第十九章 二次根式 章节复习讲义（11知识详解+20典例分析）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第十九章 二次根式 章节（11知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式 1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a ≥ 0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式. 此处省略了根指数2，不要误认为根指数是1或没有根指数. 示 例 2. 二次根式的特征 (1)必须含有二次根号“ ”； (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2. 使式子有意义的字母取值范围的类型(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部分 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 文字语言 应用及拓展  ≥ 0(a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根是非负数二次根式具有双重非负性 (1)三类常见的非负数：，|a|，a²； (2)若＋|b|＋c²＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0 ()²＝a (a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 (1)正用公式：()²＝2，()²＝a²＋2； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝()²，如5＝()²，＝()²  ＝|a|＝ 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 (1)正用公式：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝，如3＝  2. ()²与的相同点与不同点 ()² 不 同 点 表达的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 a的取值范围 a ≥ 0 a为任意实数 结果的表达形式 ()²＝a(a ≥ 0) ＝|a|＝ 续表 ()² 相同点 ()²和均为非负数；当a ≥ 0 时， ()²＝ 【知识点04】二次根式的乘法法则 符号语言  ·＝(a≥0，b≥0)此法则成立的条件 文字语言 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，即 ··＝(a≥0,b≥0,c≥0) ； (2)乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适. 类比单项式乘单项式，可得 a·c＝ac (b≥0,d≥0)； 【知识点05】二次根式乘法法则的逆用 1. 二次根式乘法法则的逆用：＝·(a ≥ 0， b ≥ 0) 语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 2. 逆用二次根式乘法法则化简的步骤 (1)将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时，先化成的形式； (2)利用＝·(a ≥ 0，b ≥ 0)和＝a(a ≥ 0)，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如＝＝3. 拓展：＝··(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0). 【知识点06】二次根式的除法法则 符号语言 ＝(a≥0，b>0)此法则成立的条件，注意此处b的取值范围与乘法法则中b的取值范围不同 文字语言 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况，如÷÷＝ (a≥0,b>0,c>0)； (2)类比单项式除以单项式可得a÷c＝(a÷c)(b≥0,d >0,c≠0) 【知识点07】二次根式除法法则的逆用 二次根式除法法则的逆用：＝(a≥0，b>0)必须为正 必须非负 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 【知识点08】最简二次根式 1. 最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ＝＝2；＝＝a(a ≥ 0,b ≥ 0) 续表 方法 举例 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式 (a ≥ 0,b>0,c>0) 被开方数是多项式的要进行因式分解 == 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤： 3. 分母有理化(拓展) (1)分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式(数)的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化. (2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号. 分母的有理化因式不唯一，以运算简便为宜. 【知识点09】可以合并的二次根式 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式 后，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为可以合并. 如和，化成最简二次根式是2，所以 和 可以合并.也称为同类二次根式 2. 合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如a＋b ＝(a＋b)·(m≥0).可看作二次根式的“系数” 【知识点10】二次根式的加减实质是合并被开方数相同的最简二次根式 1. 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 2. 二次根式加减运算的步骤 化—将二次根式化成最简二次根式 找—找出被开方数相同的二次根式 并—合并被开方数相同的二次根式：“系数”相加(减)，作为和(差)的“系数”. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 【知识点11】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、 除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘 除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同. 3. 二次根式混合运算中的运算依据：实数的运算律(交换律、结合律、分配律)、整式的乘法法则和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1)(＋)＝＋； (2)(＋)(＋)＝＋＋＋； (3)(＋)(－)＝()²－()²＝a－b； (4)(±)²＝()²±2＋()²＝a±2＋b； (5)(＋)÷＝＝； (6)(＋)÷(－)＝＝＝. 【题型一】二次根式的识别 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】求二次根式的值 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【题型三】求二次根式中的参数 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 8．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【题型四】二次根式有意义的条件 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）使在实数范围内有意义的的值有（   ） A．0个 B．1个 C．无数个 D．以上都不对 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级下·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)    ． 【题型五】利用二次根式的性质化简 13．（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（— ． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：   第一步   第二步   第三步 … 小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程． 【题型六】二次根式的乘法 16．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，，则可表示为（   ） A． B． C．2mn D．mn 17．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： ． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型七】二次根式的除法 19．（24-25八年级下·广东江门·月考）计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 20．（24-25八年级下·天津静海·月考）计算： ． 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型八】二次根式的乘除混合运算 22．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·广东茂名·月考）计算： ． 24．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【题型九】最简二次根式的判断 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 27．（23-24八年级下·广东江门·月考）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【题型十】化为最简二次根式 28．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）与的乘积为的数是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 30．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【题型十一】已知最简二次根式求参数 31．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 32．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 33．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【题型十二】同类二次根式 34．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 36．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【题型十三】二次根式的加减运算 37．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·广东江门·月考） ； ． 39．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【题型十四】二次根式的混合运算 40．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 41．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 42．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【题型十五】分母有理化 43．（24-25八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 44．（22-23八年级下·广东东莞·期中）化简 45．（24-25八年级下·广东阳江·月考）综合探究： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ； ． 根据以上信息解答下列问题． (1)与 ___________ 互为有理化因式； (2)根据以上规律，请你化简（n为正整数）； (3)计算：． 【题型十六】已知字母的值，化简求值 46．（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 47．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知，则 ． 48．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，求 的值． 【题型十七】已知条件式，化简求值 49．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 50．（23-24八年级下·山东滨州·月考）已知实数a，b，c满足，，则 ． 51．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）已知，且x，y都是正数，求的值． 【题型十八】比较二次根式的大小 52．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小： ． 54．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 【题型十九】二次根式的应用 55．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级下·广西钦州·月考）图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 57．（22-23八年级下·陕西西安·期末）已知矩形的长，宽，求它的周长和面积． 【题型二十】复合二次根式的化简 58．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是 ． 59．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 章节（11知识详解+20典例分析） 【知识点01】二次根式 1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a ≥ 0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式. 此处省略了根指数2，不要误认为根指数是1或没有根指数. 示 例 2. 二次根式的特征 (1)必须含有二次根号“ ”； (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. 【知识点02】二次根式有意义的条件 1.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 2. 使式子有意义的字母取值范围的类型(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部分 【知识点03】二次根式的性质 1. 二次根式的性质 性质 文字语言 应用及拓展  ≥ 0(a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根是非负数二次根式具有双重非负性 (1)三类常见的非负数：，|a|，a²； (2)若＋|b|＋c²＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0 ()²＝a (a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 (1)正用公式：()²＝2，()²＝a²＋2； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝()²，如5＝()²，＝()²  ＝|a|＝ 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 (1)正用公式：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π； (2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝，如3＝  2. ()²与的相同点与不同点 ()² 不 同 点 表达的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根 包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 a的取值范围 a ≥ 0 a为任意实数 结果的表达形式 ()²＝a(a ≥ 0) ＝|a|＝ 续表 ()² 相同点 ()²和均为非负数；当a ≥ 0 时， ()²＝ 【知识点04】二次根式的乘法法则 符号语言  ·＝(a≥0，b≥0)此法则成立的条件 文字语言 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，即 ··＝(a≥0,b≥0,c≥0) ； (2)乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适. 类比单项式乘单项式，可得 a·c＝ac (b≥0,d≥0)； 【知识点05】二次根式乘法法则的逆用 1. 二次根式乘法法则的逆用：＝·(a ≥ 0， b ≥ 0) 语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 2. 逆用二次根式乘法法则化简的步骤 (1)将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时，先化成的形式； (2)利用＝·(a ≥ 0，b ≥ 0)和＝a(a ≥ 0)，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如＝＝3. 拓展：＝··(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0). 【知识点06】二次根式的除法法则 符号语言 ＝(a≥0，b>0)此法则成立的条件，注意此处b的取值范围与乘法法则中b的取值范围不同 文字语言 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况，如÷÷＝ (a≥0,b>0,c>0)； (2)类比单项式除以单项式可得a÷c＝(a÷c)(b≥0,d >0,c≠0) 【知识点07】二次根式除法法则的逆用 二次根式除法法则的逆用：＝(a≥0，b>0)必须为正 必须非负 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 【知识点08】最简二次根式 1. 最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ＝＝2；＝＝a(a ≥ 0,b ≥ 0) 续表 方法 举例 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式 (a ≥ 0,b>0,c>0) 被开方数是多项式的要进行因式分解 == 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤： 3. 分母有理化(拓展) (1)分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式(数)的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化. (2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号. 分母的有理化因式不唯一，以运算简便为宜. 【知识点09】可以合并的二次根式 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式 后，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为可以合并. 如和，化成最简二次根式是2，所以 和 可以合并.也称为同类二次根式 2. 合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如a＋b ＝(a＋b)·(m≥0).可看作二次根式的“系数” 【知识点10】二次根式的加减实质是合并被开方数相同的最简二次根式 1. 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 2. 二次根式加减运算的步骤 化—将二次根式化成最简二次根式 找—找出被开方数相同的二次根式 并—合并被开方数相同的二次根式：“系数”相加(减)，作为和(差)的“系数”. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 【知识点11】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、 除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘 除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同. 3. 二次根式混合运算中的运算依据：实数的运算律(交换律、结合律、分配律)、整式的乘法法则和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1)(＋)＝＋； (2)(＋)(＋)＝＋＋＋； (3)(＋)(－)＝()²－()²＝a－b； (4)(±)²＝()²±2＋()²＝a±2＋b； (5)(＋)÷＝＝； (6)(＋)÷(－)＝＝＝. 【题型一】二次根式的识别 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 4．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的判断，二次根式是指形如的代数式，据此逐项判断即可求解． 【详解】解： A. 是二次根式，不合题意； B. 不是二次根式，符合题意； C. 是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，不合题意． 故选：B 【题型二】求二次根式的值 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【题型三】求二次根式中的参数 7．（24-25八年级下·福建福州·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 【题型四】二次根式有意义的条件 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴． 选项中只有符合题意， 故选：D． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）使在实数范围内有意义的的值有（   ） A．0个 B．1个 C．无数个 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即需满足 ，结合平方的非负性，可得唯一解． 本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义的条件是 ， ∴ 需 ， 即 ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选 ：B． 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：由二次根式的意义，得，解得． 故答案为． 12．（24-25八年级下·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)    ． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：由得； （2）由得． 【题型五】利用二次根式的性质化简 13．（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】把式子化为，再根据二次根式的性质得出，求出即可． 本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当时，，当时， 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（— ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】先化简根式和，再分别除以，利用根式的运算规则进行计算； 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算方法是解题的关键． 【详解】解；， ， 原式 ， 有理化分母：， ∴原式； 故答案为：． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：   第一步   第二步   第三步 … 小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程． 【答案】一；过程见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】先确定的符号，再利用二次根式的性质结合的关系得出它们的符号，进而化简求出答案． 【详解】解：小刚同学未讨论的符号直接进行化简， ∴第一步是错误的 故答案为：一． 正确过程如下： ，， 可得，， ． 把，代入， 得， 的值为3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【题型六】二次根式的乘法 16．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，，则可表示为（   ） A． B． C．2mn D．mn 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的乘法法则是关键．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：A． 17．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型七】二次根式的除法 19．（24-25八年级下·广东江门·月考）计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 【详解】解：． 故选：B． 20．（24-25八年级下·天津静海·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【题型八】二次根式的乘除混合运算 22．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 23．（24-25八年级下·广东茂名·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 同级运算从左向右进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型九】最简二次根式的判断 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 26．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 27．（23-24八年级下·广东江门·月考）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是2． 故答案为：2 【题型十】化为最简二次根式 28．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）与的乘积为的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了解一元一次方程和二次根式分母有理化，设所求数为x，通过解方程求解，并利用分母有理化化简结果． 【详解】解：设所求数为x，根据题意得方程：， 解得：， 将分母有理化得：， 故选：C． 29．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 30．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 【题型十一】已知最简二次根式求参数 31．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 32．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）已知与是同类二次根式，则的最小整数值为 ． 【答案】3 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查同类二次根式．根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即可求解． 【详解】解：∵与是同类二次根式， ∴， ∴的最小整数值为3， 故答案为：3． 33．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型十二】同类二次根式 34．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 35．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 【答案】3 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 36．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 【题型十三】二次根式的加减运算 37．（24-25八年级下·宁夏吴忠·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算．根据二次根式的加减运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，原选项计算错误，不符合题意 B．，原选项计算正确，符合题意 C．与不能合并，原选项计算错误，不符合题意 D．，原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 38．（24-25八年级下·广东江门·月考） ； ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 ；. 39．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式是解题的关键． （1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）把所有二次根式化为最简形式，去括号后合并同类二次根式； （3）先化简绝对值，再将二次根式化为最简，去括号后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型十四】二次根式的混合运算 40．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性. 【详解】A. ： 二次根式相加时，被开方数需相同才能合并.与的被开方数不同，无法直接相加，故A错误. B. ： 根据二次根式除法法则，，而，故B错误. C. ： 合并同类项，，而，故C错误. D. ： 根据二次根式乘法法则，，因此，故D正确. 故选：D. 41．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与完全平方公式的应用，解题关键是先正确展开完全平方公式，再化简二次根式的乘法，最后合并同类二次根式与常数项． 先利用完全平方公式进行计算，再计算二次根式的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 42．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十五】分母有理化 43．（24-25八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式分母同乘以即可化简，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 44．（22-23八年级下·广东东莞·期中）化简 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】通过有理化分母来简化表达式即可．本题主要考查了根式的化简与有理化分母，熟练掌握如何通过有理化分母来简化根式表达式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 45．（24-25八年级下·广东阳江·月考）综合探究： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ； ． 根据以上信息解答下列问题． (1)与 ___________ 互为有理化因式； (2)根据以上规律，请你化简（n为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1011 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化． （1）利用互为有理化因式的定义，即可解答； （2）利用分母有理化进行化简计算，即可解答； （3）利用分母有理化先化简各数，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 【题型十六】已知字母的值，化简求值 46．（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 47．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题可先对所求代数式进行变形，使其出现与已知条件中的表达式相关的形式，然后将代入变形后的式子进行计算．本题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，并能对代数式进行灵活变形是解题的关键． 【详解】解：． 当时，原式 ， 故答案为：． 48．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，求 的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知可得，，再对代数式化简后代入计算即可求解，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 【题型十七】已知条件式，化简求值 49．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 50．（23-24八年级下·山东滨州·月考）已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 51．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）已知，且x，y都是正数，求的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据x，y都是正数，化简所求式子，代入求值即可． 【详解】解：，且x，y都是正数， ， 当时， 原式． 【题型十八】比较二次根式的大小 52．（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 53．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）比较大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即， 故答案为：． 54．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 【答案】(1)，7，， (2)，过程见解析 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键． （1）根据完全平方式计算，与比较大小，即可求解， （2）根据完全平方式分别计算和，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 【题型十九】二次根式的应用 55．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 56．（24-25八年级下·广西钦州·月考）图是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图所示的正方形，则该正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】依据题意，由长方形的周长与正方形的周长相等，进而可以计算得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能准确进行计算是关键． 【详解】解：由题意得，长方形的周长正方形的周长． 又用铁丝围成的长为，宽为的长方形， 正方形的周长长方形的周长． 正方形的边长为：． 故答案为：． 57．（22-23八年级下·陕西西安·期末）已知矩形的长，宽，求它的周长和面积． 【答案】该矩形的周长为，面积为 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的是二次根式的应用，根据矩形的周长与面积公式列出算式，根据二次根式的运算法则计算，得到答案． 【详解】解：矩形的长，宽． 该矩形的周长为，            面积为． 【题型二十】复合二次根式的化简 58．（22-23八年级下·安徽芜湖·月考）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 59．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由二次根式的非负性可得， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $