精品解析：新疆生产建设兵团第二中学等校2025～2026学年下学期九年级阶段测试（四）数学问卷

2025-2026-02九年级阶段测试（四） 数学试卷（问卷） 一、单选题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列四个选项中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称， ∴、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意． 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘法法则、完全平方公式、同类项概念、平方差公式逐一判断选项． 【详解】解：A：，故A计算错误； B：，故B计算错误； C：与不是同类项，不能合并，故C计算错误； D：，故D计算正确． 4. 如图，固定木条，使，旋转木条b，要使得，则应调整为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴应调整为． 5. 下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与y轴交于点 B. 一定经过点 C. y随x的增大而减小 D. 图象过一、二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键，根据性质逐项判断即可． 【详解】解：对于直线， A选项，∵求与轴交点时，令，得， ∴与轴交于点，A错误； B选项，∵当时， ， ∴直线一定经过点，B正确； C选项，∵， ∴随的增大而增大，C错误； D选项，∵，， ∴直线图象经过一、三、四象限，D错误． 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴， ∴． 故选：B． 7. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时，， 解得， 由图象得，I随R的增大而减小， ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 8. 某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同．设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆，找到“现在组装900辆的时间与原计划组装600辆的时间相等”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程． 【详解】解：设现在平均每天组装辆新能源汽车，则原计划平均每天组装辆， 可得现在组装900辆所需时间为，原计划组装600辆所需时间为， ∴可列方程． 9. 2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（ ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． 对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断； 对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度； 对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可； 对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可． 【详解】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 一个不透明的袋子里有五张大小、形状相同的卡片，分别写着数字2，3，4，5，6，从中任取一张，数字为奇数的概率是__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，据此求解即可． 【详解】解：∵共有5张卡片，其中数字为奇数的有3和5，共2张， ∴从中任取一张，数字为奇数的概率是． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组的解集规律确定原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得． 解不等式得． ∴． 13. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵D，E分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 即B、C两点之间的距离为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数（，）图象上一点，线段于点，交反比例函数（，）图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积是15，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 15. 如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据立方根、零指数幂、乘方的运算法则分别计算每一项再合并； （）利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开后，合并同类项得到化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】（1） （2）证明：在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先将分式方程变换为，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再进行检验的步骤，即可求解； （2）直接利用“”即可证明． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是方程的解， ∴原分式方程的解为． 【小问2详解】 略 18. 如图，在矩形中，是对角线的中点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，直线即为所求； （2）四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——过一点作已知直线的垂线，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握基本的尺规作图和以上图形的性质． （1）利用过一点作已知直线垂线的方法进行作图即可； （2）利用矩形的性质和已知条件得出和，再得出四边形是平行四边形，最后利用有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 今年“3·15晚会中”曝光的“杨铭宇黄焖鸡米饭”“小龙坎火锅”等食品安全事件引起了学校的高度重视，为了提高学生对食品安全的重视，某学校开展了“食品安全宣讲员”的评选活动，活动包括食品安全知识竞赛、食品安全宣讲展示两个环节．为了解学生食品安全知识竞赛情况，从报名的学生中随机抽取部分学生的成绩（用x表示，满分100），并分成四组：A．，B．，C．，D．． 下面是抽取学生食品安全知识竞赛成绩的统计图和部分信息： C．的成绩为75，75，77，78，79，79，80，80，80，80，81，82，82，82，83； （1）请补全条形统计图；抽取学生的食品安全知识竞赛成绩中，中位数是______分； （2）在扇形统计图中，“C．”的圆心角的度数是______． （3）估计在报名的800名学生中食品安全知识竞赛成绩不低于85分的人数； （4）根据活动要求，学校将食品安全知识竞赛成绩、食品安全宣讲展示成绩按照的比例计算个人综合成绩．下面哪位同学被评选为“食品安全宣讲员”的可能性更大？ 食品安全知识竞赛成绩 食品安全宣讲展示成绩 李明 95 91 王丽 92 94 【答案】（1）76， 补全图形如下： （2） （3）192名 （4）王丽被评选为“食品安全宣讲员”的可能性更大 【解析】 【分析】（1）先根据A组人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再根据各组人数之和等于总人数求出B组人数，据此即可补全图形，继而根据中位数的定义求解即可； （2）用乘以C组人数占被调查的总人数之比即可得出答案； （3）总人数乘以样本中D组人数所占比例即可； （4）根据加权平均数的定义求解即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． 【小问1详解】 解：由题意知，被调查的总人数为（人）， 则B组人数为（人）， 这组数据的中位数为第25、26个数据的平均数，而这2个数据分别为75、77， 所以这组数据的中位数为（分）， 故答案为：76； 【小问2详解】 在扇形统计图中，“C．”的圆心角的度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 （名）， 答：估计在报名的800名学生中食品安全知识竞赛成绩不低于85分的人数约为192名 【小问4详解】 李明的综合成绩为（分）， 王丽的综合成绩为（分）， 所以王丽被评选为“食品安全宣讲员”的可能性更大． 20. 小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长为，面板长为，为（厚度忽略不计）． （1）求支点离桌面的高度． （2）当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形是矩形，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，解答即可求解； （2）过点CC作，过E作于点H，则，分别求出所成的角为和时，的值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点F，过点B作于点M， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即支点C离桌面l的高度为；； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，过E作于点H， 则， ∵， ∴， 当时， ； 当时，； ∴当面板绕点C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是． 21. 甲，乙两名同学打羽毛球，羽毛球发出后的飞行路线可以看作抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的对应数据如表： 水平距离 竖直高度 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； 在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网； 求与的函数表达式． （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球．记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，求的值． 【答案】（1）；能；； （2）． 【解析】 【分析】（）根据表格可知、的纵坐标相同，从而求得，所以顶点坐标为，通过顶点坐标即可得出当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是； 由表格可知，当在水平距离时，与在水平距离时的竖直高度一样为，然后比较即可； 由表格数据可知，然后把，代入即可求解； （）把分别代入和，求出和即可． 【小问1详解】 解：∵、的纵坐标相同， ∴函数中，， ∴观察表格，顶点坐标为， ∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：； 由表格可知，当在水平距离时，与在水平距离时的竖直高度一样为， ∵， ∴羽毛球是能过网的， 故答案为：能； 由表格数据可知，， 把，代入表达式得：， 解得：， ∴与的函数表达式； 【小问2详解】 解：在第一次接球中，当时，得：， 解得：，， ∵接球时球越过球网， ∴， 在第二次接球中，当时，得：， 解得：，， ∵接球时球越过球网， ∴， ∴， ∴的值为． 22. 如图，为的直径，C、D为上两点，且位于的两侧，连接、并延长交于点F，过点C作于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先连接半径，利用圆周角定理得出，结合已知推出，进而得到，再由传递得到，最后根据是的半径，依据切线判定定理即可证明是的切线； （2）先连接、，由得，再由得，由同弧所对圆周角相等得，从而推出，得到，再由利用等腰三角形三线合一得出，接着由是直径得，通过同角的余角相等推出，然后在中利用和求出，再在中利用求出，进而得到，最后通过即可计算得出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ． 23. 如图： （1）问题发现：如图①，点为平面内一动点，且，（），则的最小值为______，的最大值为______； （2）方法运用：在四边形中，，点是上方的动点，且，，． ①如图2，当时，求线段的最大值． ②如图3，当时，用含式子表示线段的最大值． 【答案】（1）， （2）① ，② 【解析】 【分析】（1）点A满足（定长），故A在以B为圆心、为半径的圆上，由三角形三边关系求的最值． （2）①由且，在下方构造等腰直角，证，将转化为，利用在以为圆心、为半径的圆上，当、、三点共线时最大． ②在下方作且，证，得，当、、三点共线时最大． 【小问1详解】 解：，、为定点且， 点在以为圆心、为半径的圆上， 当在线段上时，最小，， 当在的延长线上时，最大，． 【小问2详解】 ①解：以为直角边，在下方构造等腰直角，使，， ，， ， ， ， ，， ∴， ， ， 在以为圆心、为半径的圆上， 如图，当、、三点共线时，最大，设此时点D对应点为， ， 的最大值为． ②解：在下方作，取，连接、， ， ， ， ， ，， ， 又，， 在和中，，， ， ， 由，在以为圆心、为半径的圆上， 当、、三点共线时，最大，设此时点D对应点为， ， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-02九年级阶段测试（四） 数学试卷（问卷） 一、单选题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列四个选项中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，固定木条，使，旋转木条b，要使得，则应调整为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与y轴交于点 B. 一定经过点 C. y随x的增大而减小 D. 图象过一、二、三象限 6. 如图，是 的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 8. 某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同．设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（ ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 因式分解：_________． 11. 一个不透明的袋子里有五张大小、形状相同的卡片，分别写着数字2，3，4，5，6，从中任取一张，数字为奇数的概率是__________． 12. 不等式组的解集是________． 13. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，、 为支撑架，为拉杆，D，E分别是、 的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数（，）图象上一点，线段于点，交反比例函数（，）图象于点 ，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积是15，则__________． 15. 如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结 ，使得面积为24，连结 ，则 的最大值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）如图，与相交于点，，．求证：． 18. 如图，在矩形中，是对角线 的中点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规过点作 的垂线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由． 19. 今年“3·15晚会中”曝光的“杨铭宇黄焖鸡米饭”“小龙坎火锅”等食品安全事件引起了学校的高度重视，为了提高学生对食品安全的重视，某学校开展了“食品安全宣讲员”的评选活动，活动包括食品安全知识竞赛、食品安全宣讲展示两个环节．为了解学生食品安全知识竞赛情况，从报名的学生中随机抽取部分学生的成绩（用x表示，满分100），并分成四组：A．，B．，C．，D．． 下面是抽取学生食品安全知识竞赛成绩的统计图和部分信息： C．的成绩为75，75，77，78，79，79，80，80，80，80，81，82，82，82，83； （1）请补全条形统计图；抽取学生的食品安全知识竞赛成绩中，中位数是______分； （2）在扇形统计图中，“C．”的圆心角的度数是______． （3）估计在报名的800名学生中食品安全知识竞赛成绩不低于85分的人数； （4）根据活动要求，学校将食品安全知识竞赛成绩、食品安全宣讲展示成绩按照的比例计算个人综合成绩．下面哪位同学被评选为“食品安全宣讲员”的可能性更大？ 食品安全知识竞赛成绩 食品安全宣讲展示成绩 李明 95 91 王丽 92 94 20. 小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座的高为，，支架长 为，面板长为，为（厚度忽略不计）． （1）求支点离桌面的高度． （2）当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足，当面板与桌面的夹角增大时，点 离桌面的高度也随之增大，问当面板绕点转动过程中，点 离桌面最大高度与最小高度的差是多少？（计算结果保留根号） 21. 甲，乙两名同学打羽毛球，羽毛球发出后的飞行路线可以看作抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的对应数据如表： 水平距离 竖直高度 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； 在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网； 求与的函数表达式． （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球．记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，求的值． 22. 如图，为 的直径，C、D为 上两点，且位于的两侧，连接、 并延长交于点F，过点C作于点E，． （1）求证：是 的切线； （2）若，，求 的长． 23. 如图： （1）问题发现：如图①，点为平面内一动点，且，（），则 的最小值为______， 的最大值为______； （2）方法运用：在四边形中，，点 是 上方的动点，且，，． ①如图2，当时，求线段 的最大值． ②如图3，当时，用含式子表示线段 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $