江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟2

**基本信息** 高二数学期末模拟卷，聚焦概率统计、立体几何等核心知识，通过黄梅时节降水概率、新药试验数据分析等现实情境，考查数学思维与应用能力，体现数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、二项式定理|结合自然现象（黄梅时节降水）| |多选题|3/18|概率独立性、方差计算|注重概念辨析与综合判断| |填空题|3/15|回归分析、立体几何距离|考查数学抽象与空间想象| |解答题|5/77|排列组合、独立性检验、二面角|综合应用（如新药试验数据分析），梯度设计|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟2 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量服从正态分布，且 （ A ） A． B． C． D． 2．“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象，根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为，假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为 （ B ） A． B． C． D． 3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出，二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据，用这个方法计算的近似值，可以这样操作： ，用这样的方法，估计的近似值约为 （ C ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是 （ D ） ①设随机变量服从二项分布； ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件检测，则至少有一个不合格的概率为； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 5．已知的展开式中的系数为，所有项的系数之和为，若，则（ D ） A． B． C． D． 6．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 （ B ） A. 150种 B. 210种 C. 300种 D. 540种 7．在正三棱柱中，的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且，设直线与平面所成的角为，则的最大值为 （ B ） A． B． C． D． 8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球，现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，则以下错误的是 （ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中，正确的命题是 （ AC ） A 若事件，满足，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 若事件，满足，，，则与独立 D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5 【详解】对于A：因为，∴，故A正确． 对于B：因为，，则，，故B错误． 对于C：若，则与独立，则与独立，故C正确． 对于D：男生成绩设为，∴， ，∴．女生成绩设为，∴， ，∴． 所以， 则， 故D错误．故选：AC 10．若，则 （ABD） A． B． C． D． 11．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别为的中点，点在直线上，且，下列说法中正确的有（ BCD ） A．直线所成角的大小为 B． C．若为中点，则平面所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，去除两个样本点后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为 . 13．已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点到平面的距离为，则直线平面所成角的余弦值为 . 14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为 ，在 “”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： （1）a的值; （2）展开式中的系数（用数字作答）： （3）从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 15．解：（1）根据展开式的通项可得， 令，解得， 即时，常数项， 解得； （2）由（1）知， 令，解得， 故展开式中的系数为； （3）令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项， 取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. 16．现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. (1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； (2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； (3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 16．解：（1）先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法； 接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法； 最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法. 所以总的排法数为； （2）从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2， 所以取法种数为； （3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3； 所以分堆种数为. 17．来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是. （1）求清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率； （2）设随机变量为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求分布列和期望. 17．解：（1）记“至少1名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件， 则对应的事件为“没有一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”， 设有一班志愿者个，，那么， 即来自一班的志愿者有5人，来自二班的志愿者4人； 记“清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人”为事件， 那么， 所以清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率为； （2）的所有可能值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 18．为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 18．解：（1）提出零假设该药物与预防该疾病无关， 根据表格得出，， 由此推断不成立， 则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关. （2）由条件可得， 由表中数据可知，，，则. （3）样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只， 则使用药物且没发病的频率为， 将频率视作概率，则， 则，， ，， 则的分布列为： 期望. 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 19．解：（1）因为，所以，且， 所以四边形为矩形，所以， 又因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面. （2）以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可知，所以， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以， 设二面角的平面角为，所以， 故二面角的正弦值为. （3）设，因为，所以， 因为，所以， 取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以，解得， 因为，所以. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟2 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量服从正态分布，且 （ ） A． B． C． D． 2．“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象，根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为，假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为 （ ） A． B． C． D． 3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿提出，二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据，用这个方法计算的近似值，可以这样操作： ，用这样的方法，估计的近似值约为 （ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是 （ ） ①设随机变量服从二项分布； ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件检测，则至少有一个不合格的概率为； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 5．已知的展开式中的系数为，所有项的系数之和为，若，则（ ） A． B． C． D． 6．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 （ ） A. 150种 B. 210种 C. 300种 D. 540种 7．在正三棱柱中，的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且，设直线与平面所成的角为，则的最大值为 （ ） A． B． C． D． 8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球，现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，则以下错误的是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中，正确的命题是 （ ） A 若事件，满足，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 若事件，满足，，，则与独立 D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5 10．若，则 （ ） A． B． C． D． 11．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别为的中点，点在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A．直线所成角的大小为 B． C．若为中点，则平面所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，去除两个样本点后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为 . 13．已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点到平面的距离为，则直线平面所成角的余弦值为 . 14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为 ，在 “”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： （1）a的值; （2）展开式中的系数（用数字作答）： （3）从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 16．现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. (1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； (2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； (3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 17．来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是. （1）求清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率； （2）设随机变量为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求分布列和期望. 18．为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 5 学科网（北京）股份有限公司 $