精品解析：黑龙江齐齐哈尔市第八中学校2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷

2025—2026学年度下学期5月月考考试 高二数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 幂函数在 上递减，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 3. 已知数列的前n项和为，满足 ，则 （ ） A. 11 B. 31 C. 61 D. 81 4. 若不等式对一切实数都成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得 成立的最大自然数是15 6. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ） A. 大于10g； B. 小于10g； C. 等于10g； D. 不能判断大小． 8. 已知函数是定义在上的偶函数，为 的导函数，且，且当时，，则 解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 函数 的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是 的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球．．．设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 命题“，”的否定是__________． 13. 设为定义在上的奇函数，且，，则的值为__________． 14. 已知存在使不等式 成立，则m的取值范围为__________． 四、解答题：本小题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式： （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 16. 若函数，当时，函数有极值. （1）求函数的极大值； （2）若关于的方程有三个零点，求实数 的取值范围. 17. 已知函数，函数是奇函数． （1）求实数a的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 18. 若数列的首项，且满足，令． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前n项和； （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期5月月考考试 高二数学试卷 （本试卷满分150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式，得，则，而， 所以. 2. 幂函数在 上递减，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或 ， 当时，在 上递减，所以满足题意， 当 时，在 上递增，所以 不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 3. 已知数列的前n项和为，满足 ，则 （ ） A. 11 B. 31 C. 61 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的前项和为与的关系，利用相减法得递推关系式，根据递推关系式求解，从而得的值. 【详解】因为 ，所以 ， 则当 时， ，相减得， 即，所以， 又当时， ，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 . 4. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立， 当 时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 5. 设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得 成立的最大自然数是15 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列定义及其通项可判断公差，得出数列中各项的符号可得B正确，再由等差数列性质可判断C正确，由等差数列前项和公式可判断D正确. 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 对于B，由题意可知数列为递减数列，且当时，，当时， ； 所以可得时，取得最大值，B正确； 对于C，由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确； 对于D，易知，， 故 成立的最大自然数 ，D错误． 故选：D． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，则的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，故函数与是相同的函数，故A正确； 因， 当且仅当时取等号，因方程无解，等号不成立，故B错误； 因，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ） A. 大于10g； B. 小于10g； C. 等于10g； D. 不能判断大小． 【答案】A 【解析】 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为， ，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但 ，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，为 的导函数，且，且当时，，则 解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，结合导数运算与题目条件可得单调性及其奇偶性，结合计算即可得 的解集. 【详解】令，则， 故当时， ，即在上单调递减， 由函数是定义在上的偶函数， 则， 故函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减， 由，则，， 则当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 综上可得： 的解集是. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得 ，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故， ，则，故B错误； 对于选项C：，由 ，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由 ，则该不等式解集为，故D正确. 10. 函数 的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是 的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数 的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数的图象，当或 时，，当且仅当时取等号， 当时， ， 因此函数 在上单调递增，在上单调递减， 所以 是 的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是 的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数 在 上单调递增，所以，所以D错误. 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球．．．设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案. 【详解】根据题意，， 则有， 当 时， ， 也满足，所以， ，A选项错误； ，B选项正确； ，， C选项正确； ， ，D选项正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 命题“，”的否定是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式，直接求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 13. 设为定义在上的奇函数，且，，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合赋值法推理计算. 【详解】由为定义在 上的奇函数，且， 得，即， 因此，， 所以. 14. 已知存在使不等式 成立，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为 ，令，，求导判断函数的单调性，推得 ，结合题意，可得 ，求解即得. 【详解】由 ， 令，， 则， 设，可得 则函数在 上单调递增， 又由 ， 则函数在 上存在唯一零点， 即 ，即， 当 时， ，函数单调递减； 当 时， ，函数单调递增， 则当时，函数取得最小值， 为， 由题意，存在成立，需使 ， 所以 ，即. 四、解答题：本小题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式： （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求出和的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式； （2）根据题意得出，故，利用分组求和计算即可. 【小问1详解】 方法1：设等差数列的公差为，， 因为，所以， 又，所以，解得 ， 因为，所以的通项公式为； 方法2：设等差数列的公差为， 故 ，，所以； 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 因为，所以， 则 ， 所以数列的前项和为. 16. 若函数，当时，函数有极值. （1）求函数的极大值； （2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据可求出的值，进而确定函数的解析式，然后求导，令导函数等于0求出的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大值； （2）由（1）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，然后根据数形结合确定的范围． 【详解】解：（1）， 由题意知，解得. 故所求的解析式为 可得， 令，得或， 由此可得 0 0 极大值 极小值 所以当时，有极大值. （2）由（1）知，得到当或时，为增函数； 当时，为减函数， ∴函数的图象大致如图， 由图可知当时，与有三个交点， 所以实数的取值范围为. 【点评】本题主要考查导数在函数的单调性、极值中的应用，属于中档题. 17. 已知函数，函数是奇函数． （1）求实数a的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过 求解，并验证即可； （2）由函数的单调性和奇偶性，通过去“ ”法，结合分离参数、基本不等式求最值，即可求解. 【小问1详解】 因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得 ，则， 经检验是奇函数，满足题意，故 ． 【小问2详解】 由解析式可知在上单调递增，且为奇函数， ∴由恒成立，得， 所以，时恒成立，即在上恒成立， 令，，则 又，当且仅当，即 时取等号， 所以实数的取值范围为． 18. 若数列的首项，且满足，令． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求的前n项和； （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析， ； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）的信息求出，再利用错位相减法，结合等比数列前n项和公式求解. （3）根据给定条件，结合（1）的结论求出数列的通项，再利用等差中项以及等比中项的性质推理得证. 【小问1详解】 由 ，得， 而，则，又， 所以数列是等比数列，， . 【小问2详解】 由（1）知，， ，则， 两式相减得， 所以 【小问3详解】 依题意，，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即，则，由成等差数列，得， 因此，整理得，则，与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列 【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 19. 已知函数． （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【小问1详解】 若 ，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为 ； 【小问2详解】 由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； 【小问3详解】 若，则，， 故当时， ，当时， ， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，， 时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令 ，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $