期末培优：立体几何中的最短路径问题、立体几何中的动点问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何两大核心难点，通过"最短路径+动点"双模块专项训练，以题载法构建空间问题平面化转化能力，渗透直观想象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最短路径问题|3例+4变式|涵盖棱柱/圆锥/旋转体表面路径，涉及展开图转化、勾股定理应用|从平面展开到空间曲面展开，构建"化曲为平"的转化逻辑链| |动点问题|4例+4变式|包含存在性探究、体积定值证明、动态轨迹分析等多选题|以正方体/三棱锥为载体，串联线面垂直、二面角等空间关系，形成动态问题静态化的思维路径|

期末培优：立体几何中的最短路径问题、立体几何中的动点问题专项训练 期末培优：立体几何中的最短路径问题、立体几何中的动点问题专项训练 考点目录 立体几何中的最短路径问题 立体几何中的动点问题 考点一 立体几何中的最短路径问题 例1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 例2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 变式1．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 变式3．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 变式4．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    考点二 立体几何中的动点问题 例1．（25-26高一下·江苏·阶段检测·多选）如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 例2．（25-26高一下·贵州毕节·期中·多选）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使∥平面 C．三棱锥的体积为 D．此正方体外接球的表面积为 例3．（25-26高一下·浙江·阶段检测·多选）在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（   ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．当时，存在两个点，使得 D．当时，的周长的最小值为 例4．（25-26高一上·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 变式1．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测·多选）在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是（     ） A． B．直线与平面所成的角为 C．三棱锥的体积为 D．是的中点，点是侧面内的动点，若平面，则的最大值为 变式2．（25-26高一下·河北保定·阶段检测·多选）如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，底面，，且，，为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．当在上，为的中点，且平面时，三棱锥的体积为 C．当平面时，直线与底面所成角的正弦值为 D．一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离为 变式3．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中·多选）如图，空间中两个矩形和相互垂直，满足，，分别是线段上的动点，以下正确的是（    ） A．若为的中点，则与所成角的正弦值为 B．若，则平面 C．若，时，则为梯形 D．若，则三棱锥体积的最大值为 变式4．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：立体几何中的最短路径问题、立体几何中的动点问题专项训练 期末培优：立体几何中的最短路径问题、立体几何中的动点问题专项训练 考点目录 立体几何中的最短路径问题 立体几何中的动点问题 考点一 立体几何中的最短路径问题 例1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． 例2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度即可. 【详解】圆锥高底面，已知，， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. 例3．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 【答案】 【分析】将此圆柱沿剪开并展开，利用展开图，在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】将此圆柱沿剪开并展开，设点关于的对称点为，如图所示： 易知蚂蚁需经过的最短路程为, 由题意可知此圆柱的底面半径，高， 所以， 又因为是中点， 所以, 所以, 在中， 变式1．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 变式2．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 变式3．（2026·云南·三模）正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【答案】 【分析】把立体表面上的最短路程转化为展开图中两点间的距离．正四棱柱的三条棱长分别为3，3，2，连接相对顶点的表面路径共有三种基本展开方式；由于两个底面边长相等，其中有两种所得长度相同，因此只需比较两类不同的长度． 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为． 所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面． 将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的一边为，另一边为． 所以，此时的最短路程为． 比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此． 所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 变式4．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    【答案】 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为    考点二 立体几何中的动点问题 例1．（25-26高一下·江苏·阶段检测·多选）如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断；对于B，先求出和的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的判定定理证明平面，进而即可得证平面平面；对于D，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断． 【详解】对于A，在正方体中， 由，且平面，平面，则平面， 又，且平面，平面，则平面， 又，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点， 则，则， 又，， 则，即， 过作于，则，则， 则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接， 又是等边三角形，则，则，则， 所以是二面角的平面角， 又，分别为，的中点，则， 所以在中，，故B错误； 对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以， 又是正方形，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将和沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故D正确． 例2．（25-26高一下·贵州毕节·期中·多选）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使∥平面 C．三棱锥的体积为 D．此正方体外接球的表面积为 【答案】ABC 【分析】利用平行公理推理判断A；利用线面平行的判定推理判断B；求出三棱锥的体积判断C；求出正方体外接球直径计算判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，又，则，因此四点共面， 即当Q与点重合时，四点共面，A正确； 对于B，连接，当Q是的中点时，由，得， 而平面平面，则平面，B正确； 对于C，，而平面，，则，C正确； 对于D，正方体外接球直径等于，该球表面积，D错误. 例3．（25-26高一下·浙江·阶段检测·多选）在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（   ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．当时，存在两个点，使得 D．当时，的周长的最小值为 【答案】ACD 【分析】A.根据，确定点是位置，即可取得的体积是否为定值，判断A；B.根据在平面的射影是否和垂直，判断B；C.确定点的位置，从而确定C；根据三角形三条线段所在三角形，展开成一个平面，即可求解周长的最小值. 【详解】当时，取中点，中点，则点在线段上运动． 由，平面，平面，知平面， 则三棱锥的体积为定值，故A正确； 点为正方形边及内部的点， 过点向平面作投影，投影点为，则平面，则， 若，则平面， 则点满足，这与点在正方形中相矛盾，故B错误； 当时，取中点，中点，则点在线段上运动． 当点位于点点时，易证平面，则， 或者在点时，易证平面， 则， 即存在2个点，满足，故C正确； 当时，点在线段上运动，如图将和翻折到与在同一平面， 可知的周长的最小值在、、、 共线时取到，即， 此时，，， 所以， ， 所以根据余弦定理得 ， 所以， 所以的周长的最小值为，故D正确． 例4．（25-26高一上·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)三棱锥的体积为定值，理由见解析 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理进行证明. （2）根据三棱锥的体积的求法判定三棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）平面，所以点，到平面的距离相等. 已知是的中点，侧棱与底面垂直，. 则为三棱锥的高， 又底面为正方形， 所以 . 变式1．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测·多选）在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是（     ） A． B．直线与平面所成的角为 C．三棱锥的体积为 D．是的中点，点是侧面内的动点，若平面，则的最大值为 【答案】AD 【分析】A.根据线面垂直，证明线线垂直；B.判断和平面是否垂直；C.根据正方体的体积计算三棱锥的体积；D.首先求过点与平面平行的平面，再求点的轨迹，即可求最值. 【详解】A.因为平面，平面，所以， ，，平面， 所以平面，平面，所以，故A正确； B.平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故B错误； C. 三棱锥的体积可以看作是 ，故C错误； D.过点作交于点，过点作交于点， 交和于点，连接，交于点， 由，平面，平面， 所以平面，同理平面，平面， 所以平面平面， 因为点是的中点，易证明也是棱的中点，所以六边形是正六边形，边长为，点在线段上运动， 如图 所以的最大值为，故D正确. 变式2．（25-26高一下·河北保定·阶段检测·多选）如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，底面，，且，，为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．当在上，为的中点，且平面时，三棱锥的体积为 C．当平面时，直线与底面所成角的正弦值为 D．一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离为 【答案】ABC 【分析】过点作直线平行于，结合线面角的定义推理判断AC；确定点的位置，进而求出体积判断C；将矩形与矩形置于同一平面求解判断D. 【详解】对于AC，过点作直线平行于，交圆柱曲面于点， 依题意，，四边形为正方形， 连接相交于点，则为的中点， 当重合时，，因此存在点，使得，A正确； 连接，则，又为的中点，⊥， 又，， 过点作，交于点，由⊥平面，平面，得⊥， 又⊥，，平面，则⊥平面， 又平面，因此⊥，又，平面， 则平面，与底面所成角为， 又，，则， 因此，C正确； 对于B，取的中点，则为圆柱的上底面圆的圆心， 而的中点，连接并延长交半圆周于点， ，，则， 其中，，， 因此三棱锥的体积为，B正确； 对于D，将平面与平面沿着公共棱展开到同一平面内， 连接，其中，则， 而，则一质点从点沿着该组合体表面运动到的最短距离不为，D错误. 变式3．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中·多选）如图，空间中两个矩形和相互垂直，满足，，分别是线段上的动点，以下正确的是（    ） A．若为的中点，则与所成角的正弦值为 B．若，则平面 C．若，时，则为梯形 D．若，则三棱锥体积的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A，根据异面直线的定义得到即为与所成的角，结合几何关系求解即可；对于B，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理及面面平行的性质定理证明即可；对于C，根据余弦定理求出或，结合选项判断即可；对于D，根据等体积法及二次函数性质求解即可. 【详解】对于A，取中点，连接，. 矩形中，，， 因为为中点，所以，，所以. 由题意知，平面平面， 因为平面平面平面，所以平面. 又平面，所以.\ 因为为中点，所以，且，所以. 所以即为与所成的角. 在中，， 故与所成角的正弦值为，A错误. 对于B，如图，过点作，交于，连接. 因为，平面，平面，所以平面，且. 又，所以，所以. 矩形中，，所以. 又平面，平面，所以平面. 又，所以平面平面. 又平面，所以平面，B正确. 对于C，矩形中，，，所以，. 矩形中，，所以为正方形，所以，. 中，由余弦定理得，， 即，整理得， 解得或. 当时，，则. 由选项B知，平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 因为，，所以，，则. 同理可得，由选项A知，，所以， 所以为梯形.同理可判断，当时，不为梯形. 故若，时，不一定为梯形，故C错误. 对于D，过点作，交于，过点作，交于. 由选项A知，平面，则即为点到平面的距离. 设，则. 在中，，，所以. 则， 所以当时，取得最大值，为，故D正确. 变式4．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. (1)若平面交平面于直线l，求证：； (2)当直线时，求三棱锥的体积； (3)是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用面面平行的性质，结合正方体的结构特征推理得证. （2）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法计算得解. （3）作出几何图形，再借助线面平行的性质确定点并求出比值. 【详解】（1）在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，则， 由分别为的中点，则，所以. （2）连接，由为中点，，得， 而，因此为中点， 点到平面的距离等于点平面的距离的一半， 即， 于是， 所以三棱锥的体积为. （3）如图，令直线交的延长线分别于， 直线交的延长线分别于， 连接交分别于，连接并延长交的延长线于， 则平面即为平面，由点分别是棱的中点， 得，则，又， 于是四边形是平行四边形，设， 平面平面，平面，要平面， 当且仅当，此时，，， 所以在上存在点P，使得直线平面，此时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $