精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二下学年6月阶段性测试数学试卷

哈九中2024级高二学年6月阶段性测试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得： 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，且，可得； 反之，由不一定得到，且，比如，时，， 所以“”是“，且”的必要不充分条件． 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，令即可得解. 【详解】函数，有， 令，得，解得. 故选：C. 4. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 令，得， 令，得或；令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，上单调递增，则. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，代入即可比较三者大小． 【详解】比较与的大小： 构造函数，定义域为， 求导得，当时，， 故，在上单调递增， 因此，即，整理得； 比较与的大小： 构造函数，定义域为，求导得， 当时，，故，所以在上单调递增， 因此，即，整理得， 所以． 7. 过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. -1 C. 3或1 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由已知条件得到，其次利用导数求得，利用二次函数的性质求得，最后解出实数的取值范围. 【详解】若对任意的，存在，使，则. 由已知得， 可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，. 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以当时，. 于是，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 集合与集合表示同一集合 D. 已知集合，若，则的值为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项：由命题的性质得，命题“，使得”的否定是“，都有”，故正确； 选项：因为，所以，则不存在实数满足，故不正确； 选项：集合是点集，集合是数集，则集合与集合表示的不是同一集合，故不正确； 选项：因为， 若，得，此时，不符合已知条件的集合含有2个元素，故不符合； 若，得，（舍去），此时，符合已知条件的集合含有2个元素，故符合，故正确. 10. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案. 【详解】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，转化为有两个不同的根，令，求导得到其单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到；B选项，先得到，且，故；C选项，得到，且，，D选项，构造，利用导数得到，从而得到，再由在上单调性得到答案. 【详解】A选项，定义为R，且， 由题意得有两个变号零点， 令，即有两个不同的根， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且， 又当时，，当时，， 画出的图象，如下， 故，A正确； B选项，由A选项可知，，且， 故，B错误； C选项，由A选项可知，，且， ，C正确； D选项，设，， 则， 因为，所以，，则， 故， 故在上单调递增， 又， 而，故，即， 又，所以， 其中，， 而由A选项可知，在上单调递减， 所以，即，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式性质计算即可. 【详解】因为， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 13. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，则. 因为， 所以，即在上单调递减. 又， 则， 即不等式的解集. 14. 若对恒成立，则正实数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，结合函数的单调性可得，参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】因为，则等价于， 可得，且， 令，，可得， 因为在定义域内单调递增，则，可得， 令，，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以正实数的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求得，，再结合集合的交并补运算，即可求解； （2）由题意可得是的真子集，进而可得，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 又，解不等式得， 所以， 所以，或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以或，解得或， 故实数a的取值范围是. 16. 如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 法二：根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，可得，且， 在三棱台中，可得，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面． 法二：在三棱台中，为的中点，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，于是平面． 【小问2详解】 解：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则． 设平面的法向量为，则， 令，可得．所以． 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角正弦值为． 17. 随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示: 月份 7 8 9 10 11 月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y 2.2 2.5 2.7 3.1 3.5 （1）从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量. 附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=- 【答案】（1）分布列见解析， （2）3.76万件 【解析】 【分析】（1）先判定分布列为超几何分布，确定2个满足条件、3个不满足的样本构成，再计算 的概率得到分布列，最终运用公式即可求得期望值； （2）先计算样本均值、平方和等基础统计量，再通过最小二乘法计算回归系数 和截距 ，得到回归方程 ，最后结合实际情境代入自变量完成预测即可. 【小问1详解】 因为月销售量不少于3万件的月份有2个，所以X的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问2详解】 因为，， ， 所以===， =-=， 故y关于x的经验回归方程为， 又当年12月份对应的月份代码为6，所以， 所以预测当年12月份的月销售量为3.76万件. 18. 已知． （1）若在恒成立，求的取值范围； （2）若在恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）方法一： 若 有两个零点，设两个零点为 ，不妨设 由于所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故两个零点分别在 和 内，即， 由，得, 整理得 ，即， 令则 ，代入上式：， 所以，故， 要证即证即证 令则 那么 ，所以 在 上单调递增， 故，即，所以 方法二： 若 有两个零点，设两个零点为 ，不妨设 由于所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故两个零点分别在 和 内，即， 设，则， ， ， 当时，， 所以，即， 在上单调递减，即， 由，可得 ， 由可得，又在 上单调递增， 所以，，故 【解析】 【分析】（1）在恒成立即在恒成立，采用分离参数的方法，转化为函数最值求解问题； （2）若在恒成立，即，通过构造函数，利用导数求解最值即可求解； (3) 有两个零点，，有两种方法，方法一：设，将目标不等式转化为常见对数不等式，再通过构造函数证明；方法二：使用对称性假设，构造函数，通过函数的单调性来解决问题. 【小问1详解】 若在恒成立， 则在恒成立，即 对一切恒成立， 令，则， 令得，令得， 所以 在上单调递减，在 上单调递增，处取极小值，也是最小值， ，故， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 若在恒成立，即在恒成立， 设，那么，， 在恒成立，即恒成立， 当时，在恒成立，在上单调递增， ，不满足题意，舍去； 当时，令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 若即，则在上单调递减，，满足题意； 若即，则在上单调递增，在上单调递减， 在区间上，有，不满足题意，舍去； 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即 ， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当， 时等号成立． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024级高二学年6月阶段性测试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. -1 C. 3或1 D. 3或 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 集合与集合表示同一集合 D. 已知集合，若，则的值为 10. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的取值范围为______． 13. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 14. 若对恒成立，则正实数的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 17. 随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示: 月份 7 8 9 10 11 月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y 2.2 2.5 2.7 3.1 3.5 （1）从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量. 附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=- 18. 已知． （1）若在恒成立，求的取值范围； （2）若在恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，，证明：． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $