精品解析：贵州遵义市第五中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二、三册占50%，必修第四册第九章占50%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1. 已知的内角， ， 的对边分别为，，，若 ，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得 ； ， ，又 ， . 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简原式，再结合两角和的正弦公式求值即可. 【详解】 第一步，利用诱导公式化简： 对任意，均有， 因此 ， 所以 .  利用两角和的正弦公式计算： 对任意 ，均有， 令 ，则：原式  . 3. 已知集合，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以 ，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 4. 在中，点在边上，．记，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算法则，结合线段的比例关系，将用和表示后整理求解即可. 【详解】点在边上，，可得. 所以， 即，所以. 5. 设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（ ） A. 0.05 B. 0.144 C. 0.75 D. 0.25 【答案】C 【解析】 【详解】，是互斥事件，，， . 6. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将向量和的模长平方求得两向量的数量积，再代入投影向量公式计算即可. 【详解】已知，为单位向量，故 . 又，所以，即，所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 7. 为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点 和，已知 ，两点的距离为米，且点 ， ，在同一水平面上，在点 处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】先在水平面三角形中利用正弦定理求出的长度，再在直角三角形中利用正切函数求出塔高. 【详解】由题意可知， 平面，所以为直角三角形，且， 在 中，已知，， 所以， 由正弦定理 ， 得 （米）. 在 中，， 所以 （米）. 8. 已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知可看作由和 复合而成； 当 时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需 在上单调递增，因此需满足 ，解得， 结合 得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需 在上单调递减，因此需满足 ，解得 ，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得 ，C正确 选项D：先求在中的补集，得 ，再和求交集，公共元素只有，因此 ，D正确. 10. 已知正数 ，满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，可判定A正确、C错误；B正确；由 ，得到 ，化简得到 ，可判定D不正确. 【详解】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即 ，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则 ， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 11. 已知的内角的对边分别为，且 ，下列结论正确的是（ ） A. 若，则外接圆的半径为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，点在线段上， ，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由已知条件结合正弦定理求出，再利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换，对四个选项逐一分析判断即可. 【详解】因为 ，由正弦定理得： ， 因为 ，所以，又因为 ，所以. 对于A：因为，由正弦定理得： ，所以 ，故A错误； 对于B：由正弦定理得：， 又因为，所以 ， 又，所以 ， 所以 ，则， 又 ，所以，故B正确； 对于C：因为，由正弦定理得： ，即 ， 整理得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以，即， 所以 ， 所以 ， 故C正确； 对于D：若 ，，则为等边三角形，. 设 ，则 ，由 ，则 ，得. 在中，由余弦定理： ，即 ， 整理得 ，所以或（舍去），即 ， 在中，， 在 中，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则__________． 【答案】 13 【解析】 【详解】因为，，， 所以，解得. 13. 已知的内角， ， 的对边分别为，，，若， ，，则的中线的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用中线对应的向量表示结合平面向量数量积运算即可求出AD的长度. 【详解】因为是中边上的中线，所以为的中点， 所以   ，所以 ， 又 ， ，， 所以 ， 所以， 所以. 14. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， 的面积为 ，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，由余弦定理可得， ,设 ，利用三角恒等变换及三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 ， ， 所以 ， 所以， 又因为 ， 所以， 由余弦定理可得 ， , 设 ， 则 , 即 , 其中, 所以 , 所以 , 即 , 所以, 所以, 即, 所以， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数图象的一个对称中心到与它相邻对称轴的距离为，且该图象上的一个最低点的坐标为． （1）求的最小正周期以及的解析式； （2）求在上的单调递减区间． 【答案】（1） 最小正周期为，解析式为； （2） 单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据几何特征求周期、振幅、相位得到解析式； （2）利用正弦函数的单调性求解给定区间内的单调递减区间. 【小问1详解】  正弦函数对称中心到相邻对称轴的水平距离为， 由题意得，解得最小正周期. 由周期公式得，又函数最低点纵坐标为 ，且 ，故 . 将最低点 代入 ，得 ， 即 ，解得 ， 结合得，因此. 【小问2详解】 正弦函数 的单调递减区间满足 ， 由（1）此. 令，则 ， 解得. 结合，取得， 即在 上的单调递减区间为. 16. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且， （1）求角 ； （2）若，求 的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出，再根据 ，即可求解； （2）结合（1）的结果求出 ，再利用正弦定理求出，即可求得答案. 【小问1详解】 由于在中，， 故，结合，得， 而 ，故 ， 结合，得. 【小问2详解】 由（1）可知，故， 由正弦定理得，即， 可得， 故 的周长为. 17. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动．现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数； （3）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数． 【答案】（1） （2） （3） 人， 人 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，求得不低于 分的学生所占的频率，进而得到答案. （2）先求得各个区间的频率，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）由（2）得到成绩在和内的频率为 和 ，结合分层抽样的方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图，可得成绩不低于 分的学生所占的频率为 ， 则这次竞赛的共有3000名学生中，则这次竞赛中“航天达人”的人数 人. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图得，成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 成绩在内的频率为 ， 可得成绩在 分以下的学生所占频率为 ，成绩在 分以下的学生所占频率为 ， 所以成绩的 分位数一定在内，设成绩的 分位数为， 可得 ，即成绩的 分位数 . 【小问3详解】 解：由（2）知：成绩在和内的频率为 和 ， 利用分层抽样的方法得，在抽的人数为 人， 在抽的人数为 人， 所以成绩在和内的学生分别抽取 人和 人. 18. 的内角， ， 的对边分别为，，，已知，． （1）求角 ； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理角化边，因式分解后结合余弦定理求角； （2）直接代入面积公式求解参数； （3）利用正弦定理边角互化，结合三角函数值域求周长范围. 【小问1详解】 由 和正弦定理，可得 ， 化简得 . 因为 ，则，故有. 又由余弦定理， 又 ，得. 【小问2详解】 由可得 ， 又 ，联立解得. 【小问3详解】 由正弦定理得 ，故 . 因 ，易得 ，又 ，则， 则 ， 因 ，故 ，得 . 因此周长 . 19. 在中，内角的对边分别为， ． （1）证明： ． （2）证明：． （3）延长至点，得，求 的最大值． 【答案】（1）由正弦定理（为外接圆半径）， 得 ，且 ， 所以 ，即等式得证. （2）由（1）知， ， 因为 ， 所以 ，即， 由正弦定理得： ， 所以，即等式得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，利用和角正弦公式与三角形内角和即可证明； （2）利用（1）的结论化简题干条件，借助正弦定理化角为边，再结合余弦定理代换即可推导； （3）设 ，由推出 ，利用正切差角公式结合均值不等式即可求出 的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 ，由可知 ，由（1）（2）可得， 又 ，因此 ，即 ， 因此，由和， 结合正弦定理可得： ， 两式相除得，即 ，令 ，则 ， 代入 的表达式得：， 当且仅当，即时取等号，此时 的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一、二、三册占50%，必修第四册第九章占50%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1. 已知的内角，，的对边分别为，，，若 ，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，点在边上，．记，，则 （ ） A. B. C. D. 5. 设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（ ） A. 0.05 B. 0.144 C. 0.75 D. 0.25 6. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数 ，满足 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知的内角的对边分别为，且 ，下列结论正确的是（ ） A. 若，则外接圆的半径为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，点在线段上， ，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则__________． 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则的中线的长为__________． 14. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， 的面积为 ，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数图象的一个对称中心到与它相邻对称轴的距离为，且该图象上的一个最低点的坐标为． （1）求的最小正周期以及的解析式； （2）求在上的单调递减区间． 16. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且， （1）求角 ； （2）若，求 的周长． 17. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动．现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数； （3）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数． 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求角； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，求周长的取值范围． 19. 在中，内角的对边分别为， ． （1）证明： ． （2）证明：． （3）延长至点，得，求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $