精品解析：江苏扬州市邗江实验2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷.

邗江实验八年级数学期中试卷 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共有 8小题共 24 分） 1. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使如图所示的 成为矩形，需增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 解分式方程，去分母得（ ）． A. B. C. D. 5. 若 ，，则的值为（ ） A. 6 B. 24 C. 30 D. 150 6. 如图，菱形 的对角线 ， 交于点O，且 ， ，则菱形 的高 的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 、 两地相距 千米，一辆大汽车从 地开出1小时后，又从 地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早 分钟到达 地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为 ，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8. 如图1，在等腰直角三角形 中， ，点D为边 的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x， 的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 的中点时， 的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 二、填空题（本大题共有10小题共 30分） 9. 因式分解：________． 10. 分式的值为0，则x的值为______． 11. 在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为_____． 12. 若关于 的分式方程无解，则 的值为___________． 13. 若矩形的对角线长为4cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为______． 14. 已知，则代数式的值为_____． 15. 如图， 在平行四边形 中，E，F分别为边 的中点， 是对角线．下列说法正确的有__________． ①当 时，四边形是菱形；②当 时，四边形是菱形； ③当 时，四边形是矩形；④当 平分 时，四边形是矩形． 16. 已知实数满足，，且，则 的值为______． 17. 对于实数 ， 定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时， 的取值范围是_______． 18. 已知菱形 中， ，，边 ， 上有点E、点F两动点，始终保持 ，连接 ， ，取 中点G，连接 ，则 的最小值是_____． 三、解答题（本大题共有10小题共 96分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 化简，再求值： （1），其中 ． （2），其中x，y满足． 22. 我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： （1）； （2）． 23. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点M，与 相交于点N，连接 ，． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ， ，求菱形 的面积． 24. 定义：若两个分式的和为 （ 为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“______阶分式”； （2）分式与分式A互为“5阶分式”，求分式 ． 25. 如图，四边形 是平行四边形，按照要求作图． （1）如图1，用无刻度直尺和圆规，作菱形 ，使点E、F分别在上； （2）如图2，点P是 上一点，用无刻度直尺和圆规，作矩形，使得点F、G、H分别在上．（保留作图痕迹） 26. 【问题呈现】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产400台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？ 【分析解法】 解法一 设……等量关系：生产600台机器所需时间 原计划生产400台机器所需时间 解法二 设……等量关系：现在平均每天生产的数量 原计划每天生产的数量 【问题解决】 （1）解法一所列方程中的x表示的是_______；解法二所列方程中的y表示的是________； （2）请选择一种解法，求现在平均每天生产机器的数量． 27. 【阅读材料】对于两个不等的非零实数 ， ，若关于 的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于 的方程的解为，．例如：方程的解为 ， ． （1）【理解应用】方程的解为______，______． （2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值； （3）【拓展提升】若关于 的方程的解为，，求的值． 28. 根据题意解答下列问题： （1）【问题初探】如图1，在正方形 中，点 、分别在边 、 上，且 ，垂足为 ．那么 与 相等吗 直接判断： （填“ ”或“ ”）： （2）【问题迁移】如图2，在正方形 中，点 、、 分别在边 、 和 上，且，垂足为 ．那么 与 相等吗证明你的结论； （3）【问题延伸】如图3，正方形 中，点 为线段 上一动点，若 垂直平分线段 ，分别交 ， ， ， 于点 ， ，， ．求证：； （4）【问题拓展】如图4，在边长为 的正方形 中，是 的中点． 是 上的动点，过点 作，分别交 ， 于点 ， ．直接写出的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邗江实验八年级数学期中试卷 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共有 8小题共 24 分） 1. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义和识别．因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式．根据定义逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B．选项左边是多项式，右边是 与的积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意； C．选项右边不是积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； D．，选项等式不成立，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为 的整式，分式的值不变”，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、的分子不含因式 ，无法约分为，则，变形错误； B、，变形正确； C、的分子、分母没有同时乘同一个不为 的整式，，变形错误； D、分式分子、分母同时加 不符合分式基本性质，，变形错误． 故选：B 3. 要使如图所示的 成为矩形，需增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形 是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形 是矩形； 而选项B中 、选项C中 、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 4. 解分式方程，去分母得（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要漏乘． 【详解】解：将原方程的右侧分母变形得， 方程两边同时乘以最简公分母，得． 5. 若 ，，则的值为（ ） A. 6 B. 24 C. 30 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，因式分解的应用．先对原式提取公因式 ，再对括号内的多项式利用完全平方公式进行分解，将原式化为，然后代入已知条件求值即可． 【详解】解： ， ∵ ，， ∴， 故选：D． 6. 如图，菱形 的对角线 ， 交于点O，且 ， ，则菱形 的高 的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得 ， ， ，在 中，根据勾股定理可得 ，然后根据 可得，进一步得解． 【详解】解： 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， 在 中，根据勾股定理可得： ， 是菱形 的高， ， ． 7. 、 两地相距 千米，一辆大汽车从 地开出1小时后，又从 地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早 分钟到达 地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为 ，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别表示出大、小汽车行驶全程的时间，再根据“大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到 分钟”的条件，建立时间等量关系，进而推导出正确方程． 【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为， 则大汽车行驶全程的时间为小时，小汽车行驶全程的时间为小时； 又∵大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到 分钟(即小时)， ∴可列等式：， 整理得：，与选项B的式子一致． 8. 如图1，在等腰直角三角形 中， ，点D为边 的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x， 的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 的中点时， 的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，根据运动轨迹可得 的面积先增大，再减小，当点P运动到点 时， 的面积最大，此时 的面积为 ，即可求得 ，再利用三角形中位线定理即可解答，得到当点P运动到点 时， 的面积最大是解题的关键． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 的面积先增大，再减小， 当点P运动到点 时， 的面积最大， 根据函数图象可得此时 的面积为 ， 如图， ， 点D为边 的中点，等腰直角三角形 , ， 可得 ， 当点P运动到 的中点时，如图， ， 点D为边 的中点， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题共 30分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．通过观察其结构，符合完全平方公式的形式，可直接进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 11. 在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展.经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少0.64元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，先根据已知条件分别表示出总费用均为100元时，电动汽车和燃油车的行驶路程，再根据电动汽车行驶总路程是燃油车的9倍这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为 元， 可得燃油车平均每公里的加油费为元， 100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里， 100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里， 由电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍， 可得方程． 故答案为． 12. 若关于 的分式方程无解，则 的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即 ，得 ， 将 代入，得， 解得 ． 综上， 的值为或． 13. 若矩形的对角线长为4cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，AC=BD=4cm，则，证明△AOB是等边三角形得到AB=OA=2cm，利用勾股定理求出BC的长，再利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，在矩形ABCD中，AC=BD=4cm，∠AOB=60°， ∴， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=2cm， 在Rt△ABC中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知矩形的性质是解题的关键． 14. 已知，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的等量关系，再将所求代数式整理后，整体代入等量关系化简求值． 【详解】解：已知， 根据分式通分法则，通分得， 因为分式有意义，所以 ，，即， 等式两边同乘得， 整理得， 将所求代数式变形：， 把代入上式得： ． 15. 如图， 在平行四边形 中，E，F分别为边 的中点， 是对角线．下列说法正确的有__________． ①当 时，四边形是菱形；②当 时，四边形是菱形； ③当 时，四边形是矩形；④当 平分 时，四边形是矩形． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，斜边上的中线等知识点，根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定方法，矩形的判定方法，逐一对各项进行分析即可得到本题答案．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴ ， ∵E，F分别为边 的中点， ∴，， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， 当 时，不能得到 ，故不能判定四边形是菱形，即①错误； 当 时，则：， ∴四边形是菱形，故②正确； 当 时，则： ， ∴， ∴四边形是矩形，故③正确； 当 平分 时，如图，延长 ， 交于点 ， ， ∵ 平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，故④正确 故答案为：②③④ 16. 已知实数满足，，且，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 将两式相减得到，根据得到，将两式相加得到，从而根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 17. 对于实数 ， 定义一种新运算“”：，例如：，则当分式方程的解大于时， 的取值范围是_______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了实数新定义运算，解分式方程；根据新运算定义将方程转化为分式方程，求解后得到，再结合解大于及分母不为零的条件求 的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得， 去分母得， 解得， 由解大于得， 解得 ， 由得，即 ， 由 得 即， 综上， 且 ， 故答案为： 且 ． 18. 已知菱形 中， ，，边 ， 上有点E、点F两动点，始终保持 ，连接 ， ，取 中点G，连接 ，则 的最小值是_____． 【答案】 6 【解析】 【分析】先利用菱形的性质和已知条件推导出三角形关系，再构造辅助线并分析三角形关系，利用三角形中位线定理建立 与 的关系，最后求 的最小值进而求 的最小值． 【详解】解：如图，过点D作交 延长线于点H，延长 交 于点M，连接 ， 在菱形 中， ， ， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 是的中位线， ∴， ∴当 最小时 最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知： 的最小值即为 ， 在菱形 中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 的最小值为12， ∴ 的最小值为． 三、解答题（本大题共有10小题共 96分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把原式化为，再提取公因式分解因式即可． （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 ， 检验：当 时，， ∴原分式方程的解为 ； 【小问2详解】 解： 去分母得，， 解得 ， 检验：当 时， ， ∴原分式方程的解为 ． 21. 化简，再求值： （1），其中 ． （2），其中x，y满足． 【答案】（1） 化简结果为，值为； （2） 化简结果为，值为 ． 【解析】 【小问1详解】 解： ， 将代入得：原式； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴原式． 22. 我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法分解即可； （2）利用拆项添项法分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点M，与 相交于点N，连接 ，． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ， ，求菱形 的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，勾股定理等； （1）由矩形的性质、线段垂直平分线的性质及 可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； （2）设 ，由勾股定理得，即可求解； 矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，能熟练用勾股定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 证明： 四边形 是矩形， ， ， 垂直平分 ， ， ， ， 在和中 ， （ ）， ， ， 四边形 是菱形； 【小问2详解】 解：设 ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 解得： ， ， 同理可求：， ． 24. 定义：若两个分式的和为 （ 为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“______阶分式”； （2）分式与分式A互为“5阶分式”，求分式 ． 【答案】（1）6 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确理解题意和熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式的加减计算即可求解； （2）根据“5阶分式”的定义，分式与分式A的和为5，建立等式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴分式与互为“6阶分式”； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：∵分式与分式A互为“5阶分式”， ∴， 解得． 25. 如图，四边形 是平行四边形，按照要求作图． （1）如图1，用无刻度直尺和圆规，作菱形 ，使点E、F分别在上； （2）如图2，点P是 上一点，用无刻度直尺和圆规，作矩形，使得点F、G、H分别在上．（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图--复杂作图，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握菱形和矩形的判定方法，是解题的关键： （1）作 的中垂线，交 分别于点，连接，四边形 即为所求； （2）连接交于点 ，连接并延长交 于点 ，以 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接，四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图，菱形 即为所求； ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴四边形 为菱形； 【小问2详解】 如图，矩形即为所求； 同（1）法， ∴， 同理：， ∴四边形为平行四边形， 由作图可知：， ∴， ∴四边形为矩形． 26. 【问题呈现】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产400台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？ 【分析解法】 解法一 设……等量关系：生产600台机器所需时间 原计划生产400台机器所需时间 解法二 设……等量关系：现在平均每天生产的数量 原计划每天生产的数量 【问题解决】 （1）解法一所列方程中的x表示的是_______；解法二所列方程中的y表示的是________； （2）请选择一种解法，求现在平均每天生产机器的数量． 【答案】（1）现在平均每天生产机器的台数；生产600台机器或生产400台机器所需的时间 （2）现在平均每天生产150台机器 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据“生产600台机器所需时间 原计划生产400台机器所需时间”以及“现在平均每天生产的数量 原计划每天生产的数量 ”即可解答； （2）求出方程的解，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：解法一所列方程中的x表示的是现在平均每天生产机器的台数； 解法二所列方程中的y表示的是生产600台机器或生产400台机器所需的时间； 故答案为：现在平均每天生产机器的台数；生产600台机器或生产400台机器所需的时间 【小问2详解】 解：解法一：， ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解，且符合题意， 答：现在平均每天生产150台机器； 解法二：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：现在平均每天生产150台机器； 27. 【阅读材料】对于两个不等的非零实数 ， ，若关于 的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于 的方程的解为，．例如：方程的解为 ， ． （1）【理解应用】方程的解为______，______． （2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值； （3）【拓展提升】若关于 的方程的解为，，求的值． 【答案】（1）3， （2）71 （3）17 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． （1）根据材料中的方法求解即可； （2）由题意可得 ， ，再由完全平方公式可得求解即可； （3）方程变形为，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理进而即可求解． 【小问1详解】 解：的解为，， ，即，的解为，， 故答案为：3，； 【小问2详解】 方程的解为，， ， ， ； 【小问3详解】 关于 的方程的解为，， 的解为，， ，， ，， ， 整理得： 将代入，得 ， 28. 根据题意解答下列问题： （1）【问题初探】如图1，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，垂足为 ．那么 与 相等吗 直接判断： （填“ ”或“ ”）： （2）【问题迁移】如图2，在正方形 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且，垂足为 ．那么 与 相等吗证明你的结论； （3）【问题延伸】如图3，正方形 中，点 为线段 上一动点，若 垂直平分线段 ，分别交 ， ， ， 于点 ， ， ， ．求证：； （4）【问题拓展】如图4，在边长为 的正方形 中， 是 的中点． 是 上的动点，过点 作，分别交 ， 于点 ， ．直接写出的最小值为 ． 【答案】（1） （2） 证明：如图，作，交 于点 ， ， ， 正方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形 ， ， 四边形 是平行四边形， ， ； （3）证明：如图，连接， 是正方形对角线 上一点， ， ， ， ， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得， ， ； （4） 【解析】 【分析】（1）证明，得到 ； （2），理由如下，作，交 于点 ，同（1）的方法得，推出，可证明四边形是平行四边形，得到，即可得到结论； （3）连接，求出，得到 ， 由（2）得，推出，即可得到结论； （4）过点 作，过点 作，连接 ，推出四边形是平行四边形，得到，，，推出当三点共线时的值最小，由（2）知，得到，根据勾股定理求出，，即可得的最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 解： 正方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：过点 作，过点 作，连接 ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当三点共线时的值最小， 由（2）知， ， 正方形 ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $