第14讲 一次函数与方程（组）、不等式（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年（新教材人教版）八年级数学下册同步讲义与测试

第14讲 一次函数与方程（组）、不等式（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数与一元一次方程的关系 1. 一次函数与一元一次方程的关系 拓展 2. 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为kx＋b＝0(k≠0)的形式； (2)画图象：画出一次函数y＝kx＋b的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，则交点的横坐标即为一元一次方程的解. 【知识点02】一次函数与一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 2. 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤 (1)将不等式转化为kx＋b>0 或kx＋b<0(k≠ 0) 的形式； (2)画出函数y＝kx＋b的图象并确定该图象与x轴的交点坐标； (3)根据该图象确定对应不等式的解集. 3. 直线＝x＋与直线＝x＋交点的横坐标即为方程x＋＝x＋的解；不等式x＋>x＋(或x＋<x＋)的解集就是直线＝x＋在直线＝x＋上(或下)方部分对应的自变量x 的取值范围. 【知识点03】一次函数与二元一次方程(组)的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3. 两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 4. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数： 把方程组中的方程化为一次函数y＝x＋与y＝x＋； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结果：依据点的坐标写出方程组的解. 【题型一】已知直线与坐标轴交点求方程的解 例1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为________． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 变式1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于点 ∴关于x的方程的解， 故选：B． 变式2．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、求一次函数解析式 【分析】（1）根据一元一次方程与一次函数图像的关系即可解答； （2）将，代入一次函数解关于k、b的二元一次方程组即可解答． 【详解】（1）解：∵由图可知一次函数的图像与x轴的交点， ∴一元一次方程的解是． （2）解：将、代入一次函数得： ，解得：． ∴该一次函数的表达式：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与一元一次方程的关系、求一次函数解析式等知识点，理解一次函数图像与一元一次方程的关系是解答本题的关键． 【题型二】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 例3．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 例4．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是______． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． (1)求对角线所在直线对应的函数解析式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元一次方程． （1）求出点C的坐标，设直线解析式为，将和代入计算即可； （2）设点的坐标为，求出，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 设直线解析式为， 因为的图象过点和， 所以， 解得． ∴对角线所在直线对应的函数解析式为； （2）解：设点的坐标为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即或 ∴或， ∴或． 【题型三】利用图象法解一元一次方程 例5．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 例6．（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为________．    【答案】 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解． 结合函数图象得出一次函数图象经过点，即可求解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点， ∴的解为 故答案为：． 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用函数图象求方程的解． 【答案】 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一元一次方程的解就是一次函数的图象与轴交点的横坐标是解题的关键． 将一元一次方程的解转化为一次函数图象与轴交点的横坐标，通过观察函数图象与轴的交点坐标来确定方程的解． 【详解】解：函数的图象如图所示． 由图可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为． 变式1．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 变式2．（25-26八年级下·重庆·月考）函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【答案】 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据一次函数图象交点与一元一次方程解的关系，方程的解为两个一次函数图象交点的横坐标，结合已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵函数和图象交点的横坐标，就是方程的解． ∴由题意得，方程的解为． 变式3．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）已知函数，画出函数的图象，并根据图象，直接写出方程的解． 【答案】见解析， 【知识点】画一次函数图象、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查画一次函数的图象，一次函数与一元一次方程，列表，描点，连线，画出一次函数的图象，利用图象法直接写出一元一次方程的解即可． 【详解】解：列表如下： 0 1 1 5 描点，连线如图： 由图可知：的解为：． 【题型四】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例8．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大， 当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集， 将看作整体，可得， 解得． 例9．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数表达式为，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据题意将代入，得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：把代入，得， 解得． 例10．（22-23八年级下·河南商丘·月考）如图，一次函数解析式交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求A、B两点坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】（1）分别将、代入计算即可； （2）先求出，，再根据三角形面积公式计算即可； （3）直接根据函数图象及A点坐标作答即可． 【详解】（1）解：将代入得； 将代入得， 得：； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 变式1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象确定不等式的解集． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 变式2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，一次函数（，是常数）的图象，则不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据由函数图象可知，当时，一次函数图象位于轴的上方即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，一次函数图象位于轴的上方，即， ∴不等式的解集是． 变式3．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画一次函数图象、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：由，当时，， 当时，， 则一次函数经过点， 如图所示， （2）解：观察图象，当时，y取值范围是． 【题型五】根据两条直线的交点求不等式的解集 例11．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】先求出点坐标，再根据图象解答即可求解． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， 由函数图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， ∴不等式的解集为． 例12．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数图像，找出直线在直线下方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】由图像可知，直线 与直线 的交点坐标为， 不等式 即为， 观察函数图像可知，当时，直线 的图像位于直线 的图像下方， 所以的取值范围是． 变式1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】一次函数图象在一次函数图象的下方对应的的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数与图象的交点坐标为， ∴由图象可知，若，则． 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象找出的图象在图象上方的部分即可 【详解】解：根据题意得：时，， 由图象可知：不等式的解集是． 变式3．（25-26八年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）可判断经过定点，再求出经过点，的直线解析式，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：经过定点， 把代入得：， 解得：， ∴经过点和的直线解析式为：， ∵当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值， ∴且． 【题型六】两直线的交点与二元一次方程组的解 例13．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 例14．（25-26八年级下·福建南平·期中）直线与直线的交点是________． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【详解】解：由题意得：，解得： ， 故直线与直线的交点是． 例15．（23-24八年级下·吉林·期末）已知一次函数与的图象不重合且都经过点． (1)关于x，y的二元一次方程组的解为_____； (2)求k，b的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与方程组的解，待定系数法求解析式； （1）由于两个一次函数都经过点，该点是它们的交点，因此方程组的解即为交点坐标； （2）代入点可求出和的值． 【详解】（1）解：两个一次函数的图象都经过点，因此点是它们的交点． 二元一次方程组的解即为两条直线的交点坐标，故的解为 故答案为：． （2）将点代入，得，解得； 将点代入，得，即，解得． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】先联立方程组，得到点，：取，时，满足，此时，据此判断A；根据可以取任意实数，可判断B；当时，，所以的纵坐标恒正，可判断C；取，（满足），此时，在第四象限，可判断D． 【详解】解：联立方程，解得， ， A选项：取，时，满足，那么，，此时M在x轴的正半轴上，A正确； B选项：当时，的横坐标恒为1，纵坐标，由且，可以取任意实数（b任意正，a任意负），所以的轨迹是直线，不是射线，B错误； C选项：当时，，所以的纵坐标恒正，不可能在轴上，C正确； D选项：第四象限要求，，的横坐标，只需，取，（满足），此时，在第四象限，D正确． 变式2．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据图象读出交点的横坐标，代入已知函数解析式求出纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为 1， 将代入，得， ∴两直线的交点坐标为， ∵方程组可变形为， ∴该方程组的解即为直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 变式3．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，一次函数与一次函数（为常数，且）的图像相交于点，求关于的方程组的解． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】由交点坐标，先求出m的值，再结合图像确定方程组的解即可． 【详解】解：将点代入一次函数，得 ， 解得 ∴， 结合图像可知，关于的方程组的解是． 【题型七】图象法解二元一次方程组 例16．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 例17．（22-23八年级·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 变式1．若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、图象法解二元一次方程组 【分析】求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得． 【详解】解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和， ∵直线和相交于点P（2，3）， ∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3）， ∴方程组的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___． 【答案】5 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解． 【详解】解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2， 解得x＝5， ∴P点的横坐标为5， ∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P， ∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了根据一次函数图像解二元一次方程组，数形结合是解题的关键． 变式3．（2023八年级·全国·专题练习）图象法解方程组． 【答案】，图象见解析 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】利用描点法分别画出一次函数和一次函数的函数图象，两个一次函数图象的交点即为方程组的解． 【详解】解：列表如下： x … 0 1 2 3 … … 0 2 4 x … 0 2 4 6 … … 4 3 2 1 0 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，一次函数和一次函数的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，熟知两个一次函数的交点的横纵坐标即为这两个一次函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【题型八】求直线围成的图形面积 例18．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 例19．（25-26八年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图，当的面积为9时，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，； 当时，， ∴或； 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握该知识点是关键． 由图像可知：，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：由图形可知：，， 所以的面积为：. 故选：B. 变式2．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把代入和两个函数解析式中， 得：，， ∴，， ∴，， ∴． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．正比例函数与一次函数交于点，连接．求的面积． 【答案】15 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】先求出直线的解析式，联立两个函数的解析式，求出点坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∴的面积． 一、单选题 1．如图，一次函数与x轴、y轴分别交于两点，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．根据题意利用函数图像特殊点即可得到本题答案． 【详解】解：∵一次函数与x轴、y轴分别交于两点， ∴的解集为， 故选：A． 2．已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，方程的解就是一次函数中时对应的值，通过表格查找对应值即可求解． 【详解】解：观察表格得：当时，， ∴方程的解是． 3．若一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用确定M点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入到中得：， ∴， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 4．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 5．已知直线与直线在第三象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与轴的交点为可得直线轴的表达式为y＝kx−k，则与y轴交点（0，−k），再由直线在第三象限交于点得出（0，−k）在原点和点（0，−3）之间，即可求解． 【详解】解：∵直线与x轴的交点为B（1，0）， ∴k＋b＝0，则b＝−k， ∴y＝kx−k， 直线与y轴的交点坐标为（0，−3）， 则与y轴交点（0，−k）在原点和点（0，−3）之间， 即：−3＜−k＜0， 解得：0＜k＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质并能利用数形结合的思想确定与y轴交点位置． 6．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，联立方程组， 解得：， 则两直线交点坐标为，， 两直线交点在第一象限， ， 解得：, 故选：C． 【点睛】本题考查了两直线相交的问题，解二元一次方程组和一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法． 7．已知一次函数的图象与轴交于点，下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象与轴的交点为 C．关于的方程的解是 D．关于的不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A．∵， ∴随的增大而减小， 原说法正确，但不符合题意； B．∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴图象与轴的交点为， 原说法正确，但不符合题意； C．∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的方程的解是， 原说法错误，符合题意； D．∵一次函数的图象与轴交于点， 结合图象可知：关于的不等式的解集是， 原说法正确，但不符合题意； 故选：C． 8．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于，两点，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把点代入与， 得：，， 解得：，， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 9．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 10．如图，点的坐标为，点在直线上，当线段最短时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，垂线段最短，求两个一次函数的交点坐标及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于，为的最小值，先求出点、坐标，设，利用勾股定理可求出，利用待定系数法求出直线解析式为，根据可设直线解析式为，代入求出的值，与的解析式组成方程组，求出其交点坐标即可得答案． 【详解】解：如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于， 根据垂线段最短的性质，得当线段最短时，点与点重合，此时， ∵当时，，时，， ∴，， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得：，即， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴设解析式为， 将代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为， 联立两直线解析式组成方程组得， 解得：， ， 故选：D． 二、填空题 11．如图，若一次函数的图象经过点，，则不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象即可判断求解，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系、数形结合是解题的关键．此题利用图象可知当，即时，． 【详解】解：由图象可得，当时，， 不等式的解集为 故答案为：． 12．如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】解：观察函数图象得到不等式的解集为， 不等式的解集为； 所以不等式组的解集为． 13．在平面直角坐标系xOy中，点A点B的坐标分别是（4，8），（12，0），则△AOB的重心G的坐标是 _____． 【答案】/ 【分析】分别求得的中点的坐标，进而求得直线的交点坐标即可求得重心G的坐标．三角形的重心为三角形三条中线的交点． 【详解】解：如图，点A点B的坐标分别是（4，8），（12，0）， , 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 则即为的重心 即 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形重心的定义，待定系数法求一次函数解析式，中点坐标公式，求两直线解析式，掌握三角形的重心的定义是解题的关键． 14．已知关于x，y的方程组的解是，则在同一平面直角坐标系中存在两条直线：与，当时，则x的取值范围______. 【答案】 【分析】先根据方程组的解求出m的值，然后利用两直线的交点求自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解是， ∵同一平面直角坐标系中存在两条直线：与，当时，即自变量要满足函数的函数图象在函数的函数图象上方或交点处， ∴当时，则x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据两直线的交点解不等式等等，正确求出m的值是解题的关键． 15．若一次函数与的图象交点恰好在一次函数的图象上，则方程组 的解为________． 【答案】 【分析】将已知函数关系式联立方程组，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得． 【详解】解：由解得， ∴一次函数y=3x与一次函数y=2x-2的交点的坐标为（-2，-6）， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是掌握两个一次函数的交点即为方程组的解． 16．已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为________． 【答案】①②④ 【分析】把代入一次函数的解析式可判断①，根据一次函数的增减性可判断②，根据不等式的性质可判断③，画出函数，的简易图象可判断④，从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴直线必经过点；故①符合题意； ∵点，在直线上，且， ∴；故②符合题意； ∵， ∴， ∵，则， ∴，故③不符合题意； ∵（其中），经过点； ∴函数图象如图示，    画的简易图象如图示， 结合图象可得：直线与函数的图象最少有1个交点．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，画函数图象，不等式的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 三、解答题 17．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】方程组解为，见详解． 【分析】在直角坐标系中画出两个函数图象即可得到交点坐标即可得到答案． 【详解】解：由题意可得画出两个函数图象如下图所示，两函数交于点， ∴方程组解为． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的解得关系，解题关键是知道一个二元一次方程的解满足一次函数解析式，两图象交点即为二元一次方程组的解． 18．（1）在同一坐标系中画出函数和的图象； （2）若两函数图象分别与x轴交于点A、B，求两函数图象与x轴围成的的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了两直线相交问题． （1）根据描点法画出图象即可； （2）联立两个方程得出两直线交点点C的坐标，利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）令，和， 令，和，解得和 ∴直线经过点，， 直线经过点，， 画出函数和的图象如图： ； （2）联立，解得， ∴的面积． 19．已知一次函数的图象过点(－1，5)，且与正比例函数y＝－x的图象交于点(2，a)．求： (1)一次函数表达式； (2)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积． 【答案】（1）一次函数表达式为．（2）这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积为． 【分析】（1）利用正比例函数求出交点坐标，再通过待定系数法求解出一次函数表达式． （2）求出一次函数与x轴的交点坐标，以该三角形在x轴上的边为底，交点坐标的纵坐标的绝对值为高，通过三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为：， 正比例函数y＝－x的图象经过点(2，a)， 即该点坐标为（2，－1）， 由题意可知：一次函数的图象过点(－1，5)和（2，－1）， ，解得， 一次函数表达式为． （2）解：如图所示，设两个函数图像的交点为P，即P点坐标为（2，－1），一次函数与x轴的交点为A， A点是一次函数与x轴的交点坐标， ，解得 ，即A点坐标为（，）， ， P点坐标为（2，－1）， 点P到x轴的距离为1， 两个函数图象与x轴所围成的三角形面积为：． 【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解一次函数表达式以及求解与坐标轴的面积，正确利用待定系数法求出一次函数表达式，合理确定坐标轴围成的三角形的底和高，这是解决本题的关键． 20．设两个不同的一次函数，（k，b是常数，且）． (1)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，求证：． (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；当时， 【分析】（1）将根据一次函数图象上点的坐标特征，将两个点分别代入对应的解析式中求解即可； （2）先由得到，再分和求解即可． 【详解】（1）证明：∵函数的图象经过点，∴，则； ∵函数的图象经过点，∴，则， ∴； （2）解：∵， ∴，则， ∵与是两个不同的一次函数， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴． 综上，当时，当时，；当时，． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数关系、解一元一次不等式，由点的坐标得到k和b的关系，以及分类讨论思想的运用是解答的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数解析式． (2)直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关内容是解题的关键； （1）用待定系数法求函数的解析式； （2）用m表示出点E、F的坐标，然后分别代入对应的解析式中，根据两点位置关系列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 直线的函数解析式为． （2）解：由题意可知，点，的纵坐标均为． 设，． 将点代入， 得， 解得． 将点代入， 得． ∵点在点的右边， ， ， 解得， 即的取值范围为． 22．如图，直线与直线相交于点． (1)求b的值； (2)①解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若，则当 时，方程组无解； (3)直线是否也经过点P？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)经过点P，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数与二元一次方程组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点P坐标代入中计算求解即可； （2）①两直线的交点的横纵坐标即为两直线解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案；②根据题意可得直线和直线没有交点，即两直线平行，则； （3）把点P坐标代入中可得；再求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴； （2）解：①由（1）得点P的坐标为， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x、y的方程组的解为； ②∵方程组方程组无解， ∴直线和直线没有交点，即两直线平行， ∴； （3）解；经过点P，理由如下： ∵直线与直线相交于点， ∴； 在中，当时，， ∴直线经过点P． 23．画出函数y＝2x+6的图象，利用图象： （1）求方程2x+6＝0的解； （2）求不等式2x+6＞0的解； （3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围． 【答案】（1）x＝﹣3；（2）x＞﹣3；（3）﹣4≤x≤﹣2． 【分析】（1）利用两点法作图即可作出函数的图象，图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解； （2）2x＋6＞0就是函数的图象位于x轴的上方的部分对应的自变量的取值范围； （3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围即可． 【详解】解：图象为： （1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0）， 故方程2x＋6＝0的解为x＝﹣3； （2）观察图象知：当x＞﹣3时，y＞0， 故不等式2x＋6＞0的解集为x＞﹣3； （3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次不等式的关系，解答的关键在于准确的画出图形和掌握一次函数与一元一次方程、一次不等式的关系． 24．已知直线经过点，且与直线的图象相交于点． (1)直接写出a的值； (2)求直线的表达式； (3)过动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D．当点C总在点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点在函数图象上的意义，待定系数法，利用函数图象比较大小；掌握解法，理解由上方的点对应函数值较大是解题的关键； （1）将代入，即可求解； （2）将，代入，即可求解； （3）由已知条件得，，由上方的点对应函数值较大，可得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得： ， ； （2）解：将，代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为：； （3）解：动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D， ，， 点C总在点D上方时， ， 解得：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一次函数与方程（组）、不等式（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数与一元一次方程的关系 1. 一次函数与一元一次方程的关系 拓展 2. 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为kx＋b＝0(k≠0)的形式； (2)画图象：画出一次函数y＝kx＋b的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，则交点的横坐标即为一元一次方程的解. 【知识点02】一次函数与一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 2. 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤 (1)将不等式转化为kx＋b>0 或kx＋b<0(k≠ 0) 的形式； (2)画出函数y＝kx＋b的图象并确定该图象与x轴的交点坐标； (3)根据该图象确定对应不等式的解集. 3. 直线＝x＋与直线＝x＋交点的横坐标即为方程x＋＝x＋的解；不等式x＋>x＋(或x＋<x＋)的解集就是直线＝x＋在直线＝x＋上(或下)方部分对应的自变量x 的取值范围. 【知识点03】一次函数与二元一次方程(组)的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3. 两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 4. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数： 把方程组中的方程化为一次函数y＝x＋与y＝x＋； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结果：依据点的坐标写出方程组的解. 【题型一】已知直线与坐标轴交点求方程的解 例1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为________． 变式1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 【题型二】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 例3．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）直线与轴的交点的坐标是，则关于的方程的解是______． 变式1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． (1)求对角线所在直线对应的函数解析式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【题型三】利用图象法解一元一次方程 例5．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 例6．（24-25八年级下·陕西安康·期末）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为________．    例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用函数图象求方程的解． 变式1．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 变式2．（25-26八年级下·重庆·月考）函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 变式3．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）已知函数，画出函数的图象，并根据图象，直接写出方程的解． 【题型四】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例8．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例9．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数表达式为，当时，的取值范围是_______． 例10．（22-23八年级下·河南商丘·月考）如图，一次函数解析式交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求A、B两点坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 变式1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，一次函数（，是常数）的图象，则不等式的解集是______． 变式3．（24-25八年级下·甘肃甘南·期末）已知一次函数．请解答下列问题． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是______． 【题型五】根据两条直线的交点求不等式的解集 例11．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例12．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 变式1．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于x的不等式的解集为______． 变式3．（25-26八年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 【题型六】两直线的交点与二元一次方程组的解 例13．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 例14．（25-26八年级下·福建南平·期中）直线与直线的交点是________． 例15．（23-24八年级下·吉林·期末）已知一次函数与的图象不重合且都经过点． (1)关于x，y的二元一次方程组的解为_____； (2)求k，b的值． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 变式2．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 变式3．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，一次函数与一次函数（为常数，且）的图像相交于点，求关于的方程组的解． 【题型七】图象法解二元一次方程组 例16．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 例17．（22-23八年级·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 变式1．若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___． 变式3．（2023八年级·全国·专题练习）图象法解方程组． 【题型八】求直线围成的图形面积 例18．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 例19．（25-26八年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点 ，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图，当的面积为9时，求点的坐标； 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 变式2．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．正比例函数与一次函数交于点，连接．求的面积． 一、单选题 1．如图，一次函数与x轴、y轴分别交于两点，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 2．已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．若一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线在第三象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．已知一次函数的图象与轴交于点，下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象与轴的交点为 C．关于的方程的解是 D．关于的不等式的解集是 8．已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于，两点，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 10．如图，点的坐标为，点在直线上，当线段最短时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，若一次函数的图象经过点，，则不等式的解集为_____． 12．如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 13．在平面直角坐标系xOy中，点A点B的坐标分别是（4，8），（12，0），则△AOB的重心G的坐标是 _____． 14．已知关于x，y的方程组的解是，则在同一平面直角坐标系中存在两条直线：与，当时，则x的取值范围______. 15．若一次函数与的图象交点恰好在一次函数的图象上，则方程组 的解为________． 16．已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为________． 三、解答题 17．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 18．（1）在同一坐标系中画出函数和的图象； （2）若两函数图象分别与x轴交于点A、B，求两函数图象与x轴围成的的面积． 19．已知一次函数的图象过点(－1，5)，且与正比例函数y＝－x的图象交于点(2，a)．求： (1)一次函数表达式； (2)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积． 20．设两个不同的一次函数，（k，b是常数，且）． (1)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，求证：． (2)当时，求x的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数解析式． (2)直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 22．如图，直线与直线相交于点． (1)求b的值； (2)①解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若，则当 时，方程组无解； (3)直线是否也经过点P？请说明理由． 23．画出函数y＝2x+6的图象，利用图象： （1）求方程2x+6＝0的解； （2）求不等式2x+6＞0的解； （3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围． 24．已知直线经过点，且与直线的图象相交于点． (1)直接写出a的值； (2)求直线的表达式； (3)过动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D．当点C总在点D上方时，直接写出n的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $