精品解析：2026年福建省泉州市安溪县初中毕业班数学适应性练习

2026年春季安溪县初中毕业班数学适应性练习 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. （－1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （1，2） 4. 一元二次方程的根是（ ） A B. C. D. 5. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 从只有红球的袋子中摸出白球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 6. 如图，在平面直角坐标系中，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，，在上，垂直平分，交于点．若，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ______． 12. 一个不透明袋子里有4个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_____． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是_____． 14. 若关于的方程有一根为，则的值为_____． 15. 如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 16. 如图，等边的边长为，点分别在边上，且与相交于点，则的值为_____．（用含的代数式表示） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 计算：． 18. 解方程： 19. 2026年央视春晚推出了三个极具科技感的热门节目：武术《武》、歌曲《智造未来》、歌咏创意秀《贺花神》． （1）若小明从三个节目中随机选择一个节目回看，恰好是武术《武》的概率是_____； （2）若小丽从三个节目中随机选择两个节目回看，请用列表法或画树状图的方法，求她选择《智造未来》和《贺花神》的概率． 20. 如图，在中，为边上一点． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，若，，求的长． 21. 清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到底部处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得． 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 二次函数的图象与轴交于点，，且． （1）若，求二次函数的表达式； （2）若，求证：． 23. 在中，弦于点，连接． （1）如图1，弦于点，求证： （2）如图2，连接，，，，用等式表示与的数量关系，并证明． 24. 已知抛物线，顶点，且经过点，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的取值范围； （3）在（1）条件下，已知，点在对称轴右侧的抛物线上，轴于点，是的中点，求证：． 25. 如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，若，，当的值最小时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季安溪县初中毕业班数学适应性练习 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须是非负数； 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴． 解不等式得：． 2. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，其中， 将，代入，得． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （－1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可； 【详解】∵抛物线， ∴顶点坐标为（－1，－2）； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键． 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 5. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 从只有红球的袋子中摸出白球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，需根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义判断选项，不可能事件是指一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：A．经过路口恰好遇到绿灯是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； B．袋子只有红球，一定无法摸出白球，该事件一定不发生，属于不可能事件，符合要求； C．任意圆都是轴对称图形，该事件一定发生，属于必然事件，不符合要求； D．抛硬币落地后正面朝上是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点的横纵坐标乘以或得到其对应点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，将缩小， 而， ∴点的对应点的坐标是或． 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再判断选项中不满足范围的值即可．用到一元二次方程有实根时判别式非负的性质． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 方程中，，，代入得：， 整理得， 解得， ∵四个选项中只有，不满足取值范围． ∴k的值不能为3． 8. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在和中，根据正弦的定义求解，根据余角的性质可得出，然后根据同角的正弦相等判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选项D符合题意． 9. 如图，点，，在上，垂直平分，交于点．若，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理可得、、，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图， 垂直平分， 、、， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 即， 解得， 的半径为． 10. 已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式得出抛物线的顶点坐标为，从而可得，再联立抛物线与直线方程得出，设，，则，是方程的两个根，再结合一元二次方程根与系数的关系，结合列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线与直线有两个交点，， ∴， 联立抛物线与直线方程得， 整理可得：， 设，，则，是方程的两个根， ∴，， ∵，且，， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 第II卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据记忆的三角函数值表求解即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值，， 故答案为：． 12. 一个不透明袋子里有4个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出袋子中球的总数，再减去白球的数量即可得出结果． 【详解】解：∵一个不透明袋子里有4个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为， ∴球的总数为， ∴袋子中黑球的个数为． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是_____． 【答案】 【解析】 【分析】点关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标为． 14. 若关于方程有一根为，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入一元二次方程计算即可得出结果． 【详解】解：∵关于的方程有一根为， ∴， 解得：． 15. 如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 【答案】##25度 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，等边的边长为，点分别在边上，且与相交于点，则的值为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，，再证明，即可得，则． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 19. 2026年央视春晚推出了三个极具科技感的热门节目：武术《武》、歌曲《智造未来》、歌咏创意秀《贺花神》． （1）若小明从三个节目中随机选择一个节目回看，恰好是武术《武》的概率是_____； （2）若小丽从三个节目中随机选择两个节目回看，请用列表法或画树状图的方法，求她选择《智造未来》和《贺花神》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小明从三个节目中随机选择一个节目回看，恰好是武术《武》的概率是； 【小问2详解】 解：记三个节目《武》、《智造未来》、《贺花神》分别A，B，C， 法一：列表如下： A B C A B C 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中选择《智造未来》、《贺花神》的结果有2种， 小丽选择《智造未来》、《贺花神》的概率为． 法二：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中选择《智造未来》、《贺花神》的结果有2种， 小丽选择《智造未来》、《贺花神》的概率为． 20. 如图，在中，为边上一点． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作即可； （2）由平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； ； 【小问2详解】 解：， ，即， 解得：， ． 21. 清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到底部处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得． 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，则，再根据求解即可． （2）根据是的中点，得出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ． 【小问2详解】 解：是的中点， ， ∵， ， ∵， ∴四边形矩形， ， 在中，， ， ． 答：之间的距离约为． 22. 二次函数的图象与轴交于点，，且． （1）若，求二次函数的表达式； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得，解方程组即可求解； （2）根据，得出．将点，代入函数解析式得，两式相减得，结合，得出，即．把代入，得，即可得出，即． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得：， 二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：法一：， ，即． 由题意，得， ， ， ， ， ． 把代入，得， ， ． ， ， 即． 法二：由题意，得， ， ， 即． ． ， ， 即． 23. 在中，弦于点，连接． （1）如图1，弦于点，求证： （2）如图2，连接，，，，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，则，从而得出，即可证明． （2）根据，得出，根据圆周角定理得出，即可得． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ， 又， ． 24. 已知抛物线，顶点为，且经过点，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的取值范围； （3）在（1）条件下，已知，点在对称轴右侧的抛物线上，轴于点，是的中点，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴为：，结合抛物线经过点两点，且，可得，即可求出． （2）抛物线中，得出抛物线开口向上，结合，得出，即．分为当时，当时，分别求解即可． （3）由（1）得二次函数的关系式为：，则，且，得出轴．如图，设，根据是的中点，得出，则，得出，则．证明，则，．证明．即可得，则． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为：， 抛物线经过点两点，且， ， ． 【小问2详解】 解：抛物线中， 抛物线开口向上， ， ，即． 当时，，即的取值范围为：； 当时，，即的取值范围为：． 综上，的取值范围为：或． 【小问3详解】 解：连接， 由（1）得二次函数的关系式为：， ，且， 轴． 如图，设， 是的中点， ， ， ， ． ， ， ， 又∵， ∴． ， ， ． 又， ， ． 25. 如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，若，，当的值最小时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质易证得，结合，从而得出结论； （2）作于点，交于点，易证得，进而证得，再证得，进而得到，最后证得，进而得到，从而得出结论； （3）根据题意易得到、B、C、D四点共圆，则当最长时，最小，此时为四边形外接圆的直径，根据列方程为：，设，，则，解方程即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ； 小问2详解】 证明：如图，作于点，交于点, ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 证明：由（1）得：， ，， 、B、C、D四点共圆， ，， ， 当最长时，最小， 此时为四边形外接圆的直径， ， ， 即， ，， ， 又， 设，， 则， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $