专题03有理数的加法与减法暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题03有理数的加法与减法暑假预习进以 预习目标 1.熟记运算法则：完整理解并背诵有理数加法、减法法则，分清同号、异号两数相加 的计算步骤，掌握“减去一个数等于加上它的相反数”的减法转化核心公式。 2.规范基础计算：能独立完成整数、分数、小数的有理数加减运算，先定符号再算绝 对值，杜绝符号、绝对值计算混淆的低级错误。 3.掌握运算简便技巧：理解有理数加法交换律、结合律，会分组凑整、凑0、同分母 结合、同符号结合简化混合加减运算。 4.实现加减统一化简：熟练将有理数加减混合算式统一转化为加法算式，正确书写省 路加号的和式，规范读出代数和。 5.数形结合辅助计算：会借助数轴表示有理数加法、减法的移动过程，利用数轴验证 计算结果，深化正负运算逻辑。 6解决实际应用问题：能结合温度、海拔、收支、行程等实际情境，列出有理数加减 算式并求解，读懂正负代表的实际意义。 7区分易混易错点：理清相反数、符号变化、去括号符号规律，归纳“减负等于加正、 加负等于减正”的易错题型。 8预习整理要求：梳理加减法则对比表格，摘抄典型计算题；标记异号两数相加、混 合去括号、实际应用题等难点，课堂针对性听讲突破。 题型梳理 1.有理数加法法则 2.加法运算律 预习必备 3.有理数的加法 4.有理数加减混合运算 知识梳理 5.数轴辅助理解加减运算 6.有理数加减实际应用 7.高频易错汇总 1.有理数加法运算 2.有理数加法中的符号问题 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数幼加法运算律 常考题型 5.有理数减法运算 6.有理数减法的实际应用 精讲精练。 7有理数的加减混合运算 8.有理数幼加减冲的简便运算 9.有理数加减混合运算的应用 10.省略加法和括号的形式 11.有理数减法与数轴的综合应用 12.有理数混合运算中的规律题 试卷第1页，共3页 13.新定义运算 强化题型 解答题5题 知识梳理 知识点01：有理数幼加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b,分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例1：(+3十(+5)=+(3+5)8例2：(-3)十(-5)-(3+5)-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例1：(-8)十(+3)-(8-3)-5 例2：(+9)+(-4)=+(9-4)-5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为0。 例：(-7)+7=0,3.2+(-3.2)=0 4.一个数与0相咖 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6,12+0=12 5.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加0 原数符号不变 绝对值不变 0+(-1.3)=- 试卷第1页，共3页 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 1.3 知识点02：加法运算律（简化混合计算核心》 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a,交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b十c=a+(b+c).,改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） 凑0分组：互为相反数的数先结合，和直接为0 例：3+(-3)17=0+7=7 同号分组：所有正数、所有负数分别结合 例：(-5)+8+(-3)+2=[(-5)十(-3)]+(8+2)=-8+10=2 凑整分组：小数、整数相加得整十/整数优先结合 例：1.6+(-2.7t(-1.6)=1.6+(-1.6)-2.7=-2.7 同分母分数分组：分母相同的分数优先合并 +()+()-+() 知识点03：有理数的减法 一、有理数减法统一法则（本节核心转化公式） 文字法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母公式：a-b=a+(-b) 二、减法两步计算标准流程 1.变运算符号：减号”改成加号+”； 2.变减数符号：减数改成它的相反数； 3按照有理数加法法则完成计算。 分类型例题 正数减正数：5-8=5+(-8)=-3 负数减正数：-6-4=-6+(-4)=-10 试卷第1页，共3页 正数减负数：7-(-2)=7+2=9 负数减负数：-3-(-9)=-3+9=6 任何数减0：(-5)-0=-5 0减任意数：0-(-4)=0+4=4 减法符号变化规律总结 减正数=加负数 减负数=加正数 知识点04：有理数幼加减混合运算（者试重点大题）》 1.统转化为加法（代数和形式） 步骤：所有减法全部改写为“加上相反数”，算式只保留加号。 例：-7-(+3)+(-2)-(-5)原式=-7+(-3)+(-2)+5 2.省略咖号的和式书写与读法 统一为加法后，省略所有括号与前面的加号，简写为代数和： 例：-7+(-3)+(-2)+5简写为-7-3-2+5 两种规范读法： ①按代数和读：负7、负3、负2、正5的和； ②按运算读：负7减3减2加5。 3.混合运算完整解题步骤（答题标准格式） ①去括号，减法全部转化为加法： ②运用加法交换律、结合律分组简便计算： ③分别计算每组结果； ④最后合并求和。 知识点05：数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动3个单位，结果为1： 减法：a-b等价于a+(b),向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动4个单位，结果为(-3) 试卷第1页，共3页 知识点06：有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 ()设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式： (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度士升降温度； 海拔高度：基准高度士上下浮动； 收支盈亏：原有金额±收入/支出； 行程移动：初始位置土前进/后退距离。 知识点07：高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再 分不清取绝对值大数 -7+3=4 7+3=-4 算绝对值颠倒 的符号 减法只变符号，不转 忘记“减负数=加 5-(-2)=5-2=3 5-(-2）)=5+2=7 换运算 正数”两步变换 3-(5-2)=-3-5 -3-(5-2）=-3-5+ 括号前是负号，括号内 去多重括号符号混乱 2 全部变号 简便分组漏带数字符-8+6-2=-(8+2)+ 移动数字时，符号要跟 (-8-2)+6 号 6 着数字走 未记住相反数相加和 互为相反数相加算错6+(-6)=12 6+(-6)=0 为0 混合运算漏转化减法 两个负数相减，忘记统 4-6=-2 4+(-6)=-10 直接计算 为加法 常考题型精讲精练 试卷第1页，共3页 题型1.有理数加法运算 【典例】.-2024+2026= 跟踪专练1】与3相加得0的是（一) A3号 B3 C.3+3 5 D.-33 【跟踪专练2】黑板上有8个数：-9，a,2,14,b,1,-7,c,它们的和为-12，a比b大3，c是a的2 倍.若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数是所擦除的两个数的和加上2）， 这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则剩下的这个数是· 【跟踪专练3】有50张同样的卡片，上面分别写有1,2,3，···，49,50.从中随机 抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为A,B,C,D, E,相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为() E D 卡片编号 A,B B,C C,D D,E 两数的和 71 48 54 66 A.D B.C C.B D.A 题型2.有理数幼加法中的符号问题 【典例】将-6-(+7)+(-5)--2)改写成省略加号的和的形式应为 【跟踪专练1】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论() A.两个加数都是正数 B.两个加数中至少一个是正数 C.一个加数为正数，另一个加数为零D.两个加数同为负数 【跟踪专练2】已知a+b+c=0,且a>b>c,则下列结论一定成立的是() A.a<c B.a>c C.b<c D.>c 【跟踪专练3】若x>0,y<0,x+y>0,则下列关系正确的是() A.y<-x<-y<x B.y<-x<x<-y C.-x<y<x<-y D.-x<y<-y<x 题型3.有理数加法在生活中的应用 试卷第1页，共3页 【典例】温度从-5℃上升了5℃后，则温度计上显示的温度是 度 【跟踪专练1】嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数.今天嘉嘉用零花钱 买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱.嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为() A.-5+9 B.-5-9 C.5+9 D.5-9 【跟踪专练2】学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河.已知河边仅 有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 A 所需时间/分钟 5 10 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同. (1)若该船的最大载客人数为4人，则A、B、C、D四人过河所需的最短时间为 分钟： (2)若该船的最大载客人数为2人，则A、B、C、D四人过河所需的最短时间为 分钟， 【跟踪专练3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A,B,C三个小区投送快递， 每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P.P,A,B,C之间的距离（单位：km)如 图所示，则小明骑行的最短距离为() A 小区 0.7km .6km 快递点 1.2km B C 1.8km 小区 小区 A.5.3 B.6 C.6.3 D.4.5 题型4.有理数幼加法运算律 【典例】根据加法运算律填空： (1)3+(-9=(-9+ (2)6+(-8+(-2)=6+[+]; (3(-6)+(-7)+(-4)+(-3)=[-6)+_]+[(-7)+]. 试卷第1页，共3页 【跟专练】小想同学解题时，先将式子（引4+(）变成4[〔》】传计 算结果，则小慧同学运用了() A.加法交换律B.加法结合律 C.加法交换律与结合律D.分配律 【跟踪专练2】(1)计算：（-1+2+(-3)+4++(-2023)+2024= (2)计算：1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)+…+2025= 【跟踪专练3】下面是小梦做的一道计算题的解题过程，△和☆代表的计算依据分别是() 解：-14-11+6-39 =-14-11-39+6(△) =-14+(-11-39+6(☆) =-14-50+6 =-58. A.有理数减法法则、加法结合律 B,加法结合律、加法交换律 C.加法交换律、加法结合律 D.无法确定 题型5.有理数的减法运算 【典例】计算：-5-(-2)= 【跟踪专练1】计算(-3)-（-6)的结果等于() A.-9 B.9 C.-3 D.3 【跟踪专练2】若1a=2,|b=5,且a-b=a-b,则a-b的值为 【跟踪专练3】小明用1个⊕表示+1，用1个⊙表示-1，图(1)表示的是计算4--2)的 过程.按照这种方法，图(2)表示的过程应是在计算(). ⊕ ⊕ ⊕ΦO ⊕ ⊕a ⊕O 田 ⊕O 图(1) 图(2) A.(-5)+-3 B.+5+-3) 试卷第1页，共3页 C.(-5)--3 D.（+5)-(-3 题型6.有理数减法的实际应用 【典例】如图是某市1月1日的天气情况，则当天的温差（最高气温与最低气温的差）是 C 日期 周四 (1月1日) 多云 天气 温度 -3℃~5℃ 【跟踪专练1】一次测试共有两道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有35人， 答对第二题的有30人，两道题都答对的有25人，那么两道题都答错的人数为() A.5人 B.10人 C.15人 D.25人 【跟踪专练2】实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观 测点的相对高度（如A-C为90米表示观测点A比观测点C高90米），然后用这些相对高 度计算出山的高度，下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得A-B是 米 A-C C-D E-D F-E G-F B-G 90米 80米 -60米 50米 -85米 40米 【跟踪专练3】下表是某地连续4天内每天的最高气温和最低气温记录，在这4天中，温差 (最高气温与最低气温的差)最小的是( 第一天 第二天 第三天 第四天 最高温度/C 8 5 6 4 最低温度/℃ -2 -3 -1 A.第一天 B.第二天 C.第三天 D.第四天 题型7.有理数的加减混合运算 【典例】163-63+(-259)= 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算：-3+( ○-(-8)，其 中 是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则 表示的数是() A.10 B.-4 C.-10 D.10或-4 【跟踪专练2】计算1+2-3-4+5+6-7-8+…-2023-2024+2025的结果是· 【跟踪专练3】若a=（-1.6)+(-2.4)-6，,b=二 -4+(-3.5)则下列结论正确的是（） 44 A.a<b B.a=b C.axb D.2a=b 题型8.有理数幼加减中的简便画运算 【典例1计算计名位六动安高 .1 【跟踪专练1】计算(-1)+(+2)+(-3)++4)+…+(-2023)+(+2024+(-2025+(+2026)的结 果为() A.2025 B.-2025 C.-1013 D.1013 【跟踪专练2】2十62 111 1 +…+ 9900 【跟踪专练3】计算： +上+上++的值为() 612203042 1 5 A.2 3 B.10 C.14 D. 13 42 题型9.有理数幼加减混合运算的应用 【典例】一天早晨的气温是-7℃，中午上升了12℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是 ℃. 【跟踪专练1】某银行的一个储蓄所某天上午在一段时间内办理了5件储蓄业务（存入为正， 取出为负)：+1080元，-900元，+1090元，+1000元，-1100元；这时银行现款增加了() A.1180元 B.1170元 C.1160元 D.1150元 【跟踪专练2】小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元， 扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元.则当 天结束后，小王微信钱包剩余零钱为 【跟踪专练3】“湘超”火热进行，某校七年级也组织14支队伍进行足球友谊赛.其中三支 球队两两比赛的结果是：1队胜2队，比分为4：2；2队胜3队，比分为2：1；3队负1队， 试卷第1页，共3页 比分为2：4.如果进球数为正，失球数为负，那么三队的净胜球数各为()（注意：净 胜球=球队的进球数~失球数，所以净胜球数也可能是负数) A.4,-1,-3B.2,1,-2 C.8,4,3 D.4,1,3 题型10.省略加法和括号的形试 【典例】把7-（-8)-(+4.2)+(-5.3)写成省略括号的和的形式为 【跟踪专练1】将6-（+3)--7)+(-2)写成省略加号的和的形式，正确的是() A.-6-3-7-2B.6-3-7-2 C.6-3+7-2 D.6+3-7-2 【跟踪专练2】把-12)-(-13)+(-14)-(+9)写成省略加号的和的形式是 【跟踪专练3】将+16)+(-29)-（-7)-（+11写成省略加号的和的形式为() A.16+29-7-11 B.16-29+7-11 C.16+29+7-11 D.16-29-7+11 题型11.有理数减法与数轴的综合应用 【典例】数轴上表示数-3的点与表示数5的点的距离为 【跟踪专练1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm),刻度尺上“0cm” 和“3cm”分别对应数轴上的4和1，那么刻度尺上“7.2cm”对应数轴上的数为() 8L9Sb￡ZI 0 -4-3-2-101234 A.3.2 B.-3.2 C.3.8 D.-3.8 【跟踪专练2】数轴上表示有理数m和表示有理数n的两个点之间的距离可以用m-1来表 示，例如：数轴上-3的点到表示2的点的距离用-3-2表示.设点P在数轴上表示的有理 数是x,则x-5+x+2的最小值是 -5-4-3-2-1012345 【跟踪专练3】己知数轴上的点A、B分别表示数a,b,其中-1<a<0,-1<b<0,且 a=3b，若a-b=c,数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是() A.CB CA B 01→ B.1 0 试卷第1页，共3页 D. C A B 0 题型12.有理数混合运算中的规律题 【典例】观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为 【跟踪专练1】现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则： 加密钥匙为“n&5”它代表把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字.例 如明文是3，对应的密文是9，若收到的密文是2025，那么通过解密，它对应的明文是 ① 加密 传输 密文m 解密 明文n 密文m 明文n ⑨ ③ ④ ⑦⑥ 【跟踪专练2】如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A 向左移动3个单位长度到达点A,第二次将点A向右移动6个单位长度到达点A,第三次 将点4向左移动9个单位长度到达点A,第四次将点A向右移动12个单位长度到达点 A,.,按照这种移动规律移动下去，第次移动到达点A,.如果点A,与原点的距离不小 于20，那么n的最小值是() 43103含4 A.12 B.13 C.26 D.27 【跟踪专练3】如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格 子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的整数为() A.-1 B.0 C.2 D.5 题型13.新定义运算 【典例】定义新运算a★b=a-b-b,如4★2=4-2-2=2-2=0；那么(-4)★(-2]★3 若(x★2)+x★(-2)=9，则x可以取的值有 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数的差 为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于 1,2,3进行“非负差值运算”，(2-1)+3-2)+(3-1=4，则对于-2,3,5,9进行“非负 差值运算的结果是 【跟踪专练2】符号”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3, 2)分-2,6得=3,4，-5， 利用以上规律计算∫ 324+0+)f-1--120s 结果是() A.-1 B.0 C.1 D.-2025 解答题 1.计算： 0时号 a(2别 (3)-7+11+3+(-2 (4)-20-(-5--5-（-12) )++ o引〔》 14+12-(号 26-（ 2.计算： 0-251- ®（引 a-0-(-25-月 试卷第1页，共3页 ④025+位〔)( 3.计算： (1)9+(-7)+10+(-3)+(-9): (2)12+(-14)+6+(-7); (4)-4.2+5.7+(-8.7)+4.2: 35 (⑥（←189）+(+53+（←53.0++18号+100. 4.如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格.每次开锁时需要先把表示0”的刻度与固定 盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次.规定：逆时针旋转记 为“+”，顺时针旋转记为“-”，例如“-5”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35. ,标记线 ±旋转盘 (1)若开锁密码为“+15，-20，+10，-8，+6，-12”（需旋转6次），请描述第一次的旋转 过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗a单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗1.2a单位零件寿命， 请计算第(1)问打开锁的过程中零件寿命总损耗， 5.数学源于生活，又服务于生活.有人说：“数学是锻炼思维的体操”，数学可以多方向去 探究解决问题的办法，在七年级的数学学习中，我们掌握了众多解决实际问题的数学工具（如 数轴)和数学方法.（如认识正负数、绝对值、有理数的加法等等）·完成以下问题： ()请举出一个具体实例，说明你在日常生活中是如何运用七年级的数学知识解决实际问题 的？ (2)通过上述问题的解决，谈谈数学在解决这些问题时带给你的启发是什么？ 6.对于任意有理数a,b定义一种新运算：a⊕b=(a-b)-a+b. (1)若a=-3,b=2,求a⊕b的值； (2)求(-3田5)田(-2)的值， 试卷第1页，共3页 7.【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义⊕运算： (-4)⊕(-16)=20，(+9)®(+5)=14； (-2)⊕(+14=-12，(-15)®(+9)=6， (+25)⊕(-10)=-15,0⊕(-12)=-12，(+15)⊕0=15， 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳⊕运算法则： 两数进行田运算时：同号两数运算，异号两数运算，特别地，0和任何数进行田运 算，或任何数和0进行⊕运算，仍· (②)计算写出最后化简结果： ①(-10)©(-20)=； ②(+9)⊕[0©(-25]=； (3)若-1⊕a=2025,1⊕b=-2025,则a-b的值为 试卷第1页，共3页 专题03有理数的加法与减法暑假预习讲义 1.熟记运算法则：完整理解并背诵有理数加法、减法法则，分清同号、异号两数相加的计算步骤，掌握 “减去一个数等于加上它的相反数” 的减法转化核心公式。 2.规范基础计算：能独立完成整数、分数、小数的有理数加减运算，先定符号再算绝对值，杜绝符号、绝对值计算混淆的低级错误。 3.掌握运算简便技巧：理解有理数加法交换律、结合律，会分组凑整、凑 0、同分母结合、同符号结合简化混合加减运算。 4.实现加减统一化简：熟练将有理数加减混合算式统一转化为加法算式，正确书写省略加号的和式，规范读出代数和。 5.数形结合辅助计算：会借助数轴表示有理数加法、减法的移动过程，利用数轴验证计算结果，深化正负运算逻辑。 6.解决实际应用问题：能结合温度、海拔、收支、行程等实际情境，列出有理数加减算式并求解，读懂正负代表的实际意义。 7.区分易混易错点：理清相反数、符号变化、去括号符号规律，归纳 “减负等于加正、加负等于减正” 的易错题型。 8.预习整理要求：梳理加减法则对比表格，摘抄典型计算题；标记异号两数相加、混合去括号、实际应用题等难点，课堂针对性听讲突破。 预习必备 知识梳理 1.有理数加法法则 2.加法运算律 3.有理数的加法 4.有理数加减混合运算 5.数轴辅助理解加减运算 6.有理数加减实际应用 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练. 1.有理数加法运算 2.有理数加法中的符号问题 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数加法运算律 5.有理数减法运算 6.有理数减法的实际应用 7.有理数的加减混合运算 8.有理数加减中的简便运算 9.有理数加减混合运算的应用 10.省略加法和括号的形式 11.有理数减法与数轴的综合应用 12.有理数混合运算中的规律题 13.新定义运算 强化题型 解答题5题 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大 结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为 0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加 0 原数符号不变 绝对值不变 0+(−1.3)=−1.3 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） 凑 0 分组：互为相反数的数先结合，和直接为 0 例：3+(-3)+7=0+7=7 同号分组：所有正数、所有负数分别结合 例：(-5)+8+(-3)+2=[(-5)+(-3)]+(8+2)=-8+10=2 凑整分组：小数、整数相加得整十 / 整数优先结合 例：1.6+(-2.7)+(-1.6)=[1.6+(-1.6)]-2.7=-2.7 同分母分数分组：分母相同的分数优先合并 知识点03:有理数的减法 一、有理数减法统一法则（本节核心转化公式） 文字法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母公式：a-b=a+(-b) 二、减法两步计算标准流程 1.变运算符号：减号 “-” 改成加号 “+”； 2.变减数符号：减数改成它的相反数； 3.按照有理数加法法则完成计算。 分类型例题 正数减正数：5-8=5+(-8)=-3 负数减正数：-6-4=-6+(-4)=-10 正数减负数：7-(-2)=7+2=9 负数减负数：-3-(-9)=-3+9=6 任何数减 0：(-5)-0=-5 0 减任意数：0-(-4)=0+4=4 减法符号变化规律总结 减正数 = 加负数 减负数 = 加正数 知识点04:有理数加减混合运算（考试重点大题） 1. 统一转化为加法（代数和形式） 步骤：所有减法全部改写为 “加上相反数”，算式只保留加号。 例：-7-(+3)+(-2)-(-5) 原式=-7+(-3)+(-2)+5 2. 省略加号的和式书写与读法 统一为加法后，省略所有括号与前面的加号，简写为代数和： 例：-7+(-3)+(-2)+5 简写为 -7-3-2+5 两种规范读法： 1 按代数和读：负 7、负 3、负 2、正 5 的和； 2 按运算读：负 7 减 3 减 2 加 5。 3. 混合运算完整解题步骤（答题标准格式） ① 去括号，减法全部转化为加法； ② 运用加法交换律、结合律分组简便计算； ③ 分别计算每组结果； ④ 最后合并求和。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为\(-3\)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 知识点07:高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再算绝对值颠倒 -7+3=4 -7+3=-4 分不清取绝对值大数的符号 减法只变符号，不转换运算 5-(-2)=5-2=3 5-(-2)=5+2=7 忘记 “减负数 = 加正数” 两步变换 去多重括号符号混乱 -3-(5-2)=-3-5-2 -3-(5-2)=-3-5+2 括号前是负号，括号内全部变号 简便分组漏带数字符号 -8+6-2=-(8+2)+6 (-8-2)+6 移动数字时，符号要跟着数字走 互为相反数相加算错 6+(-6)=12 6+(-6)=0 未记住相反数相加和为 0 混合运算漏转化减法直接计算 -4-6=-2 -4+(-6)=-10 两个负数相减，忘记统一为加法 题型1.有理数加法运算 【典例】．_____． 【答案】2 【详解】解：． 【跟踪专练1】与相加得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故． 【跟踪专练2】黑板上有8个数：，它们的和为比b大是a的2倍．若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数是所擦除的两个数的和加上2），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则剩下的这个数是___． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的加法，理解“黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加2”是解题的关键． 每次操作使数字个数减少1，总和增加2；从8个数操作到1个数需7次，总增加14；初始总和为，故最终数为． 【详解】解：操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加2．从8个数到1个数，需操作次，总和增加．初始总和为，故最终数为． 故答案为：2． 【跟踪专练3】有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 题型2.有理数加法中的符号问题 【典例】将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【跟踪专练1】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的和的符号的确定． 由条件且，可知，，而的符号不确定．通过分析绝对值比较，结合条件推导出一定成立． 【详解】解：∵且， ∴，， 故 ． 对于与： 若，则，由得， ∵， ∴，即 ； 若，则， ∵且， ∴，即； 综上，总有 ，故C正确，D错误； 对于A 和B，由于的符号不确定，与的大小关系不确定（例如当时，当时），故 A 和 B 不一定成立． 故选：C． 【跟踪专练3】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型3.有理数加法在生活中的应用 【典例】温度从℃上升了℃后，则温度计上显示的温度是________度． 【答案】 【详解】根据题意，得（℃）． 【跟踪专练1】嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 【跟踪专练2】学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河．已知河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 所需时间/分钟 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 【答案】 12 38 【分析】本题考查最优策略下的过河时间计算，根据船的载客人数，结合“多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同”这一规则，分别分析两种载客人数下的最短时间． （1）当船的最大载客人数为人时，四人可同时乘船过河，过河时间取单人划船过河所需的最长时间，即的分钟； （2）当船的最大载客人数为人时，需通过多次往返完成过河，最优方案为：和先过河，返回；和再过河，返回；最后和再次过河，计算总时间即可得最短时间分钟． 【详解】解：（1）∵船的最大载客人数为人，四人可同时乘船过河， 又∵多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同，四人中最长时间为分钟， ∴四人过河所需最短时间为分钟． 故答案为：； （2）解：船的最大载客人数为人，需通过“快者往返送船”的策略优化时间，具体步骤如下： 第一次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第二次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第三次：(分钟)与(分钟)过河，耗时分钟．累计：分钟． 此时四人全部过河，总耗时最短为分钟． 故答案为：． 【跟踪专练3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示，则小明骑行的最短距离为（　　） A．5.3 B．6 C．6.3 D．4.5 【答案】A 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：找出所以可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：A 题型4.有理数加法运算律 【典例】根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用． （1）利用加法交换律求解； （2）利用加法结合律求解； （3）利用加法交换律和结合律求解． 【详解】（1）解：根据加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 因此，， 故答案为； （2）根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 为了计算简便，将负数结合：， 故答案为，； （3）观察发现，与相加得，与相加得， 因此， 故答案为,． 【跟踪专练1】小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 【跟踪专练2】（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 【跟踪专练3】下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 题型5.有理数的减法运算 【典例】计算：____________． 【答案】7 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算即可得到结果. 【详解】解：． 【跟踪专练2】若，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，根据绝对值的意义，求出的值，根据，得出，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或 【跟踪专练3】小明用1个表示，用1个表示，图（1）表示的是计算的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法，掌握知识点是解题的关键． 根据图（1）的计算过程，按照这种方法，即可得到图（2）表示的过程应是在计算的过程，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算的过程． 故选C． 题型6.有理数减法的实际应用 【典例】如图是某市1月1日的天气情况，则当天的温差（最高气温与最低气温的差）是__________． 【答案】8 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，掌握有理数减法的运算法则是解题的关键． 用当天的最高气温减去最低气温即为当天的温差，由此可解． 【详解】解：． 故答案为：8． 【跟踪专练1】一次测试共有两道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有25人，那么两道题都答错的人数为（    ） A．5人 B．10人 C．15人 D．25人 【答案】B 【分析】将全班同学分为只答对第一题、只答对第二题、两题都答对、两题都答错四类，根据已知条件计算各类人数，即可得到两道题都答错的人数. 【详解】解：将全班同学分为四类，A为只答对第一题，B为只答对第二题，C为两题都答对，D为两题都答错； ∵答对第一题的有35人，两题都答对的有25人， ∴. ∵答对第二题的有30人，两题都答对的有25人， ∴. 已知，全班总人数为50， ∴. ∴两道题都答错的有10人. 【跟踪专练2】实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是______米． 90米 80米 米 50米 米 40米 【答案】225 【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数，正确理解题意是解题关键．根据题意，（米），为90米表示观测点A比观测点C高90米，所以（米），所以（米），即观测点A比观测点D高170米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点E高230米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点F高180米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点G高265米，因为（米），所以（米）． 【详解】解：因为（米），（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）． 故答案为：225． 【跟踪专练3】下表是某地连续4天内每天的最高气温和最低气温记录，在这4天中，温差（最高气温与最低气温的差）最小的是（   ） 第一天 第二天 第三天 第四天 最高温度/℃ 8 5 6 4 最低温度/℃ 1 A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天 【答案】D 【分析】本题考查了温差的定义，有理数的减法，分别求出每天的温差，作比较即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第一天的温差， 第二天的温差， 第三天的温差， 第四天的温差， ∵， ∴温差最小的是第四天， 故选：D． 题型7.有理数的加减混合运算 【典例】_______ 【答案】 【分析】按照从左到右的运算顺序，结合有理数加法法则计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】小明在做课外习题时遇到如下所示一道题：计算： ，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（  ） A．10 B． C． D．10或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 用结果减去加数，加上减数即可． 【详解】解：∵计算结果为15， ∴ ，即， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】计算的结果是_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查有理数加减运算，找到规律：，，每四个数一组的和为0，故可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【跟踪专练3】若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 题型8.有理数加减中的简便运算 【典例】计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握裂项相加是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A．2025 B．-2025 C．-1013 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，数字的规律探索． 解题时先观察数列规律，发现每两个相邻的数为一组，每组和为，总共有组，因此总和为. 【详解】解： 故选：D ． 【跟踪专练2】_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法的简便运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特点，裂项作差解答． 根据题目式子的特点，将式子变形，然后裂项作差即可求得所求式子的值． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 题型9.有理数加减混合运算的应用 【典例】一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 _______． 【答案】 【分析】根据有理数加减运算法则计算即可 【详解】解：根据题意可得，半夜的气温为：， 【跟踪专练1】某银行的一个储蓄所某天上午在一段时间内办理了5件储蓄业务（存入为正，取出为负）：元，元，元，元，元；这时银行现款增加了（   ） A．1180元 B．1170元 C．1160元 D．1150元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减运算的实际应用，通过将所有业务金额相加，计算现款的总变化． 【详解】解：∵存入为正，取出为负， ∴总变化 ∴ 银行现款增加了1170元． 故选B． 【跟踪专练2】小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 【跟踪专练3】“湘超”火热进行，某校七年级也组织14支队伍进行足球友谊赛．其中三支球队两两比赛的结果是：1队胜2队，比分为；2队胜3队，比分为；3队负1队，比分为．如果进球数为正，失球数为负，那么三队的净胜球数各为（    ）（注意：净胜球球队的进球数失球数，所以净胜球数也可能是负数） A．4，， B．2，1， C．8，4，3 D．4，1，3 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算在净胜球计算中的应用，解题的关键是根据净胜球的定义（净胜球进球数失球数）分别计算各队的净胜球． 分别分析1队、2队、3队的进球数和失球数，再根据净胜球的计算公式求出各队净胜球，最后与选项对比得出答案． 【详解】解：1队：1队与2队比赛进球4个，失球2个；1队与3队比赛进球4个，失球2个．所以1队进球数为，失球数为，净胜球为； 2队：2队与1队比赛进球2个，失球4个；2队与3队比赛进球2个，失球1个．所以2队进球数为，失球数为，净胜球为； 3队：3队与1队比赛进球2个，失球4个；3队与2队比赛进球1个，失球2个．所以3队进球数为，失球数为，净胜球为． 故选：A． 题型10.省略加法和括号的形式 【典例】把写成省略括号的和的形式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法与减法法则，熟练掌握运算法则是解题关键．根据减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的减法转换为加法，并省略括号和加号，由此即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【跟踪专练2】把写成省略加号的和的形式是_________． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 【跟踪专练3】将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 题型11.有理数减法与数轴的综合应用 【典例】数轴上表示数的点与表示数的点的距离为 _____． 【答案】8 【分析】数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 【详解】解：． 即数轴上表示数的点与表示数的点的距离为8． 【跟踪专练1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C．3.8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，有理数的减法，利用数轴上两点间的距离列式计算即可． 【详解】解：刻度尺上表示对应数轴上的数为：． 故选：B． 【跟踪专练2】数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 【跟踪专练3】已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，，且，得到点和点在与0之间，且点在点的左侧，且，进而得到，得到点的位置在中间，即可得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴点和点在与0之间，且点在点的左侧，， ∴， ∴点的位置在中间， 故满足题意的只有选项A； 故选A 题型12.有理数混合运算中的规律题 【典例】观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 【跟踪专练1】现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9，若收到的密文是2025，那么通过解密，它对应的明文是______． 【答案】6469 【分析】本题考查了数字类规律探索．根据“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”，找到密文是2025，各个数位对应的数字即可求解． 【详解】解：∵“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”， ， ， ， ． 故它对应的明文是6469． 故答案为：6469． 【跟踪专练2】如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，第四次将点向右移动12个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到达点．如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是（    ） A．12 B．13 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据数轴发现题目规律，按照规律解答即可． 当n为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，当n为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3． 【详解】解：根据题目已知条件，表示的数，； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 所以点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13． 故选：B． 【跟踪专练3】如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的整数为（   ） 2 5 … A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键． 根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出，，再根据第9个数是5可得，然后得出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2025除以3，即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 解得：，， 数据从左到右依次为、2、、、、、…… 第9个数是5， ， 每3个数“、2、5”为一个循环组依次循环， ， 第2025个格子中的数为5， 故选：D． 题型13.新定义运算 【典例】定义新运算，如；那么_________，若，则x可以取的值有_____________． 【答案】 和 【分析】本题考查有理数的加减运算，去绝对值，绝对值方程的解法等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．对于第一部分，根据新运算定义，先计算，再计算结果与3的运算；对于第二部分，先根据定义将方程化简为，再分区间讨论求解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 当时，方程化为，解得，符合条件， 当时，方程化为，无解， 当时，方程化为，解得，符合条件， 故x可以取的值为和， 故答案为：；和． 【跟踪专练1】定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差(大数减小数，相等的数的差为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于1，2，3进行“非负差值运算”，，则对于，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是_______． 【答案】35 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据“非负差值运算”的定义，对于给定的四个有理数，需计算所有两数组合的差（大数减小数），再将这些差进行求和． 【详解】解：由题意得， ，，，，，， ， 故答案为：35． 【跟踪专练2】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，… （2），，，，… 利用以上规律计算结果是（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】考查了数字变化规律，有理数的加减运算，解题关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．由（1）得到，由（2）得到，可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，，，…； ，，，，… ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 解答题 1．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查有理数的加法、减法运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加法法则可进行求解； （3）根据有理数的加法法则可进行求解； （4）根据有理数的减法法则可进行求解； （5）根据有理数的加法运算律可进行求解； （6）根据有理数的加法运算律可进行求解； （7）根据有理数的加减混合运算可进行求解； （8）根据有理数的加减混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是将小数与分数统一形式，利用加法结合律简化计算． （1）将小数化为分数，再通分计算； （2）将同分母分数结合，利用加法结合律简便计算； （3）将小数化为分数，结合同分母分数计算； （4）将小数化为分数，结合同分母分数计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 4．如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35． (1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗． 【答案】(1)过程见解析，刻度线所表示的数为 (2) 【分析】本题考查正负数的意义，有理数的加减运算的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）根据题干背景，描述旋转过程即可；将6个数相加，根据结果判断所表示的数； （2）根据（1）的旋转过程，分别计算顺逆时针的寿命消耗，相加即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一次旋转过程为：逆时针旋转15小格， ， ， ∴刻度线所表示的数为； （2）解：， ， ， ∴零件寿命总损耗为单位． 5．数学源于生活，又服务于生活．有人说：“数学是锻炼思维的体操”，数学可以多方向去探究解决问题的办法，在七年级的数学学习中，我们掌握了众多解决实际问题的数学工具（如数轴）和数学方法．（如认识正负数、绝对值、有理数的加法等等）．完成以下问题： (1)请举出一个具体实例，说明你在日常生活中是如何运用七年级的数学知识解决实际问题的？ (2)通过上述问题的解决，谈谈数学在解决这些问题时带给你的启发是什么？ 【答案】(1) 例如，使用正负数表示温度，今天气温-5°C，明天3°C，通过计算3 - (-5) = 8°C，得出明天比今天升温8°C。 (2) 数学启发我们问题可以通过数学工具量化解决，培养逻辑思维和精确计算能力。 【分析】此题考查有理数计算的实际应用， （1）列举昨天和今天的气温，计算可得； （2）数学启发我们问题可以通过数学工具量化解决，培养逻辑思维和精确计算能力 【详解】（1）解：例如，使用正负数表示温度，昨天天气温度，今天， ， 得出金天比昨天升温； （2）数学启发我们问题可以通过数学工具量化解决，培养逻辑思维和精确计算能力 6．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 7．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；② (3)2 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； （3）解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $