第五讲 机械能守恒及功能关系 期末复习讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第五讲 机械能守恒及功能关系 一、势能 1．重力势能. (1)表达式：Ep＝mgh. (2)重力做功与重力势能之间的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp. (1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减小；即WG＞0，Ep1＞Ep2.重力势能的减少量等于重力所做的功. (2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加；即WG＜0，Ep1＜Ep2.，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功. 2、弹性势能 弹力做功与弹性势能变化的关系 (1)关系：弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就减少多少. (2)表达式：W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2. 注意： (1)弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关. (2)一般地来说，弹簧为原长时弹性势能为零，所以弹簧伸长时和弹簧压缩时弹性势能都增加，且伸长量和压缩量相同时，弹性势能相同. 二、机械能守恒定律 1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变. 2．表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1. 3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算. 4．对机械能守恒条件的理解 ①只受重力或弹力；②受其他的力，但其他的力不做功；③其他力做功，但做功的代数和为零. 5．判断机械能是否守恒的方法 (1)利用机械能的定义直接判断：若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化. (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒. (3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒. 三、机械能守恒定律的应用 1．机械能守恒定律常用的三种表达式 (1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2) 此式表示系统两个状态的机械能总量相等. (2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp 此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量. (3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减 此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量. 2．机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)选取研究对象； (2)进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒； (3)选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量； (4)根据机械能守恒定律列出方程； (5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明． 四、功能关系的理解及应用 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力做的总功 机械能减少 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ff·x相对 功能关系的选用原则 ①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。 ②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。 ③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。 ④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。 考点一：势能与做功的关系 例1.刘同学为配合值日生打扫地面，将凳子向上搬起停放在高处，对于此过程中凳子的重力做功情况和凳子重力势能的变化情况，下列说法正确的是（     ） A．重力做正功，重力势能增大 B．重力做正功，重力势能减小 C．重力做负功，重力势能增大 D．重力做负功，重力势能减小 【答案】C 【详解】重力与位移方向相反，重力做负功。重力做功与重力势能变化的关系为，重力做负功，重力势能增大。 故选C。 例2.如图甲所示，放置于光滑水平面的轻质弹簧左端被固定，一小球以一定速度向左运动挤压弹簧，弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图乙所示。当弹簧的形变量为10cm时，弹簧的弹性势能为（     ） A．0.5J B．1.0J C．2.0J D．4J 【答案】C 【详解】由能量关系可知，弹簧的弹性势能等于克服弹力做功，大小等于F-x图像与坐标轴围成的面积大小，则 故选C。 考点二：机械能守恒定律的初步应用 例1.质量为的小球，从图中点下落到地面上的点，以桌面为参考平面。已知，，重力加速度取，不计空气阻力，则（　　） A．小球在点的重力势能为 B．小球在点的机械能为 C．从点到点的过程中，小球重力势能的减少量为 D．从点到点的过程中，小球动能的增加量为 【答案】C 【详解】A．以桌面为参考平面，则小球在点的重力势能为，故A错误； B．小球运动过程满足机械能守恒，则小球在点的机械能为，故B错误； CD．从点到点的过程中，重力做功为 根据功能关系可知，小球重力势能的减少量为；根据动能定理可知小球动能的增加量为，故C正确，D错误。 故选C。 例2把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆。摆长为l，最大偏角为θ。如果阻力可以忽略，以最低点为参考平面。求： (1)OC的长度是多少？ (2)小球运动到最低位置时的速度大小是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由几何关系可知OC的长度是； （2）由机械能守恒定律可知 解得小球运动到最低位置时的速度大小是 考点三：机械能守恒定律的综合应用 例1.如图所示，两个质量相同的小球A、B分别用细线悬在等高的O1、O2点。A球的悬线比B球的长，把两球的悬线拉至水平后无初速释放，则球到达最低点的过程中（　　） A．A球重力的瞬时功率一直变大 B．最低点时，A球机械能大于B球机械能 C．最低点时，A球的速度小于B球的速度 D．最低点时，悬线对A球的拉力等于悬线对B球的拉力 【答案】D 【详解】A．根据可知，刚释放瞬间A球速度为零，重力的瞬时功率为零，运动到最低点时重力方向与速度方向间的夹角为90°，所以瞬时功率为零，所以从开始释放至到达最低点的过程A球重力的瞬时功率先增大后减小，故A错误； B．小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，初始时，两小球动能为零，高度相同，重力势能相同，所以机械能相同，运动到最低点时二者机械能仍然相等，故B错误； C．球由静止释放到运动到最低点，根据动能定理可得 所以 由于A球的悬线比B球的悬线长，所以A球在最低点的速度大于B球在最低点的速度，故C错误； D．小球在最低点时，根据牛顿第二定律可得 解得 由于两球质量相等，所以悬线对A球的拉力等于悬线对B球的拉力，故D正确。 故选D。 例2. 物体从某一高度处自由下落，落到直立于地面的轻弹簧上。如图所示，在A点物体开始与弹簧接触，到B点物体的速度为零，然后被弹回。弹簧形变不超过弹性限度，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（     ） A．物体从A点下降到B点的过程中，动能一直减小 B．物体从B点上升到A点的过程中，动能先变大后变小 C．物体从B点上升到A点的过程中，物体的机械能先减小再增大 D．以B点为重力势能零势能点，物体在B点时弹簧的弹性势能等于物体在A点的重力势能 【答案】B 【详解】A．物体从下降到的过程：刚接触弹簧时，重力大于弹簧弹力，合力向下，速度继续增大；当弹力增大到等于重力时，速度达到最大；之后弹力大于重力，合力向上，速度开始减小，直到点速度减为0。因此动能先增大后减小，故A错误； B．物体从上升到的过程：点弹力远大于重力，合力向上，物体向上加速；随着弹簧压缩量减小，弹力逐渐减小，当弹力等于重力时，速度达到最大；之后弹力小于重力，合力向下，物体开始减速，直到离开点。因此速度先增大后减小，动能先变大后变小，故B正确； C．物体的机械能变化等于除重力外其他力的做功，本过程中只有弹簧弹力对物体做功。上升过程中，弹力方向始终与位移方向相同，弹力一直对物体做正功，因此物体的机械能一直增大，不是先减小后增大，故C错误； D．从到的过程，根据能量守恒：点物体的动能A点的重力势能点弹簧的弹性势能，因此点弹性势能大于点的重力势能，故D错误。 故选B 。 例3.如图所示，倾角的光滑斜面的顶端装有定滑轮，一根不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接 A、B 两物体，A、B 的质量分别为、，开始时把A拉到斜面底端，此时B离地面的高度h=2m。现将A由静止释放，斜面足够长，B落地后即被取走，不计轻绳和定滑轮间的摩擦，取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)从A被释放到B落地，A物体重力势能的变化量； (2)B落地瞬间，A的速度大小 ； (3)从A被释放到B落地的过程中，轻绳对A做的功W。 【答案】(1) (2) (3)W=14.4J 【详解】（1）从 A 被释放到 B 落地，A 物体所受重力做的功 A 物体重力势能的变化量 解得 （2）从A被释放到B落地，A、B两物体组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律有 解得。 （3）对物体 A，根据动能定理有 解得 W=14.4J。 考点四：功能关系及应用 例1.2026年，我国新一代重型运载火箭在海南文昌发射场点火升空。质量为的火箭（含燃料）在发动机推力作用下，由静止开始以的加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地球表面的重力加速度）。在火箭竖直上升高度为的过程中，忽略空气阻力及火箭质量的变化。下列关于该过程中火箭能量变化的说法，正确的是（     ） A．火箭的重力势能增加了 B．火箭的动能增加了 C．火箭的机械能增加了 D．发动机推力对火箭做的功为 【答案】B 【详解】A．重力势能的增加量仅与高度变化有关，在火箭竖直上升高度为，所以重力势能增加了mgh，故A错误； B．根据牛顿第二定律，物体受到的合外力 根据动能定理，合外力做的功等于动能的变化量，即 所以动能增加量为，故B正确； C．机械能的变化量等于除重力以外的其他力做的功，应用牛顿第二定律，有 解得 所以火箭的机械能增加量为，故C错误； D．发动机推力对火箭做的功为，故D错误。 故选B。 例2.从地面竖直向上抛出一个物体，一段时间后物体又落回地面。全过程物体受到空气阻力的大小不变，其动能随高度的变化关系如图所示，重力加速度取，下列说法正确的是（     ） A．物体竖直向上抛出的初速度大小为 B．物体上升过程中机械能减少24J C．物体上升和下落过程中经过同一位置时的机械能相等 D．物体上升过程重力的平均功率大于下降过程重力的平均功率 【答案】AD 【详解】A．物体上升过程中，有 下降过程中有 根据图象可知，， 联立可解得， 代入可知初速度为，故A正确； B．上升过程中的机械能减少量等于克服阻力做的功，所以，故B错误； C．根据图像可知，物体上升和下落过程中经过同一位置时的动能大小不相等，在同一位置时的重力势能相等，所以机械能不相等，故C错误； D．物体上升和下降的过程中，由于位移大小相等，所以重力做的功大小是相等，上升过程中有 下降过程中有 由于上升过程的加速度更大，所以上升的过程用时更短，上升过程中重力的平均功率为 所以物体上升的过程中重力的平均功率大于下降过程，故D正确。 故选AD。 例3.如图所示，斜面的倾角为37°，轻质弹簧的下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于B点。一质量为2 kg的物块从斜面A点由静止释放，将弹簧压缩至最低点C（弹簧在弹性限度内），随后物块被弹回，刚好沿斜面向上运动到D点。已知斜面B点上方粗糙，B点下方光滑，物块可视为质点，，且，重力加速度为，求： (1)物块与斜面粗糙部分间的动摩擦因数μ； (2)弹簧弹性势能的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）A→D由动能定理可得   解得 （2）A→C由能量守恒定律     解得 一、单选题 1．如图所示，物体在光滑水平面上以一定的速度冲向弹簧，不计空气阻力，在弹簧被压缩至最短的过程中，以下说法正确的是（　　） A．物体机械能守恒 B．弹簧机械能守恒 C．弹簧与物体组成的系统机械能守恒 D．整个过程弹力做正功 【答案】C 【详解】在弹簧被压缩至最短的过程中，只有弹簧的弹力做负功，则弹簧与物体组成的系统机械能守恒，但物体的机械能减小，弹簧的机械能增加。 故选C。 2．如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡（粗糙）底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法不正确的是（     ） A．小车克服重力所做的功是mgh B．合外力对小车做的功是 C．推力对小车做的功是 D．摩擦力对小车做的功是 【答案】C 【详解】A．重力做功仅与初末位置高度差有关，小车上升高度为，重力做功为 因此小车克服重力做功为，故A正确； B．根据动能定理，合外力对物体做的功等于物体动能的变化量。 小车初动能为0，末动能为，因此合外力做功等于，故B正确； C．水平恒力的做功为 根据动能定理（为摩擦力做功） 整理得。由于山坡粗糙，摩擦力做负功（） 因此，故C错误； D．对动能定理公式移项可得，故D正确。 故选 C。 3．如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是（     ） A．运动员重力做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了 【答案】B 【详解】A．运动员下落h，则重力做功为，故A错误； B．由牛顿第二定律有 解得 则运动员克服阻力做功为，故B正确； C．运动员合外力做的功等于动能的增加量，则，故C错误； D．运动员的机械能减少量等于克服阻力做功，即，故D错误。 故选B。 4．如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球的机械能守恒 B．小球的机械能增加 C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒 D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 【答案】C 【详解】AB．对小球单独分析：小球下摆过程中弹簧被拉长，弹簧弹力对小球做负功，因此小球的机械能减少，故A、B错误； C．对小球+弹簧组成的系统分析：整个过程不计空气阻力，只有重力和系统内的弹力做功，没有其他外力做功，因此系统总机械能守恒 即小球动能+小球重力势能+弹簧弹性势能的总和保持不变，C正确； D．小球下摆过程中，小球动能不断增大，因此小球重力势能与弹簧弹性势能之和会不断减小，D错误。 故选 C。 5．如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v0斜向上抛出，最后落回地面。最高点距离地面高度为H，以抛出点为参考平面，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　 ） A．石块到达地面时的动能为 B．石块到达地面时的重力势能为mgh C．石块在最高点的机械能为 D．石块在整个运动过程中重力势能一直在减小 【答案】C 【详解】A．以抛出点为参考平面，由于不计空气阻力，石块在运动过程中机械能守恒，设石块到达地面时的动能为，根据机械能守恒定律有 解得，故A错误； B．以抛出点为参考平面，地面在参考平面下方高度处，根据重力势能的计算公式有，故B错误； C．在整个运动过程中，由于不计空气阻力，石块仅受重力作用，机械能守恒，以抛出点为参考平面，初位置的重力势能为零，可知初位置的机械能为 根据机械能守恒定律可知，石块在最高点的机械能也为，故C正确； D．石块在整个运动过程中先上升后下降，高度先增加后减小，根据重力势能的计算公式有 可知石块的重力势能先增大后减小，故D错误。 故选C。 6.如图为某运送快递的倾斜传送带的简化模型，倾角的传送带在电动机的带动下能以的恒定速率顺时针转动，皮带始终是绷紧的。现将质量m=2kg的快递包（可视为质点）无初速度地放到传送带底端A点。已知传送带A点到顶端B点的距离L=6m，快递包与传送带之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则快递包从A点运送到B点，重力加速度大小取g=10m/s2，（     ） A．所需时间为5s B．摩擦产生的热量为24J C．传送带对快递包做功为42J D．电动机因运送此快递包多做了54J的功 【答案】B 【详解】A．快递包加速阶段，根据牛顿第二定律得 解得 快递包加速过程所用时间为 快递包加速过程向上运动的距离为 快递包匀速运动的时间为 则快递包从A点运送到B点所需时间为，故A错误； B．快递包与传送带发生的相对位移为 则因摩擦产生的热量为，故B正确； C．根据功能关系可知，传送带对快递包做的功等于快递包的机械能增加量，则有，故C错误； D．根据能量守恒可知电动机因运送此快递包多做的功为，故D错误。 故选B。 二、多选题 7．如图所示，在水平地面上有一圆弧形凹槽，连线与地面相平，凹槽是位于竖直平面内以为圆心、半径为的一段圆弧，为圆弧最低点，而且段光滑，段粗糙。现有一质量为的小球（可视为质点），从水平地面上处以初速度斜向右上方飞出，与水平地面夹角为，不计空气阻力，该小球恰好能从点沿圆弧的切线方向进入轨道，沿圆弧继续运动后从点以速率飞出。重力加速度为，则下列说法中正确的是（　　） A．小球由到的过程中，离地面的最大高度为 B．小球进入点时重力的瞬时功率为 C．小球在圆形轨道内由于摩擦产生的热量为 D．小球经过圆形轨道最低点处受到轨道的支持力大小为 【答案】BD 【详解】A．小球由到的过程中，离地面的最大高度为，A错误； B．小球进入点时的速度大小仍为v0，方向与水平方向的夹角仍为θ，可知在A点时重力的瞬时功率为，B正确； C．小球在圆形轨道内由于摩擦产生的热量为，C错误； D．由几何关系可知，从A到B由动能定理 小球经过圆形轨道最低点处时根据牛顿第二定律 解得小球受到轨道的支持力大小为，D正确。 故选BD。 8．2026年3月28日，2026CMG群众足球邀请赛第二站在山东省泰安市泰山体育场开幕。比赛过程中由于空气阻力的影响，被踢出的足球飞行轨迹如图所示。足球从位置1被踢出，位置3为轨迹的最高点，位置2、4距地面高度相等。重力加速度为，忽略足球的旋转。关于足球，下列说法正确的是（     ） A．到达位置3时，加速度为 B．经过位置2时的速度大于经过位置4时的速度 C．由位置1到位置3减少的动能大于由位置3到位置5增加的动能 D．由位置1到位置3重力做的功等于由位置3到位置5重力做的功 【答案】BC 【详解】A．到达位置3时，足球受重力与空气阻力作用，加速度不为g，故A错误； B．从位置2到位置4过程，由于重力做功为0，空气阻力做负功，根据动能定理可知，足球的动能减少，可知足球经过位置2时的速度大于经过位置4时的速度，故B正确； C．从位置1到位置5过程，由于重力做功为0，空气阻力做负功，根据动能定理可知，足球的动能减少，可知足球经过位置1时的动能大于经过位置5时的动能，则有 所以由位置1到位置3减少的动能大于由位置3到位置5增加的动能，故C正确； D．从位置1到位置3与从位置3到位置5高度差大小相等，从位置1到位置3重力做负功，从位置3到位置5做正功，两个功仅绝对值相等，故D错误。 故选BC。 9．如图所示，一固定斜面倾角为，一质量为的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小。物块上升的最大高度为，则此过程中，物块的（     ） A．动能损失了 B．重力势能减少了 C．机械能损失了 D．机械能损失了 【答案】AC 【详解】A．沿斜面方向对物块列牛顿第二定律 已知加速度，解得摩擦力 物块上升高度为，沿斜面的位移大小 根据动能定理，动能损失量等于合外力做功的大小，合外力大小 因此动能损失，故A正确； B．物块上升高度，重力做负功，重力势能增加了，不是减少，故B错误； CD．机械能的变化等于除重力外其他力（此处为摩擦力）做的功，机械能损失量等于克服摩擦力做的功 即机械能损失，故C正确，D错误。 故选AC 。 10．如图所示，细轻杆的一端与小球相连，小球质量为m，可绕点的水平轴自由转动。开始小球静止在最低点，现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，、分别表示轨道的最低点和最高点，重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为（     ） A．3mg B．4mg C．6mg D．7mg 【答案】BC 【详解】设轻杆长度为，小球在最低点的速度为，最高点的速度为 小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，有，化简得。 在最低点，杆对小球的拉力提供向心力的一部分 由牛顿第二定律有 解得，由牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小等于 最高点的受力分两种情况讨论： 1. 当时，杆对小球提供向上的支持力 由牛顿第二定律有，解得，小球对杆的作用力大小等于 代入得两点作用力大小之差 此时的取值范围为 2. 当时，杆对小球提供向下的拉力 由牛顿第二定律有，解得，小球对杆的作用力大小等于 代入得两点作用力大小之差，为定值 综上，两点作用力大小之差的取值范围是 故选BC。 11．图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由的运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球的机械能减少 B．小球的重力势能先减少后增加 C．小球的动能一直减小 D．小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量 【答案】AD 【详解】A．小球由→运动过程中，对于小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力，所以系统总机械能守恒，弹簧压缩，弹性势能增加，故小球的机械能减小，故A正确； B．小球不断下降，重力势能不断减小，故B错误； C．小球从到过程，先加速后减速，故动能先变大后变小，动能最大的位置在之间的某点，故C错误； D．小球从到过程中，重力势能、动能、弹性势能相互转化，机械能总量守恒，故动能和重力势能的减少量等于弹性势能的增加量，即小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。 故选AD。 三、解答题 12．如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其最低点与水平面平滑连接。圆弧轨道半径，圆心角为。水平面上点左侧光滑、右侧粗糙。一根轻弹簧置于水平面上，其左端固定在挡板上，右端自由伸长至点。现将质量的物块放在水平面上，向左压缩弹簧至点后由静止释放。物块被弹开后，恰好不滑离圆弧轨道。已知物块与段间的动摩擦因数为0.5，段长度也为，重力加速度，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块在位置时弹簧的弹性势能； (3)物块停止运动时距点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从到过程，轨道光滑，根据动能定理 在点，根据牛顿第二定律 代入数据得 （2）从释放到的过程，初末动能均为，弹性势能等于克服摩擦力做功与重力势能增加量之和 代入数据 （3）物块从滑回水平面，设物块从向左运动的总路程为，根据动能定理 代入数据得 长度恰好为，物块刚好停在点，因此停止位置距点的距离为 13．如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨最低点平滑相接，导轨半径为。一个质量为的物体（可视为质点）将弹簧向左压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过点时的速度大小为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达最高点。重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）物体从A点到B点，根据能量守恒有 （2）题意可知恰好到达最高点C，则有 物体从B到C过程，根据动能定理有 联立解得 14．如图所示，质量为m=0.1 kg的小物块从平台的右端A点以速度v0=3 m/s水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并恰好通过轨道最高点M飞出。已知小物块可视为质点，圆轨道半径R=0.4 m，圆心为O，N点为轨道最低点∠PON=53°，重力加速度g取10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： (1)小物块在P点的瞬时速度大小vP； (2)小物块在圆轨道上运动的过程中克服摩擦力做的功W。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小物块飞出后做平抛运动，刚好沿点切线进入竖直圆轨道，由几何关系可知 解得 （2）由题意可知，小物块恰好从最高点飞出，对小物块在点受力分析，重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 小物块从到的运动过程中，根据动能定理有 解得 14 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第五讲 机械能守恒及功能关系 一、势能 1．重力势能. (1)表达式：Ep＝mgh. (2)重力做功与重力势能之间的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp. (1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减小；即WG＞0，Ep1＞Ep2.重力势能的减少量等于重力所做的功. (2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加；即WG＜0，Ep1＜Ep2.，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功. 2、弹性势能 弹力做功与弹性势能变化的关系 (1)关系：弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就减少多少. (2)表达式：W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2. 注意： (1)弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关. (2)一般地来说，弹簧为原长时弹性势能为零，所以弹簧伸长时和弹簧压缩时弹性势能都增加，且伸长量和压缩量相同时，弹性势能相同. 二、机械能守恒定律 1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变. 2．表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1. 3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算. 4．对机械能守恒条件的理解 ①只受重力或弹力；②受其他的力，但其他的力不做功；③其他力做功，但做功的代数和为零. 5．判断机械能是否守恒的方法 (1)利用机械能的定义直接判断：若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化. (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒. (3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒. 三、机械能守恒定律的应用 1．机械能守恒定律常用的三种表达式 (1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2) 此式表示系统两个状态的机械能总量相等. (2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp 此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量. (3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减 此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量. 2．机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)选取研究对象； (2)进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒； (3)选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量； (4)根据机械能守恒定律列出方程； (5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明． 四、功能关系的理解及应用 力做功 能的变化 定量关系 合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk 重力做的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 弹簧弹力做的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0 除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 一对相互作用的滑动摩擦力做的总功 机械能减少 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ff·x相对 功能关系的选用原则 ①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。 ②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。 ③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。 ④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。 考点一：势能与做功的关系 例1.刘同学为配合值日生打扫地面，将凳子向上搬起停放在高处，对于此过程中凳子的重力做功情况和凳子重力势能的变化情况，下列说法正确的是（     ） A．重力做正功，重力势能增大 B．重力做正功，重力势能减小 C．重力做负功，重力势能增大 D．重力做负功，重力势能减小 例2.如图甲所示，放置于光滑水平面的轻质弹簧左端被固定，一小球以一定速度向左运动挤压弹簧，弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图乙所示。当弹簧的形变量为10cm时，弹簧的弹性势能为（     ） A．0.5J B．1.0J C．2.0J D．4J 考点二：机械能守恒定律的初步应用 例1.质量为的小球，从图中点下落到地面上的点，以桌面为参考平面。已知，，重力加速度取，不计空气阻力，则（　　） A．小球在点的重力势能为 B．小球在点的机械能为 C．从点到点的过程中，小球重力势能的减少量为 D．从点到点的过程中，小球动能的增加量为 例2把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆。摆长为l，最大偏角为θ。如果阻力可以忽略，以最低点为参考平面。求： (1)OC的长度是多少？ (2)小球运动到最低位置时的速度大小是多少？ 考点三：机械能守恒定律的综合应用 例1.如图所示，两个质量相同的小球A、B分别用细线悬在等高的O1、O2点。A球的悬线比B球的长，把两球的悬线拉至水平后无初速释放，则球到达最低点的过程中（　　） A．A球重力的瞬时功率一直变大 B．最低点时，A球机械能大于B球机械能 C．最低点时，A球的速度小于B球的速度 D．最低点时，悬线对A球的拉力等于悬线对B球的拉力 例2. 物体从某一高度处自由下落，落到直立于地面的轻弹簧上。如图所示，在A点物体开始与弹簧接触，到B点物体的速度为零，然后被弹回。弹簧形变不超过弹性限度，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（     ） A．物体从A点下降到B点的过程中，动能一直减小 B．物体从B点上升到A点的过程中，动能先变大后变小 C．物体从B点上升到A点的过程中，物体的机械能先减小再增大 D．以B点为重力势能零势能点，物体在B点时弹簧的弹性势能等于物体在A点的重力势能 例3.如图所示，倾角的光滑斜面的顶端装有定滑轮，一根不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接 A、B 两物体，A、B 的质量分别为、，开始时把A拉到斜面底端，此时B离地面的高度h=2m。现将A由静止释放，斜面足够长，B落地后即被取走，不计轻绳和定滑轮间的摩擦，取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)从A被释放到B落地，A物体重力势能的变化量； (2)B落地瞬间，A的速度大小 ； (3)从A被释放到B落地的过程中，轻绳对A做的功W。 考点四：功能关系及应用 例1.2026年，我国新一代重型运载火箭在海南文昌发射场点火升空。质量为的火箭（含燃料）在发动机推力作用下，由静止开始以的加速度竖直向上做匀加速直线运动（为地球表面的重力加速度）。在火箭竖直上升高度为的过程中，忽略空气阻力及火箭质量的变化。下列关于该过程中火箭能量变化的说法，正确的是（     ） A．火箭的重力势能增加了 B．火箭的动能增加了 C．火箭的机械能增加了 D．发动机推力对火箭做的功为 例2.从地面竖直向上抛出一个物体，一段时间后物体又落回地面。全过程物体受到空气阻力的大小不变，其动能随高度的变化关系如图所示，重力加速度取，下列说法正确的是（     ） A．物体竖直向上抛出的初速度大小为 B．物体上升过程中机械能减少24J C．物体上升和下落过程中经过同一位置时的机械能相等 D．物体上升过程重力的平均功率大于下降过程重力的平均功率 例3.如图所示，斜面的倾角为37°，轻质弹簧的下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于B点。一质量为2 kg的物块从斜面A点由静止释放，将弹簧压缩至最低点C（弹簧在弹性限度内），随后物块被弹回，刚好沿斜面向上运动到D点。已知斜面B点上方粗糙，B点下方光滑，物块可视为质点，，且，重力加速度为，求： (1)物块与斜面粗糙部分间的动摩擦因数μ； (2)弹簧弹性势能的最大值； 一、单选题 1．如图所示，物体在光滑水平面上以一定的速度冲向弹簧，不计空气阻力，在弹簧被压缩至最短的过程中，以下说法正确的是（　　） A．物体机械能守恒 B．弹簧机械能守恒 C．弹簧与物体组成的系统机械能守恒 D．整个过程弹力做正功 2．如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡（粗糙）底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法不正确的是（     ） A．小车克服重力所做的功是mgh B．合外力对小车做的功是 C．推力对小车做的功是 D．摩擦力对小车做的功是 3．如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是（     ） A．运动员重力做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了 4．如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球的机械能守恒 B．小球的机械能增加 C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒 D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 5．如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v0斜向上抛出，最后落回地面。最高点距离地面高度为H，以抛出点为参考平面，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　 ） A．石块到达地面时的动能为 B．石块到达地面时的重力势能为mgh C．石块在最高点的机械能为 D．石块在整个运动过程中重力势能一直在减小 6.如图为某运送快递的倾斜传送带的简化模型，倾角的传送带在电动机的带动下能以的恒定速率顺时针转动，皮带始终是绷紧的。现将质量m=2kg的快递包（可视为质点）无初速度地放到传送带底端A点。已知传送带A点到顶端B点的距离L=6m，快递包与传送带之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则快递包从A点运送到B点，重力加速度大小取g=10m/s2，（     ） A．所需时间为5s B．摩擦产生的热量为24J C．传送带对快递包做功为42J D．电动机因运送此快递包多做了54J的功 二、多选题 7．如图所示，在水平地面上有一圆弧形凹槽，连线与地面相平，凹槽是位于竖直平面内以为圆心、半径为的一段圆弧，为圆弧最低点，而且段光滑，段粗糙。现有一质量为的小球（可视为质点），从水平地面上处以初速度斜向右上方飞出，与水平地面夹角为，不计空气阻力，该小球恰好能从点沿圆弧的切线方向进入轨道，沿圆弧继续运动后从点以速率飞出。重力加速度为，则下列说法中正确的是（　　） A．小球由到的过程中，离地面的最大高度为 B．小球进入点时重力的瞬时功率为 C．小球在圆形轨道内由于摩擦产生的热量为 D．小球经过圆形轨道最低点处受到轨道的支持力大小为 8．2026年3月28日，2026CMG群众足球邀请赛第二站在山东省泰安市泰山体育场开幕。比赛过程中由于空气阻力的影响，被踢出的足球飞行轨迹如图所示。足球从位置1被踢出，位置3为轨迹的最高点，位置2、4距地面高度相等。重力加速度为，忽略足球的旋转。关于足球，下列说法正确的是（     ） A．到达位置3时，加速度为 B．经过位置2时的速度大于经过位置4时的速度 C．由位置1到位置3减少的动能大于由位置3到位置5增加的动能 D．由位置1到位置3重力做的功等于由位置3到位置5重力做的功 9．如图所示，一固定斜面倾角为，一质量为的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于重力加速度的大小。物块上升的最大高度为，则此过程中，物块的（     ） A．动能损失了 B．重力势能减少了 C．机械能损失了 D．机械能损失了 10．如图所示，细轻杆的一端与小球相连，小球质量为m，可绕点的水平轴自由转动。开始小球静止在最低点，现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，、分别表示轨道的最低点和最高点，重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为（     ） A．3mg B．4mg C．6mg D．7mg 11．图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由的运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球的机械能减少 B．小球的重力势能先减少后增加 C．小球的动能一直减小 D．小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量 三、解答题 12．如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其最低点与水平面平滑连接。圆弧轨道半径，圆心角为。水平面上点左侧光滑、右侧粗糙。一根轻弹簧置于水平面上，其左端固定在挡板上，右端自由伸长至点。现将质量的物块放在水平面上，向左压缩弹簧至点后由静止释放。物块被弹开后，恰好不滑离圆弧轨道。已知物块与段间的动摩擦因数为0.5，段长度也为，重力加速度，物块视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块在位置时弹簧的弹性势能； (3)物块停止运动时距点的距离。 13．如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨最低点平滑相接，导轨半径为。一个质量为的物体（可视为质点）将弹簧向左压缩至点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过点时的速度大小为，之后沿半圆形导轨运动，恰好到达最高点。重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。 14．如图所示，质量为m=0.1 kg的小物块从平台的右端A点以速度v0=3 m/s水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并恰好通过轨道最高点M飞出。已知小物块可视为质点，圆轨道半径R=0.4 m，圆心为O，N点为轨道最低点∠PON=53°，重力加速度g取10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求： (1)小物块在P点的瞬时速度大小vP； (2)小物块在圆轨道上运动的过程中克服摩擦力做的功W。 14 学科网（北京）股份有限公司 $