2.1 认识一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的估算，课堂导入先复习方程定义与已学方程类型，通过矩形地毯面积、梯子滑动等实际问题引出新方程，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以合作探究为核心，通过实际情境抽象方程培养数学眼光，用“夹逼法”列表估算根发展数学思维，典例与检测强化数学语言表达。如用矩形苗圃问题引导学生列方程并估算，提升学生抽象能力与应用意识，也为教师提供结构化教学资源。

2.1 认识一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第1课时 认识一元二次方程 1.知道一元二次方程的概念、一般形式，能找出二次项系数、一次项系数、常数项.（重点） 2.能从实际问题中抽象出一元二次方程.（难点） 学 习 目 标 1.什么叫方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 2. 我们学过的方程有哪些？ 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 复 习 导 入 下列的式子是什么方程？ (1)5x-6=12 (2)x+3y=9 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 还存在其他的方程吗？ 整式方程 (3) 复 习 导 入 问题1 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 5m 8m 解：设条形区域宽为x m， 中间的地毯面积可以表示为： (8-2x) (5-2x) =18 x x x x 18m2 40-16x-10x+4x2 = 18 2x2 -13x +11 = 0 （去括号） （移项、合并同类项） 合 作 探 究 问题2 观察等式：102 +112 +122 =132 +142 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x， x+1， x+2， x+3， x+4 x2 +(x+1)2 +(x+2)2 =(x+3)2 +(x+4)2 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 那么后面四个数依次可表示为 根据题意： 去括号、移项、合并同类项 x2 -8x-20 = 0 合 作 探 究 解：设梯子底端滑动 x m , 问题3 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？ 6m 72 + (x + 6)2 = 102 10m 8m 1m xm 那么滑动后梯子底端距墙_____m , 根据题意得 (x+6) 去括号、移项、合并同类项 x2＋12x－15＝0 合 作 探 究 2x2 -13x +11 = 0 ① x2 -8x-20 = 0 ② x2＋12x－15＝0 ③ 由上面三个问题，我们得到三个方程： 观察上述方程①、 ②、 ③，它们有什么共同特点呢？ 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 特点: 合 作 探 究 ☀归纳 上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成(a,b,c为常数,a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 合 作 探 究 例1 下列方程：①；②x2＋＝2；③； ④； ⑤， 其中是一元二次方程的有 个. 1 ①含有两个未知数. ②不是整式方程. ④未知数的最高次数不是2. ⑤整理后未知数的最高次数不是2. ③符合一元二次方程的“三要素”. 解析： √ 典 例 精 析 称为二次项, 称为二次项系数. 称为一次项, 称为一次项系数. 称为常数项. (为常数, ) ☀一元二次方程的一般形式是 你知道为什么要特别强调吗？ 合 作 探 究 我们列出以下关于a的各种情况，详细探究一下原因： 当时， 当，时， 当，时， 当，时， ∴只要满足 ，b ，c 可以为任意实数. 方可使得方程为一元二次方程 合 作 探 究 例2 关于x的方程，当k______时，是一元一次方程；当k_______时，是一元二次方程． 【解析】当，即时，方程是一元二次方程． 当时，且时，即时是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 典 例 精 析 例3 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?（根据题意列出一元二次方程） 根据方盒的底面积为3 600cm2，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600. 化简，得 x2－75x＋350=0. x cm (100-2x) cm (50-2x) cm 解：设切去的正方形的边长是x cm， 则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm. 典 例 精 析 ☀方法归纳 　 列方程表示实际问题中的等量关系的一般步骤: ①明确题意，引入合适的未知数； ②分析题目中的已知量与未知量之间的数量关系，列出相 应的代数式； ③根据　等量关系　列出方程.  等量关系 新 知 小 结 1.已知下列方程:①；②＝2；③； ④；⑤；⑥x＋3＝5.其中一定是关于x的一元 二次方程的是　④⑤　.(只填序号)  2.方程的一般形式为　x2＋2x＋3＝0　， 二次项系数为　1　，一次项系数为　2　，常数项为　3　.  ④⑤ 1 2 3 3.把方程化为一般形式（二次项系数为正数） 为 . 随 堂 检 测 4.关于x的方程是一元二次方程，则 m= ，此时该一元二次方程为 ，一次项系数是 ，二次项系数是 ，常数项是 . 3 3 4 5．若设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据条件，关于x的一元二次方程为                   . 随 堂 检 测 6.根据下列问题，列出关于未知数 x 的方程. (1)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？ 解：设共有x支队伍参加比赛， 根据题意，得 随 堂 检 测 (2)一商店销售某款篮球，每个盈利40元，每天可以销售20个．经调查发现，每降价1元，每天可多销售2个．若该商店想要每天盈利1200元，且最大可能让利顾客，则每个篮球应降价多少元？ 解：设每个篮球应降价x元， 由题意得 (40－x)(20＋2x)＝1 200. 随 堂 检 测 定义 一元二次 方程 ①是整式方程 ②只含一个未知数 ③未知数的最高次数是2 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 一般形式 建立一元二次方程模型 审→设→找→列 课 堂 总 结 2.1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程根的估算 1. 掌握一元二次方程根的估算方法； 2. 能用一元二次方程根的估算方法解决相关问题. 学 习 目 标 ③整式方程 (a，b，c 为常数， a ≠ 0) 2.一元二次方程有哪些特点？ 3.一元二次方程的一般形式是什么？ ①只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是2； 1.什么叫方程的解？ 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 复 习 导 入 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个解(根). ☀归纳 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）. 问题 下面哪些数是方程 的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解： 3 和 -2. 合 作 探 究 例1 已知关于x的一元二次方程 的一个解是3，求a的值. 解：由题意得 将 x = 3 代入方程 ， 得 32 + 3a + a = 0 解得a= ☀方法总结 见解就代，得到关于未知数的方程，是解决类似问题的常用方法. 典 例 精 析 (8−2x)(5−2x)=18 你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度 x(m)吗？ 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 合 作 探 究 （1）x 可能小于 0 吗？说说你的理由． 不能，因为 x 代表宽度，小于 0 不符合实际. x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由. 不可能，地毯宽度不能小于 0. 对于方程，即 . 合 作 探 究 （2）根据题目的已知条件，你能确定 x 的大致范围吗？ 说说你的理由． 通过上面的分析，可以得到0<x<2.5. （3）完成下表： x 0 0.5 1 1.5 2 4 10 18 28 40 合 作 探 究 （4）你知道所求的宽度 x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗？与同伴进行交流． 通过分析表格中的数值，估计方程的解；当然大家也可以从数的运算的角度进行思考，将18分解因数为6×3，然后凑出方程 的解 x=1. 合 作 探 究 （1）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ （2）底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？ 在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 ，也就是. 10 m 8m 1 m x m 不正确，12 + 12×1 - 15 = -2 22 + 12×2 - 15 = 13 32 + 12×3 - 15 = 30 不可能 合 作 探 究 （3）你能猜出滑动距离 x 的大致范围吗？ x 表示宽度，所以 x 不可能小于 0； x 1 2 3 -2 13 30 x 1 2 3 98 113 130 1＜x＜2 （4）x 的整数部分是几？十分位是几？ 10 m 8 m 1 m x m 合 作 探 究 下面是小亮的求解过程： x 0 0.5 1 1.5 2 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13 可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5. 进一步计算： 故 1.1＜x＜1.2，因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1． x 1.1 1.2 1.3 1.4 - 0.59 0.84 2.29 3.76 你的结果怎样呢？ 合 作 探 究 ☀方法总结 用“夹逼法”估算一元二次方程的近似解 通常采用列表的方式. （1）根据实际情况确定出解的大致范围. （2）通过对x取值进行逼近，使得（a≠0，所给方程化为一般形式时）的值无限接近于0，逐步获得方程的近似解. 新 知 小 结 例2 一名跳水运动员进行 10 m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必需在距水面 5 m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间 t (s) 和运动员距水面的高度 h (m) 满足关系: . 那么他最多有多长时间完成规定动作？ . . 即 解：根据题意得 列表如下： 典 例 精 析 由此看出，可以使 2t2 - t - 2 的值为 0 的 t 的范围是1.2＜t＜1.3 .故可知运动员完成规定动作最多有 1.3 s. t … 1.1 1.2 1.3 1.4 … … … -0.68 -0.32 0.08 0.52 t … 0 1 2 3 … … … 所以 1＜t＜2.进一步列表如下： -2 -1 4 13 典 例 精 析 1.请求出一元二次方程 的正数根（精确到 0.1）. 解：列表.依次取 x = 0，1，2，3… 由上表可发现，当 时， x 0 1 2 3 … -1 -2 -1 2 … 随 堂 检 测 （2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5… 由表发现，当 时，； （3）取 ，则 . ∴. ∴. x 2.2 2.3 2.4 2.5 … - 0.79 - 0.31 - 0.04 0.25 … 随 堂 检 测 2.根据题意，列出方程，并估算方程的解： 一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2)m，根据题意得： . 即 . 120 m2 (x + 2)m x m 根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 随 堂 检 测 由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 解方程 . 完成下表(在 这个范围内取值计算，逐步逼近): x … … … … 8 9 10 11 -40 -21 0 23 所以 .因此这苗圃的长是 12 m，宽是 10 m. 随 堂 检 测 3.若关于 x 的一元二次方程 有一个根为 0，求 m 的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将 x = 0 代入方程 ， 解得 . ∵ ， ∴ . 综上所述：. 随 堂 检 测 一元二次方程根的估算(夹逼法) 确定其解的大致范围 列表、计算 进行两边“夹” …… 求得近似解 课 堂 总 结 $