精品解析：山东省聊城第一中学（老校区、新校区）2025-2026学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

聊城一中老校区、新校区高二下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量，之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到与的经验回归方程大致为，据此计算，取时的残差为（ ） A. B. C. D. 3. 某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 288 4. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 5. 现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种． A. 1440 B. 120 C. 72 D. 1560 6. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 240 B. C. 80 D. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C. 已知事件，若，且，，则 D. 有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为，则 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的数学期望 D. 随机变量的方差 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若恰有9个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值为______ 13. 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为X，则______． 14. 已知函数（），若对任意，恒成立，则最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查． （1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联． 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 （2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型或（，）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程． 参考公式：，其中，，． 参考数据：， 298.4 1.9 13262 64.4 2 16. 已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. （1）求和的值； （2）若，且，求被5除的余数； （3）若，求的展开式中系数最大的项. 17. 已知函数，其中 ． （1）当 时，求函数单调区间和极值； （2）若 ，求a的取值范围． 18. 随着生活水平的提高，一些进口水果也成了热销商品.某品牌车厘子大小等级划分为、、、、五个等级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，.从该品牌车厘子中随机抽取1000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）质量指标值越高，车厘子越大、质量越好，若质量指标值低于180的为二级，质量指标值不低于180的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从样本中随机抽取12颗，再从抽取的12颗车厘子中随机抽取3颗，记其中一级的颗数为，求的分布列及数学期望； （2）甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌车厘子的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由（，）箱车厘子构成.假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为，抢到车厘子总箱数为. ①求的分布列及数学期望； ②当的数学期望取最大值时，求正整数的值. 19. 已知函数． （1）若方程恰有两个实数解，求实数k的取值范围； （2）若的一个实根为，且， ①求实数a的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 聊城一中老校区、新校区高二下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求. 1.曲线y=c0sx ,0 在点 处的切线方程为() A4r+πy-2n=0 B4r-πy-2n=0 c2x-πy-z=0 D.2x+πy-元=0 【答案】D 【解析】 【分析对函数求导得剃=xsin x二c0s” x2 ,再利用导数的几何意义求解即可 【详解)因为(x)=cosx ,所以f()-仁s加到-os*1in-cos车 π 2 k=f 2. 则在点 处切线的斜率为 2 π， 即2x+πy-π=0 2.某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x,'之间的相关关系，统计样本数据得到如 第1页/共25页 6学科网命组卷网 1 =二x+a 下表格：由表格中的数据可以得到y与x的经验回归方程大致为 4 ,据此计算，x取30时的残差 为( 20 23 25 27 30 y 2 2.4 3 3 4.6 4.035 B04 c0.35 D0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心点在回归直线上可求得的值，从而得到经验回归方程；根据残差的求法求结论. 20+23+25+27+30 0=25=2+2.4+3+3+46=3 【详解】由表格数据知： 5 5 a=-x=3-25_13 113 = 4 4一4，六经验网归方程为户=4-4， /K x=30时，观测值为46，预测值为y=×30.是=17=425， 4 44 所以x取30时的残差为4.6-4.25=0.35 3.某班一天8节课，上、下午各4节.现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、 体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是() A.72 B.108 C.216 D.288 【答案】C 【解析】 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以 3x3×A4=216种， 第2页/共25页 学科网命组卷网 4设X~N(2,o2),且P(X≥16)-P(8<X<12)=0.1,则P(X≤8)=() A.0.3 B.0.35 C.0.4 D.0.45 【答案】A 【解析】 【详解】因为X~N(2,o2) 所以P(X≥16)=P(X≤8)，P(8<X<12)=P(12<X<16) 设PX≤8)=a,则P(X≥16)=a,又P(X<12)=0.5 所yP(8<X<12)=P12<X<16)=0.5-a 因为P(X≥16)-P(8<X<12)=01.所以a-0.5-0)=0.1 解得a=0.3,所以P(X≤8)=0.3 5.现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有( )种 A.1440 B.120 C.72 D.1560 【答案】D 【解析】 【分析】分别用5种颜色，4种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： B 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有C%种方法， 第3页/共25页 6学科网命组卷网 将选出的5种颜色分配给5个区域有A种方法，总方法数为 C2A=720种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有C种方法， 从(A,D)或(B,C)中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如法释A,D)组，将法出的4种颜色分配有种方法，总方法数为2CA=720种 当选样3种颜色时，从6种颜色中法3种共有C种方法， 则(A,D),(B,C)各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有A种方法，总方法数为CA=120种。 则所有的方法数为720+720+120=1560种。 。8 - 2+2）的展开式中，含3项的系数为《) B. -240 A.240 C.80 D80 【答案】D 【解析】 【详解】 x项的两种来源， ①令5-2r=1,得r=2,此时该项为C22(-·x=80x,与相乘后得到80x2, ②今5-2r=3,得r=1,此时该项为C2(-小=-80 ，与2相乘后得到-160x3, 所以，含项的系数为80+(-160)=-80 7.小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉 小球的颜色)，现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为( 第4页/共25页 6学科网 6组卷网 3 3 A.14 B.3 c.3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出2个黑球”的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. B 【详解】用A表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球， B,表示丢掉的 小球方，勇P)-号P)-昌P8)--得P4)-是， 由全概率公式可 P=PaP川4A+Pa)PR)-品+号2落. 5.3 所以P(a)Pg_94_3 一 P()357 126 故选：D 8关于x的不等式c2a,hx<+2r对x∈(0，恒成立，实数a的取值范国为(） s[w C.（-o,0] D.[0,+oo) 【答案】B 【解析】 万通过同构构洁©=。，利用单调性晓去外层，转化为简单的参效分离与灵馆 2a+x.lnxr<x2+2ax Inx x+2a Inx x+2a x e2a+x → 【详解】由题，将不等式变形得 elnx ea,sfg e'」 第5页/共25页 命学科网命组卷网 则原不等式等价于f(血)<f(2a+x)】 当a≥0时，e2ax.nr(0,r+2r)0,此时不等式e2a.lnx<x2+2are恒成立； 当a<0时， ')=1 e,当1>1时，f"(<0,f()单调递减：当t<1时，f'()>0,f()单调 递增； 因为x∈(0,1)，所以nx<0,2a+x<l,不等武转化为f(血x)<f(2a+)→血x<2a+x,即 a>Ix-x 2(*): 今-兰xe@）,则-2>0,4a年.对<40-，且 ，则 1 ()→A02.所以为使(*)对于对x∈0恒成立，必须只需 ≤a<0 当x→1时 1 a≥ 综上所述， 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是() A.已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数”越接近于1 B.在刻面国归榄型的拟合效果时，决定系数R的值越大，说明拟合的效果越好 C.已知事件A,B,若AcB,且P(4)=0.4,P(B)=0.7,则P(BA=0.5 D有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X,则E(X)=1 第6页/共25页 6学科网6组卷网 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相关系数的意义判断A:由决定系数的意义判断B,由条件概率公式求出P(B的值，判断 C:由题意可知X=0,12并求出对应的概率，即可求出E(X的值判断D. 【详解】对于A,当两个变量的相关性越强，则相关系数越接近于1，故A错误： 对于B,因为决定系数R∈0，】，其值越大，对应残差平方和越小，回归模型拟合效果越好，故B正确， 对于C,因为PA=1-P(4=1-0.4=0.6 P(BnA=P(B)-P()=0.7-0.4=0.3 p(BnA_03-0.5,故C正确： 所P(B同-P0 0.6 X=0,1,2 对于D,由题意可知 C3C4-4-1 PX=0==205PX=)=420,Px=2=C C8205, C。205, 所uE(X)=0x+1x3+2x{=1 3 1 555,故D正确 10,某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数A=44,4a,〈每一位上数字只能是0或1，例 1 2 如出现“1010)，其中A的各位数字中4，(=1,2,34)出现0的概率为3，出现1的概率为3，各个位数 之间互相独立.记随机变量X=4+a+a+a,则当程序运行一次时，下列说法正确的有() 第7页/共25页 6学科网6组卷网 AP(X=0)=81 BP(X=1)=8 81 C.X的数学期望 (X)=8 D.随机变量3X+1的方差D(3X+1)=8 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据思意，得到X的可能取值为 ,1,2,3,4 ,结合独立重复试验的概率计算公式，分别求得相应 的概率，再由二项分布的期望与方差的计算公式，分别求得E(X),D(X),结合选项，即可求解 【详解】由二进制数A的特点知：每一位上的数字只能是0或1， 2 且各位数字出现0的概率为3，出现1的概率为3，各个位数字之间互相独立， A,若X=0,即各位数字都是0所以PX=0)=兮)=81.所以A不 对于8，若X=1,周各位数字中三个0，一个1，所P(X=)=C子分 =81,所以B正确； 对于C,由随机变量X=4+a+4+a,可得X的可能取值为0,123,4 则P(x=o=3.PX=0-.Pr(X=2=c9- PX--C兮品rK-c-. B4, 可得随机变量X服从二项分 3,所以E(x)=4x2-8 33,所以C正确： 2 对于D,由随机变量X服从二项分 可每D()=4×0--8 B43 39 第8页/共25页 可学科网命组卷网 设Y=3X+1,可得 n=×D(X)-9g-8,nD6X4)-8,质以DE 1已知函数f(四=r-3r+m(m∈R),则《) Af(的图象关于(0，m）对称 B.若()有三个不同的零点，则-2≤m≤2 c当m=2时，过原点且与曲线'=/儿相切的直线恰有一条 D.若(（刃=0恰有9个不同的实数根，则m的取值范围关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选 项的条件，分别进行解答 【详解】对于A,f(x)+f(-)=x-3x+m+(-x'-3(-x)+m=2m 所以f()的图家关于（0，m对称，A正确； 对于B,f'()=3x2-3=3x+1(x-) 当x<-1时，f)>0,当1<x<1时，四)<0，当x>1时，fW>0 所以当=-1时取极大值为代-)=m+2 当x=1时f四取极小值为f0=m-2 时 当x→0时，f)→”，当x→0时，f(四)→0， 若f(因有三个不同的零点，则f(-)小>0，f0<0,即m+2>0,m-2<0, 解得-2<m<2,B错误； 第9页/共25页 命学科网命组卷网 对于C,当m=2时.()=x-3x+2.f(x)=3x2-3 设切点坐标为P(a,b),则f'@=3a-3-b a,即3a3-3a=b, 又b=d-3a+2,所以30-3a=a-3a+2,解得a=l,b=0 所以过原点且与曲线y=)相切的直线为：y=0,只有一条，C正确， 对于D,令今1=f(x),要使(/()=0有9个不同的实数根，则要求f0=0有三个不同的实数根 455,且每个f=i=12,3) 有三个不同的实数根， 设”m满足题意，则方程f0=1-31+m= 的三个实数根均满足 m-2<t<m+2 当参数为m时，方程变为-31-m=0,三个实数根为， 化时医东根满起0-2<-m2、适作带价于m-2<m+2 由于m和一m满足题意的条件完全相同，故m的取值范围关于原点对称.D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2老C%=cg2,则C+C++ m的值为 【答案】69 【解析】 【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数，再计算组合数即可 【详解】因为C=C’,所以m=2m-2或m+2m-2=19,解得m=2或m=7, 因为C+C++C%,所以m之3，可得m=7, 所以C+C++C8-C+Cg+Cg+C=4+10+20+35=69 故答案为：69. 第10页/供25页 6学科网列组卷网 13.将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中，若一个球的号码与放入该球的 盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位，设“完美归位”的个数为X则D(X) 【答案】1 【解析】 X的可能取值为 ,1,2,4 【分析】由题意得， ,分别计算其概率，然后利用方差的公式计算即可 【详解】 0,1,2,4 的可能取值为 P(X=D=C=24方Px=2)=C=61 A4244, X=PX=0=1-PX)X=2)-X=1 34248, (X)=0×3+1x5+2×+4×=1 3 1 1 所以 83 4 24, 则00-0-×g+0-×对+2-×4-P×241 b-1 14.已知函数f(x,)=xe-a-be+ab(a>0),若对任意xeR,f()≥0恒成立，则a最大值 为 1 【答案】e2 【解析】 b-1 【分析】先将函数f()因式分解，分析()≥0的条件，构造函数求a的最大值 【详解】f(x)=e-x-be+ab=e(x-b)-a(x-b)=(x-b(e-a） 因为f()≥0恒成立，当x之na时，x之b恒成立，所以b≤lna, 第11页/共25页 6学科网 命组卷网 当x<lna时，x≤b恒成立，所以b≥lna,所以b=lna, b-1 Ina-1 将b=na代入，得：aa, 设8(a=ha- a(a>0) 求，8@=2 -a2, 令8'(a)=0,得a=e2, 0<a<c时，g(a)>0,8(a单调递增， a>c时，g(a)<0,8(a单调递减： 因a=2,g间品人a:se)-也g日 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查. (1)为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成2×2 列联表，并依据小概率值Q=0.01的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联. 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 (2)对过去的投放量x(单位：百辆)与服务次数y(单位：万次)的数据进行了统计，得到如下表格： 1 3 4 5 6 y 13 32 79 200 501 1259 第12页/供25页 6学科网命组卷网 拟用的数模型)=a+伽或'=c~心(c>0,d>0)对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适 宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方 程 n(ad-be) 参考公式： ta+c+0a+a6+0,其中n=a+bc+d,6-台 a=y-bx 参考数据： P(x2≥k 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 y 100.3 298.4 1.9 13262 64.4 2 【答案】(1)2×2列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 第13页/供25页 6学科网组卷网 合计 120 80 200 认为无人快递车故障与维保有关联 (2)y=c~d适宜，户=2-10“ 【解析】 【分析】()先补全2x2列联表，再通过计算尤统计量，依据显春性水平口=0.01判断无人快递车故 障与维保是否有关联： (2)通过数据特征判断指数型模型y=c~ 更适合拟合关系，再通过对数变换转化为线性形式，求出回 归方程即可. 【小问1详解】 补充2×2列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 零假设 ,:无人快递车故障与维保无关， n(ad-bc)月 因为X 200×402×52-108×28_75=18.75>6.635 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 160×40×80×120 4 所以依据小概率值a=0.01 的独立性检验，推断 ,不成立，即认为无人快递车故障与维保有关联，此推 断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 y=c.dx 适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型. 由y=c~“,两边同时取常用对数得lgy=g(cd）=lgc+xlgd 第14页/供25页 6学科网6组卷网 设gy=v,则V=lgc+xgd 因为2-4=P+2++72=140, 7 ZM-7xV 所ygd 64.4-7×4×1.9=0.4 >号7x2140-7x4×4 把(4,1.9)f代入=lge+xgd,即1.9=lgc+4x04,得l8c=0,3 所以=03+0，红.所以1e5=03+04红，则5户=100=2.100“ 故y关于x的回归方程为少=2100： 16.已知 x+ (≠0)的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项、第5项、第6项的系数成等差 数列 (1)求a和n的值： 2n (2)若a>1且x=2,求x+ 被5除的余数： a 3)若a<1求x+ 的展开式中系数最大的项 1 【答案】1)n=8,a=2或a=2: a= (2)1 (3)3=7xT=7x2 【解析】 【分析】(l)由二项式系数的性质，可得n=8,根据等差数列的性质列出方程，可求得a: 第15页/供25页 6学科网命组卷网 2n (2)由(1)知 3“,将36写成9=(10-1，分析其展开式的特点，可得其被5除的余数： (3)根据项的系数最大，列出相应不等式，求出参数，即可求得相应的项 【小问1详解】 由二项式系数性质，仅第5项最大，则m为侧数且1=5，解得n=8 第4、5、6项系数Cd、Cd、Cd,成等差数列府2Cd=Cd+C0 Cg-8x7X6-56C-8x7x6x5= 3×2 -4x3x2xi-70.C8=-G=56. 整理得2a2-5a+2=0,解得a=2或a=2. 1 故n=8,42或a=2: 【小问2详解】 1 由四知n=8,a-2或a=2,因为4>1，所以a=2. 36=(（10-1)°=108-C8×10'+-Cg×10+1。 故 316 被5除的余数为1 【小问3详解】 1 由()知n=8, 2或a=2.因为a<1,所以a= Q=- 2 3-2 展开式通项为 T4 -c 系数为=C7,k-02n…8 第16页/供25页 6学科网列组卷网 ∫ce≥C-,k>0 设第k+1项系数最大，则满足9≥c41,k<8, C哈9-k 女9-k≥2，因为k>0所以k≤3 由组合数计算公式得Ck,故k C>1 由c之得C·≥Ck,即C*1之2 k+1、1 故8-k2,因为k<8,所以2k+2≥8-k,所以k≥2 综上2≤k≤3，即k=2或k=3 放辰数大的省城和第4项=Cr=7,五-Cr-7。 17已知函数f()=(x-a)lnr+ 2,其中a≥0. (1)当a-1时，求函数(：单调区间和极值： 2)若f()≥0，求a的取值范国。 1 【答案】(1)单减区间为(0，)，单增区间为(，+∞)：极小值2，无极大值 【解析】 【分析】(1)通过对函数求导，令导数为0找临界点，通过求导判断导函数的单调性，列表判断导数和函 数的符号，最后写出单调区间和极值. 第17页/共25页 6学科网命组卷网 (2)先对函数求导确定函数唯一最小值点，借助隐零点代换消去参数求解最小值不等式，再由参数与零 点的函数单调性推出a的范围。 【小问1详解】 当a1时.=(-+号.数定x装0o.f)=u1- 令8()=lnr+1- ,时为8因-宁0，了因在Q+o年地 又f(0=0,、f'(冈)、f(x)的变化情况如下表： (0,1) 1 (1,+o) f'(x) 0 × f(x) 单调递减 2 单调递增 所以（田）的单减区间为(0，），单增区间为，+o）】 1 x=1时有极小值2，无极大值， 【小问2详解】 ①当a=0时， 不满足题意： 8以u>0,t时国=m+1,令=1， x 因为8因-士是>0，所了以0o)F的路量数 当x→0时，f()→-0，x→+∞时，f'()→0， 第18页/共25页 命学科网命组卷网 所以存在唯一正实数x使得∫'(x)=0,即。-《+1=0 此时()在(0，)上单调递减，在(，+o）上单调递增。 所f=f)=(ah+号 白题意斜化-on+号0，由号1=0得a=0+人. 2 代入上式得c了+0，)0 2 整理得2(，}+(-Hn)-1≤0， 。1 解得2n。≤】，即厄 F≤x≤e 1 令h()=+)x,其中e≤x≤e, 1 则h'(x)=2+r>0,所以h(x)是区间e,e上的增函数 所以5e2≤a≤2e,所以a的取值范围是 2) 2 18.随着生活水平的提高，一些进口水果也成了热销商品某品牌车厘子大小等级划分为XL、J、J刀、 J川、川五个等级，分别对应如下五组质量指标值： [150,160)[160,170)[170,180)[180,190) [190,200] 从该品牌车厘子中随机抽取1000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. 第19页/共25页 命学科网命组卷网 A频率组距 0.04 0.025 0.015 0.01 150160170180190200质量指标值 (1)质量指标值越高，车厘子越大、质量越好，若质量指标值低于180的为二级，质量指标值不低于180 的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从样本中随机抽取12颗，再从抽取的12颗车厘子中随机抽取 3颗，记其中一级的颗数为X,求X的分布列及数学期望： (2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌车厘子的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订 单，每个订单均由n(n≥2，n∈N)箱车厘子构成假设甲、乙两人抢购成功的概率均为(n+3)，,记 甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到车厘子总箱数为Z ①求Y的分布列及数学期望； ②当Z的数学期望取最大值时，求正整数n的值. 【答案】(1)分布列 X 0 2 3 2 27 27 1 5 55 220 220 期望 () (2)①分布列 0 1 2 2 1 2 1 (n+3)}2 (n+3)2 (n (n+3)9 第20页/供25页 6学科网命组卷网 2 E(Y)= 期 (n+3)2: ②正整数n的值为3， 【解析】 【分析】(1)通过频率分布直方图确定分层抽样的样本构成，结合超几何分布计算各取值的概率并列出 分布列，再求解数学期望： (2)①根据二项分布的定义确定Y的分布列并计算期望；②利用期望的线性性质 E(Z）)转化为关于” 的函数，结合基本不等式求得最大值对应的正整数n. 【小问1详解】 由频率分布直方图，质量指标低于180的二级频率为(0.01+0.04+0.025)×10=0.75 不低于180的一级频率为(0.015+0.01)x10=0,25 故二级与一级的数量比为3：1 3 1 分层抽样抽取12颗车厘子，得二级品 2×9颗，一级品12×43颗 12 12× ,1,2,3 随机抽取3颗， 一级颗数X服从超几何分布，X的可能取值为 P(X=0)= cc-21 C255, P(x=) CC_27 C55, P(X=2)=cC-27 C2220, P(X=3)= C2220 所以X的分布列为： 0 1 2 3 21 27 27 1 55 55 220 220 E(x)=0x 27 +1× +2× 27 +3× 3 55 55 220 2204. 【小问2详解】 第21页/供25页 6学科网列组卷网 1 ①甲、乙抢购成功的概率均为(+3)，两人抢购相互独立， y的可能取值为 0,1,2 r-) Pr--caa)aa+】 P(Y=2)= 1 (+3)2 (n+3)4 Y的分布列为： Y 0 1 2 2 2 P 1 (n+3)2 (n+3)2 (n+3) F()0 +1x +2x1 2 (n+3)=m+3 2n 2 ®由z=nY:得E(2)=nE(们）=2n (n+3)2，即 =T+9 9 n+ +6 n 9. 9 由基本不等式，+=≥2n之=6，当且仅当n nn n即n=3时等号成立， 又n≥2，n∈N,枚n=3时E(2)取得最大值 19已知函数(x)=e （()若方程(-)=x拾有两个实数解，求实数k的取值范围： 第22页/供25页 6学科网列组卷网 (2)若 的个实根为=5，且) ①求实数a的取值范围； nL<1+v1+16@ 1 ②证明：ax 4a 【答案】(1)(0，) h1<1++l6@ ②欲证a +41,1e-10. ar令inn<1++16 x,,即证a 不将式因为，品，c0,所以 1 a -1<1+1+16a 右不等式：要 4a,即证-4at-1<V1+16a, 易知4-1=-1-0+，0，即正+旷<1+16 t 因为(4a+-1-16a=l6adf+8at-16a=8a(2am2+1-2=8a(2c-1-2.te（-1,0） 设H(0=2e-t-2.则Hr'()=2e-1,令'(0=0.得1=-h2, 当1e(-血2)时，H'0<0,当e-ln2,0)时，H0>0, 所以H)在L-n2)上递减，在(-血2,0)上递增， (-0=2-1c0.Ho)=0,所微0<0，甲11+ 4a; 1<In1+1+16a 综上：ax4a 第23页/供25页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】(1)将指数方程变形分离参数k,构造函数用导数分析单调性与极限趋势，结合直线与曲线交 点个数得到k的取值范围； e-t Q= (2)①换元t=lnx转化为等式，分离出参数P,求导判定函数在t∈(l,0)单调递增，结合端点 极限即可得到a的取值范围； 1 f=-n ②令 x。,分别推导左右不等式，左边不等式直接代数变形得证，右边不等式平方转化后构造函数， 结合导数判定恒负即可证明. 【小问1详解】 若方程f(c-)=x拾有两个实数解，即c=x有两个实数解，所以x>0, 所议-15-”.20：甲，=5点 x一图象有两个交点. 设()=血r+1 x,x>0,则 m h(x)=-lnx x2,令1()=0，得x=1. 当x∈(0,1)时，h()>0,h()单调递增 当r∈(，+o)时，h()<0,h(单调递减； 所以h(x)n=h()=1 又x→0时，h()→0，又x→+时，h()→0， 所以()图象如图所示：所以实数太的取值范围为(0，) 第24页/供25页 6学科网命组卷网 y=h(x) 0 1 【小问2详解】 )c,可特点-c,所u兰1tan, ,x-1-alnx=0」 令1=nx则1∈-1,0），可得氵1-am=0,即a= 2 ◆0=，1(0.则P0--2>0期p0t0L* 女9(-)-。+l,4→0时.p)-→+切，所以实数a的取值范国是(e ②略 第25页/共25页