精品解析：山东省聊城第一中学（老校区、新校区）2025-2026学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

聊城一中老校区、新校区高二下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得到，再利用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 则在点 处切线的斜率为， 故切线方程为，即. 2. 某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量，之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到与的经验回归方程大致为，据此计算，取 时的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心点在回归直线上可求得的值，从而得到经验回归方程；根据残差的求法求结论. 【详解】由表格数据知：，， ，经验回归方程为； 时，观测值为，预测值为 ， 所以取 时的残差为. 3. 某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 288 【答案】C 【解析】 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以有种. 4. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 设，则，又， 所以， 因为，所以， 解得，所以. 5. 现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种． A. 1440 B. 120 C. 72 D. 1560 【答案】D 【解析】 【分析】分别用种颜色，种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法， 将选出的种颜色分配给个区域有种方法，总方法数为种， 当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法， 从（A，D）或（B，C）中选择一组涂同一颜色，有种选择， 比如选择（A，D）组，将选出的4种颜色分配有种方法，总方法数为种， 当选择种颜色时，从种颜色中选种共有种方法， 则（A，D），（B，C）各涂同一颜色，有种选择， 将选出的种颜色分配有种方法，总方法数为种， 则所有的方法数为种. 6. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 240 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当 时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时， ，单调递减；当时， ，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C. 已知事件 ，若，且，，则 D. 有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由相关系数的意义判断A；由决定系数的意义判断B；由条件概率公式求出的值，判断C；由题意可知并求出对应的概率，即可求出的值判断D. 【详解】对于A，当两个变量的相关性越强，则相关系数越接近于1，故A错误； 对于B，因为决定系数，其值越大，对应残差平方和越小，回归模型拟合效果越好，故B正确； 对于C，因为， ， 所以，故C正确； 对于D，由题意可知， 且，，， 所以，故D正确. 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的数学期望 D. 随机变量的方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到 的可能取值为 ，结合独立重复试验的概率计算公式，分别求得相应的概率，再由二项分布的期望与方差的计算公式，分别求得，结合选项，即可求解. 【详解】由二进制数的特点知：每一位上的数字只能是0或1， 且各位数字出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数字之间互相独立， 对于A，若，即各位数字都是，所以，所以A不正确； 对于B，若，即各位数字中三个，一个1，所以，所以B正确； 对于C，由随机变量，可得 的可能取值为 ， 则，，， ，， 可得随机变量 服从二项分布，所以，所以C正确； 对于D，由随机变量 服从二项分布，可得， 设，可得，即，所以D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若恰有9个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先要根据题目中的函数方程，通过求导的方式得出函数的单调性，极值，然后再根据每一个选项的条件，分别进行解答. 【详解】对于A，， 所以的图象关于对称，A正确； 对于B，， 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以当 时 取极大值为， 当 时 取极小值为， 当 时，，当 时，， 若有三个不同的零点，则，即， 解得，B错误； 对于C，当时，，， 设切点坐标为，则，即， 又，所以，解得， 所以过原点且与曲线相切的直线为：，只有一条，C正确； 对于D，令，要使有9个不同的实数根，则要求有三个不同的实数根，且每个有三个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值为______ 【答案】69 【解析】 【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m，再计算组合数即可. 【详解】因为，所以或，解得 或, 因为，所以,可得, 所以. 故答案为：69. 13. 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为X，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意得， 的可能取值为，分别计算其概率，然后利用方差的公式计算即可. 【详解】 的可能取值为， ， ， 所以， 则 14. 已知函数 （），若对任意 ， 恒成立，则最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数 因式分解，分析 的条件， 构造函数求的最大值. 【详解】 ， 因为 恒成立，当 时， 恒成立，所以 ， 当 时， 恒成立，所以 ，所以 ， 将 代入，得：， 设，求导：， 令 ，得， 时， ，单调递增； 时，单调递减； 因此时，取最大值：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查． （1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联． 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 （2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型 或（ ， ）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程． 参考公式：，其中 ，，． 参考数据：， 298.4 1.9 13262 64.4 2 【答案】（1） 列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 认为无人快递车故障与维保有关联 （2）适宜， 【解析】 【分析】（1）先补全 列联表，再通过计算统计量，依据显著性水平 判断无人快递车故障与维保是否有关联； （2）通过数据特征判断指数型模型更适合拟合关系，再通过对数变换转化为线性形式，求出回归方程即可. 【小问1详解】 补充 列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 零假设：无人快递车故障与维保无关 ， 因为， 所以依据小概率值 的独立性检验，推断不成立，即认为无人快递车故障与维保有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型． 由，两边同时取常用对数得， 设，则， 因为，， 所以， 把代入，即，得， 所以．所以，则， 故y关于x的回归方程为． 16. 已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. （1）求和的值； （2）若 ，且，求被5除的余数； （3）若，求的展开式中系数最大的项. 【答案】（1）， 或 ； （2）1 （3），； 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质，可得 ，根据等差数列的性质列出方程，可求得； （2）由（1）知，将写成，分析其展开式的特点，可得其被5除的余数； （3）根据项的系数最大，列出相应不等式，求出参数，即可求得相应的项. 【小问1详解】 由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且 ，解得 . 第4、5、6项系数、、，成等差数列得 . 由 ，，， 整理得 ，解得 或 . 故 ， 或 ； 【小问2详解】 由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 . 又 ，则     ， 故 被5除的余数为 . 【小问3详解】 由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 . 展开式通项为 ，系数为 ，. 设第 项系数最大，则满足， 由 ，得 ，即 . 由组合数计算公式得 ，故 ，因为，所以. 由 得 ，即 . 故 ，因为，所以，所以 . 综上 ，即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:，； 17. 已知函数，其中 ． （1）当 时，求函数单调区间和极值； （2）若 ，求a的取值范围． 【答案】（1）单减区间为，单增区间为；极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）通过对函数求导，令导数为0找临界点，通过求导判断导函数的单调性，列表判断导数和函数的符号，最后写出单调区间和极值. （2）先对函数求导确定函数唯一最小值点，借助隐零点代换消去参数求解最小值不等式，再由参数与零点的函数单调性推出a的范围. 【小问1详解】 当 时，，函数定义域为，， 令，因为 ，所以在单调递增． 又 ，x、、的变化情况如下表： x 1 - 0 + 单调递减 单调递增 所以的单减区间为，单增区间为； 时有极小值，无极大值. 【小问2详解】 ①当 时， ，不满足题意； ②所以 ，此时 ，令 ， 因为 ，所以是上的增函数， 当 时， ； 时， ， 所以存在唯一正实数使得 ，即 ， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由题意得 ，由 得， 代入上式得 ，整理得 ， 解得 ，即 . 令 ，其中 ， 则 ，所以是区间上的增函数. 因为， ， 所以 ，所以a的取值范围是. 18. 随着生活水平的提高，一些进口水果也成了热销商品.某品牌车厘子大小等级划分为、、、、五个等级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，.从该品牌车厘子中随机抽取1000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）质量指标值越高，车厘子越大、质量越好，若质量指标值低于180的为二级，质量指标值不低于180的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从样本中随机抽取12颗，再从抽取的12颗车厘子中随机抽取3颗，记其中一级的颗数为 ，求 的分布列及数学期望； （2）甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌车厘子的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由（，）箱车厘子构成.假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为 ，抢到车厘子总箱数为 . ①求 的分布列及数学期望； ②当 的数学期望取最大值时，求正整数的值. 【答案】（1）分布列 期望. （2）①分布列 期望； ②正整数的值为3. 【解析】 【分析】（1）通过频率分布直方图确定分层抽样的样本构成，结合超几何分布计算各取值的概率并列出分布列，再求解数学期望； （2）①根据二项分布的定义确定 的分布列并计算期望；②利用期望的线性性质将转化为关于的函数，结合基本不等式求得最大值对应的正整数. 【小问1详解】 由频率分布直方图，质量指标低于180的二级频率为， 不低于180的一级频率为，故二级与一级的数量比为. 分层抽样抽取12颗车厘子，得二级品颗，一级品颗. 随机抽取3颗，一级颗数 服从超几何分布， 的可能取值为. ，， ，. 所以 的分布列为： . 【小问2详解】 ① 甲、乙抢购成功的概率均为，两人抢购相互独立，故， 的可能取值为 . ， ， . 的分布列为： . ② 由，得，即. 由基本不等式，，当且仅当即 时等号成立， 又，故 时取得最大值. 19. 已知函数． （1）若方程恰有两个实数解，求实数k的取值范围； （2）若的一个实根为，且， ①求实数a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）① ②欲证，令，即证，， 左不等式：因为，所以， 右不等式：要证，即证， 易知，即证， 因为，， 设，则，令 ，得 ， 当时， ，当时，， 所以在上递减，在上递增， 又 ，，所以，即； 综上：. 【解析】 【分析】（1）将指数方程变形分离参数，构造函数用导数分析单调性与极限趋势，结合直线与曲线交点个数得到的取值范围； （2）①换元转化为等式，分离出参数，求导判定函数在单调递增，结合端点极限即可得到a的取值范围； ②令，分别推导左右不等式，左边不等式直接代数变形得证，右边不等式平方转化后构造函数，结合导数判定恒负即可证明. 【小问1详解】 若方程恰有两个实数解，即有两个实数解，所以， 所以 ，即，，即与图象有两个交点． 设，，则，令 ，得 ． 当时， ，单调递增； 当时， ，单调递减； 所以 ， 又时， ；又时， ； 所以图象如图所示：所以实数k的取值范围为. 【小问2详解】 ①由，可得，所以，即, 令，则，可得，即， 令，，则 ，所以在上单调递增， 又 ，时， ，所以实数a的取值范围是； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城一中老校区、新校区高二下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量，之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到与的经验回归方程大致为，据此计算，取 时的残差为（ ） A. B. C. D. 3. 某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 288 4. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 5. 现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种． A. 1440 B. 120 C. 72 D. 1560 6. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 240 B. C. 80 D. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数 越接近于1 B. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C. 已知事件 ，若，且，，则 D. 有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为 ，则 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的数学期望 D. 随机变量的方差 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若恰有9个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值为______ 13. 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为X，则______． 14. 已知函数 （），若对任意 ， 恒成立，则最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查． （1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联． 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 （2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型 或（ ， ）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程． 参考公式：，其中 ，，． 参考数据：， 298.4 1.9 13262 64.4 2 16. 已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. （1）求和的值； （2）若 ，且 ，求被5除的余数； （3）若，求的展开式中系数最大的项. 17. 已知函数，其中 ． （1）当 时，求函数单调区间和极值； （2）若 ，求a的取值范围． 18. 随着生活水平的提高，一些进口水果也成了热销商品.某品牌车厘子大小等级划分为、、、、五个等级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，.从该品牌车厘子中随机抽取1000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）质量指标值越高，车厘子越大、质量越好，若质量指标值低于180的为二级，质量指标值不低于180的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从样本中随机抽取12颗，再从抽取的12颗车厘子中随机抽取3颗，记其中一级的颗数为 ，求 的分布列及数学期望； （2）甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌车厘子的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由（，）箱车厘子构成.假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为 ，抢到车厘子总箱数为 . ①求 的分布列及数学期望； ②当 的数学期望取最大值时，求正整数的值. 19. 已知函数． （1）若方程恰有两个实数解，求实数k的取值范围； （2）若的一个实根为，且， ①求实数a的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $