2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（十二）（人教B版必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换）

**基本信息** 聚焦向量数量积与三角恒等变换综合应用，通过梯度题型构建知识内在逻辑，强化运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量的数量积|5题|概念理解与基本运算（垂直、夹角、投影）|向量数量积定义→几何性质推导| |三角恒等变换|4题|公式化简与求值（象限角、函数图象）|三角公式推导→应用拓展| |综合应用|2题|跨模块结合（三角形性质、函数性质）|向量与三角在几何情境中的综合应用|

2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（十二） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设为锐角，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了同角的三角函数基本关系，两角和差公式的应用，属于基础题． 根据同角的三角函数的基本关系，求得，利用已知角凑出所求角，再由两角和差公式得结果．  【解答】 解：设为锐角，若， ，， 则 ． 故选B． 2.已知向量，，则向量与夹角的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 根据题意，设向量与夹角为，求出、、的值，计算可得的值，结合的范围，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设向量与夹角为， 向量，， 则，，， 故， 又由，则， 故答案选：． 3.已知在中，，，且，则的形状为(    ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定 【答案】A  【解析】解：在中，，，且， 可得， 即为， 由为三角形的内角， 可得为钝角， 即为钝角三角形． 故选：． 4.已知为第二象限角，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意得， 则，所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，，则下列说法正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 在上的投影向量为 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查平面向量共线的坐标表示及向量的模，平面向量的数量积运算，投影向量，属于基础题． 根据向量共线定理的坐标表示，向量的模的公式，向量数量积的运算，即可分别求解． 【解答】 解：选项A， ，选项错误； 选项B，由于， 则，， 若， 则，解得 ，选项正确；  选项C， 与 的夹角为钝角，则 ， 且两个向量不能反向共线，即 且，选项错误； 选项D，，所以在上的投影向量为，选项正确． 故选：． 6.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 的最小正周期为 B. C. 是函数的一个对称中心 D. 在区间的最小值为 【答案】ACD  【解析】解：依题意，原函数可化简为， 由图象得，即，又，则， 由五点法作图得，解得，因此； 对于，的最小正周期，A正确； 对于，，B错误； 对于，，是函数图象的一个对称中心，C正确； 对于，当时，，，的最小值为，D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知单位向量的夹角为，与垂直，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查平面向量垂直关系的应用，考查平面向量数量积的计算，属于基础题． 由条件可得，继而可求出的值． 解：由单位向量的夹角为，与垂直， 所以，则． 故答案为：． 8.已知，则的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了诱导公式和二倍角公式，先由二倍角公式得，再由诱导公式可得结果． 【解答】 解：因为， 所以， 所以， 故答案为 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 向量，． 若，求； 若，求与所成夹角的余弦值． 【答案】解：，， ． ， ，解得， ，， ，即， 所以，． 设向量与夹角为， ．  【解析】本题考查了向量平行和垂直的充要条件，考查了向量夹角的求解以及向量的坐标的运算，属于基础题． 先求，再利用平行的充要条件得，解出即可； 先求出的坐标，再利用垂直充要条件求出，进而得到，利用向量夹角公式求出结果． 10.本小题分 已知． 化简； 若，且是第二象限角，求 的值． 【答案】解： 若，且是第二象限角，  所以， 所以，  ， 所以 ．  【解析】本题考查诱导公式及同角关系式，同时考查二倍角公式及两角和与差的三角函数，属于基础题． 利用诱导公式化简求值即可； 由已知求出，然后利用二倍角公式求出，，进而利用两角和的余弦求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期限时小卷（十二） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换）。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设为锐角，若，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则向量与夹角的大小为(    ) A. B. C. D. 3.已知在中，，，且，则的形状为(    ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定 4.已知为第二象限角，且，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，，则下列说法正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 在上的投影向量为 6.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 的最小正周期为 B. C. 是函数的一个对称中心 D. 在区间的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知单位向量的夹角为，与垂直，则          ． 8.已知，则的值是          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 向量，． 若，求； 若，求与所成夹角的余弦值． 10.本小题分 已知． 化简； 若，且是第二象限角，求 的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $