重庆市渝西中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试卷

高2028届高一（下）第三次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）已知复数满足，则的虚部为（ ） A．3 B．4 C．-4 D．-4i 2．（原创）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（原创）已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（ ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 4．（改编）已知直线，，，下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，则，，共面 D．若，异面，，异面，则，异面 5．如图，在正方体中，，分别为，的中点，异面直线与所成角为（ ） A． B． C． D． 6．（原创）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．已知中，，，，则等于（ ） A． B．或 C． D．或 8．（原创）已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．（原创）已知复数满足，以下说法正确的有（ ） A． B．在复平面内对应的点在第一象限 C． D．若是方程的一个根（），则 10．（原创）如图所示，线段是圆的弦，其中，，点为圆上任意一点，则以下结论正确的是（ ） A． B． C．的最大值是48 D．当时， 11．（原创）在棱长为2的正方体中，点是正方体内及其表面上一动点，且面，则线段的长度可能是（ ） A．2 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（原创）已知，，若，则________． 13．（原创）已知一个圆锥的底面直径等于母线长，侧面积为，则该圆锥的体积为________． 14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，且与的夹角为，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 16．（15分） 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点． （1）求圆柱的侧面积； （2）求圆柱的外接球的表面积； （3）证明：平面． 17．（15分） （改编）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论． 18．（17分） 在中，角，，所对的边分别是，，，，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． （3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值． 19．（17分） （改编）在中，角，，所对的边分别为，，．为边上的中线，点，分别为边，上动点，交于．已知，且． （1）求； （2）设，若，求； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高2028届高一（下）第三次月考数学参考答案 一、单项选择题 1-4.C D C B 5-8.B C D C 二、多项选择题 9.ABD 10.ABC 11.CD 三、填空题 12.-7 13. 2 3π 14.1+ 3 四、解答题 15.解(1)(2ā-b)2=4a2-2×2a.6+62=64-4×4×2×cos120°+4=84，所以 2a-b=v84=221 (2)由于向量2ā-1b与a-3b平行，所以存在实数k, 「2=k入 使得2a-b=k(2ā-3b)=ka-3kb,所以 -入=-3k'解得元=±V6. 16.解(1)因为AB=2,AD=4,所以圆柱的母线长为4，底面半径为1， 则圆柱00，的侧面积S侧=2πrl=2π×1×4=8π (2)取00，的中点F,连接FD,易求得FD=VP+22=√5， 即圆柱00，的外接球的半径为√5，故该球的表面积为4π×（√）2=20元， 3)取AE的中点Q.连接DO,M0.因为M为BE的中点，所以M0AB,MQ三)AB,叉 D0MB,D0=4B,所以M0/D0,M0=D0,所以四边形D0,MQ为平行四边形，测 DQI/OM,又DQC平面ADE,O,M4平面ADE,所以O,M∥平面ADE. 17.解(1)取PD的中点Q,因为O为BD中点，所以在△PBD中，QO为中位线，所以QO∥PB, Q0=)PB=氵，所以∠00A为异面直线PB与AC所成角（或其补角， 2 在△00A中，A0=VAD2-D0=V4-1=V5,A0=}AC=2,Q0=3 2 由余被定美罚背s∠A0140+00-40.2}355 4 2A0.Q0 3=24,又∠00Ae(0,, 2x/2x 所以∠001为锐角，所以异面直线PB与4C所成角的余弦值为52 24 (2)当F是棱PC中点时，BF∥平面AEC 证明如下：取PE中点M,连接FM,DM,则FM/CE, .FM丈平面AEC,ECC平面AEC,.FM∥平面AEC, 在△BDM中，E为BG中点，O为BD中点，OE/IDM DM丈平面AEC,EOc平面AEC,所以DMI∥平面AEC;DM∩MF=F,所以平面DFG∥平面 AEC;DFC平面DFG,∴.DF∥平面AEC l8.解(1)由正弦定理可得：3sinA=√3 sin Csin B+3 sin BcosC, 因为sinA=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C, 所以3(sin BcosC+cos Bsin C)=V3 sin Csin B+3 sin BcosC,即3 cos Bsin C=√3 sin Bsin C, 由sC=0可得30os8=S血8.即m8=方=5，由0<B<x,可得8-号 (2)因为a,==b=55 sin A sin C sin B sinπV3 32 所以2a-c=4sin4-2sinC=4sin4-2sin(2-A) -4sin 4-5 cos 4-sin 4=3simn 4-5 cos425sin 4cos )=25 sim(4). 2 A<π 2 由三角形为锐角三角形可知， 解得<A< A<π 2π 6 C= 3 所以4-天∈0,5，si(4-马e0,5,所以2a-c=2V5si(4-马e(0,3). 6 3 6 (3)如图，由余弦定理，b2=a2+c2-2acc0sB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac, 即ac≤3，当且仅当a=c时，等号成立， B 又SaAc=)c-BD.sin+)a-BDsin-)acsin,化简可得，BDa+d=V5ac, 1 62 62 3 所以m=Scs-5ac≤5×5=；，当且仅当a=c时等号成立. a+c 2ac 2 2 故BD长度的最大值为2· 3 1 19.【解】(1)因为a sin A-bsin B=2 a sin C cos B-二c sin B, 4 所以由正弦定理2 cacos B=a2-b2+bc,由余弦定理 c+a2-B=a2-b+bc→c2-bc→b=4c 1 2ca· 2ac 4 4 因为c=1,所以b=4. (2)因为D为中点，所以AD=上(4B+AC), 所以0-丽+aC+2a丽-元-P+b+2bccs0=7+8os0 BB(+C)=(B+BC)=+cbcos0-1+4cos0 2 所以2f =cOS∠BAD= AB.AD 1+4cos0 19 AB AD V17+8cos0 即304c0s0+120c0s0-49=0,解得c0s6=}或c0s0=-49 1 76 又1+4c0s日>0，所以cos日=}，所以∠B4C的余弦值为} 4 (3)设D=kAG,B=A正，AC=uF,,ue,+o,=A,=4C, 0-西兮40c合6+号亚6：条在：品， 由G,E,F三点共线，得元+u=2k,AGEF=AD.(AF-AE) k 六（西+a0(c-公c网+止国aceo0) =1.61+1为=13， Γ2kμ4元4元2+4μ元 sina xsin0 —=24=2, S△AEF Fsino 2元u 所以4G.EF=,1.171-24-1722-4-=1722+2)-381719 2+uμ 2(22+2)2(22+2) 212+2 2≥1=元≤2→1∈[l,21→元2+2e[3,61, u= m号号号号”9号c亚 6-22+2-3 6 3 所以AG·EF的取值范围为 1316 6'3