专题03平移、轴对称期末复习讲义（13大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期,

专题03平移、轴对称期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握平移、轴对称的定义与核心性质；分清轴对称图形、两个图形成轴对称的概念差异，熟记常见轴对称图形的对称轴数量。 平移与轴对称规范作图；利用性质求解线段、角度、周长与面积；掌握折叠问题、将军饮马最短路径两大经典模型。。 准确区分平移距离与线段间距；数全对称轴条数；作图保留辅助痕迹；折叠问题灵活运用边角等量关系 。 核心题型◆归纳 题型1.平移现象 题型2.利用平移性质求解 题型3.平移实际应用 题型4.平移作图题 题型5.轴对称图形识别 题型6.轴对称图形作图题 题型7.轴对称性质的应用 题型8.镜面对称问题 题型9.折叠问题 题型10.反射路径类问题 题型11.垂直平分线性质应用题 题型12.角平分线性质应用题 题型13.轴对称最值问题 重点知识◆梳理 【知识点一、图形的平移】 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。如下图：例：△ABC 沿直线 PQ 平移得到 △A'B'C'。  对应点：平移前后相互对应的点 例：点 A 与点 A'、点 B 与点 B'、点 C 与点 C' 互为对应点。  对应线段：平移前后相互对应的线段 例：线段 AB 与 A'B'、BC 与 B'C'、AC 与 A'C' 互为对应线段。 对应角：平移前后相互对应的角 例：∠A 与∠A'、∠B 与∠B'、∠ C 与∠C' 互为对应角。 平移方向：任意一组对应点的连线指向（如点 B 到点 B' 的方向）。 平移距离：任意一组对应点所连线段的长度； 例：线段 AA'、BB'、CC' 的长度都是本次平移的距离。 2.平移的性质 分类 平移性质 文字解读 易错提示 图形整体 平移前后图形全等（形状、大小不变） 平移只改变图形位置，不改变形状与大小 平移不会拉长、缩小图形，角度、周长、面积均不变 对应线段 对应线段平行（或在同一直线上）且相等 原图形与平移后图形中，互相重合的线段长度相等、位置平行 部分对应线段会在同一条直线上，不要误判为不平行 对应角 对应角相等 平移后图形的角与原图形对应角度数完全相同 角度计算类题目，可直接利用对应角相等转化条件 对应点连线 连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等 图形上每一组重合点的连线，长度、位置关系统一 这条线段的长度 = 平移距离，是求平移距离的依据 整体运动规律 图形上所有点的平移方向、平移距离完全相同 整个图形同步移动，无局部偏移 作图时所有关键点必须按同一方向、同一距离平移 ★平移五个不变：形状、大小、线段长、角度、相对位置； 只变一个：图形整体位置。 3.平移作图步骤 （1）找出原图形的关键点（顶点、端点）； （2）按指定方向和距离，作出各关键点的对应点； （3）按照原图顺序，依次连接对应点，得到平移后的图形； （4）标注名称、箭头（平移方向）。 【知识点二、轴对称】 1.轴对称图形：如果把两个图形沿一条直线折叠，直线两旁的两个图形能够互相重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴；折叠后能够重合的点叫做对称点。 如下图，把△ ABC沿着这条直线折叠，直线两侧的△ABC与△FED能够完全重合，我们就称这两个三角形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。 ★特点：一个图形自身对称。 2.两个图形成轴对称： 把两个图形沿一条直线折叠，这两个图形能够互相重合，就称这两个图关于这条直线成轴对称，这条直线为对称轴。 ★特点：两个独立图形对称。 3.对应点（对称点）：折叠后互相重合的点；对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线。 4.轴对称的性质 分类 轴对称性质 文字解读 解题应用 & 易错提示 图形整体关系 成轴对称的两个图形全等 翻折前后图形形状、大小完全不变，仅位置改变 可直接推导对应线段、对应角相等；周长、面积均不变 对应线段 对应线段相等，对应线段（或延长线）的交点在对称轴上 折叠后重合的线段长度相等；线段延长相交，交点必落在对称轴上 求边长、证明线段相等常用；不要误判交点位置 对应角 对应角相等 折叠后重合的角度数完全相同 角度计算、几何推理直接套用 对称点连线 对称轴垂直平分任意一组对称点的连线 连接一对对应点，所作线段与对称轴互相垂直，且被对称轴平分 1. 作对称点、画对称轴的依据2. 区分：平移是平行且相等，轴对称是垂直平分 图形变换特征 沿对称轴翻折后，两部分完全重合 翻折是轴对称的核心运动形式，图形左右 / 上下翻转 折叠类题型本质就是轴对称，翻折前后边角全部等量 5.轴对称作图步骤 （1）选取原图形关键点； （2）过每个关键点作对称轴的垂线，并延长，截取等长线段，得到对称点； （3）按原图顺序连接对称点，补全图形。 【知识点三、平移与轴对称区别】 对比内容 图形的平移 轴对称 运动方式 沿直线平行移动 沿直线翻折重合 位置关系 对应点连线平行且相等 对应点连线被对称轴垂直平分 图形变化 方向不变 方向翻转 ★：常见轴对称图形 线段：2 条对称轴（线段本身、垂直平分线） 角：1 条对称轴（角平分线所在直线） 等腰三角形：1 条对称轴（底边上的高 / 中线 / 顶角平分线） 长方形：2 条对称轴；正方形：4 条对称轴 圆：无数条对称轴（过圆心的直线） 【知识点四、线段垂直平分线】 1.定义：经过一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线，称为这条线段的垂直平分线（又称中垂线），“中点”和“垂直”二者缺一不可。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 3.判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 性质 符号语言 图示 (1)线段是 轴对称 图形， 垂直 并且平分线段的直线，是它的一条对称轴； (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等。 如图，因为 CD⊥AB，OA=OB，点 P 是直线 CD 上任意一点，所以 PA=PB 【知识点五、角平分线】 1.定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等小角的射线，即为角的平分线（角平分线是射线，仅在角内部），如下图。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 3判定定理：角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【知识点六、期末常考模型 & 解题技巧】 ✔折叠问题 本质：折叠前后的部分关于折痕成轴对称，折叠前后线段、角度完全相等。 解题思路：找准对称边、对称角，利用等量关系列等式计算。 ✔最短路径问题（将军饮马模型） 模型：直线同侧两点，求直线上一点使总路程最短。 方法：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。 ✔网格类画图题 通用要求：作图痕迹清晰，保留垂线、虚线等辅助线，关键点必须精准定位。 题型解析◆精准备考 题型1.平移现象 1．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 2．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为__________． 【答案】120m 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】荷塘周长为240m， 小桥总长为：240÷2=120（m）， 故答案为：120 m． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 3．下列图案可以由什么图形平移形成？ 【答案】见解析 【分析】根据平移的性质以及基本图形的组成分别得出即可． 【详解】如图所示， 虚线方框图形平移形成此图案， 图案分别由虚框中的图像平移而成． 【点睛】本题考查了利用平移设计图案，正确根据已知图形得出基本图形是解题关键． 题型2.利用平移性质求解 1．如图，由向右平移得到，点，，，在同一条直线上，以下结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是由通过平移得到， ∴，，， ∴，即， 不能得到， 观察四个选项，选项D符合题意． 2．如图，在中，，若将沿着向右平移后得到，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出，根据线段的和差关系即可求出的长． 【详解】解：∵将沿着向右平移后得到， ∴， ∵， ∴． 3．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移以及面积的计算，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移是解题的关键． （1）由题意可知将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据此特点再将点，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，，然后依次连接可得，最后根据点的位置得出答案； （2）由（1）可得，平移规律，即可得到点的坐标； （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【详解】（1）解：即为所求； 点． （2）解：由（1）可得，平移的规律为：向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； ∴． （3） 解：． 题型3.平移实际应用 1．如图，图形的周长是（ ）厘米． A．30 B．45 C．无法确定 D．44 【答案】D 【分析】把凹进去的横向线段向上平移，纵向线段向左平移，整个图形就可以转化成一个完整的长方形，再求转化后的长方形周长即可． 【详解】解：图形的周长是（厘米）． 2．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是_____________． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为米，宽为米的长方形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 绿化的面积为． 3．如图，在宽为、长为的长方形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积． 【答案】 【分析】利用长方形的面积减去两条小路的面积，然后再加上两条路的重叠部分，进行计算即可求解． 【详解】解：耕地的面积为：． 题型4.平移作图题 1．如图，在由小正方形组成的的网格中，小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1个单位长度．点在格点上，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到线段，连接，，则四边形内部（不含边界）的格点个数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据平移作出图形，根据图形即可解答． 【详解】解：如图， 四边形内部（不含边界）的格点有6个． 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 【答案】(1)如图，三角形如图所示： (2)符合条件的四边形的形状有两种，如图所示： 或 【分析】（１）点A向上平移5个单位，向右平移3个单位，得到，将点、点也向上平移5个单位，再向右平移3个单位，得到点，点，连线得所求的三角形； （2）符合条件的四边形有两种情况，分别是①从点开始，向右平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，长度为3，高为2，面积为6；②从点开始，向左平移3个单位，得到点D，四边形构成平行四边形，面积为6． 【详解】（1）略 （2） 略 题型5.轴对称图形识别 1．甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2．下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 【详解】解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 3．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】 解：轴对称图形是，画出对称轴如下： 【详解】略 题型6.轴对称图形作图题 1．如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的特征进行作图即可． 【详解】解：线段如图所示： ①② ∴线段的位置共有2个． 2．如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有______个． 【答案】4 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称的性质，画出符合题意的点，即可得出结果． 【详解】解：由题意，满足题意的点，如图所示： 满足题意的点，共有4个． 故答案为：4． 3．如图1，在正六边形中，连接． (1)在图1中，作出关于直线的轴对称图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题的条件下，若，请求出四边形的周长． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2) 【分析】（1）以点为圆心为半径作弧，再以点为圆心为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求； （2）利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵在正六边形中，， 由对称，知，， ， ∴四边形的周长为． 题型7.轴对称性质的应用 1．如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ． 2．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 【答案】 【分析】根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出，的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：点与关于轴对称，，， ，， ， ． 3．如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长； （2）根据轴对称的性质可得，，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点， ，， △的周长， ； 的周长等于8； （2）解：如图，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ，， ． ． 题型8.镜面对称问题 1．平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，但数字和在镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后不变，因此实际时间与镜中示数相同． 【详解】解：平面镜中的电子钟示数为“”的数字均为或，这些数字在平面镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后仍为1，0，0，1， ∴实际时间为， 故选：A． 2．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 3．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 题型9.折叠问题 1．如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ． 2．如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】折叠得到，平行得到，，再利用平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图， 由折叠可知， ∵对边平行的纸带， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． (1)①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得 ，则 ，由平行线的性质得 ，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得 ， ，由平行线的性质得 ，推出 ，即可得出； （3）先证 ，再证 ，最后根据平角可得度数，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； 故答案为：； ②由题意得： ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得： ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，即交于点， 由折叠的性质得到： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在平角上，则有， ， ． 故答案为：． 题型10.反射路径类问题 1．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，理解反射原理，掌握角度的计算方法是关键． 如图所示，过点作，作，可得，，根据反射原理，可得，根据垂直的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，作， ∵水平桌面与天花板平行， ∴， ∴，， 根据反射原理，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）根据平行线性质及反弹规律可求得结果； 【详解】（1）（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． （2）解：过点作，如图所示： ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． 题型11.垂直平分线性质应用题 1．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 【答案】2000 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，证明垂直平分，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴， 设交于点，则：， ∴制作这个风筝需要的布料至少为； 故答案为：2000． 3．如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【详解】略 题型12.角平分线性质应用题 1．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到平分，所以． 【详解】解：由作法得平分， ． 2．如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 【答案】 【详解】解：，， ， 由作图痕迹，可知平分， ， ． 3．如图，已知直线，直线与，分别相交于，，是的平分线． (1)用尺规按要求作图：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）问的条件下，求证：． 证明：， _____________， 又平分，平分， ，． ___________， ． 【答案】(1) 如图，射线即为所求． (2)， 【分析】（1）根据角平分线的作法作出射线即可； （2）根据角平分线的定义结合平行线的性质即可推出结论． 【详解】（1）略 （2）证明：， ， 又平分，平分， ，． ， ． 题型13.轴对称最值问题 1．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过作于点，根据三角形的面积可求出的长度，作点，关于直线对称，由平分，可知点G在上，连接，则，则，故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当与重合时，取得最小值，解答即可． 本题考查三角形中的最短路径，轴对称图形的性质，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过作于点，如图： ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 作点，关于直线对称， ∵平分， ∴点G在上， ∴连接， 则， ∴，    ∵， ∴， 故当C，M，G三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，得当与重合时，取得最小值， 故的最小值为6． 故选：B． 2．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】由折叠可得，，，由，得，则，当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小，根据的面积为，，求出，即可求解． 【详解】解：、分别沿、向外翻折，得到，， ，，， ， ， ， 当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小， 的面积为，， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 3．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平移、轴对称期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握平移、轴对称的定义与核心性质；分清轴对称图形、两个图形成轴对称的概念差异，熟记常见轴对称图形的对称轴数量。 平移与轴对称规范作图；利用性质求解线段、角度、周长与面积；掌握折叠问题、将军饮马最短路径两大经典模型。。 准确区分平移距离与线段间距；数全对称轴条数；作图保留辅助痕迹；折叠问题灵活运用边角等量关系 。 核心题型◆归纳 题型1.平移现象 题型2.利用平移性质求解 题型3.平移实际应用 题型4.平移作图题 题型5.轴对称图形识别 题型6.轴对称图形作图题 题型7.轴对称性质的应用 题型8.镜面对称问题 题型9.折叠问题 题型10.反射路径类问题 题型11.垂直平分线性质应用题 题型12.角平分线性质应用题 题型13.轴对称最值问题 重点知识◆梳理 【知识点一、图形的平移】 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。如下图：例：△ABC 沿直线 PQ 平移得到 △A'B'C'。  对应点：平移前后相互对应的点 例：点 A 与点 A'、点 B 与点 B'、点 C 与点 C' 互为对应点。  对应线段：平移前后相互对应的线段 例：线段 AB 与 A'B'、BC 与 B'C'、AC 与 A'C' 互为对应线段。 对应角：平移前后相互对应的角 例：∠A 与∠A'、∠B 与∠B'、∠ C 与∠C' 互为对应角。 平移方向：任意一组对应点的连线指向（如点 B 到点 B' 的方向）。 平移距离：任意一组对应点所连线段的长度； 例：线段 AA'、BB'、CC' 的长度都是本次平移的距离。 2.平移的性质 分类 平移性质 文字解读 易错提示 图形整体 平移前后图形全等（形状、大小不变） 平移只改变图形位置，不改变形状与大小 平移不会拉长、缩小图形，角度、周长、面积均不变 对应线段 对应线段平行（或在同一直线上）且相等 原图形与平移后图形中，互相重合的线段长度相等、位置平行 部分对应线段会在同一条直线上，不要误判为不平行 对应角 对应角相等 平移后图形的角与原图形对应角度数完全相同 角度计算类题目，可直接利用对应角相等转化条件 对应点连线 连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等 图形上每一组重合点的连线，长度、位置关系统一 这条线段的长度 = 平移距离，是求平移距离的依据 整体运动规律 图形上所有点的平移方向、平移距离完全相同 整个图形同步移动，无局部偏移 作图时所有关键点必须按同一方向、同一距离平移 ★平移五个不变：形状、大小、线段长、角度、相对位置； 只变一个：图形整体位置。 3.平移作图步骤 （1）找出原图形的关键点（顶点、端点）； （2）按指定方向和距离，作出各关键点的对应点； （3）按照原图顺序，依次连接对应点，得到平移后的图形； （4）标注名称、箭头（平移方向）。 【知识点二、轴对称】 1.轴对称图形：如果把两个图形沿一条直线折叠，直线两旁的两个图形能够互相重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴；折叠后能够重合的点叫做对称点。 如下图，把△ ABC沿着这条直线折叠，直线两侧的△ABC与△FED能够完全重合，我们就称这两个三角形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。 ★特点：一个图形自身对称。 2.两个图形成轴对称： 把两个图形沿一条直线折叠，这两个图形能够互相重合，就称这两个图关于这条直线成轴对称，这条直线为对称轴。 ★特点：两个独立图形对称。 3.对应点（对称点）：折叠后互相重合的点；对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线。 4.轴对称的性质 分类 轴对称性质 文字解读 解题应用 & 易错提示 图形整体关系 成轴对称的两个图形全等 翻折前后图形形状、大小完全不变，仅位置改变 可直接推导对应线段、对应角相等；周长、面积均不变 对应线段 对应线段相等，对应线段（或延长线）的交点在对称轴上 折叠后重合的线段长度相等；线段延长相交，交点必落在对称轴上 求边长、证明线段相等常用；不要误判交点位置 对应角 对应角相等 折叠后重合的角度数完全相同 角度计算、几何推理直接套用 对称点连线 对称轴垂直平分任意一组对称点的连线 连接一对对应点，所作线段与对称轴互相垂直，且被对称轴平分 1. 作对称点、画对称轴的依据2. 区分：平移是平行且相等，轴对称是垂直平分 图形变换特征 沿对称轴翻折后，两部分完全重合 翻折是轴对称的核心运动形式，图形左右 / 上下翻转 折叠类题型本质就是轴对称，翻折前后边角全部等量 5.轴对称作图步骤 （1）选取原图形关键点； （2）过每个关键点作对称轴的垂线，并延长，截取等长线段，得到对称点； （3）按原图顺序连接对称点，补全图形。 【知识点三、平移与轴对称区别】 对比内容 图形的平移 轴对称 运动方式 沿直线平行移动 沿直线翻折重合 位置关系 对应点连线平行且相等 对应点连线被对称轴垂直平分 图形变化 方向不变 方向翻转 ★：常见轴对称图形 线段：2 条对称轴（线段本身、垂直平分线） 角：1 条对称轴（角平分线所在直线） 等腰三角形：1 条对称轴（底边上的高 / 中线 / 顶角平分线） 长方形：2 条对称轴；正方形：4 条对称轴 圆：无数条对称轴（过圆心的直线） 【知识点四、线段垂直平分线】 1.定义：经过一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线，称为这条线段的垂直平分线（又称中垂线），“中点”和“垂直”二者缺一不可。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 3.判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 性质 符号语言 图示 (1)线段是 轴对称 图形， 垂直 并且平分线段的直线，是它的一条对称轴； (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等。 如图，因为 CD⊥AB，OA=OB，点 P 是直线 CD 上任意一点，所以 PA=PB 【知识点五、角平分线】 1.定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等小角的射线，即为角的平分线（角平分线是射线，仅在角内部），如下图。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 3判定定理：角内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【知识点六、期末常考模型 & 解题技巧】 ✔折叠问题 本质：折叠前后的部分关于折痕成轴对称，折叠前后线段、角度完全相等。 解题思路：找准对称边、对称角，利用等量关系列等式计算。 ✔最短路径问题（将军饮马模型） 模型：直线同侧两点，求直线上一点使总路程最短。 方法：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。 ✔网格类画图题 通用要求：作图痕迹清晰，保留垂线、虚线等辅助线，关键点必须精准定位。 题型解析◆精准备考 题型1.平移现象 1．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 2．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为__________． 3．下列图案可以由什么图形平移形成？ 题型2.利用平移性质求解 1．如图，由向右平移得到，点，，，在同一条直线上，以下结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，若将沿着向右平移后得到，则的长为______． 3．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 题型3.平移实际应用 1．如图，图形的周长是（ ）厘米． A．30 B．45 C．无法确定 D．44 2．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是_____________． 3．如图，在宽为、长为的长方形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积． 题型4.平移作图题 1．如图，在由小正方形组成的的网格中，小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1个单位长度．点在格点上，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到线段，连接，，则四边形内部（不含边界）的格点个数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点A落在直线l上的点处． (1)画出平移后的三角形； (2)在直线l上找一格点D，使，，、D所围成的四边形的面积为6． 题型5.轴对称图形识别 1．甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 3．找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 题型6.轴对称图形作图题 1．如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点都在格点上，请再找一个格点，使点组成一个轴对称图形，这样的格点有______个． 3．如图1，在正六边形中，连接． (1)在图1中，作出关于直线的轴对称图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在第（1）题的条件下，若，请求出四边形的周长． 题型7.轴对称性质的应用 1．如图，直线l是长方形的对称轴，点E是直线l上的点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 3．如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 题型8.镜面对称问题 1．平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 2．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 3．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 题型9.折叠问题 1．如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将对边平行的纸带折叠，若，则的度数为_____． 3．今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． (1)①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 题型10.反射路径类问题 1．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 3．小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 题型11.垂直平分线性质应用题 1．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为______． 3．如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型12.角平分线性质应用题 1．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 3．如图，已知直线，直线与，分别相交于，，是的平分线． (1)用尺规按要求作图：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）问的条件下，求证：． 证明：， _____________， 又平分，平分， ，． ___________， ． 题型13.轴对称最值问题 1．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 3．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 学科网（北京）股份有限公司 $