】运用方差做决策 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【知识点】运用方差做决策 【分析】当平均成绩相同时，方差越小，成绩越稳定，选择方差最小的运动员参赛即可． 【详解】解：∵四名运动员的平均成绩相同，方差越小成绩波动越小，发挥越稳定， 又∵， ∴丁的方差最小，成绩最稳定，因此选择丁参赛． 55．（25-26八年级下·全国·期末）某校组织环保知识竞赛，为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有4名同学成为区级参赛选手的候选人，这4名同学成绩的相关情况如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 92 95 95 方差 36 32 21 33 如果从这4名同学中选出1名参加区级比赛(总体水平高且状态稳定)，你会推荐________． 【答案】丙 【知识点】运用方差做决策 【分析】本题考查平均数和方差的意义．此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．所以应选平均分数高、方差小的选手参赛，从而得出答案． 【详解】解：从表中可知，丙和丁的平均分最高，均为95分；在平均分相同的情况下，丙的方差21小于丁的方差33，说明丙的成绩更稳定，所以应推荐丙． 故答案为：丙． 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）有甲、乙两位股票投资者，投入股市的资金都是5万元左右．如图所示是他们去年在6只股票上的投资收益情况，收益正值为盈利，负值为亏损．甲每只股票的平均收益为元，乙每只股票的平均收益为元．乙认为自己以微弱的优势战胜了甲，但是甲不这么认为．你认为甲可以有哪些理由说明自己去年的收益不一定输给了乙？ 【答案】甲在收益的中间水平、稳定性和风险控制上均优于乙，因此甲有理由认为自己去年的收益不一定输给乙． 【知识点】运用方差做决策、求方差、运用中位数做决策、求中位数 【分析】分别从中位数、方差、最大亏损角度分析解答即可． 【详解】解：因为甲、乙两位投资者在6只股票上的投资收益情况如下： 甲的收益（单位：元）：； 乙的收益（单位：元）：． 所以甲可以从以下角度说明自己去年的收益不一定输给乙： 1．从中位数角度： 将甲、乙的收益分别从小到大排序： 甲：； 乙：． 甲的中位数为（元）， 乙的中位数为（元）． 因为， 所以甲的收益中位数高于乙，说明甲至少有一半的股票收益优于乙的＂中间水平＂． 2．从方差角度： 甲的平均收益元，乙的平均收益元． 甲的方差； 乙的方差． 因为，所以甲的收益波动更小，投资更稳健． 3．从最大亏损角度： 甲亏损最多的股票收益为-291.86元，乙亏损最多的股票收益为-320.48元． 因为， 所以甲在最差的股票上亏损更少，抗风险能力更强． 综上，尽管乙的平均收益略高于甲，但甲在收益的中间水平、稳定性和风险控制上均优于乙，因此甲有理由认为自己去年的收益不一定输给乙． 【题型二十一】求四分位数 57．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 58．（25-26八年级下·全国·暑假作业）数据，，，，，，，，，，，中位数是________，下四分位数是________，上四分位数是________． 【答案】 【知识点】求中位数、求四分位数 【分析】先根据中位数的定义计算中位数，再将数据分为前半组和后半组，根据下四分位数和上四分位数的定义分别计算下四分位数与上四分位数即可． 【详解】由题意，可知数据共个，且已从小到大排序，位于第位和第位的数据为，， 中位数为； 取前个数据组成前半组，前半组为，，，，，， 下四分位数为； 取后个数据组成后半组，后半组为，，，，，， 上四分位数为． 59．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． (1)求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中； (2)你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 【答案】(1)小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中 (2)见解析 【知识点】求四分位数 【分析】（1）根据题干所给数据计算即可得出结果； （2）求出小宝同学和小安同学成绩的平均数，再结合箱线图分析即可得出结果． 【详解】（1）解：∵小宝同学成绩为：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； ∴， ∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第3个数， ∴， ∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第8个数， ∴， 根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中； （2）解：由题意可得： 小宝同学成绩的平均数为：； 小安同学成绩的平均数为：； 观察数据可得： 选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数要高； 选小安，理由：平均数高，下四分位数高，数据要稳定． 【题型二十二】画箱线图 60．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列数据不能直接从箱线图中获得的是（    ） A．众数 B．中位数 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查箱线图的基本概念，只需明确箱线图能体现的统计量，即可判断选项． 【详解】解：∵箱线图由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五个统计量绘制得到， ∴可以直接从箱线图中获得中位数、最大值、最小值，众数是一组数据中出现次数最多的数， 箱线图无法体现数据出现的次数，因此不能直接从箱线图中得到众数， 故选：A． 61．（25-26八年级下·浙江金华·期中）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 【答案】乙 【知识点】画箱线图 【分析】根据箱线图分析即可得到答案． 【详解】解：乙队队员的身高差距最小，身高较为集中． 62．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【知识点】画箱线图、求四分位数、求中位数 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【题型二十三】根据要求选择合适的统计量 63．（25-26八年级下·全国·期末）下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．众数 【答案】C 【知识点】根据要求选择合适的统计量、求离差平方和 【分析】根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：离差平方和是每个数据与该组平均数之差的平方和，它能够很好地反映一组数据的分散程度（即离散程度）． 64．（2024八年级下·全国·专题练习）对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是________．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 【答案】② 【知识点】根据要求选择合适的统计量 【分析】根据中位数的定义，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数； 故答案为：② 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数，中位数，众数，方差的意义，此题主要是了解中位数的定义． 65．（23-24八年级下·云南大理·期末）【问题情境】数学活动课上，老师组织同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：cm）、宽数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 树叶编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 a 1.95 c 0.0669 【问题解决】 (1)__________；__________；__________； (2)现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】(1)1.91；3.75；2.0 (2)这片树叶更可能来自荔枝 【知识点】根据要求选择合适的统计量、求众数、求中位数、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差； （1）根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据树叶的长宽比判断即可． 【详解】（1）由题意得，， 把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为，故； 10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故； 故答案为：1.91；3.75；2.0； （2）这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： ∵一片长，宽的树叶，长宽比接近2.0， ∴这片树叶更可能来自荔枝． 【题型二十四】利用合适的统计量做决策 66．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 【答案】D 【知识点】利用合适的统计量做决策 【分析】先统计各款粽子的频数和数据总数，再逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，总共有11个统计结果，其中喜欢甲款粽子的有5人，喜欢乙款粽子的有3人，喜欢丙款粽子的有2人，喜欢丁款粽子的有1人． A、∵， ∴喜欢乙款粽子的人数不占总人数的一半，原说法错误，不符合题意； B、∵， ∴乙款粽子比丙款粽子更受欢迎，原说法错误，不符合题意； C、喜欢丁款粽子的人数占总人数的，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴甲款粽子最受欢迎，原说法正确，符合题意． 67．在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下： 非常满意 较满意 一般 不太满意 非常不满意 合计 甲 28 40 10 10 12 100 乙 25 20 45 6 4 100 若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去_________景点（填甲或乙），理由是_________． 【答案】 甲 甲景点满意人多于乙景点（不唯一） 【知识点】利用合适的统计量做决策 【分析】计算游客对景点的满意度，满意度高的景点就首要推荐 【详解】在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取的100人中，对甲景点满意的有68人，对乙满意的有45人， 因为， 所以建议她去景点甲. 故答案为：甲； 理由是满意甲景点的人数多于乙景点. 故答案为：满意甲景点的人数多于乙景点 【点睛】本题考查了抽查，计算满意度是解题的关键． 68．（25-26八年级下·北京西城·期中）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)，， (2)；或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【知识点】画箱线图、求四分位数、利用合适的统计量做决策 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 数据的分析 （11知识详解+24典例分析） 【知识点01】平均数 1. 定义：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，我们把叫作这n个数据的平均数，记作“͞x”.也称算术平均数 2. 意义：平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势最常用的统计量. 3. 性质(拓展) 若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为͞x ，则： (1)数据nx1，nx2，…，nxn的平均数为n ͞x； (2)数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为͞x＋b； (3)数据nx1＋b，nx2＋b，…，nxn＋b的平均数为n ͞x＋b. 【知识点02】加权平均数 1. 定义：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则͞x叫作这n个数的加权平均数. 2. 权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重就越大，反之越小.权的表现形式： (1)数据的个数；(2)比；(3)百分比. 3. 计算分组(两组或更多组)数据的平均数或百分数，只需知道两类信息：一是每组数据的平均数或百分数，二是每组数据的个数(频数)，或每组数据个数所占的比值(频率). 根据这两类信息，以频数或频率为权，通过计算加权平均数就可以得到结果. 4. 当各组的数据是一个范围时，可以用各组的组中值(这个小组两个端点的数的平均数)代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，通过计算加权平均数得到结果. 5. 用计算器求加权平均数的步骤：通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn以及它们的权w1，w2，…，wn；最后按求平均数的功能键，计算器便会求出的值. 【知识点03】用样本平均数估计总体平均数 1.用样本的平均数估计总体的平均数：统计中常常通过抽取样本，通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识. 在实际生活中，常用样本的平均数估计总体的平均数. 样本的抽取应具有随机性，从而尽量使得样本中的数据具有代表性，否则将影响到样本对总体估计的精确度. 2. 用样本估计总体的理由：(1)在很多情况下总体包含的个体数目很多，甚至无限，不可能一一加以考察；(2)有些从总体中抽取个体的试验对考察对象带有破坏性，因此抽取个体的数目不允许太多. 【知识点04】中位数 1. 定义：一般地，一组数据按从小到大(或从大到小) 的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数. 当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数. 2. 意义：一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平. 3. 确定中位数的方法简记为“一排，二找，三定”. 若数据个数为n(已排序)，当n为奇数时，中位数为第个数；当n为偶数时，中位数为第个数和第(＋1)个数的平均数. 【知识点05】众数 1. 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 说明： (1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的个别数据有关，它一定出现在这组数据中； (2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与数据出现的频数有关，不受个别数据影响，有时是我们最为关心的统计数据. 2. 意义：众数也是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势. 3. 确定众数的方法 (1)排列：将数据按照大小顺序排列； (2)确定：先数出这组数据中各数据出现的次数, 再找出这组数据中出现次数最多的数据. 【知识点06】平均数、中位数和众数的特点 平均数、中位数和众数的区别与联系 类别 区别 联系 优点 缺点 平均数 平均数能够充分利用数据提供的信息，在实际生活中较为常用，常用样本的平均数估计总体的平均数 受极端值的影响较大，对于存在极端值的数据，一般平均数的代表性较差 中位数 中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述集中趋势 不能充分地利用各数据的信息 众数 众数考察的是各数据所出现的次数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题的实质 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据的“一般水平” 【知识点07】离差平方和与方差 1. 离差 一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用͞x表示它们的平均数，我们把xi－ ͞x (i＝1，2，…，n)叫作xi关于平均数͞x的离差或偏差. 2. 离差平方和与方差 我们把(x1－ ͞x)2＋(x2－ ͞x)2＋… ＋(xn－ ͞x)2叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”. 因此s2＝. 3. 方差的意义 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大，即越分 散；方差越小，数据的离散程度越小，即越稳定. 4. 用计算器求方差的步骤 通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差s2＝ 的值. 【知识点08】用样本方差估计总体方差 1. 根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差； 根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差. 正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 2. 用样本方差估计总体方差的必要性 在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，因此常用样本方差来估计总体方差. 【知识点09】四分位数 1. 百分位数：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2 等份，将数据分成100 等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数. 相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 2. 四分位数：将一组按由小到大顺序排列的数据分成四等份的三个值，称为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数(下四分位数)、第二四分位数(中位数)、第三四分位数(上四分位数)，分别记作. 3. 判断四分位数的步骤及方法 步骤 方法 (1)将数据从小到大排列 (2)确定第二四分位数 数据个数是奇数，最中间数是第二四分位数；数据个数是偶数，最中间两数的平均数是第二四分位数； (3)确定第一四分位数和第三四分位数 小于数据的中位数是第一四分位数，大于数据的中位数是第三四分位数 【知识点10】箱线图 1. 箱线图的五要素 一组数据的三个四分位数及最小值和最大值； 2. 箱线图的结构：如图24.3-1，箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成. 箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 3. 箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，中位数在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 【知识点11】数据的分组 1. 组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为͞x . 如果把这组数据分为两组，前m(m<n)个数据为一组，平均数为͞x1，离差平方和为d12，后(n－m) 个数据为一组，平均数为͞x2，离差平方和为d22. 那么d2＝d12＋d22＋m(͞x1－ ͞x)2＋(n－m)(͞x2－ ͞x)2. 其中d12＋d22称为组内离差平方和； 2. 数据分组的原则：组内差距最小，即组内离差平方和最小. 3. 数据分组的根据：组内离差平方和最小（或组间离差平方和最大） m(͞x1－ ͞x)2＋(n－m)(͞x2－ ͞x)2称为组间离差平方和，记作d122. 4. 数据分组的步骤： (1)将数据由小到大排列； (2)从m＝1开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和分组后数据的平均数； (4)计算两组的组内离差平方和(或组间离差平方和)； (5)组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 【题型一】求一组数据的平均数 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．都有可能 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）数学课上，小明拿出了连续五天日最低气温的统计表，那么，这组数据的平均数是________． 日期 一 二 三 四 五 最低气温/℃ 22 24 26 23 25 3．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知一组数据的平均数等于7，判断下列说法是否正确，若不正确，请举出一个反例： (1)如果这组数据共有三个，且其中一个大于7，那么必有一个小于7； (2)如果这组数据共有四个，且其中两个小于7，那么必有两个大于7． 【题型二】已知 平均数求未知数据的值 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知n个数据的和为108，平均数为12，则n为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）某省统计数据显示，2021年下半年平均每月进出口总额为3703亿元．如图是根据该省2021年下半年每月的进出口总额情况绘制的．不计算下半年的进出口总额，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置上吗？ 【题型三】利用已知的平均数求相关数据的平均数 7．（24-25八年级下·河北邢台·期末）一组数据的平均数为，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 9．（25-26八年级下·全国·单元复习）某个工程队正在修建道路．有4天每天修5米，有2天每天修7米，有3天每天修10米，有1天修11米．这10天中该工程队平均每天修建道路多少米？ 【题型四】利用平均数做决策 10．（23-24八年级下·广东河源·期末）某商店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码的销售量如表所示，如果鞋店要购进双这种女鞋，那么购进厘米、厘米和厘米三种女鞋数量之和最合适的是（    ） 尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 12 6 3 1 A．双 B．双 C．双 D．双 11．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第______次； （2）在这五次成绩中，______组进步更大．（选填“一”或“二”） 12．（22-23八年级下·云南德宏·期末）某班欲从甲、乙两名同学中推出一名同学，参加学校组织的数学素质测试竞赛，首先在班内对甲、乙两名同学进行了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示： 学生 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践 甲 85 89 92 94 乙 94 92 85 80 (1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两名同学的平均成绩，从他们的成绩看，应该推选谁？ (2)若数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的成绩按的比确定，计算甲、乙两名同学的平均成绩，从他们的成绩看，应该推选谁？ 【题型五】求加权平均数 13．（25-26八年级下·全国·期末）某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（     ） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 14．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）学校抽查了30名学生参加社会实践活动的次数，并根据数据绘制成条形统计图，如图，则30名学生参加活动的平均次数是____次． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）有三组数据——第一组数据：10，10；第二组数据：20，20，20；第三组数据：30，30，30，30，30．请问：每组数据的平均数分别是多少？如果将这三组数据合成一组新的数据，请问新数据的平均数是多少？ 【题型六】利用加权平均数求未知数据的值 16．（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 18．（24-25八年级下·福建泉州·期末）德化陶瓷因其造型精美和釉色独特而享誉世界．为继承和推广陶艺文化，七年级举办了一场“陶瓷文化研学”活动．活动期间，甲、乙两名学生创作了陶艺作品各一件，结束后从“造型设计、工艺技巧和文化内涵”三个部分进行评分，权重比例为（满分10分），并绘制甲、乙两名学生的作品得分情况统计表，如下： 甲、乙两名学生的作品得分情况统计表： 造型设计 工艺技巧 文化内涵 得分 甲作品 8 8.4 9.3 8.5 乙作品 7.8 6.6 8 根据以上信息，回答下列问题． (1)求的值； (2)若仅从“造型设计”进行评价，问哪位学生较为突出？请说明理由． 【题型七】运用加权平均数做决策 19．（22-23八年级下·福建厦门·期末）厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 20．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年8月14日，莱西市人民政府发布了2023年青岛教育系统招聘工作人员拟聘用人员公示，为一年一度的教师招聘画上了圆满的句号．本次考试采用先笔试后面试的方式进行，（其中面试分值按照模拟上课70%、答辩30%的比例加权计算出面试得分，并设置最低分60分），总成绩按照笔试40%、面试60%的比例加权计算，保留两位小数，尾数四舍五入，择优录取．已知甲、乙、丙三名考生的各类成绩如下表，最终被录取的是__________．      成绩     项目 姓名 笔试 模拟上课 答辩 甲 90 60 50 乙 80 70 40 丙 70 80 40 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 (1)如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ (2)如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 【题型八】用计算器求平均数 22．用计算器计算13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为(　　) A．13.53 B．13.61 C．13.74 D．14.00 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）用计算器求平均数时，打开计算器先按方向键选中_________图标，再按_________进入统计应用，再按_________启动“单变量统计”计算功能，每次按完数据后，再按键_________，表示已将这个数据输入计算器． 【题型九】求中位数 24．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图是小敏同学这个学期的6次数学测验的成绩统计图，则她这6次成绩的中位数是（     ） A．60分 B．70分 C．75分 D．80分 25．（25-26八年级下·全国·暑假作业）设一组数据15，10，12，14，16，14，17的众数是，中位数是，则有________．（填“”“”或“”） 【题型十】利用中位数求未知数据的值 26．（2026·江苏徐州·一模）一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 27．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 28．某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表                            成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ； (2)样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； (3)若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【题型十一】运用中位数做决策 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙两班举行的一次月考数学成绩箱线图，根据此统计图可以判断出____________的成绩较好． 31．（25-26八年级下·福建福州·期中）某校八年级开展数学知识竞赛，分为甲，乙，丙三个小组，其中甲组30人，乙组25人，丙组25人，对测试成绩进行整理，得到下面统计图表． 八年级数学知识竞赛成绩统计表 组别 平均数 中位数 众数 甲 82 乙 68 79 丙 75 75 (1)表格中的落在________组；（填序号） ①，②，③，④，⑤，⑥． (2)求这80名同学的平均成绩； (3)在本次测试中，乙组张华同学的成绩是70分，丙组王伟同学的成绩是74分，关于两人在各自所在小组中的排名，王伟认为自己比张华更靠前．你认可王伟的说法吗？谈谈你的理由． 【题型十二】求众数 32．（25-26八年级下·全国·暑假作业）小明在纸上写了5个数据：2，4，5，3，4，那么这组数据的众数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．（25-26八年级下·全国·暑假作业）某校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．10名选手投中篮筐的个数分别为6，9，9，10，9，8，7，7，6，10，则这组数据的众数是________． 34．（25-26八年级下·全国·单元复习）某饮食公司为一学校提供午餐，有12元、15元和18元三种价格的饭菜供师生选择（每人限定一份）．如图是5月份的销售情况统计图，如果这个月一共销售了10400份饭菜，那么师生购买午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少？ 【题型十三】利用众数求未知数据的值 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据的众数是，则的值为______． 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 【题型十四】运用众数做决策 38．（25-26八年级下·全国·期末）某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 39．（25-26八年级下·全国·暑假作业）为筹备班级毕业晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，最终买什么水果该由调查数据的________（填“平均数”“中位数”或“众数”）决定． 【题型十五】求离差平方和 40．（25-26八年级下·全国·期末）将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 41．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 42．（25-26八年级下·全国·期末）下表是某商店 5 天的日销售额数据： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 销售额 / 元 1200 1500 1800 2100 2400 将这些销售额按从低到高排列后，计算按第2个间隔分组时的组内离差平方和． 【题型十六】离差平方和的应用 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 44．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 45．（25-26八年级下·全国·周测）在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．现在有10个苹果的直径分别是65，75，76，69，80，70，76，81，78，80．按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这10个苹果按直径大小分成两组． 【题型十七】求方差 46．（25-26八年级下·全国·暑假作业）设是，，，的方差，是，，，的方差，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）一组数据：0，1，2的平均数是1，则这组数据的方差是____________ 48．（25-26八年级下·全国·单元复习）通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 【题型十八】利用方差求未知数据的值 49．（24-25八年级下·广东广州·期末）一组数据的方差为，则该组数据的总和是（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一组数据的方差则这组数据的总和为___________ 【题型十九】根据方差判断稳定性 51．（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，（     ）的成绩更稳定． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 52．（2026·湖南邵阳·二模）甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 53．（25-26八年级下·全国·课后作业）下表是在投掷两枚正方体骰子的活动中得到的数据： 投掷次数 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 出现数字之和为奇数的频数 2 4 8 10 14 17 20 22 25 26 出现数字之和为奇数的频率 0.400 0.400 0.533 0.500 0.560 0.567 0.571 0.550 0.556 0.520 投掷次数 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 出现数字之和为奇数的频数 27 28 30 34 37 40 42 45 47 50 出现数字之和为奇数的频率 0.491 0.467 0.462 0.486 0.493 0.500 0.494 0.500 0.495 0.500 分别计算最初投掷次数这5个频率值的方差和最后投掷次数这5个频率值的方差，说说哪一段的频率表现得更为稳定． 【题型二十】运用方差做决策 54．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 55．（25-26八年级下·全国·期末）某校组织环保知识竞赛，为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有4名同学成为区级参赛选手的候选人，这4名同学成绩的相关情况如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 92 95 95 方差 36 32 21 33 如果从这4名同学中选出1名参加区级比赛(总体水平高且状态稳定)，你会推荐________． 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）有甲、乙两位股票投资者，投入股市的资金都是5万元左右．如图所示是他们去年在6只股票上的投资收益情况，收益正值为盈利，负值为亏损．甲每只股票的平均收益为元，乙每只股票的平均收益为元．乙认为自己以微弱的优势战胜了甲，但是甲不这么认为．你认为甲可以有哪些理由说明自己去年的收益不一定输给了乙？ 【题型二十一】求四分位数 57．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 58．（25-26八年级下·全国·暑假作业）数据，，，，，，，，，，，中位数是________，下四分位数是________，上四分位数是________． 59．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． (1)求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中； (2)你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 【题型二十二】画箱线图 60．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列数据不能直接从箱线图中获得的是（    ） A．众数 B．中位数 C．最大值 D．最小值 61．（25-26八年级下·浙江金华·期中）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 62．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【题型二十三】根据要求选择合适的统计量 63．（25-26八年级下·全国·期末）下列统计量中，能够反映一组数据分散程度的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．众数 64．（2024八年级下·全国·专题练习）对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是________．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 65．（23-24八年级下·云南大理·期末）【问题情境】数学活动课上，老师组织同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：cm）、宽数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 树叶编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 a 1.95 c 0.0669 【问题解决】 (1)__________；__________；__________； (2)现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【题型二十四】利用合适的统计量做决策 66．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 67．在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下： 非常满意 较满意 一般 不太满意 非常不满意 合计 甲 28 40 10 10 12 100 乙 25 20 45 6 4 100 若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去_________景点（填甲或乙），理由是_________． 68．（25-26八年级下·北京西城·期中）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 1 学科网（北京）股份有限公司 $