精品解析：江苏常州市溧阳市实验初级中学2025-2026学年第二学期八年级期中练习卷 数学

江苏常州市溧阳市实验初级中学2025-2026学年第二学期八年级期中练习卷数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 调查全国中学生参与家务劳动的情况 B. 调查某市市民垃圾分类的情况 C. 调查某品牌新能源电池的使用寿命 D. 调查某机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品 2. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 3. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 4. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，对角线 和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线 、相交于点，，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到．若四边形的面积为6，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别是上的动点，连接，E，F分别为的中点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 在平行四边形ABCD中，如果，则____ 10. 如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 11. 菱形中，对角线 ，相交于点，且，，则菱形的面积为______ ． 12. 已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是15，第二组与第三组的频率之和是0.6，那么第四组的频数是_______． 13. 甲、乙两家公司近几年的销售收入情况如图所示，这几年销售收入总增长较慢的是___．（填“甲公司”或“乙公司”．） 14. 如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 15. 梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是_____． 16. 如图，在四边形中，，，，，是 上一点，且， 从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以， ，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值为____． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17题5分，第18，19，20，21题每题6分，第22，23，25，26题每题8分，第24题每题7分） 17. 一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； （2）估计袋中黑球的个数为__________只； （3）若袋中黑、白两种颜色球的个数与（2）中估计完全相同，小明又将一些除颜色外都相同的红球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，要使得从中摸出红球的概率最大则小明至少放进__________个红球． 18. 如图，在平行四边形中，作的平分线 交 于，若，求的长． 19. 学校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：被抽取的学生人数是__________人，__________； （2）扇形统计图中，“羽毛球”所对应的扇形的圆心角的度数为__________； （3）若全校总共有5000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 20. 已知：如图，的对角线 ，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 21. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 22. 如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 23. 如图，已知，延长 到，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若，求 的长． 24. 综合与探究 （1）如图， 为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． ①如图1，过点画 的垂线； ②如图2，是菱形的边 上的高，请作出菱形的边 上的高 ； （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上作一点，在轴外取一点，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，且点到轴的距离为4，则点坐标为__________．（直接写出所有答案） 25. 如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形，某同学想知道该杯子最大盛水高度（即到 的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，杯子最大盛水高度为8．请帮该同学计算： （1）内底面的直径（ 的长度）； （2）若分别取 ， 的中点G，H，则轴截面上的长度为__________． 26. 已知正方形的边长为3，P是 边上的一个动点． （1）如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交 于点，连接 ， ．则 __________； （2）在（1）的条件下，如图2，在点 运动过程中，作 的平分线交 延长线于，交 于， ①若 ，请求出线段的长． ②连接，则 之和最小值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏常州市溧阳市实验初级中学2025-2026学年第二学期八年级期中练习卷数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 调查全国中学生参与家务劳动的情况 B. 调查某市市民垃圾分类的情况 C. 调查某品牌新能源电池的使用寿命 D. 调查某机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查要求结果准确、适合范围小且无破坏性调查的特点，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵普查适合要求结果准确，调查不具有破坏性，范围合适的调查， ∴、调查全国中学生参与家务劳动的情况，范围过大，适合抽样调查，不符合要求； 、调查某市市民垃圾分类的情况，范围较大，适合抽样调查，不符合要求； 、调查某品牌新能源电池的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求； 、调查某机场该航班旅客是否携带违禁物品，必须保证结果准确，需要逐一检查，适合采用普查，符合要求． 2. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义判断即可得． 【详解】解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 【答案】B 【解析】 【分析】只需根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵该调查从1200个芯片中抽取200个进行检测，只调查了部分个体，∴是抽样调查，不是全面调查，A错误． ∵样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了200个芯片，∴样本容量是200，B正确． ∵样本是被抽取的200个芯片的运行效率，不是200个芯片本身，∴C错误． ∵总体是1200个新型芯片的运行效率，不是1200个新型芯片本身，∴D错误． 4. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 5. 如图，在四边形中，对角线 和 相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在矩形中，对角线 、 相交于点，，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形对角线的性质证明为等边三角形，然后求出对角线 ，再由勾股定理求出 ． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 、 相交于点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 7. 如图，点的坐标为，点 在轴上，把沿轴向右平移到．若四边形的面积为6，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求出 的长，再根据点A的坐标即可求出点D的坐标． 【详解】解：∵把沿x轴向右平移到， ∴点A的对应点是点D，点B的对应点是点C， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵点A的坐标为， ∴平行四边形的高为3， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为3， ∴点D的坐标为． 8. 如图，在中，，分别是上的动点，连接，E，F分别为的中点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，当时，最小，即最小，利用平行四边形性质和勾股定理求出的最小值即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 要使最小，则需最小， ∵G是 上的动点，A是定点， ∴当时，最小， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 在平行四边形ABCD中，如果，则____ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：如图 四边形是平行四边形， ，． ，， ， 解得． ． 10. 如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 11. 菱形中，对角线 ，相交于点，且，，则菱形的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，直接利用菱形的面积公式得出答案． 【详解】在菱形中，对角线 、相交于点，，， 菱形的面积是：． 故答案为：． 12. 已知在一个样本中，将100个数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频数是15，第二组与第三组的频率之和是0.6，那么第四组的频数是_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，熟记频率的计算公式是解题关键． 根据第四组的频数等于总数减去第一组与第二组、第三组的频数计算，由此即可得． 【详解】解：第四组的频数是． 故答案为：25． 13. 甲、乙两家公司近几年的销售收入情况如图所示，这几年销售收入总增长较慢的是___．（填“甲公司”或“乙公司”．） 【答案】乙公司 【解析】 【分析】读懂统计图，从统计图中获取相关信息，分别计算出甲、乙两家公司销售收入的增长量，再进行比较即可． 【详解】解：由折线统计图可知：甲公司2020年的销售收入为100万元，2023年的销售收入为130万元，则甲公司这几年销售收入总增长量为（万元）； 乙公司2020年的销售收入为100万元，2023年的销售收入为120万元，则乙公司这几年销售收入总增长量为（万元）； 因为， 所以这几年销售收入总增长较慢的是乙公司． 14. 如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 【答案】##105度 【解析】 【分析】先证明为等边三角形，得到，再根据三角形的内角和定理和对顶角相等，求出的度数即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 15. 梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角形三边关系．作辅助线：平移一腰，构造一个三角形，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．从而求得答案． 【详解】解：如图，梯形中，，，，，， 过D作，交 于E点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据题意得：，即． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，，是 上一点，且，从点出发以的速度向 点运动，同时从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则 的值为____． 【答案】或 【解析】 【分析】已知，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需满足，四边形即为平行四边形，以此列方程求解 ． 【详解】解：当点在点的左侧时，设运动时间为， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以,,,为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 当点在点的右侧时，设运动时间为， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以,,,为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 则当以,,,为顶点的四边形是平行四边形时， 的值为或4． 【点睛】本题考查动点分类思想，从向移动会经过点，因此分在左，右两种情况分段表示长度． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17题5分，第18，19，20，21题每题6分，第22，23，25，26题每题8分，第24题每题7分） 17. 一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； （2）估计袋中黑球的个数为__________只； （3）若袋中黑、白两种颜色球的个数与（2）中估计完全相同，小明又将一些除颜色外都相同的红球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，要使得从中摸出红球的概率最大则小明至少放进__________个红球． 【答案】（1） 0.5 （2） 20 （3） 21 【解析】 【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案； （2）根据（1）的值求得答案即可； （3）根据要使得从中摸出红球的概率最大则红球的数量最多，即可得出结论． 【小问1详解】 解：观察发现：随着试验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近， 故摸到黑球的频率会接近0.5． 【小问2详解】 解：∵摸到黑球的频率会接近0.5， ∴黑球数应为球的总数的一半， ∴估计袋中黑球的个数为20只． 【小问3详解】 解：∵袋中黑球的个数为20只， ∴袋中白球的个数为20只． ∵从中摸出红球的概率最大， ∴红球的数量最多． ∴红球的数量大于20， ∴小明至少放进21个红球． 18. 如图，在平行四边形中，作的平分线交 于，若，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，根据等角对等边可得，即可得的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵的平分线交 于E， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴的长是3． 19. 学校计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：被抽取的学生人数是__________人，__________； （2）扇形统计图中，“羽毛球”所对应的扇形的圆心角的度数为__________； （3）若全校总共有5000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）50；24 （2）28.8 （3）估计该校最喜欢篮球运动的学生约有1600人 【解析】 【分析】（1）用排球的人数除以可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出m的值； （2）用360°乘羽毛球对应的百分比即可得到答案； （3）求出样本中喜欢篮球的人数，用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， ； 【小问2详解】 解：扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为：； 【小问3详解】 解：篮球人数为：， （人）． 答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有1600人． 20. 已知：如图，的对角线 ， 相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵的对角线 ， 相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△ABF和△DAE中， ∴， ∴， ∴矩形ABCD是正方形． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质及余角证明，再利用AAS证明，推出，即可证明矩形ABCD是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定等知识点，本题中证明是解题的关键． 22. 如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形； （2）连接 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得 ，根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】（1）， 四边形是平行四边形， ，CE是的中线， ， 四边形是菱形； （2）如图，连接 ， ，， ， 在中， ， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，已知，延长到，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若，求 的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，且， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，即可证明结论； （2）结合平行四边形的性质以及矩形的性质，可得，，且，然后在和中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形为平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 24. 综合与探究 （1）如图， 为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． ①如图1，过点 画 的垂线； ②如图2，是菱形的边上的高，请作出菱形的边 上的高 ； （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上作一点，在轴外取一点，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，且点 到轴的距离为4，则点坐标为__________．（直接写出所有答案） 【答案】（1）①如下图，即为所求； ②如下图， 即为所求； （2）或或 【解析】 【分析】（1）①连接，根据菱形的对角线相互垂直，可知即为垂线；②连接，交于点K，则点K为三条高线的交点，连接并延长，交于点， 即为所求； （2）首先确定点 坐标，然后分别以为该菱形的对角线，分情况讨论，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，点 到轴的距离为4， ∴，可设， ∴， 解得或， ∴点 坐标为或或或， ∵点与点、点与点均关于轴对称，故计算的点坐标相同， ∴仅以和求解即可， 分情况讨论： 当点 坐标为时，如下图， ①若以为该菱形的对角线，如图，过点 作轴于点， 则， ∴， 设，则， ∴在中，可得， 即，解得， ∴， ∴，即； ②若以 为该菱形的对角线，如图， 则， ∵， ∴， ∴，即； ③若以 为该菱形的对角线，如图， 则， ∴， ∴； 当点 坐标为时，如下图， 此时若分别以为该菱形的对角线， 则点均落在轴的负半轴上，不合题意． 综上所述，点坐标为或或． 25. 如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形，某同学想知道该杯子最大盛水高度（即到 的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，杯子最大盛水高度为8．请帮该同学计算： （1）内底面的直径（ 的长度）； （2）若分别取，的中点G，H，则轴截面上的长度为__________． 【答案】（1）3 （2）9 【解析】 【分析】（1）过点 作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，可知，再利用勾股定理解得，的长度，然后计算内底面的直径即可； （2）根据等腰梯形中位线公式求解即可． 【小问1详解】 解：如下图，过点 作于点，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 根据题意，可知，， ∴在中，， 同理可得， ∴， ∴； 【小问2详解】 如下图， ∵四边形为等腰梯形，G，H分别为，的中点， 结合（1）可知，， ∴． 26. 已知正方形的边长为3，P是 边上的一个动点． （1）如图1，若点 关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接， ．则 __________； （2）在（1）的条件下，如图2，在点运动过程中，作 的平分线交 延长线于，交于， ①若 ，请求出线段的长． ②连接，则 之和最小值为__________． 【答案】（1）45 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到 ，根据轴对称的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，于是得到结论； （2）①过点G作 ，交的延长线于点M， ，交 的延长线于点N，根据轴对称的性质得到， ，根据角平分线的定义得到 ，求得 ，得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据角平分线的性质得到 ，于是得到结论． ②连接 并延长到点，使 ，连接 ，得 ，当 三点在同一条直线上时， 的值最小，最小值为的长，过点作 交 的延长线于点，由勾股定理得，故可得结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵点B关于直线的对称点为E， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 【小问2详解】 解：①过点G作 ，交的延长线于点M， ，交 的延长线于点N， ∵点B关于直线的对称点为E， ∴， ， ∵平分 ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵平分 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴． ②连接 并延长到点，使，连接，过点作交 的延长线于点, ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴垂直平分， ∴ ， ∴， ∴当 三点在同一条直线上时， 的值最小，最小值为的长， 过点作 交 的延长线于点，则 , 又∵ , ∴， ∴ ， ∴ ， ∴在 中，, 即 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $