精品解析：福建省泉州市丰泽区2026年初中毕业班适应性考试 九年级数学试题

2026届初中毕业班适应性考试 初三数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分；考试形式：闭卷） 一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最大的数为（ ） A. B. C. D. 2. 截至今年3月，我国某大模型日均处理用户请求约86400000次，有效提升了教育、办公、医疗等领域的服务效率．将86400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 4. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 5. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了14名同学的每天锻炼时间如下表： 每天锻炼时间（分钟） 50 60 80 90 100 学生人数 2 5 4 2 1 则这些同学每天锻炼时间的众数和中位数分别是（ ） A. 60，70 B. 60，80 C. 80，60 D. 70，60 6. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点G是的重心，，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，为的直径，点，在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为______． 12. 若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为_____． 13. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于_______度． 14. 从一组数据“3，3，5，7”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为______． 15. 已知实数x，y满足，则的最大值为____． 16. 如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 21. 为传承“蟳埔簪花”非遗文化，丰泽区某中学组织学生开展非遗体验活动，分为甲、乙两组，每组各10人．活动记录了每位学生的簪花数量（单位：朵）、创意评分（单位：分）和文化讲解时长（单位：分钟），相关数据如下： 两组学生簪花数量统计图 两组学生活动的平均数统计表 项目 簪花数量（a朵） 创意评分（b分） 讲解时长（c分钟） 甲组 5 20 1.8 乙组 5 19 2.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知甲、乙两组簪花数量的方差分别为，，求x的值，并结合两组簪花数量的平均数和方差，评价甲、乙两组的表现稳定性； （2）规定学生的综合表现指数为，指数越大该组学生的综合表现越好．试通过计算，判断哪一组的综合表现更好． 22. 如图，内接于，点为直径的延长线上一点． （1）在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径． 23. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： （1）求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） （2）在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 24. 在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． （1）如图1，若E为中点，求证：； （2）如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； （3）如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 25. 已知抛物线． （1）当时，证明此抛物线与轴必有两个交点； （2）设抛物线与x轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点．已知点在第一象限，若，且． ①求证：； ②过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班适应性考试 初三数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分；考试形式：闭卷） 一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最大的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ∴四个数中最大的数为，对应选项为D． 2. 截至今年3月，我国某大模型日均处理用户请求约86400000次，有效提升了教育、办公、医疗等领域的服务效率．将86400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 4. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴实数的值可以为． 5. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了14名同学的每天锻炼时间如下表： 每天锻炼时间（分钟） 50 60 80 90 100 学生人数 2 5 4 2 1 则这些同学每天锻炼时间的众数和中位数分别是（ ） A. 60，70 B. 60，80 C. 80，60 D. 70，60 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义；先根据众数定义找出出现次数最多的数得到众数，再根据中位数的定义计算得到中位数即可． 【详解】解：∵总数据个数为， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，60对应的学生人数为5，次数最多， ∴众数为， ∵数据总个数14是偶数， ∴中位数是将所有数据从小到大排列后第7个和第8个数据的平均数， 由排列可知：第1~2个数据为50，第3~7个数据为60，第8~11个数据为80， ∴第7个数据为60，第8个数据为80， ∴中位数为， 综上所述：众数为60，中位数为70． 故选：A． 6. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需确定原结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步是假设命题结论不成立， 本题原结论为 ， 其否定为 ， ∴ 第一步应假设． 7. 如图，点G是的重心，，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，由重心得，，即可求解． 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 8. 物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质；根据公式，即，结合反比例函数的性质，图象离原点越远，k值越大，即用电器功率（P）越大． 【详解】解：∵， ∴，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象， ∵乙、丁两点在曲线上， ∴乙、丁两用电器的功率相等， ∵甲点在曲线上方，丙点在曲线下方， ∴功率最大的是甲． 故选：A． 9. 如图，为的直径，点，在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据为的直径，得出进而求得，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 10. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用抛物线对称轴性质，垂直关系和线段相等条件，结合点M在抛物线上的坐标性质，化简推导得到长度的平方，即可求出． 【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线， ∵，由勾股定理得：， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵在抛物线上， ∴， 两边除以得：， 设是抛物线与轴交点， ∴， 两边除以得， ∵， ∴， 代入坐标得： ， 展开化简并代入，得： ， ∴， 把代入得： ， 化简得：， ∵， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的加减法则将化为求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 12. 若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4）， ∴﹣4＝2k， 解得：k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 13. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于_______度． 【答案】30 【解析】 【分析】先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成， 可得BD=AC，BC=AF， ∴CD=CF， 同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形， ∴∠1=， ∴∠2=180°-120°=60°， ∴∠ABC=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算是解题的关键． 14. 从一组数据“3，3，5，7”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算该组数据的平均数，再确定所有等可能结果数与满足条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， ∵一共有4个数，其中小于它们的平均数的数有2个， ∴任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为． 15. 已知实数x，y满足，则的最大值为____． 【答案】18 【解析】 【分析】先求得和的值，再求得，解不等式可求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意，设①， 又②， 得，， 即， 得，， ∴， ， 的最大值为18． 16. 如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，设，通过解直角三角形可得，，由旋转的性质可得，，，．由，使用面积法可求出，进而可证明，则，因此是的中位线，从而得到，解出的值后，求出的长即可． 【详解】解：如图，作于点，设， 在直角中，， 由勾股定理可得，， 由旋转的性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，解得， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，解题的关键是熟知分式运算的法则，正确化简分式． 根据分式混合运算的法则化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，再证明，则可证明，推出． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 21. 为传承“蟳埔簪花”非遗文化，丰泽区某中学组织学生开展非遗体验活动，分为甲、乙两组，每组各10人．活动记录了每位学生的簪花数量（单位：朵）、创意评分（单位：分）和文化讲解时长（单位：分钟），相关数据如下： 两组学生簪花数量统计图 两组学生活动的平均数统计表 项目 簪花数量（a朵） 创意评分（b分） 讲解时长（c分钟） 甲组 5 20 1.8 乙组 5 19 2.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知甲、乙两组簪花数量的方差分别为，，求x的值，并结合两组簪花数量的平均数和方差，评价甲、乙两组的表现稳定性； （2）规定学生的综合表现指数为，指数越大该组学生的综合表现越好．试通过计算，判断哪一组的综合表现更好． 【答案】（1）， ， 甲、乙两组簪花数量的平均数相等，但乙组的方差更小，表现得稳定性更好； （2）乙组的综合表现更好． 【解析】 【分析】（1）根据方差的公式求出，再根据方差越小稳定性越好分析即可； （2）分别求出两组的综合表现指数比较即可． 【小问1详解】 解：甲组簪花数量的平均数为（朵）， 甲组簪花数量的方差 【小问2详解】 解：由题意可知，甲组的综合表现指数为， 乙组的综合表现指数为， ， 乙组的综合表现更好． 22. 如图，内接于，点为直径的延长线上一点． （1）在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，在直径下方交于点，最后连接，即为所求； （2）设与交于点，的半径为，由题意可知，垂直平分，证明，根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：设与交于点，的半径为， 点为中点， 垂直平分，即， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， 解得， 的半径为． 23. 综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： （1）求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） （2）在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 【答案】（1）A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理求解即可； （2）过点作于点，利用直角三角形得出，，，则再结合正弦定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ， 解得：（米）， 答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中， ． 24. 在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． （1）如图1，若E为中点，求证：； （2）如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； （3）如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质和等腰三角形的性质易证得，从而得出结论； （2）分情况讨论：当时：易得到点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点，由勾股定理求出的值，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解的值；当时：点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点、于点，同理求出的值； （3）过点作于点，易证得，进而得到，作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，利用勾股定理求出的值即可；再找到，进而得到，证得，进而得到，据此求解的值即可． 【小问1详解】 证明：E为中点， ， 由翻折性质得：、， ， ， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：由翻折性质得：、、， 四边形是矩形， 、， ①当时： ， ， 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点， 、， 在中，由勾股定理得： ， 、， 、， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：， 解得， ； ②当时： 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点、于点， 、， 、， 在中，由勾股定理：， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得， ， 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：由翻折可知：，且的中点在上， 过点作于点， 、 、 ，即 作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 、、， 由勾股定理得：， 的最小值为：； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， 、， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查翻折的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 25. 已知抛物线． （1）当时，证明此抛物线与轴必有两个交点； （2）设抛物线与x轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点．已知点在第一象限，若，且． ①求证：； ②过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）将代入，抛物线解析式，令，计算一元二次方程的判别式，即可得证； （2）①先求得点，，则，根据得出，进而得出，设交轴于点，过点作轴于点，根据得出，即可得出，再证明，即可求解； ②设，经过点的直线为，联立抛物线解析式，进而得出，求得的表达式，根据题意得出时，是一个定值，即可求解． 【小问1详解】 证明：当时，抛物线 当时， 即 ∴ ∴此抛物线与轴必有两个交点； 【小问2详解】 解：①当时，，即 ∴ 解得：或 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴当时， 解得： ∴，，， ∵点在第一象限， 当时，，则在上， 如图，设交轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴， 当时，，则， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴且 ∴ ②如图，过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点． 设，经过点的直线为 联立 ∴ ∴ ∵是的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∵是一个定值， ∴是一个定值， ∵ ∴时，是一个定值， ∴ ∴点的坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $