精品解析：福建南平市水东学校2025-2026学年下学期八年级数学阶段学情抽测数学试题

福建省南平市水东学校2025-2026学年（下）八年级数学阶段学情抽测 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； C选项：三边长为，，， ，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； 选项B： ，运算错误； 选项C：，运算错误； 选项D：，运算正确． 4. 若与互为相反数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数性质与非负数的性质，利用互为相反数的两数和为，结合算术平方根和绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，求出的值再计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， 只有当且时，等式成立， 即，， 解得，， ． 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意， 故选:D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． 又∵CD为中线， ∴CD＝AB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案． 【详解】解：连接，相交于点， 四边形是菱形， ，，， 点在轴上，点的坐标为，点的坐标为， ，轴， ， ， 点的坐标为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直． 8. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：如图所示： ∵AD=AB=2， ∴， ∴CD=； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键． 9. 如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 菱形， ， 菱形的周长为40， ， ， 菱形的面积， ， 故选B． 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；求出，根据平行四边形的面积公式可作判断：先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点平分，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论正确，符合题意； ， ，故结论正确，符合题意； ， ， ， ， ，故结论③正确，符合题意； 在中，，由勾股定理得：， ， 在中，，由勾股定理得：， ，故结论正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是，共4个， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 12. 若，则代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先对所求代数式进行配方变形，再将已知条件整理后代入计算，可简化运算，避免直接代入的复杂计算． 【详解】解：先对代数式配方： 已知，移项得， 将代入上式得：． 13. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O．要使四边形为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是_______． 【答案】（或等，答案不唯一） 【解析】 【分析】首先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形）添加条件即可． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件，则平行四边形是矩形； 或添加条件，则平行四边形是矩形． 14. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 15. 如图，小聪在作线段的垂直平分线时是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点C，D，则直线即为所求．已知四边形的面积为12，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，菱形的判定与性质，菱形面积的求解，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确求得，的长度． 根据题意可得，垂直平分，且，得到四边形为菱形，求得线段的长度，设与交点为，求得，的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设与交点为， 由题意可得，垂直平分，且， 则四边形为菱形， 由四边形的面积为12，可得，解得， 由四边形为菱形可得，， 由勾股定理可得，． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个大题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法以及二次根式的性质化简每个式子，再进行计算即可； （2）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值，乘方等化简每个式子，然后求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ． 18. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值； （2）利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 ∵，， ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键． 19. 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变． 观察：线段由旋转得到，即． 那么_________，________； 发现：，请证明这一结论； 计算：已知，，若恰好经过原矩形边的中点．求与之间的距离． 【答案】，，证明见解析， 【解析】 【分析】由推动矩形框时，矩形的各边的长度没有改变，可求解；通过证明四边形是平行四边形，可得结论；由勾股定理可求的长，由等面积法可求解． 【详解】解：把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，但是矩形的各边的长度没有改变， ，， 故答案为：，； 证明：四边形是矩形， ，，， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ； 如图，过点作于， ，点是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， 与之间的距离为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 20. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）求证：AC⊥BC； （2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）点的坐标或或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算出，，，再利用勾股定理的逆定理判断即可． （3）根据平行四边形的性质，画出图形，利用点平移规律即可解决问题． 【详解】（1）解：∵．，， ∴， 是以为斜边的直角三角形， ． （2）如图所示：点的坐标或或． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，坐标与图形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【答案】（1） （2）渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，方位角的计算，等角对等边，三角形内角和定理等等： （1）过点作于点，由方位角的定义可得，，据此可得答案； （2）先求出得到海里，再解直角三角形求出的长即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 由题意得，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴海里， ∵中，， ∴， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 22. 在慈善义卖活动现场，诸多非遗项目集中亮相，小阳买了一个年画风筝，并进行了试放．已知放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线长度，计算出的长度为，放风筝的手到地面的距离为，点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）已知风筝在点C处时手中余线剩，若想要风筝沿射线方向再上升，请你判断能否成功，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图，延长至点F，连接，则，     在中，由勾股定理，得： ． ， ∴不能上升，即不能成功． 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E．可得四边形为矩形，可得，，然后在中，由勾股定理可得 ，即可求解； （2）延长至点F，连接，则，在中，由勾股定理可得 ，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点E． 根据题意得：， ∴四边形为矩形， ，． 在中，由勾股定理，得∶． ∴． 答：风筝离地面的垂直高度为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明见解析 （2）条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 24. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作且，连接，连接交于点 （1）求证：； （2）若菱形的边长为6，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得到四边形是平行四边形，再结合四边形是菱形，可得到四边形是矩形，即可求证； （2）证明为等边三角形，可得，再由勾股定理可得，由（1）得：四边形是矩形，可得，再由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 解：∵菱形的边长为6， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是矩形， ∴， ∴． 25. 在正方形中，E为射线上一动点（点E不与A，B重合），作，交直线于点F，连接． 　　 （1）如图1，当点E在线段上时，用等式表示线段，，的数量关系； （2）如图2，当点E在线段的延长线上时， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；②；证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长，取点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，得出； （2）①根据题意补全图形即可； ②在上截取，连接，，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出． 【小问1详解】 解：；理由如下： 延长，取点G，使，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形，如图所示： ②；证明如下： 如图，在上截取，连接，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟记三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省南平市水东学校2025-2026学年（下）八年级数学阶段学情抽测 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 1，2，3 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若与互为相反数，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12. 若，则代数式的值是_______． 13. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O．要使四边形为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是_______． 14. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 15. 如图，小聪在作线段的垂直平分线时是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点C，D，则直线即为所求．已知四边形的面积为12，，则的长为_______． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 三、解答题（本大题共9个大题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 19. 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变． 观察：线段由旋转得到，即． 那么_________，________； 发现：，请证明这一结论； 计算：已知，，若恰好经过原矩形边的中点．求与之间的距离． 20. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）求证：AC⊥BC； （2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标． 21. 如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 22. 在慈善义卖活动现场，诸多非遗项目集中亮相，小阳买了一个年画风筝，并进行了试放．已知放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线长度，计算出的长度为，放风筝的手到地面的距离为，点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）已知风筝在点C处时手中余线剩，若想要风筝沿射线方向再上升，请你判断能否成功，并说明理由． 23. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 24. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作且，连接，连接交于点 （1）求证：； （2）若菱形的边长为6，，求的长． 25. 在正方形中，E为射线上一动点（点E不与A，B重合），作，交直线于点F，连接． 　　 （1）如图1，当点E在线段上时，用等式表示线段，，的数量关系； （2）如图2，当点E在线段的延长线上时， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $