精品解析：四川达州市渠县琅琊中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

四川省达州市渠县琅琊中学2025-2026学年八年级下学期 期中考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 4. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 沿射线 的方向平移得到，点的对应点分别为点 ，连接，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 10 6. 如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7， ，则的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 8. 如图，在中， 平分 ．将绕点A逆时针旋转得到，且点在上，点在的延长线上，与 相交于点E，连接，若 ，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：______． 10. 一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集为______． 11. 如图，在中，， ， ，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则 的长为 _______． 12. 已知和关于原点对称，则______． 13. 某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 因式分解下列各式： （1） （2） 15. 解不等式组并写出它的非负整数解． 16. 如图1，平分 ， ， ，垂足分别为点D、E． （1）求证：； （2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上， ，，，求的长． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请画出关于原点对称的；并写出的坐标． （3）在轴上求作一点，使 的周长最小，并直接写出的坐标． 18. 我们约定：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”． 例如：不等式组是的“子集”． （1）若不等式组：,，则其中不等式组_______是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，则a的取值范围是_________； （3）若关于x的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求a的取值范围； （4）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”且不等式组M的所有整数解的和为15，请求出m，n的取值范围． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则______． 20. 如图，的面积是15， 分别平分和于D，且，则的周长是______． 21. 如图，在直角中， ， ，将点A绕点C顺时针旋转至D点，连接，则 的面积为________． 22. 若关于x 的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围为_________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点…在x轴正半轴上，点…在射线上， ，若，且…均为等边三角形，则线段的长度为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 解决问题 （1）已知为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （2）已知n为整数，代数式的值一定能被12整除吗？作出判断，并说明理由． 25. 为了拓宽学生视野，某校计划组织 名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动一旅游公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客 人． （1）求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客； （2）学校计划共租A、B两种型号的客车辆，其中A型车数量的一半不少于B型车的数量，共有多少种租车方案； （3）若一辆A型车的租金为元，一辆B型车的租金为元．在（2）的条件最少租车费用是多少． 26. 在 中，， ， ，将绕着点顺时针旋转，得到． （1）如图①，当点 落在边上时，连接，求的长； （2）如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点； （3）在（2）的条件下，点为中点，连接，在旋转的过程中，当时，则的值为多少？请直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县琅琊中学2025-2026学年八年级下学期 期中考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项符合题意； D、是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选： C． 2. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6，能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为6cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、若 ，则，故本选项不符合题意； B、若 ，则，故本选项不符合题意； C、若 ，则 ，故本选项不符合题意； D、若 ，只有当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可． 本题考查的是因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义． 【详解】解：A、最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解，故不符合题意； B、最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解，故不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，选项错误，不合题意； 故选：C． 5. 如图， 沿射线的方向平移得到，点的对应点分别为点 ，连接，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由图形平移的性质解答即可 【详解】解：由已知BC=5，CE=2， ∴BE=BC+CE=7 ∵ABC沿射线BC的方向平移得到ΔDEF，点A,B,C的对应点分别为点D,E,F ∴AD=BE=7 故应选:C 【点睛】本题考查了图形平移的性质，解答关键是应用数形结合思想解题． 6. 如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定A点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】把代入得 ， 解得， 由函数图象可知，当时，， 故选：D． 7. 如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7， ，则的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作 于点，于点，由角平分线的性质，得到，进而得出，再根据，求出，即可求出的周长． 【详解】解：如图，连接，过点作 于点，于点， 和的外角平分线交于点，且 ， ， 的面积为7， ， ， 的面积为10， ， ， ， ，即的周长为12， 故选：D． 8. 如图，在中， 平分．将绕点A逆时针旋转得到，且点在上，点在的延长线上，与相交于点E，连接，若 ，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到 ，根据旋转的性质得到 ，， ，可证 ，得到 ， ，根据勾股定理计算即可得到答案. 【详解】解：，平分 ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ∴， ， ， ， ， . 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，观察多项式的结构特征，判断其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案． 【详解】解：∵3处是实心圆点，且折线向左， ∴这个不等式的解集为． 故答案为：． 11. 如图，在中，， ， ，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则 的长为 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．根据勾股定理可得，旋转可得 ，进而可得答案． 【详解】解：在中，， ∵ ， ， ∴， 由旋转可知： ， ∴． 故答案为：1． 12. 已知和关于原点对称，则______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求出 的值，相加即可； 【详解】解：和关于原点对称， 则， ； 故答案为：-1 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标变化规律，解题关键是求出 的值． 13. 某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 【答案】八 【解析】 【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可. 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%， 解得：x=8． 故商店应打八折． 故答案为：八． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 因式分解下列各式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解方法，准确计算． （1）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为0，1． 16. 如图1，平分， ， ，垂足分别为点D、E． （1）求证：； （2）在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上， ，，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由角平分线的性质定理可得 ，再根据“”证明，即可得到结论； （2）证明，得到 ，再根据线段的和差，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请画出关于原点对称的；并写出的坐标． （3）在轴上求作一点，使 的周长最小，并直接写出的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）见解析， 【解析】 【分析】本题早就考查了平移规律、关于原点对称、轴对称的性质等知识点，根据平移规律、关于原点对称确定变化后关键点的坐标是解题的关键． （1）由平移规律先确定的坐标，然后描点，再顺次连接即可解答； （2）由关于原点对称的性质确定的坐标，然后描点，再顺次连接即可解答； （3）作点B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为点P，然后直接写出A1，A2的坐标． 【小问1详解】 解：∵三个顶点的坐标分别为，向左平移5个单位长度后得到的，． ∴． ∴如图：即为所求． 【小问2详解】 解：∵三个顶点的坐标分别为，关于原点对称的， ∴． ∴如图：即为所求． 【小问3详解】 解：如图：点P即为所求；点P的坐标为． 18. 我们约定：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”． 例如：不等式组是的“子集”． （1）若不等式组：,，则其中不等式组_______是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，则a的取值范围是_________； （3）若关于x的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求a的取值范围； （4）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”且不等式组M的所有整数解的和为15，请求出m，n的取值范围． 【答案】（1）A （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）求出不等式组A与B的解集，利用题中的新定义判断即可； （2）根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）求出不等式组的解集，根据不等式组有解和子集的意义得出不等式组，解之即可； （4）首先根据子集的意义初步求出m，n的范围，再根据整数解的和，得出可能的两种情况，分别求解． 【小问1详解】 解：解不等式组得：， 解不等式组得：， 解不等式组得：， ∴不等式组是不等式组的子集； 【小问2详解】 解不等式组得：， ∵不等式组不是不等式组的“子集”， ∴ ； 【小问3详解】 解不等式组得：， 整理不等式组得， ∵不等式组有解且是不等式组的“子集”， ∴， 解得： ； 【小问4详解】 整理不等式组得， ∵是不等式组的“子集”， ∴，解得：， ∵不等式组M的所有整数解的和为15， 或， ∴或， 解得：或， 综上：m，n的取值范围是或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能理解子集的意义和求出不等式组的解集是解此题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则展开，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，正确计算是解题的关键． 20. 如图，的面积是15， 分别平分和于D，且，则的周长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握利用角分线的性质求三角形的面积是解题的关键．连接，将分割成3个三角形．过点O作 于点E，于点F，根据点O为的内心，即可得出．根据三角形的面积公式列式即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作 于点E，于点F， 分别平分和， 点O为的内心， ． ， ， ， ， 的周长是10， 故答案为：10． 21. 如图，在直角中， ， ，将点A绕点C顺时针旋转 至D点，连接，则 的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质，掌握证明三角形全等，得出边的长度是解题的关键．根据题意，过点作交延长线于，证明，则有，由此即可求解． 【详解】解：将点A绕点C顺时针旋转 至D点， ∴， ， 过点作交延长线于，如图所示， ∵， ， ∴ ，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 若关于x 的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集是解题的关键． 解不等式组得到,根据题意得，解不等式组即可得到． 【详解】解： 解得：， 关于x 的不等式有且仅有4个整数解， 整数解为， ， 解得：， 故答案为： ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点…在x轴正半轴上，点…在射线上， ，若，且…均为等边三角形，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】设的边长为，根据 ，结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出 ， ，从而得出，由点的坐标为，得到， ， ， ，， 据此即可求解． 【详解】解：设的边长为， ， 又为等边三角形， ， ， ， ， ， ，，为等边三角形， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， 设的边长为， ， ， ， ， ∴. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 解决问题 （1）已知为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （2）已知n为整数，代数式的值一定能被12整除吗？作出判断，并说明理由． 【答案】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴． ，，是的三边长， ， ， ， 即是等腰三角形． （2）解：代数式的值一定能被整除；理由如下： ； ∴代数式的值一定能被12整除. 【解析】 【分析】（1）观察题中等式可以发现，得，据此能判断出三角形的形状；  （2）整理式子得，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 为了拓宽学生视野，某校计划组织 名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动一旅游公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客 人． （1）求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客； （2）学校计划共租A、B两种型号的客车辆，其中A型车数量的一半不少于B型车的数量，共有多少种租车方案； （3）若一辆A型车的租金为元，一辆B型车的租金为元．在（2）的条件最少租车费用是多少． 【答案】（1）一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载 名乘客； （2）种； （3）元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；设一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客，根据“辆A型车和辆B型车可以载乘客人，辆A型车和辆B型车可以载乘客 人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；设租用辆A型车，则租用辆B型车，根据租用的客车载客量不少于 人且租用的A型车数量的一半不少于B型车的数量，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有种租车方案； （3）根据各数量之间的关系，列式计算；分析两种型号客车的租金，可得出租用A型车越多，租车费用越少，结合（2）中的取值范围，即可求出最少的租车费用． 【小问1详解】 解：设一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载名乘客， 根据题意得：， 解得：． 答：一辆A型车可以载名乘客，一辆B型车可以载 名乘客； 【小问2详解】 解：设租用辆A型车，则租用辆B型车， 根据题意得：， 解得：， 又 为正整数， 可以为，，，， 共有种租车方案； 【小问3详解】 解：， 租用A型车越多，租车费用越少， 当 时，租车费用最少，最少租车费用为：（元）． 答：在（2）的条件最少租车费用是元． 26. 在 中，， ， ，将绕着点顺时针旋转，得到． （1）如图①，当点落在边上时，连接，求的长； （2）如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点； （3）在（2）的条件下，点为中点，连接，在旋转的过程中，当时，则的值为多少？请直接写出答案． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作 的延长线于，利用直角三角形性质可得： ， ，再运用旋转变换的性质和勾股定理即可求得答案； （2）过点作交的延长线于，先证明，可得 ，即有 ，即可证得≌，得出，即可证得结论； （3）当点P在上方时，取的中点连接， ，过点作于，交于 ，利用三角形中位线定理可得：， ，，，，再证得四边形是矩形，可得：，，再利用等腰三角形性质可得：，最后运用勾股定理即可求得答案，当点P在下方时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作 的延长线于， 则 ，    ， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 在 中， ， 在 中， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交的延长线于， 则，    由旋转得：，，， ，，， ， ， ， 在和 中， ， ， ， 点是的中点； 【小问3详解】 解：如图，取的中点连接， ，过点作于，交于 ，     由（1）（2）得：，，，， ，，点是的中点， ， ， 点为中点，点为的中点， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，； 当点P在下方时，如图， 同理可求的值为． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，矩形的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $