2025-2026学年下学期高二数学限时小卷（十二）（人教B版选择性必修第三册第六章 导数及其应用）

**基本信息** 聚焦导数及其应用，以题构建“概念理解-性质应用-实际建模”逻辑链，强化数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|3题（单选1,3,4）|切线斜率与方程求解|从导数定义到几何意义的直观表达| |单调性与极值最值|4题（单选2,多选5,填空7,解答9）|单调性判断、极值点条件、最值计算|导数与函数性质的推理关系| |导数应用|3题（多选6,填空8,解答10）|位移速度关系、实际优化问题|数学模型对现实世界的解释与解决|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十二） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册第六章导数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知曲线上一点，记为函数的导数，则(    ) A. B. C. D. 2.函数在区间上的最大值和最小值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于(    ) A.   B. C. D. 4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. 在处的切线为轴 B. 是上的减函数 C. 为的极值点 D. 最小值为 6.已知某物体运动的位移方程为(    ) A. 该物体位移的最大值为 B. 该物体在内的平均速度为 C. 该物体在时的瞬时速度是 D. 该物体的速度和时间时的关系式是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若函数无极值点，则实数的取值范围是          ． 8.已知函数的定义域为，其导函数为，满足，，则不等式的解集为          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 求函数的极值； 求函数在区间的最大值和最小值． 10.本小题分 如图，有一块荒地．某人想利用其中一段长度为米的废墙，其他三面用篱笆在荒地上围一个面积为平方米的矩形菜园，设矩形菜园的一边的长为米． 求菜园所需篱笆长关于的函数，并求函数的定义域； 若篱笆的价格为元米，问当为何值时，这个矩形菜园的造价最低？并求最低造价． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十二） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知曲线上一点，记为函数的导数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，，由，得，所以，故选：． 2.函数在区间上的最大值和最小值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】【分析】 本题考点是导数法求函数最值，属于基础题． 求导，用导数研究函数在闭区间上的单调性，利用单调性求函数的最值． 【解答】 解：令，， 故函数在上是增函数，在上是减函数， 又，，． 故最大值、最小值分别为，； 故选：． 3.设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于(    ) A.   B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了导数的定义，属于基础题． 根据条件得到，再利用导数的几何意义，即可求出结果． 【解答】 解：因为， 所以， 由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为， 故选：． 4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由，得， 令，可得，得， 所以，， 则，， 故所求切线方程为，即． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. 在处的切线为轴 B. 是上的减函数 C. 为的极值点 D. 最小值为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查求曲线上一点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题． 求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断选项A；结合函数的单调性与导数的关系，判断选项B；根据导数的正负与函数极值的关系，判断选项C；继而判断选项D． 【解答】 解：由题意知，故， 故在处的切线的斜率为，而， 故在处的切线方程为，即， 对于，所以在处的切线为轴，故 A正确； 对于，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故 B错误； 对于，由此可得为的极小值点，故 C正确； 对于，由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值， 最小值为，故 D正确． 故选：． 6.已知某物体运动的位移方程为(    ) A. 该物体位移的最大值为 B. 该物体在内的平均速度为 C. 该物体在时的瞬时速度是 D. 该物体的速度和时间时的关系式是 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查导数的基本概念，属于基础题． 利用位移方程、平均速度及瞬时速度，结合选项分析得出结论． 【解答】 解：因为物体运动的位移方程为， 所以时，该物体位移的最大值为，故A错误； 该物体在内的平均速度为，故B正确； 因为，所以， 当时，，故C错误； 该物体的瞬时速度和时间的关系式是，故D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若函数无极值点，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于基础题． 求出函数的导数，问题转化为最多个实数根，根据二次函数的性质求出的范围即可． 【解答】 解：， ， 若函数在上无极值点， 即最多个实数根， 故，解得：， 故答案为：． 8.已知函数的定义域为，其导函数为，满足，，则不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式问题，考查转化思想，是中档题． 令，则，再根据函数的单调性求出不等式的解集即可． 【解答】 解：令，则， 所以在上单调递增， 而， 由，得， 即， 所以，解得：， 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 求函数的极值； 求函数在区间的最大值和最小值． 【答案】解：由，得， 令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，函数取极大值，无极小值． 由知函数在单调递增，在单调递减， 且，， 所以函数在区间的最大值为，最小值为．  10.本小题分 如图，有一块荒地．某人想利用其中一段长度为米的废墙，其他三面用篱笆在荒地上围一个面积为平方米的矩形菜园，设矩形菜园的一边的长为米． 求菜园所需篱笆长关于的函数，并求函数的定义域； 若篱笆的价格为元米，问当为何值时，这个矩形菜园的造价最低？并求最低造价． 【答案】解：因为，， 所以，故， 又因为所以， 所以函数的定义域为． 设这个矩形菜园的造价为元．则， 因为且，所以， 故在时为增函数， 所以当时，矩形菜园的造价最低，最低造价为元．  【解析】通过，求出，得到函数的解析式，写出定义域即可． 设这个矩形菜园的造价为元．则，利用函数的导数求解函数的最值即可． 本题重点考查学生的数学建模能力，利用导数研究函数的性质，考查学生的分析问题解决问题的能力． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $