第08讲 轴对称（知识详解+16典例分析+习题巩固）2025-2026学年（苏科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 轴对称（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】轴对称 1. 轴对称的概念 定义 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称. △ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称 对应 元素 对应点 （对称点） 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′  对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′  对应角 ∠𝐴与∠𝐴′，∠𝐵与∠𝐵′，∠𝐶与∠𝐶′ ，且∠𝐴=∠𝐴′，∠𝐵=∠𝐵′，∠𝐶=∠𝐶′  由轴对称的定义可知，成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 2.线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 3.用尺规作线段的垂直平分线 已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法如下： 步骤 图示 （1）分别以点𝐴，点𝐵为圆心，取大于12𝐴𝐵 的长为半径，作两段相交的弧，交点记为𝐶，𝐷 . ______________________________ （2）作直线CD，与AB交于点O .直线CD 即为所求. 【知识点02】轴对称的基本性质 1.轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 说明：成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线. 教材延伸 轴对称的相关性质成轴对称的两个图形中, （1）各对应点的连线段互相平行或在同一条直线上. （2）成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在同一条直线上）或相交于一点,如果相交,那么交点一定在对称轴上. 2.画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连接相应的对称点. 注意：画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴对称的点，再按照原图形顺次连接各对称点即可. 【知识点03】轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 2.常见的轴对称图形及它们的对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 ________ 角平分线所在直线 1 等腰三角形 ______ 底边上的高线（顶角平分线、底边上的中线）所在直线 1 等边三角形 _____ 各边上的高线（内角平分线、各边上的中线）所在直线 3 等腰梯形 __ 上、下底的中点所在直线 1 长方形 __ 对边中点所在直线 2 正方形 __ 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4 正五边形 ____ 过一边中点且与该边垂直的直线 5 正六边形 相对的顶点所在直线和对边中点所在直线 6 圆 __ 过圆心的每一条直线 无数条 辨析：轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 图例 __________ ___________________ 区别 对象 两个图形. 一个图形. 意义 两个图形之间的形状与位置关系. 一个形状特殊的图形. 对称点的位置 对称点分别在两个图形上. 对称点在同一个图形上. 对称轴的位置 经过两个图形的内部或外部或公共边. 经过图形的内部. 对称轴的条数 只有一条. 有一条、多条或无数条. 联系 （1）都能沿某条直线折叠后完全重合. （2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称. 3.画轴对称图形的对称轴的方法 （1）找出轴对称图形的任意一对对称点； （2）连接这对对称点； （3）画出对称点所连线段的垂直平分线,这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴. 4.用尺规作角的平分线 已知：∠AOB.求作:∠AOB的平分线. 作法： 步骤 图示 （1）以点𝑂 为圆心、任意长为半径作弧，与𝑂𝐴，𝑂𝐵分别交于点𝑃，𝑄 ; ____________________________ （2）分别以点P, Q为圆心，大于1/2PQ 的长为半径作弧，两弧交于点O′ ，作射线OO′，射线OO′ 即为所求. 【题型一】轴对称图形的识别 例1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列图形中，不是轴对称图形的一项是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 变式2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    【题型二】成轴对称的两个图形的识别 例2．下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 变式1.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【题型三】作已知线段的垂直平分线 例3．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 变式1．如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型四】作垂线(尺规作图) 例4．如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 变式1．如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”） 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，点D是的中点，．试用无刻度的直尺和圆规，在上作一点E，使得直线平分的周长．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【题型五】根据成轴对称图形的特征进行判断 例5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 【题型六】根据成轴对称图形的特征进行求解 例6．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【题型七】作角平分线(尺规作图) 例7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是______（填序号）． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 【题型八】台球桌面上的轴对称问题 例8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【题型九】轴对称中的光线反射问题 例9．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【题型十】折叠问题 例10．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，把沿折叠，使点C与点A重合，若，则________． 变式2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，求线段的长？ 【题型十一】画对称轴 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1．图中两个五边形成轴对称吗？如果是，请你标出A，B，C三点的对称点，并想办法画出对称轴． 【题型十二】画轴对称图形 例12．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．如图，在的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 【题型十三】求对称轴条数 例13．由三个一样的圆组成图形如图所示，它有___________条对称轴． 变式1．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【题型十四】车牌号码的镜面对称 例14．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是___________． 变式1．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【题型十五】钟表的镜面对称 例15．小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（    ） A．  B．  C．   D．   变式1．若看到镜子中的一串数字为“  ”，则这串数字为______． 【题型十六】电子钟示数的镜面对称 例16．小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是_____________． 一、单选题 1．下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 4．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知三角形与三角形关于直线m对称，那么线段关于直线m的对应线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在直角中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 9．如图1是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图2，再沿GF折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，五角星是非常美丽的图案，它有_______条对称轴．    11．如图，在长方形纸带中，，点，分别在，上，将纸带沿折叠，点A，分别与点，对应，与相交于点，若则的度数为______．    12．在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有______个． 13．已知，在纸面上有一个数轴，折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______．    14．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是________．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 15．如图，是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是______；如果按照这样的方式再继续折叠下去，直到不能折叠为止，那么先后一共折叠的次数是______． 16．仔细观察图1，体会图1的几何意义．用图1的方法和结论操作一长方形纸片得图2或图3或······，OC，OD均是折痕，当B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∠A'OB'的度数是___________． 三、解答题 17．如图，已知，利用尺规作图法在边上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18．小明同学学习了轴对称后，忽然想起了做过的一道题：如图，有一组数排列成方阵，试计算这组数的和．小明想方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到非常巧妙的方法，你也能试试看吗？ 19．如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板． (1)用含、的代数式表示出展板的面积，并求出当米，米时展板的面积． (2)在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为元/平方米，展板部分造价为元/平方米，求制作整个造型的造价（取3）． 21．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题： (1)画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点B1的坐标； (2)在 y 轴上画一点P，使PA+PB最短． 22．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 轴对称（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】轴对称 1. 轴对称的概念 定义 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称. △ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称 对应 元素 对应点 （对称点） 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′  对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′  对应角 ∠𝐴与∠𝐴′，∠𝐵与∠𝐵′，∠𝐶与∠𝐶′ ，且∠𝐴=∠𝐴′，∠𝐵=∠𝐵′，∠𝐶=∠𝐶′  由轴对称的定义可知，成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 2.线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 3.用尺规作线段的垂直平分线 已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法如下： 步骤 图示 （1）分别以点𝐴，点𝐵为圆心，取大于12𝐴𝐵 的长为半径，作两段相交的弧，交点记为𝐶，𝐷 . ______________________________ （2）作直线CD，与AB交于点O .直线CD 即为所求. 【知识点02】轴对称的基本性质 1.轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 说明：成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线. 教材延伸 轴对称的相关性质成轴对称的两个图形中, （1）各对应点的连线段互相平行或在同一条直线上. （2）成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在同一条直线上）或相交于一点,如果相交,那么交点一定在对称轴上. 2.画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连接相应的对称点. 注意：画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴对称的点，再按照原图形顺次连接各对称点即可. 【知识点03】轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 2.常见的轴对称图形及它们的对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 ________ 角平分线所在直线 1 等腰三角形 ______ 底边上的高线（顶角平分线、底边上的中线）所在直线 1 等边三角形 _____ 各边上的高线（内角平分线、各边上的中线）所在直线 3 等腰梯形 __ 上、下底的中点所在直线 1 长方形 __ 对边中点所在直线 2 正方形 __ 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4 正五边形 ____ 过一边中点且与该边垂直的直线 5 正六边形 相对的顶点所在直线和对边中点所在直线 6 圆 __ 过圆心的每一条直线 无数条 辨析：轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 图例 __________ ___________________ 区别 对象 两个图形. 一个图形. 意义 两个图形之间的形状与位置关系. 一个形状特殊的图形. 对称点的位置 对称点分别在两个图形上. 对称点在同一个图形上. 对称轴的位置 经过两个图形的内部或外部或公共边. 经过图形的内部. 对称轴的条数 只有一条. 有一条、多条或无数条. 联系 （1）都能沿某条直线折叠后完全重合. （2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称. 3.画轴对称图形的对称轴的方法 （1）找出轴对称图形的任意一对对称点； （2）连接这对对称点； （3）画出对称点所连线段的垂直平分线,这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴. 4.用尺规作角的平分线 已知：∠AOB.求作:∠AOB的平分线. 作法： 步骤 图示 （1）以点𝑂 为圆心、任意长为半径作弧，与𝑂𝐴，𝑂𝐵分别交于点𝑃，𝑄 ; ____________________________ （2）分别以点P, Q为圆心，大于1/2PQ 的长为半径作弧，两弧交于点O′ ，作射线OO′，射线OO′ 即为所求. 【题型一】轴对称图形的识别 例1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列图形中，不是轴对称图形的一项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可． 【详解】 解：上面图形中，不是轴对称图形的一项是． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 【答案】2 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是． 故答案为： ． 变式2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    【答案】轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9） 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）． 【题型二】成轴对称的两个图形的识别 例2．下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到， C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到， 故选：B； 【点睛】本题考查轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称． 变式1.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【答案】不可以 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：因为找不到一条直线使沿着这条直线对折后与互相重合， 所以不可以看作由经过轴对称得到． 【题型三】作已知线段的垂直平分线 例3．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应建在的垂直平分线上，即点B， 故选B． 变式1．如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了用尺规作线段的垂直平分线，掌握作图步骤是关键；根据用尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点P、M，连接，交于点，交于点，则直线为所求． 【题型四】作垂线(尺规作图) 例4．如图，已知线段AB=4，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】利用基本作图得到m＞AB，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得m＞AB， 即b＞2， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 变式1．如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”） 【答案】＞ 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案． 【详解】解：∵， ∴半径长度， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法． 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，点D是的中点，．试用无刻度的直尺和圆规，在上作一点E，使得直线平分的周长．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作线段，延长，以点为圆心，长为半径画弧交延长线于点，作线段的垂直平分线，交于点，连接，点为所求； 【详解】解：如图所示，延长，以点为圆心，长为半径画弧交延长线于点，作线段的垂直平分线，交于点，连接，点为所求； 根据作图可知，， ∴， 即直线平分的周长． 【题型五】根据成轴对称图形的特征进行判断 例5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，垂直平分， 综上可知：正确，共个． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求． 【题型六】根据成轴对称图形的特征进行求解 例6．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】连接交于点M，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接交于点M， ∵点，关于对称， ∴，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴，即， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 【题型七】作角平分线(尺规作图) 例7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是______（填序号）． 【答案】① 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图相关知识，解题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线正确的尺规作图方法． 需要分别分析角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是否正确． 【详解】对于①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线．图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确； 对于②作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线．图②中仅作出了过线段中点的垂线，但没有体现完整的尺规作图过程（没有体现以两端点为圆心画弧等操作），所以②的作法错误； 故答案为：①． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图． 作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P， 此时，， 则点P即为所求． 【题型八】台球桌面上的轴对称问题 例8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 变式1．如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【题型九】轴对称中的光线反射问题 例9．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 【题型十】折叠问题 例10．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了简单图形折叠问题的应用，对折后的矩形纸上面扎出的“B”，展开的图形“B”关于折痕成轴对称图形，据此选择． 【详解】 解：将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，把沿折叠，使点C与点A重合，若，则________． 【答案】5 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题．由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴． 故答案为：5 变式2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，求线段的长？ 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，由翻折可得，再由的周长为17，可得，即可求解，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合， ∴， ∵，的周长为17， ∴， ∴， ∴． 【题型十一】画对称轴 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 变式1．图中两个五边形成轴对称吗？如果是，请你标出A，B，C三点的对称点，并想办法画出对称轴． 【答案】详见解析 【知识点】画对称轴 【分析】观察图形找出对应关系即可得到点A、B、C的对应点、、，连接，作的垂直平分线即为对称轴． 【详解】解：这两个五边形成轴对称，如图，的垂直平分线l即为对称轴． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【题型十二】画轴对称图形 例12．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 【详解】解：在网格中与△成轴对称的格点三角形最多能画出3个． 故选：B． 变式1．如图，在的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处． 【答案】7 【知识点】画轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的定义，在方格中进行选择合适的位置即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有①下1；②下2；③中3；④中4；⑤上5；⑥上6；⑦上7． 如图： 选择的位置共有7处． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的定义，找出轴对称图形的对称轴，理解轴对称图形的定义是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了画轴对称图形的对称轴，熟练掌握其画法是解题的关键． 根据对称轴的定义即可求解． 【详解】解：延长对应线段，找到交点，过交点作直线即可，如图①②③所示． 【题型十三】求对称轴条数 例13．由三个一样的圆组成图形如图所示，它有___________条对称轴． 【答案】3/三 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可得到答案． 【详解】解：由三个一样的圆组成图形如图所示， 它有3条对称轴． 故答案为：3． 变式1．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【知识点】轴对称图形的识别、求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 【题型十四】车牌号码的镜面对称 例14．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是___________． 【答案】 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】 解：若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是， 故答案为：． 变式1．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 【题型十五】钟表的镜面对称 例15．小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】经过镜面反射后，四点变为八点，那么答案应该是最接近八点的图形， 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 变式1．若看到镜子中的一串数字为“  ”，则这串数字为______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，根据镜面对称的特点，物像左右相反，即可得出结果． 【详解】 解：镜子中的一串数字为“  ”，则这串数字为； 故答案为： 【题型十六】电子钟示数的镜面对称 例16．小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质，根据在平面镜中的像与现实中得事物刚好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，分析即可求解． 【详解】解：根据镜面对称得性质，分析可得此时的时间应是． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 一、单选题 1．下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 3．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称，是常见基础考点，联系生活实际，掌握镜面对称的性质是解题关键．根据镜面对称性质解题，可将四个数子写在全白纸上，再观察纸的背面即可得到答案． 【详解】解：∵5对称图形是2，1对的是1，如果是51号，5在前1在后，对应为5对的是2，1对的是1， ∴实际号码是12． 故选：C． 4．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 5．如图，已知三角形与三角形关于直线m对称，那么线段关于直线m的对应线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了直线对称的性质，掌握性质是解题的关键． 本题可根据关于直线对称的两个图形的性质来确定线段关于直线的对应线段． 【详解】已知与关于直线对称， 那么与、与、与分别是对应点． 与是对应线段， 所以线段关于直线的对应线段是线段． 故选：B． 6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 7．如图，在直角中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的定义，根据作图痕迹判断出平分，可得结论． 【详解】解：由作图可知平分，， ∴， ∴， ∴， ∴选项A，B，C正确． 无法判断， 故选：D． 8．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过作于点，根据三角形的面积可求出的长度，作点，关于直线对称，由平分，可知点G在上，连接，则，则，故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当与重合时，取得最小值，解答即可． 本题考查三角形中的最短路径，轴对称图形的性质，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过作于点，如图： ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 作点，关于直线对称， ∵平分， ∴点G在上， ∴连接， 则， ∴，    ∵， ∴， 故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，得当与重合时，取得最小值， 故的最小值为6． 故选：B． 9．如图1是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图2，再沿GF折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质和翻折的性质求出和的度数，即可求出的度数． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由长方形的性质可知：， 由翻折的性质可知，图2中，， ． 图3中，． 故答案选：B． 【点睛】本题考查了翻折的性质，要充分利用长方形的性质和翻折的性质解题，从翻折变化中找到不变量是解题的关键． 二、填空题 10．如图，五角星是非常美丽的图案，它有_______条对称轴．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴； 故答案为：5． 11．如图，在长方形纸带中，，点，分别在，上，将纸带沿折叠，点A，分别与点，对应，与相交于点，若则的度数为______．    【答案】/144度 【分析】根据平行线的性质可得，根据翻折的性质可得，由已知条件和平角的定义可求，再根据平行线的性质可得． 【详解】解：， ， 由翻折的性质可得， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是求得的度数． 12．在线段、等腰三角形、直角三角形和圆这四个图形中，是轴对称图形的有______个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可； 【详解】解：线段、等腰三角形和圆都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 直角三角形(等腰直角三角形除外) 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 所以是轴对称图形的有3个， 故答案为：3． 13．已知，在纸面上有一个数轴，折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______．    【答案】/ 【分析】若表示的点与表示的点重合，则折痕经过，若数轴上A、B两点之间的距离为，则两个点分别距离中点是，根据在的左侧即可求出． 【详解】解：根据题意得：两数是关于和的中心对称， 即关于对称， 、两点之间的距离为且折叠后重合， 、两点关于对称， 表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数是解答本题的关键． 14．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是________．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】到AC的距离为p（m）处． 【分析】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，则AC＝CP，问题得解． 【详解】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P， ∴BP＝B'P， ∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短， 过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M， ∴B'M＝CD， ∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m， ∴AM＝（p＋q）m， ∴∠CAP＝45°， ∴AC＝CP， ∴P点与C点的距离是p（m）， ∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处， 故答案为：到AC的距离为p（m）处． 【点睛】此题主要考查了最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点． 15．如图，是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是______；如果按照这样的方式再继续折叠下去，直到不能折叠为止，那么先后一共折叠的次数是______． 【答案】 10 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质，根据折叠能够发现相等的角进而求出是解题关键． 根据两条直线平行，内错角相等，则，根据平角定义，则（图，进一步求得(图)，进而求得（图），依此类推，当角度小于时，就不能折叠了，即可求出折叠次数，注意折叠次数从图是第一次折叠． 【详解】解：，， ， （图）， （图，(次） （图．(次） 依此类推：(次） (次） (次） (次） (次） (次)， (9次)， (10次）， 当角度小于时，是第10次， 故答案为：；10． 16．仔细观察图1，体会图1的几何意义．用图1的方法和结论操作一长方形纸片得图2或图3或······，OC，OD均是折痕，当B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∠A'OB'的度数是___________． 【答案】30° 【分析】由折叠的性质知，，，再利用，即可得出答案． 【详解】解：由折叠知，， ， ∵， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 三、解答题 17．如图，已知，利用尺规作图法在边上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—作线段的垂直平分线，分别以B，C为圆心大于二分之一倍的长度为半径画圆，连接两个交点作直线交于于点D，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求， 18．小明同学学习了轴对称后，忽然想起了做过的一道题：如图，有一组数排列成方阵，试计算这组数的和．小明想方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到非常巧妙的方法，你也能试试看吗？ 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质，对角线两边对称位置上的两个数的和都是10，然后查出10的个数与对角线上5的个数，列式进行计算即可得解． 【详解】解：从方阵中的数看出，一条对角线上的数都是5，把这条对角线当作轴，把正方形翻折一下，对称位置的两数之和都是10， 所以这样方阵中数的和=10×（1+2+3+4）+5×5=10×10+25=100+25=125． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，读懂题意，认清图形的变化是解题的关键． 19．如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论； （2）由余角的性质得，然后根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 20．国庆期间，高笋塘广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板． (1)用含、的代数式表示出展板的面积，并求出当米，米时展板的面积． (2)在（1）的条件下，已知摆放花草部分造价为元/平方米，展板部分造价为元/平方米，求制作整个造型的造价（取3）． 【答案】(1)；平方米 (2)制作整个造型的造价为元． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，列代数式、代数式求值以及有理数混合运算等知识，理解题意，正确用含，的代数式表示处展板的面积是解题关键． （1）利用分割法求解即可，展板的面积为2个边长分别为和的长方形的面积，将，的值代入（1）中代数式求值即可； （2）分别求出摆放花草部分造价和展板部分造价，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意，展板的面积． 当米，米时， 展板的面积平方米； （2）元， 即制作整个造型的造价为元． 21．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题： (1)画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点B1的坐标； (2)在 y 轴上画一点P，使PA+PB最短． 【答案】(1)图见解析，B1（5，-2） (2)见解析 【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）先作B点关于y轴的对称点B′，然后连接AB′交y轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件． 【详解】（1）解：如图，△A1B1C 1 为所求作；B1（5，﹣2）； （2）解：如图，点P即为所作． 【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． 22．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $