精品解析：福建省莆田市涵江区国欢镇中学2025-2026学年八年级数学下学期期中检测

2025-2026学年国欢中学八年级下学期期中检测 数学 （本卷共25题，完成时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， ， C. D. 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 是正五边形的外角，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形 ，则（　　） A. 15° B. 28° C. 30° D. 45° 7. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 8. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若 ，，，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中为上的中线， ，垂足为，， ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中， ，且 ，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 13. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费 元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 14. 如图，，的面积等于5，，，则 的面积是___________． 15. 如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 16. 如图，在一张矩形纸片中， ，点 分别在上，将矩形沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处． ①四边形 是菱形； ② 平分 ； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为 ． 以上四个结论中正确的有：_______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 19. 已知与 成正比例关系，且当时， ． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 20. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 21. 已知一次函数的图象经过 ， 两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度，使它经过点，请求出的值． 22. 如图，已知在中，点D在边上． （1）求作四边形，使得 ，且；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点F在边上，且，连接．当时，探究四边形 的形状． 23. 在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设，， 轴，轴，于点，则 _____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 24. 在正方形中，是对角线上一点（不与点 ， 重合），以，为邻边作平行四边形 ，交于点，连接． （1）如图1，当 时，过点作 交于点，连接 并延长交于点． ①求证： ； ②判断与的位置关系，并证明； （2）过点作 直线于点，连接，若 ，当点不与中点重合时，求与的数量关系． 25. 综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E， 交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片 绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且 ，请直接写出点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年国欢中学八年级下学期期中检测 数学 （本卷共25题，完成时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项C：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 对选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ， ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，结合条件逐项判断即可得到结果． 【详解】解：对于A选项，∵， ，， ∴，是直角三角形，故A不符合题意； 对于B选项，∵， ∴， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于C选项，∵， ， ∴最大角， ∴是直角三角形，故C不符合题意； 对于D选项，∵， ， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D符合题意． 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，故B，C，D不符合题意； 选项A的图象，给一个x值，y有两个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的定义，准确地掌握函数的定义是解决问题的关键． 4. 如图， 是正五边形的外角，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和定理，正边形的每个外角等于，代入计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，且正五边形的每个外角都相等， ∴． 5. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质应用．根据一次函数，得到图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形 ，则（　　） A. 15° B. 28° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】由于四边形是正方形，是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ， 是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题 7. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 8. 如图，在中，对角线、 相交于点O，直线经过O点，若 ，，，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点E，则 ，先求出 ，得出 ，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则 ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、 相交于点O， ∴， ，，， ∴， ， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，中为上的中线， ，垂足为 ，， ，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出 是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵ ，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 10. 如图，四边形中， ，且 ，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后根据矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，得到四边形的面积变化规律求解即可． 【详解】解：连接，设 ， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理可得：， ∴四边形是菱形． 连接， ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， 同理可求： ， ∴， …， ∴， ∵ ， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或 或或， 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD， 故答案为AC⊥BD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 13. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费 元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据乘车费用起步价超过千米的费用，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 14. 如图，，的面积等于5，，，则 的面积是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】过作于点 ，过作 于点 ，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可求解． 【详解】解：过作于点 ，过作 于点 ， ∵， ∴ ， ∴， ∵的面积等于5，，， ∴， ∴． 15. 如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于的对称点，连接，则壁虎到蚊子所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于的对称点，连接，则壁虎到蚊子所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 16. 如图，在一张矩形纸片中， ，点 分别在上，将矩形沿直线 折叠，点落在线段 上的一点处，点落在点处． ①四边形 是菱形； ② 平分 ； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为 ． 以上四个结论中正确的有：_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先由矩形的对边得 ，结合折叠性质推得四边形 是菱形，结论①正确；若 平分 ，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设 ，用勾股定理列方程求得 ，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时 取最小值， 与重合时 取最大值，故 ，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴ ，， ∴ ， 由折叠的性质可知 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 是菱形，故结论①正确； ②若 平分 ，则 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， 此时需满足 ，该条件并非必然成立，故 不一定平分 ，结论②错误； ③当点与点重合时，设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴ ，，即菱形 的边长为． ∴ ， ， ， 过点 作 于点 ，则四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， 在 中，，故结论③正确； ④当点与点重合时， 取得最小值； 当点 与点重合时，四边形 是正方形， ∴ ，此时 ，即 取得最大值， ∴线段 的取值范围为 ，故结论④正确； 综上，正确的有①③④． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中， 是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 19. 已知与 成正比例关系，且当时， ． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）把代入函数解析式即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵y与 成正比例关系， 设，， 当时， ， 可得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得： ． 20. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出 为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在 中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 21. 已知一次函数的图象经过 ， 两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度，使它经过点，请求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出一次函数的关系式为，把x与y的值代入求出k、b的值，即可确定出解析式； （2）利用平移规律设出平移后的解析式，把代入即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数的关系式为， 把 ，代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为 ； 【小问2详解】 解：将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为 ， 把点代入得： ， 解得：． 22. 如图，已知在中，点D在边上． （1）求作四边形，使得 ，且；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点F在边上，且，连接．当时，探究四边形 的形状． 【答案】（1）见解析 （2）矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定： （1）如图，以点A为圆心， 的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求． （2）先由平行四边形的性质得到，，再证明 得到四边形 是平行四边形，根据平行线的性质证明 ，即可证明四边形 是矩形． 【小问1详解】 解：如图，以点A为圆心， 的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求． 【小问2详解】 解：由作图方法可知四边形 为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形． ∵，， ∴， ∴ ， ∴四边形 是矩形． 23. 在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设，， 轴，轴，于点，则 _____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 【答案】（1）①见解析；② 2 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）①根据题意画出三角形即可；②利用割补法计算即可； （2）①根据题意和坐标系写出答案即可；②通过将所求代数式变形，可知该式可以表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长，利用两点间的距离公式求出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：①由题意得，，； ②原式， 表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和， 由图可知，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长， ， 的最小值为． 24. 在正方形中， 是对角线上一点（不与点 ， 重合），以 ，为邻边作平行四边形 ，交于点 ，连接． （1）如图1，当 时，过点 作 交于点，连接 并延长交于点． ①求证： ； ②判断与的位置关系，并证明； （2）过点作 直线于点 ，连接，若 ，当点 不与中点重合时，求与的数量关系． 【答案】（1）①证明：四边形是正方形， ，平分． ， ． 如图1，过点 作 于点 ， ． 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ； ②，证明如下： 四边形是正方形，四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ． 由①可知， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ； （2）当点 在线段上时，；当点 在线段上时，． 【解析】 【分析】（1）①过点 作 于点 ，根据正方形的性质可得 ，平分，根据平行四边形的性质可得 ，推出 ， ，证明 ，即可得证；②根据正方形和平行四边形的性质推出 ，由①可知， ， ，证明 得到 ，推出 ，即可判断； （2）过点作 ，交直线于点 ，取中点，分两种情况：当点 在线段上时，当点 在线段上时，证明 得到 ， ，根据勾股定理得到，根据线段的和差，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作 ，交直线于点 ，取中点， ． ， ． ①当点 在线段上时，即 ， 如图4， ，即 ． ， ． ， ． ， ， ， ， 在 中，． ； ②当点 在线段上时，即 ， ，即 ． ， ， ． ， ， ， ， 在 中，． ． 综上所述，当点 在线段上时，；当点 在线段上时，． 25. 综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交， 于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交 于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕 剪开纸片，将纸片 绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且 ，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析；（2）①，证明见解析； ②；（3）点到直线的距离 【解析】 【分析】（1）设 与交于点，先由菱形纸片得到 ，再由折叠得到，，，即可证明，得到 ，推出，则四边形是菱形； （2）①连接 、、由菱形，，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由M恰好是的中点，得到， ，则，则，，根据，求出，则，最后根据求解即可； （3）设直线与直线交于点 ，与直线交于点，由（2）可得和之间的距离为，即，，，则，然后根据当 在左边或右边分情况画出图形求出点到直线的距离的值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下： 设 与交于点， ∵菱形纸片， ∴ ， ∵折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处， ∴，， 垂直平分， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，证明如下： 如图，连接 、、 ∵菱形，， ∴，， ，， ∴是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵M恰好是的中点， ∴， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）设直线与直线交于点 ，与直线交于点， ∵在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕 剪开纸片，将纸片 绕点B按逆时方向旋转， ， ∴，， ∵与所在的直线垂直， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可得和之间的距离为，即， 当 在左边时，如图，此时点到直线的距离； 当 在右边时，如图，此时点到直线的距离； ∴点到直线的距离． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，折叠问题，直角三角形，勾股定理，旋转等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $