2025-2026学年下学期高二数学限时小卷（十一）（人教B版选择性必修第三册第六章 导数及其应用）

**基本信息** 聚焦导数及其应用核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统覆盖导数计算、单调性、极值等知识逻辑链，强化数学思维与表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|6（单选1-4、填空7-8）|导数计算、切线斜率、单调区间辨析|导数定义→几何意义→运算规则的生成推导| |综合性质探究|2（多选5-6）|函数极值点、零点、对称中心多维度判断|导数与函数单调性/极值/零点关系的逻辑构建| |实践应用|2（解答9-10）|切线方程求解、极值计算及不等式应用|极值求法→实际问题转化的应用拓展|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十一） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册第五章导数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 2.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 和 3.设函数满足，则(    ) A. B. C. D. 4.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(    ) A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个零点 6.函数，则(    ) A. B. 在上单调递增 C. 没有零点 D. 最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知函数的导函数为，且满足，则等于          ． 8.已知函数，则该函数在处的切线斜率为          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 求函数在处切线的方程； 求函数的极值． 10.本小题分 已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值． 求函数的极值； 若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十一） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，故，解得，故，， 故，故选：． 2.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 和 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系及应用，导数法是求函数的单调区间的基本方法，一定要熟练掌握． 先对函数求导，然后由可得的范围，从而可得函数的单调递增区间． 【解答】 解：，， 令，解得：， 故在单调递增． 故选B． 3.设函数满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： ，    故选： 4.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(    ) A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的极值、考查数形结合思想方法，考查了分类讨论方法，是中档题． 根据函数图象分别判断函数导数的符号，结合函数单调性和极值的关系进行判断即可． 【解答】 解：由函数的图象可知， 时，，，则； 时，，，； 时，，，． 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减． 有极大值． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个零点 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而可判断选项A，，，结合函数对称性的定义可判断选项C． 【解答】 解：对于选项：易知的定义域为， 可得，故选项A正确； 对于选项：当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，在取得极大值， 此时，， 所以只有一个零点，故选项B正确，选项D错误； 对于选项：因为， 所以关于对称，故选项C正确． 故选：． 6.函数，则(    ) A. B. 在上单调递增 C. 没有零点 D. 最大值为 【答案】ABC  【解析】解：选项：根据求导公式，A正确； 选项：由知，当时，是增函数，是减函数， 则在上为增函数， 所以，即，所以在上单调递增，B正确； 选项：令，即，设，则，即此方程无实数解， 所以没有零点，C正确； 选项：由，当且仅当，即时取等号，所以有最小值，无最大值，D错误； 故选： 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知函数的导函数为，且满足，则等于          ． 【答案】  【解析】解：由， 得， 令得， 解得，故答案为． 8.已知函数，则该函数在处的切线斜率为          ． 【答案】  【解析】解：因为 ， 所以， 则该函数在处的切线斜率为． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 求函数在处切线的方程； 求函数的极值． 【答案】解：因为函数， 求导得， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即； 因为， 令，解得或， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． 10.本小题分 已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值． 求函数的极值； 若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】解：由题得：， 结合题意可得 解得，经检验符合题意， 故， ． 令，解得或， 令，解得， 故在，上单调递增，在 上单调递减， 所以的极大值为， 的极小值为； 由可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，所以， 所以要使不等式能成立，则． 所以， 故取值范围是．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $