精品解析：2026年福建省泉州第一中学初中毕业班适应性测试数学试卷

泉州一中2026年初中毕业班适应性测试 数学试卷 （考试时间120分钟，试卷总分150分） 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 在，0，，这四个实数中是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简给出的各数，再根据无理数定义判断即可，常见的无理数有：无限不循环小数，开方开不尽的数，含的数等． 【详解】解：，0，是有理数；是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 故选：D． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足是非负数，即 解得 ． 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 七巧板 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 4. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：它的俯视图是． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得 ， ∴不等式的解集在数轴上表示为． 6. 用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设． 故选：B． 7. 如图，在中，，，点为中点，点为的重心，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在 的延长线上取一点，使，连接，，延长交于点，先证四边形为平行四边形，再证 点为的中点，从而得，进而得，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出即可得到的长． 【详解】解：在 的延长线上取一点，使，连接，，延长交于点， 点为的重心， ，为的中线， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 即 ， 直线、被平行线、所截， 根据平行线分线段成比例定理，得． ，即， ，即． 点为的中点， ， ， ， ， 为斜边上的中线，， ， ∴． 8. 某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，解题思路是依次推出两次升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， 第二次升级后的能量密度为 ， ∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 9. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线定理得，结合等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与相切于点C，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如果，，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵关于对称轴对称， ， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， 令，则 ， ∴抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且，， ∴， 解得：， 当都在对称轴左边时， ∵， ∴， 解得： ， ∴ ， 当分别在对称轴两侧时， ∵， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或 ． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果“高出海平面”记作“元”，那么“”表示________． 【答案】低于海平面 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：“高出海平面”记作“”，那么“”表示低于海平面， 故答案为：低于海平面． 12. 五边形的外角和是________． 【答案】##360度 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理求解，任意多边形的外角和与边数无关，为固定值. 【详解】解：多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和均为 ，与边数无关， 五边形的外角和为 ． 13. 如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正切函数的定义求得 ，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵斜面的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵太阳能板的斜面长度为2米， ∴米． 14. 一个圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式 进行计算，其中 是底面半径， 是母线长，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 本题考查了圆锥的计算，展开侧面是解题关键． 【详解】已知圆锥的底面半径 ，母线长 ，代入公式得 ． 故答案为 ． 15. 如图是反比例函数的图象的一部分，已知点，则k的值可能是________（写出一个值即可）． 【答案】10（答案不唯一， 即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是关键．直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：点在反比例函数的图象的上方， 当时，， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ， 取． 16. 等边中，，点P、点Q分别是、上的动点，且，过、P、Q三点作，则半径的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，过点作 ，由题意易得，则有，然后可得，要使的半径为最小，即的值为最小，则需满足 的值为最小，过点作，设，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点作 ，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 要使的半径为最小，即的值为最小，则需满足 的值为最小， 过点作，设，则有， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即， ∴的最小值为， 即半径的最小值为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂、绝对值的性质和零指数幂分别化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知：如图，D、E分别是、上的点，且，，求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：在和中， ， ， （全等三角形对应边相等）． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 2026年福建省城市足球联赛（闽超）正在火热开赛，甲、乙两名足球运动员赛前各进行了10次专项射门质量测试．裁判组根据射门精准度、进攻威胁度给出6～10分的评分，两人各得分次数及平均成绩统计如下表： 射门质量得分 6分 7分 8分 9分 10分 平均数 甲球员次数 1 2 4 2 1 8分 乙球员次数 1 1 2 4 2 a 根据表格信息，解答下列问题： （1）________，甲射门质量的中位数________，已知甲球员得分的方差为1.2，求乙球员得分的方差； （2）从甲球员获得9分、10分的射门记录中，随机抽取两次成绩，求两次成绩恰好一次9分、一次10分的概率． 【答案】（1）8.5分；8分；1.45 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的运算法则计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲射门质量的中位数分， 分， ； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 可知两次成绩恰好一次9分、一次10分的概率． 21. 为迎接校园艺术节的到来，学校舞蹈队欲购买两种不同类型的花球，已知1个A型花球比1个B型花球贵3元，用180元购进A型花球的数量与用120元购进B型花球的数量相同． （1）求两种类型花球的单价各是多少元． （2）若舞蹈队计划购买这两种花球共50个，其中购买A型花球的数量不少于B型花球的2倍，请求出如何购买花球总费用最少，并求出最少总费用． 【答案】（1）A型花球单价是9元，B型花球单价是6元； （2）购买A型花球34个，B型花球16个时总费用最少，最少总费用为402元. 【解析】 【分析】（1）设A型花球的单价是x元，则B型花球的单价是元，根据：用180元购进A型花球的数量与用120元购进B型花球的数量相同，列出分式方程，解方程并检验后可得结果； （2）设购买A型花球y个，则B型花球个，根据题意列出不等式，求出不等式的最小整数解，进而可得答案. 【小问1详解】 解：设A型花球的单价是x元，则B型花球的单价是元，根据题意得 ， 解得： ， 经检验： 是所列方程的解，， 答：A型花球单价是9元，B型花球单价是6元； 【小问2详解】 解：设购买A型花球y个，则B型花球个，根据题意可得 ， 解得， ∵y为整数， ∴y最小为34，此时，总费用元； 答：购买A型花球34个，B型花球16个时总费用最少，最少总费用为402元. 22. 在中，． （1）尺规作图：分别在，，边上作，，，使四边形 是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求菱形 的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，菱形 即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角先想到作的平分线交于点，再由菱形的对角线互相垂直平分想到作的垂直平分线，交于点，交于点，则四边形 就是所求的菱形； （2）设，则 ，由相似三角形的性质可得，再由勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 由（1）得四边形 是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴在 中， 由勾股定理得：， ， 解得， ∴， ∴． ∵且， ∴是菱形 以为底的高， ∴菱形 的面积为． 【点睛】本题考查菱形的作法、相似三角形的性质、勾股定理的应用等，熟知相关性质定理是解题的关键． 23. 若对于实数 ，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． （1）若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； （2）已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由当时的一个保值区间为，可得当时，，据此求解即可； （2）由为二次函数的“保值区间”，可得，，所以，为关于的一元二次方程的根，求出 ， ，，然后用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解：∵的二次项系数1大于0，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时的一个“保值区间”为，且， 当时，， ， ． 又 ∴； 【小问2详解】 解：的二次项系数1大于0，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 为二次函数的“保值区间”， 当 时，， 当 时，， 整理得，， ，为关于的一元二次方程的根， ， ，， ∴原式． 24. 项目式学习 在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题． 用固定双曲线三等分锐角 阅读材料 古希腊有著名的三等分角难题，仅用圆规和直尺是不可能将任意锐角三等分．数学家帕普斯借助反比例函数构图，给出了一种“三等分锐角”的方法，作图步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角 的顶点与原点O重合，角的一边与轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以的长为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 问题解决 （1）任务1：设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上． （2）任务2：证明： （3）任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线 与反比例函数交于点C；D为反比例函数第一象限上的点，且，根据材料中提供的构图方法求出D点坐标． 【答案】（1） 证明：直线的函数表达式为， 的坐标满足， 点在直线上. （2）证明：连接 ，交于点，如图，由题意得四边形是矩形， ，，， ， ， ． 是的半径，且的半径是 ， ， ， ． 轴， ， ，即 （3）； 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标，求出和点坐标，将代入正比例函数即可求出直线的解析式，将点代入即可判断是否满足在直线的解析上． （2）根据矩形的性质求出，利用等腰对等角和外角的性质即可求出和的关系，根据平行线的性质判断和的关系，利用作图的思想判断出和 的关系，通过等量转化即可证明． （3）根据题中的作图法以及前两位的所得到的规律，先求出点的坐标，根据矩形的性质设点的坐标参数，几何勾股定理即可求出参数的值，从而求出坐标，即可知道点坐标，联立直线解析式和反比例函数即可求出的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 由题意得， 四边形为矩形， ，， ，， 把点代入得， 直线的函数表达式为， 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：当点在下方时，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点． 联立方程， 解得 ， （舍去）， ， ， 由作图可知，， 四边形为矩形， 设，则，， 在中， ， ， ，（负值舍去） ． ， ， （舍去） 时，， ， 在直线上，设直线的解析式为， 联立直线解析式和反比例函数得， ， ． 同理，当点在上方，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点． 联立方程， 解得 ， （舍去）， ， ， 由作图可知，， 四边形为矩形， 设，则，， 在中， ， ， ，（负值舍去） ． ， ， （舍去）， 时，， ， 在直线上，设直线的解析式为， ， 联立直线解析式和反比例函数得， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，矩形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键在于第三问要分情况讨论，解题的易错点在于开方容易出错． 25. 已知在中， 于点O，经过A、C两点并交于点E． （1）当点E为中点，求的度数； （2）若 ，求的值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，结合圆中半径处处相等证明 为等边三角形，即可解答； （2）如图，连接，证明，即可解答； （3）作于点，根据垂径定理得出，设，，则，，，根据，得，则①，证明，得出，即 ②．由①②求出，．在中，根据勾股定理求出，，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 又∵点E为中点， ∴， 在中， ， ， ∴ 为等边三角形， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题可得，， 为等腰直角三角形， ，， ∵，， ， ， 即． 【小问3详解】 解：作于点， ， ， 设，，则，， ∴， ， 整理得， ①（）， ∵，， ， ， ∴， 即， ∴ ②． 由①②解得：，． ∴，． ∴， 在中，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2026年初中毕业班适应性测试 数学试卷 （考试时间120分钟，试卷总分150分） 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1. 在，0，，这四个实数中是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 七巧板 D. 洛书 4. 斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形．如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，点为中点，点为的重心，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到 ，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于D，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如果，，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果“高出海平面”记作“元”，那么“”表示________． 12. 五边形的外角和是________． 13. 如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 14. 一个圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是______． 15. 如图是反比例函数的图象的一部分，已知点，则k的值可能是________（写出一个值即可）． 16. 等边中，，点P、点Q分别是、上的动点，且，过、P、Q三点作，则半径的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 17. 计算：． 18. 已知：如图，D、E分别是、上的点，且，，求证： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 2026年福建省城市足球联赛（闽超）正在火热开赛，甲、乙两名足球运动员赛前各进行了10次专项射门质量测试．裁判组根据射门精准度、进攻威胁度给出6～10分的评分，两人各得分次数及平均成绩统计如下表： 射门质量得分 6分 7分 8分 9分 10分 平均数 甲球员次数 1 2 4 2 1 8分 乙球员次数 1 1 2 4 2 a 根据表格信息，解答下列问题： （1）________，甲射门质量的中位数________，已知甲球员得分的方差为1.2，求乙球员得分的方差； （2）从甲球员获得9分、10分的射门记录中，随机抽取两次成绩，求两次成绩恰好一次9分、一次10分的概率． 21. 为迎接校园艺术节的到来，学校舞蹈队欲购买两种不同类型的花球，已知1个A型花球比1个B型花球贵3元，用180元购进A型花球的数量与用120元购进B型花球的数量相同． （1）求两种类型花球的单价各是多少元． （2）若舞蹈队计划购买这两种花球共50个，其中购买A型花球的数量不少于B型花球的2倍，请求出如何购买花球总费用最少，并求出最少总费用． 22. 在中，． （1）尺规作图：分别在， ，边上作，，，使四边形 是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求菱形 的面积． 23. 若对于实数 ，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． （1）若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； （2）已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 24. 项目式学习 在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题． 用固定双曲线三等分锐角 阅读材料 古希腊有著名的三等分角难题，仅用圆规和直尺是不可能将任意锐角三等分．数学家帕普斯借助反比例函数构图，给出了一种“三等分锐角”的方法，作图步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角 的顶点与原点O重合，角的一边与轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以的长为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 问题解决 （1）任务1：设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上． （2）任务2：证明： （3）任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线 与反比例函数交于点C；D为反比例函数第一象限上的点，且，根据材料中提供的构图方法求出D点坐标． 25. 已知在中， 于点O，经过A、C两点并交于点E． （1）当点E为中点，求的度数； （2）若 ，求的值； （3）若，，求 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $