精品解析：福建莆田市涵江区国欢镇中学2025-2026学年八年级数学下学期期中检测

2025-2026学年国欢中学八年级下学期期中检测 数学 （本卷共25题，完成时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是正五边形的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则（　　） A. 15° B. 28° C. 30° D. 45° 7. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 8. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，且，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 13. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 14. 如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 15. 如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 16. 如图，在一张矩形纸片中，，点分别在上，将矩形沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处． ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 以上四个结论中正确的有：_______． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 19. 已知与成正比例关系，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 20. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 21. 已知一次函数的图象经过 ， 两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度，使它经过点，请求出的值． 22. 如图，已知在中，点D在边上． （1）求作四边形，使得，且；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点F在边上，且，连接．当时，探究四边形的形状． 23. 在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点，则_____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 24. 在正方形中，是对角线上一点（不与点 ， 重合），以，为邻边作平行四边形，交于点，连接． （1）如图1，当时，过点作交于点，连接并延长交于点． ①求证：； ②判断与的位置关系，并证明； （2）过点作直线于点，连接，若，当点不与中点重合时，求与的数量关系． 25. 综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年国欢中学八年级下学期期中检测 数学 （本卷共25题，完成时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项C：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 对选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，结合条件逐项判断即可得到结果． 【详解】解：对于A选项，∵， ，， ∴，是直角三角形，故A不符合题意； 对于B选项，∵， ∴， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于C选项，∵，， ∴最大角， ∴是直角三角形，故C不符合题意； 对于D选项，∵，， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D符合题意． 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，故B，C，D不符合题意； 选项A的图象，给一个x值，y有两个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的定义，准确地掌握函数的定义是解决问题的关键． 4. 如图，是正五边形的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和定理，正边形的每个外角等于，代入计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，且正五边形的每个外角都相等， ∴． 5. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质应用．根据一次函数，得到图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则（　　） A. 15° B. 28° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】由于四边形是正方形，是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ， 是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题 7. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 8. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 10. 如图，四边形中，，且，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后根据矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，得到四边形的面积变化规律求解即可． 【详解】解：连接，设， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ，，， ， ∴四边形是平行四边形； ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理可得：， ∴四边形是菱形． 连接， ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可求：， ∴， …， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或或或， 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD， 故答案为AC⊥BD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 13. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据乘车费用起步价超过千米的费用，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 14. 如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可求解． 【详解】解：过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5，，， ∴， ∴． 15. 如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于的对称点，连接，则壁虎到蚊子所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于的对称点，连接，则壁虎到蚊子所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 16. 如图，在一张矩形纸片中，，点分别在上，将矩形沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处． ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 以上四个结论中正确的有：_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴，，即菱形的边长为． ∴，，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 综上，正确的有①③④． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 已知与成正比例关系，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）把代入函数解析式即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵y与成正比例关系， 设，， 当时，， 可得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：． 20. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 21. 已知一次函数的图象经过 ， 两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度，使它经过点，请求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出一次函数的关系式为，把x与y的值代入求出k、b的值，即可确定出解析式； （2）利用平移规律设出平移后的解析式，把代入即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数的关系式为， 把 ，代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：将（1）中所得函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 把点代入得：， 解得：． 22. 如图，已知在中，点D在边上． （1）求作四边形，使得，且；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点F在边上，且，连接．当时，探究四边形的形状． 【答案】（1）如图， （2）矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定： （1）如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求． （2）先由平行四边形的性质得到，，再证明得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质证明，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，则即为所求． 【小问2详解】 解：由作图方法可知四边形 为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 23. 在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点，则_____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 【答案】（1）①见解析；② 2 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）①根据题意画出三角形即可；②利用割补法计算即可； （2）①根据题意和坐标系写出答案即可；②通过将所求代数式变形，可知该式可以表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长，利用两点间的距离公式求出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：①由题意得，，； ②原式， 表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和， 由图可知，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长， ， 的最小值为． 24. 在正方形中，是对角线上一点（不与点 ， 重合），以，为邻边作平行四边形，交于点，连接． （1）如图1，当时，过点作交于点，连接并延长交于点． ①求证：； ②判断与的位置关系，并证明； （2）过点作直线于点，连接，若，当点不与中点重合时，求与的数量关系． 【答案】（1）①证明：四边形是正方形， ，平分． ， ． 如图1，过点作于点， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ，即， ， ， ； ②，证明如下： 四边形是正方形，四边形是平行四边形， ，，，， ． 由①可知，，． ， ， ， ， ， ， ， ； （2）当点在线段上时，；当点在线段上时，． 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，根据正方形的性质可得，平分，根据平行四边形的性质可得，推出，，证明，即可得证；②根据正方形和平行四边形的性质推出，由①可知，，，证明得到，推出，即可判断； （2）过点作，交直线于点，取中点，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，证明得到，，根据勾股定理得到，根据线段的和差，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交直线于点，取中点， ． ， ． ①当点在线段上时，即， 如图4， ，即． ， ． ， ． ， ， ，， 在中，． ； ②当点在线段上时，即，，即． ，， ． ， ， ，， 在中，． ． 综上所述，当点在线段上时，；当点在线段上时，． 25. 综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 【答案】 （1）四边形是菱形，证明如下： 设与交于点， AI ∵菱形纸片， ∴， ∵折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处， ∴，，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，证明如下： 如图，连接、、 ∵菱形，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②；（3）点到直线的距离 【解析】 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接、、由菱形，，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由M恰好是的中点，得到， ，则，则，，根据，求出，则，最后根据求解即可； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点，由（2）可得和之间的距离为，即，，，则，然后根据当在左边或右边分情况画出图形求出点到直线的距离的值即可． 【详解】解：（1） 略 （2）① 略 ②∵， ∴， ∵M恰好是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点， ∵在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转，， ∴，， ∵与所在的直线垂直， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可得和之间的距离为，即， 当在左边时，如图，此时点到直线的距离； 当在右边时，如图，此时点到直线的距离； ∴点到直线的距离． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，折叠问题，直角三角形，勾股定理，旋转等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $